《高考数学 3.7正弦定理和余弦定理配套课件 文 新人教A版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学 3.7正弦定理和余弦定理配套课件 文 新人教A版（61页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第七节 正弦定理和余弦定理 三年三年1818考考 高考指数高考指数:掌握正弦定理、余弦定理掌握正弦定理、余弦定理, ,并能解决一些简单的三角形度量问题并能解决一些简单的三角形度量问题. . 1.1.利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点考查的热点. .2.2.常与三角恒等变换相结合，综合考查三角形中的边与角、三常与三角恒等变换相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等角形形状的判断等. .3.3.在平面解析几何、立体几何中常作为工具求角和两点间的距在平面解析几何、立体几何中常作为工具求角和两点间的距离问题离问
2、题. .分类分类内容内容定理定理变形公变形公式式解决的解决的问题问题1.1.正弦定理正弦定理已知两角和任一边，求其他两边和另一角已知两角和任一边，求其他两边和另一角. .已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角. .【即时应用【即时应用】（1 1）思考：在）思考：在ABCABC中，中，sinAsinBsinAsinB是是ABAB的什么条件？的什么条件？提示提示: :充要条件充要条件. .因为因为sinAsinBsinAsinB ababA AB.B.（2 2）在）在ABCABC中，中，B B3030，C C120120，则，则abcabc_._.【解析【
3、解析】A A18018030301201203030，由正弦定理得：由正弦定理得：abcabcsinAsinBsinCsinAsinBsinC11 .11 .答案：答案：11 . 11 . 2.2.余弦定理余弦定理分类分类内容内容定理定理变形变形公式公式解决的解决的问题问题已知三边已知三边, ,求各角求各角. .已知两边和它们的夹角已知两边和它们的夹角, ,求第三边和其他两个角求第三边和其他两个角. .【即时应用【即时应用】(1)(1)如果等腰三角形的周长是底边长的如果等腰三角形的周长是底边长的5 5倍，那么它的顶角的余倍，那么它的顶角的余弦值为弦值为_._.(2)(2)在在ABCABC中，已
4、知中，已知a a2 2b b2 2bcbcc c2 2，则角，则角A A为为_._.【解析【解析】（1 1）设底边边长为）设底边边长为a a，则由题意知等腰三角形的腰长，则由题意知等腰三角形的腰长为为2a2a，故顶角的余弦值为，故顶角的余弦值为 （2 2）由已知得）由已知得b b2 2c c2 2a a2 2bcbc，cosAcosA又又00A A，AA . .答案：答案：（1 1） （2 2）3.3.三角形中常用的面积公式三角形中常用的面积公式（1 1）S= ahS= ah（h h表示边表示边a a上的高）上的高）; ;（2 2）S= bcsinAS= bcsinA=_=_=_=_；（3 3
5、）S= r(a+b+c)(rS= r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径为三角形的内切圆半径).).【即时应用【即时应用】（1 1）在）在ABCABC中，中，A A6060，ABAB1 1，ACAC2 2，则，则S SABCABC的值为的值为_._.（2 2）在）在ABCABC中，中，ACAC ，ABAB ，cosAcosA ，则则S SABCABC_._.【解析【解析】（1 1）S SABCABC ABABACACsinAsinAsin60sin60 . .（2 2）在）在ABCABC中，中，cosAcosA ，sinAsinA ，S SABCABC ABABACACsinAsinA答案：
6、答案：（1 1） （2 2） 利用正、余弦定理解三角形利用正、余弦定理解三角形【方法点睛【方法点睛】解三角形中的常用公式和结论解三角形中的常用公式和结论（1 1）A+B+C=A+B+C=；（2 2）0 0A A，B B，C C，sin =sin =cossin =sin =cos ，cos =coscos =cos =sin =sin ， sin(A+B)=sinCsin(A+B)=sinC；cos(A+B)=-cosCcos(A+B)=-cosC，tantan（A+BA+B）=-tanC=-tanC. .（3 3）三角形中等边对等角）三角形中等边对等角, ,大边对大角大边对大角, ,反之亦然
7、反之亦然; ;三角形中任三角形中任意两边之和大于第三边意两边之和大于第三边, ,任意两边之差小于第三边任意两边之差小于第三边. . 【例【例1 1】根据下列条件解三角形】根据下列条件解三角形. .（1 1）在锐角）在锐角ABCABC中，中，a a、b b、c c分别为角分别为角A A、B B、C C所对的边，又所对的边，又c c ，b b4 4，且，且BCBC边上的高边上的高h h2 2 ，则角，则角C=_.C=_.（2 2）在）在ABCABC中，已知中，已知A AB BC C，且，且A=2C,b=4,a+c=8A=2C,b=4,a+c=8，则则a=_,c=_.a=_,c=_.【解题指南【解题
8、指南】（1 1）作出高利用直角三角形中的边角关系直接）作出高利用直角三角形中的边角关系直接求得；（求得；（2 2）正弦定理和余弦定理结合应用求得）正弦定理和余弦定理结合应用求得. .【规范解答【规范解答】（1 1）由于）由于ABCABC为锐角三角形，过为锐角三角形，过A A作作ADBCADBC于于D D点，点，sinCsinC ，则，则C C6060. .答案：答案：6060（2 2）由正弦定理）由正弦定理又又A=2C,A=2C,所以所以即即cosCcosC= = 由已知由已知a+ca+c=8=2b=8=2b及余弦定理，得及余弦定理，得cosCcosC= = 整理得整理得(2a-3c)(a-c
9、)=0,(2a-3c)(a-c)=0,ac,2a=3c.ac,2a=3c.a+ca+c=8,a= ,c= .=8,a= ,c= .答案：答案：【反思【反思感悟感悟】1.1.应熟练掌握正、余弦定理及其变形应熟练掌握正、余弦定理及其变形. .解三角解三角形时形时, ,有时可用正弦定理有时可用正弦定理, ,也可用余弦定理也可用余弦定理, ,应注意用哪一个定应注意用哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理理更方便、简捷就用哪一个定理. .2.2.已知两边和其中一边的对角已知两边和其中一边的对角, ,解三角形时解三角形时, ,注意解的情况注意解的情况. .如如已知已知a,b,Aa,b,A, ,则有两解、一解
10、、无解三种情况则有两解、一解、无解三种情况. .A为锐角为锐角A为钝角或直角为钝角或直角图形图形关系关系式式解的解的个数个数absinAa=bsinAbsinAabab无解无解一解一解两解两解一解一解一解一解无解无解AabCBCAabB1B2ACaabCAabBBCABAaabbC 利用正、余弦定理判断三角形形状利用正、余弦定理判断三角形形状【方法点睛【方法点睛】三角形形状的判断方法三角形形状的判断方法判定三角形形状通常有两种途径：判定三角形形状通常有两种途径：（1 1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角）通过正弦定理和余弦定理，化边为角, ,利用三角变换得出利用三角变换得出三角形内角之间的关系
11、进行判断，主要是看是否有等角，有无三角形内角之间的关系进行判断，主要是看是否有等角，有无直角或钝角等直角或钝角等. .（2 2）利用正弦定理、余弦定理，化角为边）利用正弦定理、余弦定理，化角为边, ,通过代数恒等变换，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断，主要看是否有等边，是否符求出三条边之间的关系进行判断，主要看是否有等边，是否符合勾股定理等合勾股定理等. .【提醒【提醒】在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件挖掘隐含条件. .另外另外, ,在变形过程中要注意在变形过程中要注意A A、B B、C C 的范围对三的范围
12、对三角函数值的影响角函数值的影响. . 【例【例2 2】(2012(2012温州模拟）若温州模拟）若ABCABC的三个内角的三个内角A A、B B、C C满足满足6sinA=4sinB=3sinC,6sinA=4sinB=3sinC,则则ABC( )ABC( )（A A）一定是锐角三角形）一定是锐角三角形（B B）一定是直角三角形）一定是直角三角形（C C）一定是钝角三角形）一定是钝角三角形（D D）可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形）可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【解题指南【解题指南】利用正弦定理，把角的关系转化为边的关系，再利用正弦定理，把角的关系转化为边的关系，再用余弦定理判定角
13、的范围，从而确定用余弦定理判定角的范围，从而确定ABCABC的形状的形状. .【规范解答【规范解答】选选C.C.由正弦定理由正弦定理得得代入代入6sinA=4sinB=3sinC6sinA=4sinB=3sinC得得6a=4b=3c,6a=4b=3c,令令6a=4b=3c=k,6a=4b=3c=k,得得由余弦定理得由余弦定理得=- =- 0,0,故故C C9090, ,所以所以ABCABC是钝角三角形是钝角三角形. .【反思【反思感悟感悟】化角为边的具体方法：化角为边的具体方法：(1)(1)通过正弦定理实施边角转换；通过正弦定理实施边角转换；(2)(2)通过余弦定理实施边角转换；通过余弦定理实
14、施边角转换；(3)(3)通过三角变换找出角之间的关系；通过三角变换找出角之间的关系；(4)(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数有界性的讨通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数有界性的讨论论. . 与三角形面积有关的问题与三角形面积有关的问题【方法点睛【方法点睛】三角形面积公式三角形面积公式（1 1）已知一边和这边上的高）已知一边和这边上的高: :S= ahS= aha a= bh= bhb b= ch= chc c. .（2 2）已知两边及其夹角：）已知两边及其夹角：S= absinC= acsinB= bcsinAS= absinC= acsinB= bcsinA. .（3 3）
15、已知三边：）已知三边： 其中其中（4 4）已知两角及两角的共同边：）已知两角及两角的共同边：（5 5）已知三边和外接圆半径）已知三边和外接圆半径R R，则，则【例【例3 3】(1)(1)已知已知ABCABC中，中，a a8 8，b b7 7，B B6060，则，则c=_c=_，S SABCABC=_.=_.(2)(2011(2)(2011山东高考）在山东高考）在ABCABC中，内角中，内角A A，B B，C C的对边分别为的对边分别为a a，b b，c.c.已知已知求求 的值；的值；若若cosBcosB= = ，b=2,b=2,求求ABCABC的面积的面积S.S.【解题指南【解题指南】(1)(
16、1)可利用正弦定理求出角可利用正弦定理求出角C C的正弦值的正弦值, ,再求出边长再求出边长c,c,进而求面积进而求面积; ;也可利用余弦定理求出边也可利用余弦定理求出边c c，再求面积，再求面积. .(2)(2)可由正弦定理直接转化已知式子，然后再由和角公式及诱可由正弦定理直接转化已知式子，然后再由和角公式及诱导公式求解导公式求解; ;也可先转化式子也可先转化式子, ,然后利用余弦定理推出边的关系然后利用余弦定理推出边的关系, ,再利用正弦定理求解再利用正弦定理求解.应用余弦定理及第一问结论求得应用余弦定理及第一问结论求得a a和和c c的的值，然后利用面积公式求解值，然后利用面积公式求解.
17、 .【规范解答【规范解答】(1)(1)方法一方法一: :由正弦定理得由正弦定理得sinAsinA= sin60= sin60= ,= ,cosAcosA= = sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= = 或或 . .由由 得得c c1 1=5,c=5,c2 2=3.=3.SSABCABC= ac= ac1 1sinB=10 sinB=10 或或S SABCABC= ac= ac2 2sinB=6 .sinB=6 .方法二方法二: :由余弦定理得由余弦定理得b b2 2=c=c2 2+a+a2 2-2caco
18、sB,-2cacosB,772 2=c=c2 2+8+82 2-2-28 8ccos60ccos60, ,整理得整理得:c:c2 2-8c+15=0,-8c+15=0,解得解得:c:c1 1=3,c=3,c2 2=5,=5,SSABCABC= ac= ac1 1sinB=6 ,sinB=6 ,或或S SABCABC= ac= ac2 2sinB=10 .sinB=10 .答案：答案：3 3或或5 6 5 6 或或1010(2)(2)方法一方法一: :在在ABCABC中，由中，由 及正弦定理可及正弦定理可得得即即cosAsinB-2cosCsinB=2sinCcosB-sinAcosBcosAs
19、inB-2cosCsinB=2sinCcosB-sinAcosB，则则cosAsinB+sinAcosBcosAsinB+sinAcosB=2sinCcosB+2cosCsinB=2sinCcosB+2cosCsinB，sin(A+Bsin(A+B)=2sin(C+B)=2sin(C+B)，而，而A+B+C=A+B+C=，则则sinCsinC=2sinA=2sinA，即，即 =2.=2.方法二：在方法二：在ABCABC中，由中，由 可得可得bcosA-2bcosC=2ccosB-acosBbcosA-2bcosC=2ccosB-acosB由余弦定理可得由余弦定理可得整理可得整理可得c=2ac=
20、2a，由正弦定理可得，由正弦定理可得由由c=2ac=2a及及cosBcosB= ,b=2= ,b=2可得可得4=c4=c2 2+a+a2 2-2accosB=4a-2accosB=4a2 2+a+a2 2-a-a2 2=4a=4a2 2, ,则则a=1a=1，c=2c=2，S= acsinBS= acsinB= = 1 12 2 = = ，即即S= .S= .【反思【反思感悟感悟】运用正、余弦定理解决几何计算问题，要抓住条运用正、余弦定理解决几何计算问题，要抓住条件、待求式子的特点，恰当地选择定理、面积公式，明确所需要件、待求式子的特点，恰当地选择定理、面积公式，明确所需要求的边、角，已知量与
21、未知量全部集中在一个三角形中时，可选求的边、角，已知量与未知量全部集中在一个三角形中时，可选择正、余弦定理求解，若涉及到两个（或两个以上）三角形，这择正、余弦定理求解，若涉及到两个（或两个以上）三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步求出其他三时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步求出其他三角形的解，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，角形的解，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程求解从几个三角形中列出方程求解. .【满分指导【满分指导】解三角形主观题的规范解答解三角形主观题的规范解答 【典例】【典例】(14(14分分)(2
22、011)(2011辽宁高考）辽宁高考）ABCABC的三个内角的三个内角A A，B B，C C所所对的边分别为对的边分别为a a、b b、c c，asinAsinB+bcosasinAsinB+bcos2 2A= a.A= a.（1 1）求）求 ; ;（2 2）若）若c c2 2=b=b2 2+ a+ a2 2，求，求B.B.【解题指南【解题指南】（1 1）根据正弦定理，先边化角，然后再角化边，）根据正弦定理，先边化角，然后再角化边，即得；（即得；（2 2）先结合余弦定理和已知条件求出）先结合余弦定理和已知条件求出cosBcosB的表达式，再的表达式，再利用第（利用第（1 1）题的结论进行化简即
23、得）题的结论进行化简即得. .【规范解答【规范解答】（1 1）由正弦定理得，）由正弦定理得，sinsin2 2AsinB+sinBcosAsinB+sinBcos2 2A= sinAA= sinA，即即sinB(sinsinB(sin2 2A+cosA+cos2 2A)= sinAA)= sinA. . 3 3分分故故sinB= sinAsinB= sinA，所以，所以 = . = . 6 6分分（2 2）由余弦定理及）由余弦定理及c c2 2=b=b2 2+ a+ a2 2，得，得cosBcosB= =由（由（1 1）知）知b b2 2=2a=2a2 2，故，故c c2 2=(2+ )a=(
24、2+ )a2 2. . 1010分分可得可得coscos2 2B= ,B= ,又又cosBcosB00，故故cosBcosB= = ，所以，所以B=45B=45. . 1414分分【阅卷人点拨【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示与备考建议：到以下失分警示与备考建议：失失分分警警示示解答本题时有三点容易造成失分：解答本题时有三点容易造成失分：(1)(1)看到第一问所求是边的比值看到第一问所求是边的比值, ,进而在边角互化时将角化为边进而在边角互化时将角化为边, ,使问题使问题复杂化而得不到正确答案复杂化而得不到正确答案.
25、 .(2)(2)利用余弦定理后没有结合第一问的结果而使后面求解无法进行利用余弦定理后没有结合第一问的结果而使后面求解无法进行. .(3)(3)由由coscos2 2B= B= 求求cosBcosB时，忽略了判断角时，忽略了判断角B B的取值范围而产生错解的取值范围而产生错解. . 备备考考建建议议在解决三角形问题时还有以下几点容易造成失分在解决三角形问题时还有以下几点容易造成失分, ,在备考在备考时要高度关注时要高度关注: :(1)(1)忘记或不会应用三角形中的隐含条件忘记或不会应用三角形中的隐含条件. .(2)(2)求边、角时求边、角时, ,忽略其范围忽略其范围. .(3)(3)应用正、余弦
26、定理时计算失误应用正、余弦定理时计算失误. .另外另外, ,要熟练掌握正、余弦定理的几种变形和三角恒等变要熟练掌握正、余弦定理的几种变形和三角恒等变换换, ,才能快速正确地解决解三角形问题才能快速正确地解决解三角形问题. . 1.(20111.(2011 浙江高考）在浙江高考）在ABCABC中，角中，角A A，B B，C C所对的边分别为所对的边分别为a,b,ca,b,c. .若若acosA=bsinBacosA=bsinB，则，则sinAcosA+cossinAcosA+cos2 2B=( )B=( )（A A）- - （B B） （C C）-1 -1 （D D）1 1【解析【解析】选选D.
27、D.由由acosA=bsinBacosA=bsinB可得可得sinAcosAsinAcosA=sin=sin2 2B,B,所以所以sinAcosA+cossinAcosA+cos2 2B=sinB=sin2 2B+cosB+cos2 2B=1.B=1.2.(20112.(2011安徽高考）已知安徽高考）已知ABCABC的一个内角为的一个内角为120120，并且三边，并且三边长构成公差为长构成公差为4 4的等差数列，则的等差数列，则ABCABC的面积为的面积为_._.【解析【解析】设三角形中间边长为设三角形中间边长为x x，则另两边的长为，则另两边的长为x-4x-4，x+4x+4，那么，那么(x
28、+4)(x+4)2 2=x=x2 2+(x-4)+(x-4)2 2-2x(x-4)cos120-2x(x-4)cos120，解得解得x=10x=10，所以，所以S SABCABC= = 10106 6sin120sin120=15 .=15 .答案：答案：15153.(20113.(2011福建高考）如图，福建高考）如图，ABCABC中，中，AB=AC=2AB=AC=2，BC=2 BC=2 ，点，点D D在在BCBC边上，边上，ADC=45ADC=45，则，则ADAD的长度等于的长度等于_._.【解析【解析】在在ABCABC中，由余弦定理易得中，由余弦定理易得cosCcosC= =C=30C=
29、30,B=30,B=30. .在在ABDABD中，中，由正弦定理得：由正弦定理得： AD= .AD= .答案：答案：4.4.（20112011新课标全国卷）在新课标全国卷）在ABCABC中，中，B=60B=60，AC= ,AC= ,则则AB+2BCAB+2BC的最大值为的最大值为_._.【解析【解析】令令AB=cAB=c，BC=aBC=a，则由正弦定理得，则由正弦定理得 c=2sinC,a=2sinA,c=2sinC,a=2sinA,且且A+C=120A+C=120，AB+2BC=c+2a=2sinC+4sinA=2sinC+4sin(120AB+2BC=c+2a=2sinC+4sinA=2s
30、inC+4sin(120-C)-C)=2sinC+4( cosC+ sinC)=4sinC+2 cosC=2sinC+4( cosC+ sinC)=4sinC+2 cosC=2 sin(C+=2 sin(C+)()(其中其中tantan= )= )当当C+C+=90=90时，时，AB+2BCAB+2BC取最大值为取最大值为 答案：答案：5.(20115.(2011北京高考北京高考) )在在ABCABC中，若中，若b=5,B= ,sinAb=5,B= ,sinA= ,= ,则则a=_.a=_.【解析【解析】由正弦定理，得由正弦定理，得 所以所以a= a= 答案：答案：6.(20126.(2012
31、台州模拟台州模拟) )在在ABCABC中，角中，角A A，B B，C C所对的边分别为所对的边分别为a,b,ca,b,c，已知，已知a=2bsinA,c= b.a=2bsinA,c= b.(1)(1)求求B B的值；的值；(2)(2)若若ABCABC的面积为的面积为2 2 ，求，求a,ba,b的值的值. .【解析【解析】(1)(1)由正弦定理及由正弦定理及a=2bsinA,a=2bsinA,得得sinAsinA=2sinBsinA=2sinBsinAsinB= sinB= , ,B=30B=30或或150150,c,cb,b,所以所以B=30B=30. .(2)(2)由由b b2 2=a=a2 2+c+c2 2-2accos30-2accos30, ,解得解得2b2b2 2-3ab+a-3ab+a2 2=0=0a=ba=b或或a=2b a=2b 又又S SABCABC= acsin30= acsin30=2 =2 ac=8 ac=8 c= b c= b 由由得得 或或a=b=2 .a=b=2 .
