《高考数学 第七章 第一节 平面、空间两条直线的位置关系课件 理 苏教版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学 第七章 第一节 平面、空间两条直线的位置关系课件 理 苏教版（67页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第七章 立体几何初步第一节 平面、空间两条直线的位置关系1.1.平面的基本性质平面的基本性质图图 形形 语语 言言 文文 字字 语语 言言 符符 号号 语语 言言 公公理理1 1 如果一条直线上的如果一条直线上的_在一个平面在一个平面内，那么这条直线内，那么这条直线上所有的点都在这上所有的点都在这个平面内个平面内. . AABB_两点两点ABAB图图 形形 语语 言言 文文 字字 语语 言言 符符 号号 语语 言言 公公理理2 2 如果两个平面有一个公共如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合共点，这些公共点的集合是是_. . = =l且且_PP
2、PP经经过这个公共点的过这个公共点的一条直线一条直线PPl图图 形形 语语 言言 文文 字字 语语 言言 符符 号号 语语 言言 公公理理3 3 经过经过_的三点，有且只有的三点，有且只有一个平面一个平面. . A A，B B，C C三点不共线三点不共线有且有且只有一个平面只有一个平面，使，使A A, ,B B,C,C. . 推推论论1 1 经过一条直线和经过一条直线和_的一的一点，有且只有一点，有且只有一个平面个平面. . A A l过直线过直线l和点和点A A有且只有且只有一个平面有一个平面. . 不在同一条不在同一条直线上直线上这条直线外这条直线外图图 形形 语语 言言 文文 字字 语语
3、 言言 符符 号号 语语 言言 推推论论2 2 经过两条经过两条_直线，有直线，有且只有一个平面且只有一个平面. . a ab b=P=P过直线过直线a a和直线和直线b b有有且只有一个平面且只有一个平面 推推论论3 3 经过两条经过两条_直线，有直线，有且只有一个平面且只有一个平面. . a ab b过直线过直线a a和直线和直线b b有且有且只有一个平面只有一个平面 相交相交平行平行2.2.空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系(1)(1)空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系位置关系位置关系 共面情况共面情况 表示方法表示方法 公共点个数公共点个数 相交相交直线直线 在同一
4、平面内在同一平面内 _平行平行直线直线 在同一平面内在同一平面内 _ 异面异面直线直线 不同在不同在_平面内平面内_有且只有且只有一个有一个没有没有没有没有任何任何一个一个(2)(2)平行直线的公理及定理平行直线的公理及定理公理公理4:4:平行于同一条直线的两条直线平行于同一条直线的两条直线_._.定理定理: :如果一个角的两边和另一个角的两边分别如果一个角的两边和另一个角的两边分别_并且并且方向方向_,_,那么这两个角相等那么这两个角相等. .互相平行互相平行平行平行相同相同(3)(3)异面直线及其判定定理异面直线及其判定定理图图 形形 语语 言言 文文 字字 语语 言言 符符 号号 语语
5、言言 过过_一点与一点与_一点的直一点的直线线, ,和这个平面和这个平面内内_的的直线是异面直线直线是异面直线. . 若若_, ,则直线则直线ABAB与与l是是异面直线异面直线. . 平面内平面内平面外平面外不经过该点不经过该点l,A,A,B,B,B,B l3.3.异面直线所成的角异面直线所成的角定义定义 如果如果a,ba,b是两条异面直线是两条异面直线, ,那么经过空间任意一点那么经过空间任意一点O,O,作直线作直线aa,bbaa,bb, ,我们把直线我们把直线aa和和bb所所成的成的_叫做异面直线叫做异面直线a,ba,b所成的角所成的角. .特殊特殊情况情况 若异面直线若异面直线a,ba,
6、b所成的角是直角所成的角是直角, ,则称异面直线则称异面直线a a，b_b_，记作，记作_._.锐角锐角( (或直角或直角) )互相垂直互相垂直abab判断下面结论是否正确判断下面结论是否正确( (请在括号中打请在括号中打“”或或“”).).(1)(1)如果两个不重合的平面如果两个不重合的平面,有一条公共直线有一条公共直线a a，就说平面，就说平面,相交，并记作相交，并记作=a.( )=a.( )(2)(2)两个平面两个平面,有一个公共点有一个公共点A A，就说，就说,相交于相交于A A点，并点，并记作记作=A.( )=A.( )(3)(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合如果两个平
7、面有三个公共点，则这两个平面重合.( ).( )(4)(4)空间中没有公共点的两条直线是平行直线空间中没有公共点的两条直线是平行直线.( ).( )(5)(5)异面直线所成的角异面直线所成的角的取值范围是的取值范围是0 09090.( ).( )【解析【解析】(1)(1)正确正确. .根据平面的性质公理根据平面的性质公理2 2可知可知(1)(1)对对. .(2)(2)错误错误.=A=A不符合要求不符合要求. .(3)(3)错误错误. .没有说清三个点是否共线没有说清三个点是否共线. .(4)(4)错误错误. .空间中没有公共点的两条直线是平行直线或异面直线空间中没有公共点的两条直线是平行直线或
8、异面直线. .(5)(5)正确正确. .根据异面直线的定义可知，垂直时所成角根据异面直线的定义可知，垂直时所成角=90=90，不垂直时不垂直时0 09090. .答案：答案：(1) (2)(1) (2) (3) (3) (4) (4) (5) (5)1.1.有以下命题：有以下命题：若平面若平面与平面与平面相交，则它们只有有限个公共点；相交，则它们只有有限个公共点；经过经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；经过两经过两条相交直线有且只有一个平面；条相交直线有且只有一个平面；两两相交且不共点的三条直两两相交且不共点的三条直线确定一个平面线确
9、定一个平面. .其中，真命题的序号是其中，真命题的序号是_._.【解析【解析】若平面若平面与平面与平面相交，则它们有无数个公共点故相交，则它们有无数个公共点故错误；由公理错误；由公理3 3及其推论可知及其推论可知均正确均正确. .答案：答案：2.2.若三条不同的直线若三条不同的直线a a，b b，c c满足满足ab,aab,a，c c异面，则异面，则b b与与c c的位的位置关系是置关系是_._.【解析【解析】abab，a,ca,c异面，异面，bb与与c c相交或异面相交或异面. .答案：答案：相交或异面相交或异面3.3.下列命题：下列命题：空间中垂直于同一条直线的两条直线互相平行；空间中垂直
10、于同一条直线的两条直线互相平行；两条直线不异面，则这两条直线相交；两条直线不异面，则这两条直线相交；分别在两个平面内的直线是异面直线；分别在两个平面内的直线是异面直线；已知已知l1 1, ,l2 2, ,l3 3是空间三条不同的直线，若是空间三条不同的直线，若l1 1l2 2, ,l2 2l3 3, ,则则l1 1l3 3. .其中正确命题的个数为其中正确命题的个数为_._.【解析【解析】错误错误. .空间中垂直于同一条直线的两条直线不一定空间中垂直于同一条直线的两条直线不一定平行，如图，平行，如图，l1 1, ,l3 3可以相交或异面可以相交或异面, ,故命题错误故命题错误. .两条直线不异
11、面，则相交或平行，故两条直线不异面，则相交或平行，故错误错误. .不同在任何一个不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线，故平面内的两条直线是异面直线，故错误错误. .由异面直线所成的角可知，由异面直线所成的角可知，l2 2l3 3, ,则则l1 1与与l3 3所成的角与所成的角与l1 1与与l2 2所成的角相等，故所成的角相等，故l1 1l3 3, ,故命题正确故命题正确. .答案：答案：1 14.4.如图，在长方体如图，在长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的的1212条棱所在的直线中与直线条棱所在的直线中与直线A A1 1C C异面的有异面的有_._.
12、【解析【解析】与直线与直线A A1 1C C异面的有直线异面的有直线ADAD，直线，直线B B1 1C C1 1，直线，直线ABAB，直线，直线C C1 1D D1 1，直线，直线BBBB1 1，直线，直线DDDD1 1. .答案：答案：直线直线ADAD，直线，直线B B1 1C C1 1，直线，直线ABAB，直线，直线C C1 1D D1 1，直线，直线BBBB1 1，直线，直线DDDD1 1. .考向考向 1 1 平面的基本性质及其应用平面的基本性质及其应用 【典例【典例1 1】(1)(1)给出以下命题：给出以下命题：不共面的四点中，其中任意三点不共线；不共面的四点中，其中任意三点不共线；
13、若点若点A A，B B，C C，D D共面，点共面，点A A，B B，C C，E E共面，则点共面，则点A A，B B，C C，D D，E E共面；共面；若直线若直线a a，b b共面，直线共面，直线a a，c c共面，则直线共面，则直线b b，c c共面；共面；依次首尾相接的四条线段必共面依次首尾相接的四条线段必共面. .正确命题的序号是正确命题的序号是_.(_.(把所有正确命题的序号都填上把所有正确命题的序号都填上) )(2)(2)如图，平面如图，平面ABEFABEF平面平面ABCDABCD，四边形，四边形ABEFABEF与与ABCDABCD都是直角梯形，都是直角梯形，BAD=FABBAD
14、=FAB=90=90，BCADBCAD且且BC= ADBC= AD，BEAFBEAF且且BE= AFBE= AF，G G，H H分别为分别为FAFA，FDFD的中点的中点. .证明：四边形证明：四边形BCHGBCHG是平行四边形是平行四边形. .CC，D D，F F，E E四点是否共面？为什么？四点是否共面？为什么？【思路点拨【思路点拨】(1)(1)根据确定平面的公理及推论进行判断根据确定平面的公理及推论进行判断. .(2)(2)证明证明BCBC，GHGH平行且相等即可；平行且相等即可；证明证明EFCHEFCH，由此构成，由此构成平面，再证点平面，再证点D D在该平面上在该平面上. .【规范解
15、答【规范解答】(1)(1)假设其中有三点共线，则该直线和直线外假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面的另一点确定一个平面. .这与四点不共面矛盾，故其中任意三这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以点不共线，所以正确正确.从条件看出两平面有三个公共点从条件看出两平面有三个公共点A A，B B，C C，但是若，但是若A A，B B，C C共线，则结论不正确共线，则结论不正确.不正确不正确.不正不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形空间四边形. .答案：答案：(2)(2)由题设知，由题设知，
16、FG=GAFG=GA，FH=HDFH=HD，所以所以GHADGHAD且且GH= AD,GH= AD,又又BCADBCAD且且BC= ADBC= AD，故故GHBCGHBC且且GH=BCGH=BC，所以四边形所以四边形BCHGBCHG是平行四边形是平行四边形. .CC，D D，F F，E E四点共面四点共面. .理由如下：理由如下：由由BEAFBEAF且且BE= AFBE= AF，G G是是FAFA的中点知，的中点知，BEGFBEGF且且BE=GFBE=GF，所以四边形所以四边形EFGBEFGB是平行四边形，是平行四边形，所以所以EFBG.EFBG.由由知知BGCHBGCH，所以，所以EFCHE
17、FCH，故故ECEC，FHFH共面共面. .又点又点D D在直线在直线FHFH上，所以上，所以C C，D D，F F，E E四点共面四点共面. .【互动探究【互动探究】本例第本例第(2)(2)题的条件不变，如何证明题的条件不变，如何证明“FEFE，ABAB，DCDC交于一点交于一点”？【解析【解析】由例题可知，四边形由例题可知，四边形EBGFEBGF和四边形和四边形BCHGBCHG都是平行四边都是平行四边形，故可得四边形形，故可得四边形ECHFECHF为平行四边形，为平行四边形，ECHFECHF，且，且EC= DFEC= DF，四边形四边形ECDFECDF为梯形为梯形. .FEFE，DCDC交
18、于一点，设交于一点，设FEDC=M.FEDC=M.MFEMFE，FEFE 平面平面BAFEBAFE，MM平面平面BAFE.BAFE.同理同理MM平面平面BADC.BADC.又平面又平面BAFEBAFE平面平面BADC=BABADC=BA，MBAMBA，FE,AB,DCFE,AB,DC交于一点交于一点. .【拓展提升【拓展提升】1.1.证明三点共线的两种方法证明三点共线的两种方法方法一：首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面方法一：首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，于是可得这三点都在交线上，即三点共线的公共点，于是可得这三点都在交线上，即三点共线. .方法二：选择其
19、中两点确定一条直线，然后证明另一点也在这方法二：选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在这条直线上，从而得三点共线条直线上，从而得三点共线. .2.2.证明三线共点的思路证明三线共点的思路先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题化归到证明点在直线上的问题化归到证明点在直线上的问题. .通常是先证两条直线的交点在通常是先证两条直线的交点在两个平面的交线上而第三条直线恰好是两个平面的交线两个平面的交线上而第三条直线恰好是两个平面的交线. .【变式备选【变式备选】如图，在正方体如图，在正方体ABCD -AABCD -A1 1B
20、B1 1C C1 1D D1 1中，中，E E是是ABAB的中点，的中点，F F是是A A1 1A A的中点，求证：的中点，求证：(1)E(1)E，C C，D D1 1，F F四点共面四点共面. .(2)CE(2)CE，D D1 1F F，DADA三线共点三线共点. .【证明【证明】(1)(1)如图，连结如图，连结A A1 1B B，CDCD1 1. .因为因为E E是是ABAB的中点，的中点，F F是是A A1 1A A的的中点，则中点，则EFAEFA1 1B.B.又在正方体又在正方体ABCD -AABCD -A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，A A1 1BDBD1 1C
21、C，所以所以EFDEFD1 1C.C.故故E E，C C，D D1 1，F F四点共面四点共面. .(2)(2)由由(1)(1)知，知，EFDEFD1 1C C且且EF= DEF= D1 1C C，故四边形故四边形ECDECD1 1F F是梯形，两腰是梯形，两腰CECE，D D1 1F F相交，设其交点为相交，设其交点为P P，则则PCE.PCE.又又CECE 平面平面ABCDABCD，所以所以PP平面平面ABCD.ABCD.同理，同理，PP平面平面ADDADD1 1A A1 1. .又平面又平面ABCDABCD平面平面ADDADD1 1A A1 1=AD=AD，所以所以PADPAD，所以，所
22、以CECE，D D1 1F F，DADA三线共点三线共点. . 考向考向 2 2 空间中两直线的位置关系空间中两直线的位置关系【典例【典例2 2】(1)(1)下列命题中正确的是下列命题中正确的是_.(_.(填序号填序号) )两条异面直线在同一平面内的射影必相交；两条异面直线在同一平面内的射影必相交；与一条直线成等角的两条直线必平行；与一条直线成等角的两条直线必平行；与一条直线都垂直的两直线必平行；与一条直线都垂直的两直线必平行；一定存在平面一定存在平面同时与异面直线同时与异面直线m,nm,n都无公共点都无公共点. .(2)(2)如图所示，正方体如图所示，正方体ABCD -AABCD -A1 1
23、B B1 1C C1 1D D1 1中，中，M M，N N分别是分别是A A1 1B B1 1，B B1 1C C1 1的中点的中点. .问：问：AMAM和和CNCN是否是异面直线？说明理由是否是异面直线？说明理由. .DD1 1B B和和CCCC1 1是否是异面直线？说明理由是否是异面直线？说明理由. .【思路点拨【思路点拨】(1)(1)通过常见的正方体中的各棱、面的关系，判通过常见的正方体中的各棱、面的关系，判断出各个命题的真假断出各个命题的真假. .(2)(2)由于由于MNACMNAC，因此，因此M M，N N，A A，C C四点共面，故四点共面，故AMAM与与CNCN不异不异面面. .
24、由图易判断由图易判断D D1 1B B和和CCCC1 1是异面直线，可用反证法证明是异面直线，可用反证法证明. .【规范解答【规范解答】(1)(1)在正方体在正方体ABCD -AABCD -A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中AAAA1 1与与B B1 1C C1 1是异面是异面直线，直线，AAAA1 1在面在面ABCDABCD中的射影是点中的射影是点A A，B B1 1C C1 1在在面面ABCDABCD内的射影是直线内的射影是直线BCBC，故，故错；错；ABAB，ADAD与与AAAA1 1所成的角都是所成的角都是9090，但，但ABAB，ADAD相交于相交于A A，故，故错；错
25、；异面直线异面直线A A1 1D D1 1，EEEE1 1(E(E，E E1 1分别为所分别为所在棱中点在棱中点) )都与面都与面BBBB1 1C C1 1C C无公共点，故无公共点，故正确正确. .答案：答案：(2)(2)不是异面直线不是异面直线. .理由：连结理由：连结MNMN，A A1 1C C1 1，AC.AC.MM，N N分别是分别是A A1 1B B1 1，B B1 1C C1 1的中点，的中点，MNAMNA1 1C C1 1. .又又A A1 1A CA C1 1C C，A A1 1ACCACC1 1为平行四边形，为平行四边形，A A1 1C C1 1ACAC，MNACMNAC，
26、AA，M M，N N，C C在同一平面内，在同一平面内，故故AMAM和和CNCN不是异面直线不是异面直线. .是异面直线是异面直线. .理由：理由：ABCD -AABCD -A1 1B B1 1C C1 1D D1 1是正方体，是正方体，BB，C C，C C1 1，D D1 1不共面不共面. .假设假设D D1 1B B与与CCCC1 1不是异面直线，不是异面直线，则存在平面则存在平面，使，使D D1 1B B 平面平面，CCCC1 1 平面平面，D D1 1，B B，C C，C C1 1，这与这与B B，C C，C C1 1，D D1 1不共面矛盾不共面矛盾. .假设不成立，假设不成立，即即
27、D D1 1B B和和CCCC1 1是异面直线是异面直线. .【拓展提升【拓展提升】判定空间直线位置关系的类型及相应的方法判定空间直线位置关系的类型及相应的方法(1)(1)对于异面直线，可采用直接法或反证法对于异面直线，可采用直接法或反证法. .(2)(2)对于平行直线，可利用三角形对于平行直线，可利用三角形( (梯形梯形) )中位线的性质、公理中位线的性质、公理4 4及线面平行与面面平行的性质定理及线面平行与面面平行的性质定理. .(3)(3)对于垂直直线，往往利用线面垂直的性质来解决对于垂直直线，往往利用线面垂直的性质来解决. .【提醒【提醒】在空间两直线的三种位置关系中，验证异面直线及其
28、在空间两直线的三种位置关系中，验证异面直线及其所成角是考查的热点所成角是考查的热点. .【变式训练【变式训练】设设A A，B B，C C，D D是空间四个不同的点，在下列命题是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是中，不正确的是_(_(填序号填序号).).若若ACAC与与BDBD共面，则共面，则ADAD与与BCBC共面；共面；若若ACAC与与BDBD是异面直线，则是异面直线，则ADAD与与BCBC是异面直线；是异面直线；若若AB=ACAB=AC，DB=DCDB=DC，则，则AD=BCAD=BC；若若AB=ACAB=AC，DB=DCDB=DC，则，则ADBCADBC. .【解析【解析】对于对
29、于，由于点，由于点A A，B B，C C，D D共面，显然结论正确共面，显然结论正确. .对于对于，假设，假设ADAD与与BCBC共面，由共面，由正确得正确得ACAC与与BDBD共面，这与题设共面，这与题设矛盾，故假设不成立，从而结论正确矛盾，故假设不成立，从而结论正确. .对于对于，如图，当，如图，当AB=ACAB=AC，DB=DCDB=DC，使二面角使二面角A -BC-DA -BC-D的大小变化时，的大小变化时，ADAD与与BCBC不一定相等，故不正确不一定相等，故不正确. .对于对于，如图，取，如图，取BCBC的中点的中点E E，连结，连结AEAE，DEDE，则由题设得，则由题设得BCA
30、EBCAE，BCDEBCDE. .根据线面垂直的判定定理得根据线面垂直的判定定理得BCBC平面平面ADEADE，从而从而ADBCADBC. .答案：答案：考向考向 3 3 异面直线所成的角异面直线所成的角 【典例【典例3 3】(1)(2013(1)(2013南通模拟南通模拟) )空间三条直线中，任何两条不空间三条直线中，任何两条不共面，且两两互相垂直，另一条直线共面，且两两互相垂直，另一条直线l与这三条直线所成的角均与这三条直线所成的角均为为,则则tan =_.tan =_.(2)(2)正方体正方体ABCD -AABCD -A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，求求ACAC与与A
31、 A1 1D D所成角的大小所成角的大小. .若若E E，F F分别为分别为ABAB，ADAD的中点，求的中点，求A A1 1C C1 1与与EFEF所成角的大小所成角的大小. .【思路点拨【思路点拨】(1)(1)先在正方体中构建符合题意的几何模型，然先在正方体中构建符合题意的几何模型，然后求后求tan .tan .(2)(2)平移平移A A1 1D D到到B B1 1C C，找出，找出ACAC与与A A1 1D D所成的角，再计算所成的角，再计算. .可将可将A A1 1C C1 1平移到平移到ACAC，将，将EFEF平移到平移到BDBD再求解再求解. .【规范解答【规范解答】(1)(1)正
32、方体正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中直线中直线l( (即直线即直线BDBD1 1) )与直与直线线A A1 1D D1 1，CD,BBCD,BB1 1所成角相等，所成角相等，A A1 1D D1 1，CDCD，BBBB1 1任何两条不共面且任何两条不共面且两两垂直两两垂直. .连结连结A A1 1B B，在，在RtARtA1 1BDBD1 1中，中，即即tan = .tan = .答案：答案：(2)(2)如图所示，连结如图所示，连结ABAB1 1，B B1 1C C，由，由ABCD -AABCD -A1 1B B1 1C C1 1D D1 1是正方体，
33、是正方体，易知易知A A1 1DBDB1 1C C，从而，从而B B1 1C C与与ACAC所成的锐角或直角就是所成的锐角或直角就是ACAC与与A A1 1D D所成所成的角的角. .ABAB1 1=AC=B=AC=B1 1C C，B B1 1CA=60CA=60，即，即ACAC与与A A1 1D D所成的角为所成的角为6060. .如图所示，连结如图所示，连结ACAC，BDBD，在正方体，在正方体ABCD -AABCD -A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，ACBDACBD，ACAACA1 1C C1 1，E E，F F分别为分别为ABAB，ADAD的中点，的中点，EFBDE
34、FBD，EFACEFAC，EFAEFA1 1C C1 1，即即A A1 1C C1 1与与EFEF所成的角为所成的角为9090. .【拓展提升【拓展提升】1.1.找异面直线所成的角的三种方法找异面直线所成的角的三种方法利用图中已有的平行线平移；利用特殊点利用图中已有的平行线平移；利用特殊点( (线段的端点或中点线段的端点或中点) )作平行线平移；补形平移作平行线平移；补形平移. .2.2.求异面直线所成角的步骤求异面直线所成角的步骤(1)(1)作：通过作平行线，得到相交直线作：通过作平行线，得到相交直线. .(2)(2)证：证明相交直线所成的角或其补角为异面直线所成的角证：证明相交直线所成的角
35、或其补角为异面直线所成的角. .(3)(3)算：通过解三角形，求出该角算：通过解三角形，求出该角. .【变式训练【变式训练】在三棱锥在三棱锥S -ACBS -ACB中，中，SAB=SAC=ACBSAB=SAC=ACB=90=90，AC=2AC=2，BC= BC= ，SB= SB= ，则，则SCSC与与ABAB所成角的余弦值为所成角的余弦值为_._.【解析【解析】如图，取如图，取BCBC的中点的中点E E，分别在平面，分别在平面ABCABC内作内作DEABDEAB，在，在平面平面SBCSBC内作内作EFSCEFSC, ,则异面直线则异面直线SCSC与与ABAB所成的角为所成的角为FED(FED(
36、或其或其补角补角) )，过，过F F作作FGABFGAB，连结，连结DGDG，DFDF，则，则DFGDFG为直角三角形为直角三角形. .由题知由题知AC=2AC=2，BC= BC= ，SB= SB= 可得可得DE= DE= ，EFEF=2=2，DF= DF= ，在，在DEFDEF中，由余弦定理可得中，由余弦定理可得答案：答案：【满分指导【满分指导】 求异面直线所成角主观题的规范解答求异面直线所成角主观题的规范解答【典例【典例】(14(14分分)(2012)(2012上海高考上海高考) )如图，在四棱锥如图，在四棱锥P -ABCDP -ABCD中，底面中，底面ABCDABCD是矩形，是矩形，PA
37、PA底面底面ABCDABCD，E E是是PCPC的中点的中点. .已知已知AB=2AB=2，AD=2 AD=2 ，PA=2.PA=2.求：求：(1)(1)三角形三角形PCDPCD的面积的面积. .(2)(2)异面直线异面直线BCBC与与AEAE所成的角的大小所成的角的大小. .【思路点拨【思路点拨】 【规范解答【规范解答】(1)(1)因为因为PAPA底面底面ABCDABCD，所以，所以PACDPACD，又又ADCDADCD，所以，所以CDCD平面平面PADPAD，从而，从而CDPDCDPD. .3 3分分因为因为PD= CD=2PD= CD=2，所以三角形，所以三角形PCDPCD的面积为的面积
38、为 2 22 =2 . 2 =2 . 6 6分分(2)(2)取取PBPB的中点的中点F F，连结，连结EFEF，AFAF，则，则EFBCEFBC，从而，从而AEFAEF( (或其补角或其补角) )是异面直线是异面直线BCBC与与AEAE所成的角所成的角. .8 8分分在在AEFAEF中，由中，由EFEF= = ，AF= AF= ，AE=2AE=2知知AEFAEF是等腰直角是等腰直角三角形，所以三角形，所以AEF= . AEF= . 1212分分因此，异面直线因此，异面直线BCBC与与AEAE所成的角的大小是所成的角的大小是 . . 1414分分【失分警示【失分警示】( (下文下文见规范解答过程
39、见规范解答过程) )1.(20131.(2013南通模拟南通模拟) )下列命题中不正确的是下列命题中不正确的是_.(_.(填序号填序号) )空间中不相交的两条直线是异面直线；空间中不相交的两条直线是异面直线；分别和两条异面直线都相交的两直线异面；分别和两条异面直线都相交的两直线异面；一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行；不可能平行；一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面. .【解析【解析】不相交也可能平行，故不相交也可能平行，故错错. .如图，如图，a
40、,ba,b异面，异面，c,dc,d与与a a交于交于A A，B B，与，与b b交于交于O O点，可知点，可知c,dc,d共面，故共面，故错错.设设a,ba,b异面，异面，acac, ,若若bcbc, ,由平行公理知由平行公理知abab, ,与已知与已知a,ba,b异面矛盾，故异面矛盾，故正确正确.设设c c和异面直线和异面直线a,ba,b相相交，则交，则a,ca,c可确定一个平面，可确定一个平面，b,cb,c可确定另一个平面，故可确定另一个平面，故正确正确. .答案：答案：2.(20132.(2013淮安模拟淮安模拟) )空间中一个角空间中一个角AA的两边和另一角的两边和另一角BB的的两边分
41、别平行，若两边分别平行，若A=70A=70，则，则B=_.B=_.【解析【解析】由已知得由已知得B=A=70B=A=70或或B=180B=180-A=110-A=110. .答案：答案：7070或或1101103.(20133.(2013常州模拟常州模拟) )如图是某个正方体的侧面展开图，如图是某个正方体的侧面展开图，l1 1, ,l2 2是是两条侧面对角线，则在正方体中，两条侧面对角线，则在正方体中，l1 1与与l2 2的位置关系是的位置关系是_，所成的角大小为所成的角大小为_._.【解析【解析】将侧面展开图还原成正方体如图所示，将侧面展开图还原成正方体如图所示，则则B B，C C两点重合，
42、故两点重合，故l1 1与与l2 2相交相交. .连结连结ADAD，ABDABD为正三角形，为正三角形，所以所以l1 1与与l2 2的夹角为的夹角为 . .答案：答案：相交相交 4.(20134.(2013苏州模拟苏州模拟) )如图是正方体或四面体，如图是正方体或四面体，P P，Q Q，R R，S S分别分别是所在棱的中点，这四个点共面的是是所在棱的中点，这四个点共面的是_.(_.(填序号填序号) )【解析【解析】在图在图(1)(1)中分别连结中分别连结PSPS，QRQR，易证，易证PSQRPSQR，PP，S S，R R，Q Q共面共面. .在图在图(2)(2)中过中过P P，Q Q，R R，S
43、 S可作一正六边形，可作一正六边形，如图，故如图，故P P，Q Q，R R，S S四点共面四点共面. .在图在图(3)(3)中分别连结中分别连结PQPQ，RSRS，易证易证PQRSPQRS，PP，Q Q，R R，S S共面共面. .图图(4)(4)中中PSPS与与RQRQ为异面直线，为异面直线，PP，Q Q，R R，S S四点不共面四点不共面. .答案：答案：(1)(2)(3)(1)(2)(3)1.1.如图，如图，M M是正方体是正方体ABCD -AABCD -A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱的棱DDDD1 1的中点，给出下列命的中点，给出下列命题：题：过过M M点有且只有一条
44、直线与直线点有且只有一条直线与直线ABAB，B B1 1C C1 1都相交；都相交；过过M M点有且只有一条直线与直线点有且只有一条直线与直线ABAB，B B1 1C C1 1都垂直；都垂直；过过M M点有且只有一个平面与直线点有且只有一个平面与直线ABAB，B B1 1C C1 1都相交；都相交；过过M M点有且只有一个平面与直线点有且只有一个平面与直线ABAB，B B1 1C C1 1都平行都平行. .其中真命题是其中真命题是_.(_.(填序号填序号) )【解析【解析】由于两相交直线可确定一个平面，设由于两相交直线可确定一个平面，设l过过M M点，与点，与ABAB，B B1 1C C1 1
45、均相交，则均相交，则l与与ABAB可确定平面可确定平面，l与与B B1 1C C1 1可确定平面可确定平面，又，又ABAB与与B B1 1C C1 1为异面直线，为异面直线，l为面为面与面与面的交线，如图所示的交线，如图所示. .GEGE即为即为l，故，故正确正确. .由于由于DDDD1 1过点过点M M，DDDD1 1ABAB，DDDD1 1BB1 1C C1 1，BBBB1 1为为ABAB，B B1 1C C1 1的公垂线，的公垂线，DDDD1 1BBBB1 1，故，故正确正确. .显然显然正确正确. .过过M M点有无数个平面与点有无数个平面与ABAB，B B1 1C C1 1都相交，故
46、都相交，故错误错误. .答案：答案：2.2.已知正方体已知正方体ABCD -AABCD -A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，E E，F F分别为分别为BBBB1 1，CCCC1 1的中点，的中点，那么异面直线那么异面直线AEAE与与D D1 1F F所成角的余弦值为所成角的余弦值为_._.【解析【解析】设正方体的棱长为设正方体的棱长为a.a.连结连结A A1 1E E，可知，可知D D1 1FAFA1 1E E, ,异面直线异面直线AEAE与与D D1 1F F所成的角可转化为所成的角可转化为AEAE与与A A1 1E E所成的角，所成的角，在在AEAEA A1 1中中，答案：答案：
