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1、二、二、 线性方程组的解法线性方程组的解法一、一、 线性方程组有解的判定线性方程组有解的判定第四节第四节线性方程组有解的判定定理 第二二章 三、小结三、小结一、线性方程组有解的判定条件一、线性方程组有解的判定条件问题：问题：证证必要性必要性. .( ( ) ),nDnAnAR阶非零子式阶非零子式中应有一个中应有一个则在则在设设= =( () ),根据克拉默定理根据克拉默定理个方程只有零解个方程只有零解所对应的所对应的 nDn从而从而这与原方程组有非零解相矛盾，这与原方程组有非零解相矛盾，( ( ) ).nAR 即即充分性充分性. .( ( ) ),nrAR = =设设.个自由未知量个自由未知量
2、从而知其有从而知其有rn- -任取一个自由未知量为，其余自由未知量为，任取一个自由未知量为，其余自由未知量为，即可得方程组的一个非零解即可得方程组的一个非零解 .证证必要性必要性,有解有解设方程组设方程组bAx = =( ( ) )( ( ) ),BRAR 设设则则B B的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程，方程，这与方程组有解相矛盾这与方程组有解相矛盾.( ( ) )( ( ) ).BRAR= =因此因此并令并令 个自由未知量全取个自由未知量全取0 0，rn- -即可得方程组的一个解即可得方程组的一个解充分性充分性. .( ( ) )( ( ) )
3、,BRAR= =设设( ( ) )( ( ) )( () ),nrrBRAR = = =设设证毕证毕其余其余 个作为自由未知量个作为自由未知量, , 把这把这 行的第一个非零元所对应的未知量作为行的第一个非零元所对应的未知量作为非自由未知量非自由未知量, ,小结小结有唯一解有唯一解bAx = =( ( ) )( ( ) )nBRAR= = =( ( ) )( ( ) )nBRAR = =有无穷多解有无穷多解. .bAx = =齐次线性方程组齐次线性方程组：系数矩阵化成行阶梯形矩阵，：系数矩阵化成行阶梯形矩阵，便可写出其通解；便可写出其通解；非齐次线性方程组：非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯
4、形矩增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解若有解，便可写出阵，便可判断其是否有解若有解，便可写出其通解；其通解；例例1 1 求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组解解二、线性方程组的解法二、线性方程组的解法即得与即得与原方程组同解的方程组原方程组同解的方程组由此即得由此即得例例 求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组解解对增广矩阵对增广矩阵B进行初等变换，进行初等变换，故故方程组无解方程组无解例例 求解非齐次方程组的通解求解非齐次方程组的通解解解 对增广矩阵对增广矩阵B进行初等变换进行初等变换故方程组有解，且有故方程组有解，且有所以方程组的通解为所以方程组的通解为例例 解证解证对增广矩阵对增广矩阵B进行初等变换，进行初等变换，方程组的增广矩阵为方程组的增广矩阵为由于原方程组等价于方程组由于原方程组等价于方程组由此得通解：由此得通解：例例 设有线性方程组设有线性方程组解解其通解为其通解为这时又分两种情形：这时又分两种情形：( ( ) )( ( ) )nBRAR= = =( ( ) )( ( ) )nBRAR = =有无穷多解有无穷多解. .bAx = =非齐次线性方程组非齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组三、小结三、小结思考题思考题思考题解答思考题解答解解故原故原方程组的通解为方程组的通解为
