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1、铜仁学院数计系1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质正弦函数、余弦函数的性质周期性周期性铜仁学院数计系1.4.2 正弦函数、余弦函数的周期性正弦函数、余弦函数的周期性课件制作：马茂林课件制作：马茂林指导老师：聂指导老师：聂 敏敏铜仁学院数计系问题问题1: 今天是今天是11月月18日，星期三，那么日，星期三，那么7天后是星期几？天后是星期几？30天天 后呢？为什么？后呢？为什么？ 用自变量用自变量x来表示来表示“x天后天后”，实数，实数1 1表示星期一、实数表示星期一、实数2 2表表示星期二示星期二以此类推，实数以此类推，实数7 7表示星期日表示星期日. .以星期为例，来构造一个函数：以星期为例，
2、来构造一个函数： xf(x)1 12 23 34 45 56 67 78 89 90 0-1-12 23 34 45 57 76 61 12 23 34 45 5铜仁学院数计系 xf(x)1 12 23 34 45 56 67 78 89 90 0-1-12 23 34 45 57 76 61 12 23 34 45 5f（-1）=2= f（6） f（ 0 ）=3= f（7） f（0）= f（ 0+7 ） 我们可以发现：我们可以发现：f（ 2 ）=5= f（9） f（ 1 ）=4= f（8） f（-1）= f（-1+7） f（1）= f（ 1+7 ） f（2）= f（ 2+7 ） 那么，对定义
3、域内任意一个那么，对定义域内任意一个 x都有都有 f（x+7） = f（x）铜仁学院数计系 对于函数对于函数f(x),如果存在一个非零常数如果存在一个非零常数T，使得当，使得当x取取定义域内的每一个值时，都有定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数，那么函数f(x)就叫做周期函数就叫做周期函数.非零常数非零常数T叫做这个函数的周期叫做这个函数的周期.一、周期函数：一、周期函数： 思考思考: 我们刚学习过的正弦、余弦函数是不是周期函数？我们刚学习过的正弦、余弦函数是不是周期函数？铜仁学院数计系624-2xy0f (x)=sinx(xR)由诱导公式可知：由诱导公式可知：有有sin
4、(x+2) = sinx即即 f (x+2) = f (x)结合图像结合图像:在定义域内任取一个在定义域内任取一个x，那么那么x +2 Rxx+2正弦函数正弦函数 是周期函数，且是周期函数，且2是它的周期是它的周期.铜仁学院数计系 那么余弦函数是不是周期函数？如果是，多少那么余弦函数是不是周期函数？如果是，多少是它的周期？是它的周期？ 正弦函数正弦函数 ,余弦函数余弦函数 都是周期函都是周期函数，且数，且2是它们的周期是它们的周期.？铜仁学院数计系（1 1）函数函数 有有 ,则则 _它的周期它的周期 （填（填“是是”或或“不是不是”），为什么？），为什么？（3 3）函数函数 y=sinx, x
5、0,12 是不是周期函数？为什么？是不是周期函数？为什么？22是是函数函数f(x)= sinx, x R的周期，的周期，则则-2-2是这个函数的周期函是这个函数的周期函数吗？数吗？44呢？呢？-4-4呢呢? ? 从这个问题里，你能归纳出什么结论？从这个问题里，你能归纳出什么结论？ （2二、探究二、探究 对于函数对于函数f (x),如果存在一个非零常数如果存在一个非零常数，使得当，使得当x取取定义域内的每一个值时，都有定义域内的每一个值时，都有f (x+T)=f (x)，那么函数，那么函数f (x)就叫做周期函数就叫做周期函数.不是不是不是不是都是的；结论是：都是的；结论是： 都是正弦函数的周期
6、都是正弦函数的周期.铜仁学院数计系注意：注意： 今后我们谈到函数周期时，如果不加特别说今后我们谈到函数周期时，如果不加特别说明，一般都是指此函数的最小正周期明，一般都是指此函数的最小正周期.最小正周期最小正周期 如果在周期函数如果在周期函数 f (x) 的所有周期中存在一个最的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正的最小正周期周期.正弦函数正弦函数 ,余弦函数余弦函数 都是周期函数，都是周期函数，且最小正周期等于且最小正周期等于2.正弦函数正弦函数 、余弦函数、余弦函数 的周期都是的周期都是2.铜仁学院数计系三、例题分析：三、例
7、题分析：四、课堂练习四、课堂练习: 1、求下列函数的周期：、求下列函数的周期：第一组第一组1 1第二组第二组2 2第三组第三组3 3 例例1、求下列函数的周期、求下列函数的周期.铜仁学院数计系三、例题与练习分析：三、例题与练习分析：第一组第一组1 1第二组第二组2 2第三组第三组3 3解：他们的周期都是解：他们的周期都是2.解：解：（1）的周期是）的周期是 . （2）的周期是）的周期是4 . （3）的周期是）的周期是2.解：他们的周期都是解：他们的周期都是4. .铜仁学院数计系归纳：这些函数的周期与解析式中的那些量有关吗？归纳：这些函数的周期与解析式中的那些量有关吗？ 结论结论: : ( (其
8、中其中 为常数，为常数，且且 ) )的周期的周期T T与解析式中的与解析式中的与与x前面的系数有关前面的系数有关“ w ”有关有关.铜仁学院数计系2、掌握利用最基本的函数：正弦函数、余弦函数的周期、掌握利用最基本的函数：正弦函数、余弦函数的周期 是是2，来求形如：，来求形如： （其中（其中 为常数，为常数， ）的周期）的周期.四、小结：四、小结：问题：你觉得你这节课学习了哪些知识？有什么收获？问题：你觉得你这节课学习了哪些知识？有什么收获？1、本节课我们学习了周期函数以及正余弦函数的周期性、本节课我们学习了周期函数以及正余弦函数的周期性. 要注意最小正周期的概念要注意最小正周期的概念.铜仁学院
9、数计系五：课后作业与思考题五：课后作业与思考题 .1 1、判断函数判断函数 f(x)=2 , x R是不是周期函数？若是，是不是周期函数？若是，则4 4是不是它的是不是它的周期？周期？0.50.5是不是是不是?0.001?0.001是不是是不是?0.00001?0.00001是不是是不是? ?从从这里你能得到什里你能得到什么么结论? ?2 2、已知定义在、已知定义在R R上的函数上的函数f( (x) )满足满足 且且x0x0，22时时, ,有有 求求f ( (x) )在在-4, -2-4, -2上的解析式上的解析式. .课本课本 练习练习2 A组组10铜仁学院数计系谢谢指导！谢谢指导！ 再再
10、见见铜仁学院数计系特别提醒：特别提醒：（1）常数）常数T不为不为0；（2）x的任意性；的任意性；（3 3） x A, x+T A.(A是函数的定义域是函数的定义域). 铜仁学院数计系解：（一）解：（一）f (x)=sin(-x)=sin(-x+2) =sin-(x-2)=f(x-2)f (x)= f (x-2)用用x+ +2替换上式中替换上式中x f (x+2)= f (x)T=T=2（二）（二） f(x)=sin(-x)=-sinx同理求同理求f(x) 的周期是的周期是2铜仁学院数计系（1 1）函数函数f (x)= 有有f (-1+2)=f (-1) ,则则2 _它的周期（填它的周期（填“是是” 或或 “不是不是”），为什么？），为什么？不是不是铜仁学院数计系解：解：( (一一) )由诱导公式可知：对定义域内任意的由诱导公式可知：对定义域内任意的x有有sin(x+2k) = sinx即即 f (x+2k) = f (x)所以函数所以函数f(x)= sinx, x R的周期是的周期是(二二) 2是是 f (x)的周期的周期 f (x+ 2)=f (x)用用x-2替换上式中的替换上式中的x有有f (x) =f (x- 2)同理可求同理可求 都是这个函数的周期都是这个函数的周期. -2使这个函数的周期使这个函数的周期
