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1、立体几何第 七 章第一讲空间几何体的结构及其三视图和直观图1 1知知识识梳梳理理双双基基自自测测2 2考考点点突突破破互互动动探探究究3 3名名师师讲讲坛坛素素养养提提升升知识梳理双基自测知识梳理双基自测1空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征棱柱的侧棱都平行且_，上下底面是全等且_的多边形棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个_的三角形棱台可由平行于_的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形相等平行公共顶点底面(2)旋转体的结构特征圆柱可以由矩形绕其_旋转得到圆锥可以由直角三角形绕其_旋转得到圆台可以由直角梯形绕_或等腰梯形绕_旋转得到，也可由_于圆锥底面的平面截圆锥得到球可以由半圆面或圆
2、面绕_旋转得到2空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用正投影得到的，这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是_的，三视图包括_、_、_.任一边任一直角边直角腰上下底中点连线平行直径完全相同正(主)视图侧(左)视图俯视图3空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用_画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x轴、y轴的夹角为45(或135)，z轴与x轴、y轴所在平面_.(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别_坐标轴平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度_，平行于y轴的线段长度在直观图中变为_.斜二测垂直平行于不变原来的一半1三
3、视图的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线，主视图反映了物体的长度和高度；俯视图反映了物体的长度和宽度；左视图反映了物体的宽度和高度；由此得到：主俯长对正，主左高平齐，俯左宽相等2一个平面图形在斜二测画法下的直观图与原图形相比，有“三变、三不变”三变：坐标轴的夹角改变，与y轴平行线段的长度改变(减半)，图形改变三不变：平行性不变，与x轴平行的线段长度不变，相对位置不变1以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是()A球的三视图总是三个全等的圆B正方体的三视图总是三个全等的正方形C水平放置的正四面体的三视图都是正三角形D水平放置的圆台的俯视
4、图是一个圆解析几何体的三视图要考虑视角，只有球无论选择怎样的视角，其三视图总是三个全等的圆故选A A2下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()ABCD解析正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，圆锥和正四棱锥的，正视图和侧视图相同，所以，正确答案为D故选DD3如图所示是水平放置三角形的直观图，D是ABC的BC边中点，AB，BC分别与y轴、x轴平行，则原三角形中三条线段AB，AD，AC中()A最长的是AB，最短的是ACB最长的是AC，最短的是ABC最长的是AB，最短的是ADD最长的是AC，最短的是AD解析由条件知，原平面图形中ABBC，从而ABADAC，选B项B4(2019
5、江西南昌模拟)如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥PBCD的正视图与侧视图的面积之比为()A11B21C23D32A解析根据题意，三棱锥PBCD的正视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高；侧视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高故三棱锥PBCD的正视图与侧视图的面积之比为11.5某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是()解析D选项的正视图应为如图所示的图形故选DD6(2019贵州模拟)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()D解析选项A的正视图、俯视图不符合要求
6、，选项B的正视图不符合要求，选项C的俯视图不符合要求，通过观察，选项D满足要求，故选D考点突破互动探究考点突破互动探究考点1空间几何体的结构特征自主练透例 1D (2)下列结论：以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是球其中正确结论的序号是_.解析 (1)认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，故错误，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故错误，平行六面体的两个相对侧面也可能与
7、底面垂直且互相平行，故错误，故选D(2)中这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥，错；中这条腰若不是垂直于两底的腰，则得到的不是圆台，错；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，错误；中如果用不平行于圆锥底面的平面截圆锥，则得到的不是圆锥和圆台，错；只有球满足任意截面都是圆面，正确解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定(2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可角度1由几何体的直观图识别三视图(2018课
8、标)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()解析两个木构件咬合成长方体时，小长方体(榫头)完全嵌入带卯眼的木构件，易知俯视图可以为A故选A考点2空间几何体的三视图多维探究例 2A角度2由空间几何体的三视图还原直观图(2018北京高考)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()A1B2C3D4例 2C角度3由三视图的两个视图推测另一视图已知一三棱锥的俯视图与左视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，左视图是有一条直角
9、边为2的直角三角形，则该三棱锥的主视图可能为()例 4C1由几何体的直观图求三视图注意主视图、左视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，看不到的部分用虚线表示2由几何体的三视图还原几何体的形状，要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图3由几何体的部分视图画出剩余的部分视图先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，再找其剩下部分三视图的可能形式，当然作为选择题，也可将选项逐项检验，看看给出的部分三视图是否符合(1)(角度1)(文)(2019河北衡水中学月考)将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()变式
10、训练变式训练 1 D(角度1)(理)(2019东北四市联考)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P是线段CD的中点，则三棱锥PA1B1A的侧视图为()D(2)(角度2)(2018温州模拟)若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是()A(3)(角度3)一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是(C)考点3空间几何体的直观图师生共研例 5D 引申本例改为“已知ABC的平面直观图A1B1C1是边长为a的正三角形，求原ABC的面积”，该如何作答？变式训练变式训练 2 C 8 cm2 名师讲坛素养提升名师讲坛素养提升 将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到
11、如图2所示的几何体，则该几何体的侧视图为()(文)三视图识图不准致误例 6B错因分析(1)不能正确把握投影方向、角度致误；(2)不能正确确定点、线的位置致误；(3)不能正确判断实线与虚线而致误解析其左视图即为几何体在平面BCC1B1上的投影，注意到加工后的几何体的棱AD1在平面BCC1B1上的投影为BC1且在左视图中能见到，而棱B1C的投影即为它本身且在左视图中看不见，故选B在三视图中，正视图、侧视图的高就是空间几何体的高，正视图、俯视图中的长就是空间几何体的最大长度，侧视图、俯视图中的宽就是空间几何体的最大宽度，在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出
12、来，即“眼见为实、不见为虚”(2019沈阳模拟)正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱BB1的中点(如图)，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为()变式训练变式训练 3 C解析过点A，E，C1的截面为AEC1F，如图，则剩余几何体的左视图为选项C中的图形故选C (2019青岛模拟)一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为()例 6A(文)三视图识图不准致误错因分析(1)不能由点的坐标确定点在空间直角坐标系中的位
13、置(2)不能借助于正方体，由空间几何体的直观图得到它的三视图(3)受思维定势的影响，直观感觉正视图为三角形，而无法作出选择解析在空间直角坐标系中，易知O(0,0,0)，A(1,0,1)，B(1,1,0)，C(0,1,1)恰为单位正方体的四个顶点，棱BC在xOx平面的投影是看得见的，而OA的投影即它本身，在投影面中是看不见的，故A项正确对于简单几何体的组合体，在画其三视图时首先应分清它是由哪些简单几何体组成的，再画其三视图另外要注意交线的位置，可见的轮廓线都画成实线，存在但不可见的轮廓线一定要画出，但要画成虚线，即一定要分清可见轮廓线与不可见轮廓线，避免出现错误在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)给出编号为、的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()A和B和C和D和变式训练变式训练 3 C解析在空间直角坐标系中，构建棱长为2的正方体，设A(0,0,2)，B(2,2,0)，C(1,2,1)，D(2,2,2)，则ABCD即为满足条件的四面体，得出正视图和俯视图分别为和，故选D
