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1、第八节第八节 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 闭区间上的连续函数有很多重要性质闭区间上的连续函数有很多重要性质. 这些性质在以这些性质在以后各章的学习中经常用到后各章的学习中经常用到. 这些性质这些性质, 从几何上是容易从几何上是容易理解的理解的, 但要给出完整而严格的证明但要给出完整而严格的证明, 有时却是比较困有时却是比较困难的难的. 本节我们将讨论闭区间上连续函数的某些性质本节我们将讨论闭区间上连续函数的某些性质,并从几何上对这些性质予以解释并从几何上对这些性质予以解释.一、最大值最小值定理一、最大值最小值定理本节要点本节要点二、零值定理与介值定理二、零值定理与介值定理一、
2、最大值与最小值定理一、最大值与最小值定理 设设 定义在区间定义在区间 上上, 若存在点若存在点 使得对使得对则则称称 为函数为函数 在区间上的在区间上的最大值最大值; 相反地相反地, 若对于每一个若对于每一个 都有都有则则称称 为函数为函数 在区间上的在区间上的最小值最小值.每一个每一个 都有都有最大值和最小值分别记为最大值和最小值分别记为例例1 函数函数 在整个区间上的最小值为在整个区间上的最小值为 但无最大值但无最大值.定理定理1 闭区间上的连续函数在该区间上有界并一定有闭区间上的连续函数在该区间上有界并一定有证明从略证明从略. 从右边的图中可以看出从右边的图中可以看出, 若函数若函数 在
3、闭区间上连在闭区间上连最大值和最小值最大值和最小值.续续, 则则 在点在点 和和 处分处分别别取到最大值和最小值取到最大值和最小值. 用简单的数学符号用简单的数学符号, 定理定理1可表述为：可表述为： 值得注意的是值得注意的是, 定理定理1中的条件中的条件 在闭区间上连续在闭区间上连续,不能改为开区间不能改为开区间.使得使得 二、零点定理与介值定理二、零点定理与介值定理 在初等代数中在初等代数中. 我们熟知这一个事实我们熟知这一个事实: 对多项式函数对多项式函数则则一定存在一定存在 从几何上我们可以很清楚地看到从几何上我们可以很清楚地看到 若存在若存在 使得使得该问题的实际意义该问题的实际意义
4、. 但但该该问题对于一般函数而言问题对于一般函数而言, 结论就不成立结论就不成立. 例如例如, 考考注意到注意到: 但但虑函数虑函数不存在不存在关键原因在于函数不连续关键原因在于函数不连续.使得使得定理定理2可用符号表述为可用符号表述为:证证 （欲看证明（欲看证明, 单击此处）单击此处） 定理定理2 （零点定理）（零点定理） 若函数若函数 在闭区间在闭区间 上连续上连续,且且 异号异号, 则函数则函数 在开区间在开区间 内至内至少存在一个零点少存在一个零点. 从几何上看从几何上看, 定理定理2表示表示: 若连续曲线弧若连续曲线弧 的的两个端点分别位于两个端点分别位于 轴的两侧轴的两侧, 则曲线
5、弧与则曲线弧与 轴至少有轴至少有一个交点一个交点.例例2 证明函数证明函数在区间在区间 中有中有惟一零点惟一零点.证证 因函数在所给区间上连续因函数在所给区间上连续, 有有即函数在区间端点异号即函数在区间端点异号, 所以由零点定理所以由零点定理, 知函数在知函数在区区有零点有零点. 又函数又函数为单调增加为单调增加函数函数, 所以零点惟一所以零点惟一.例例3 证明方程证明方程 在区间在区间 内有唯一的根内有唯一的根.证证 令令 由由零点定理知零点定理知, 存存 在在 又函数又函数 是单调增加函数是单调增加函数, 故根是唯一的故根是唯一的.使得使得函数在区间函数在区间 中的图形中的图形 将图形作
6、局部放大将图形作局部放大, 可比较清楚地看到函数的零点可比较清楚地看到函数的零点.零点零点例例4 设函数设函数 在在 内连续内连续, 且且 存在存在,证证 因因 存在存在, 由局部有界性定理由局部有界性定理, 存在存在证明证明 在在 内有界内有界.使得函数在使得函数在 内有界内有界, 又函数连续又函数连续, 故函数在故函数在内有界内有界. 由此得函数在由此得函数在 内有界内有界.例例5 任何实系数奇次代数方程必有实根任何实系数奇次代数方程必有实根.证证 设实系数奇次代数方程为设实系数奇次代数方程为记记因因可见可见:故故, 存在存在 使得使得 同理存在同理存在使得使得 因因 由零点定理由零点定理
7、, 知知存在存在 使得使得证证 作函数作函数 则则 且且由由零点定理零点定理, 存在存在且且 , 则对于介于则对于介于 与与 之间的任何实之间的任何实定理定理3 (介值定理介值定理) 若函数若函数 在闭区间在闭区间 上连续上连续,数数 在区间在区间 内至少存在一点内至少存在一点 使得使得即即使得使得 注注 零点定理与介值定理是等价的零点定理与介值定理是等价的 下图说明了零点定理的几何意义下图说明了零点定理的几何意义.推论推论1 闭区间上的连续函数必取得介于最大值与最小闭区间上的连续函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值值之间的任何值. 即即推论推论2 闭区间上的不为常数的连续函数把该区间映射
8、闭区间上的不为常数的连续函数把该区间映射为闭区间为闭区间.定理定理2（零点定理）（零点定理） 若函数若函数 在闭区间在闭区间 上连上连续续, 且且 异号异号, 则则 在开区间在开区间 内至内至少有一个零点少有一个零点.证证 不妨设不妨设将区间将区间 二等分二等分,中点为中点为若若则定理得证则定理得证.否则否则的两个部分区间中必有一个区间的两个部分区间中必有一个区间, 在其端点处函数值异在其端点处函数值异号号, 设这个部分区间为设这个部分区间为其端点的函数值其端点的函数值再将区间再将区间二等分二等分, 中中点点为为若若则定理得证则定理得证, 否则重否则重复复上面的过程上面的过程. 于是有两种可能
9、的情况于是有两种可能的情况: 其一其一, 进行有限进行有限次划分后次划分后, 在某个分点处函数值为零在某个分点处函数值为零, 如此定理得证如此定理得证; 其二其二, 得到一个区间序列得到一个区间序列它满足它满足:且且即即根据单调有界收敛准则根据单调有界收敛准则, 得到得到下面证明下面证明 因函数因函数 在区间在区间 上连续上连续, 从而在从而在 处连续处连续.并且由于并且由于从而从而同样同样由此得由此得又由于又由于所以所以 下例给出二分法的计算机实现下例给出二分法的计算机实现.例例 用二分法求函数用二分法求函数 在区间在区间中的零点中的零点零点定理零点定理 若若 则则使得使得 函数的零点函数的零点 返回返回
