《高中数学双曲线的定义及其标准方程教案新课标人教A版选修1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学双曲线的定义及其标准方程教案新课标人教A版选修1（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、定义图 象 方 程焦 点a.b.c的关系yoxF1F2yoF1F2 |MF1|+|MF2|=2a（2a|F1F2|）a2=b2+c2F ( c,0) F(0, c) oF1F2o如图如图如图如图(A)(A)， |MF|MF1 1| |- - - -|MF|MF2 2|=2|=2a a如图如图如图如图(B)(B)，|MF|MF2 2| |- - - -|MF|MF1 1|=2|=2a a上面上面上面上面 两条合起来叫做双曲线两条合起来叫做双曲线两条合起来叫做双曲线两条合起来叫做双曲线由由由由可得：可得：可得：可得： | |MF| |MF1 1| |- - - -|MF|MF2 2| | = 2|
2、 | = 2a a （差的绝对值）差的绝对值）请思考？请思考？1、平面内与两定点的距离的差等于常数、平面内与两定点的距离的差等于常数2a（小于（小于|F|F1 1F F2 2| | ）的轨迹是什么？）的轨迹是什么？2、平面内与两定点的距离的差的绝对值等于、平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数（等于常数（等于|F|F1 1F F2 2| | ）的轨迹是什么？）的轨迹是什么？3、平面内与两定点的距离的差的绝对值等于、平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数（大于常数（大于|F|F1 1F F2 2| | ）的轨迹是什么？）的轨迹是什么？双曲线的一支双曲线的一支是在直线是在直线F1F2上且上且
3、以以F1、F2为端点向外的两条射线为端点向外的两条射线不存在不存在相关结论：相关结论： 1、当|MF|MF1 1|-|MF|-|MF2 2|= 2a|F|= 2a|F|= 2a |F1 1F F2 2| |时时, ,M点的轨迹不存在点的轨迹不存在4、当、当|MF|MF1 1|-|MF|-|MF2 2|= 2a=0|= 2a=0时，时，P点轨迹是双曲线点轨迹是双曲线其中当其中当|MF|MF1 1|-|MF|-|MF2 2|= 2a|= 2a时，时，M点轨迹是与点轨迹是与F2对对应的双曲线的一支；应的双曲线的一支； 当当|MF|MF2 2| | - - |MF|MF1 1|= 2a|= 2a时，时
4、，M点轨迹是与点轨迹是与F1对应的双曲线的一支对应的双曲线的一支. M点轨迹是在直点轨迹是在直线线F F1 1F F2 2上且以上且以F1和和F2为端点向外的两条射线。为端点向外的两条射线。 M点的轨迹是线段点的轨迹是线段F F1 1F F2 2的垂直平分线的垂直平分线 。双曲线的定义双曲线的定义:平面内与两定点平面内与两定点F F1 1，F F2 2的距离的的距离的差差的的绝对值绝对值等于常数等于常数2a 2a 的点的轨迹叫做双曲线的点的轨迹叫做双曲线。 F1,F2 -焦点焦点|MF|MF1 1| - |MF| - |MF2 2| = 2a| = 2a|F|F1 1F F2 2| -| -焦
5、距焦距.F2.F1Myox注意：对于双曲线定义须注意：对于双曲线定义须抓住两点：抓住两点：一是平面内的一是平面内的动点到两定点的距离之差动点到两定点的距离之差的绝对值是一个常数；的绝对值是一个常数；二二是这个常数要小于是这个常数要小于|F|F1 1F F2 2| | Mxyo设设M（x , y）,双曲线的焦双曲线的焦距为距为2c（c0）,F1(-c,0),F2(c,0)常数为常数为2aF1F2M即即 (x+c)2 + y2 - (x-c)2 + y2 = + 2a_以以F1,F2所在的直线为所在的直线为X轴，线轴，线段段F1F2的中点的中点o o为原点建立直角为原点建立直角坐标系坐标系1. 建
6、系建系. .2.设点设点3.列式列式|MF1| - |MF2|= 2a如何求这优美的曲线的方程？如何求这优美的曲线的方程？4.4.化简化简. .F1F2xOy焦点在焦点在y轴上的双曲线轴上的双曲线的标准方程的标准方程想一想想一想F2F1yxoF1(0,-c), F2(0,c),焦焦 点点 位置确定：位置确定：椭圆看分母大小椭圆看分母大小双曲线看双曲线看x2、y2的系数正负的系数正负焦点在焦点在y轴上的双曲线的图象轴上的双曲线的图象是什么？标准方程怎样求？是什么？标准方程怎样求？X X2 2与与Y Y2 2的系数符号，决定焦的系数符号，决定焦 点所在的坐标轴，当点所在的坐标轴，当X X2 2,Y
7、,Y2 2哪哪个系数为正，焦点就在哪个个系数为正，焦点就在哪个轴上，双曲线的焦点所在位轴上，双曲线的焦点所在位置与分母的大小无关。置与分母的大小无关。注：注：例例1、已知双曲线的焦点为已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)双曲双曲线上一点到焦点的距离差的绝对值等于线上一点到焦点的距离差的绝对值等于6，则，则 (1) a=_ , c =_ , b =_ (2) 双曲线的标准方程为双曲线的标准方程为_(3)双曲线上一点，双曲线上一点， |PF1|=10, 则则|PF2|=_3544或或16| |PF1| - |PF2| | =6例例2已知双曲线两个焦点的坐标为已知双曲线两个焦点的坐标
8、为F1( - 5 , 0)、F2(5 , 0),双曲线上一点双曲线上一点P到到F1、F2的距离的差的距离的差的绝对值等于的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。，求双曲线的标准方程。解：因为双曲线的焦点在解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的轴上，所以设它的 2a=6 2c=102a=6 2c=10 a=3 c=5 a=3 c=5 b b2 2= 5= 52 2- 3- 32 2= 16 = 16 所求双曲线的标准方程为所求双曲线的标准方程为标准方程为标准方程为例例3：K 1,则关于则关于X、Y的方程的方程(1- K )X2+Y2=K2- 1所表示的曲线是所表示的曲线是 （ ) 解：原方程化为：
9、解：原方程化为：A、焦点在、焦点在x轴上的椭圆轴上的椭圆C、焦点在、焦点在y轴上的椭圆轴上的椭圆B、焦点在、焦点在y轴上的双曲线轴上的双曲线D、焦点在、焦点在x轴上的双曲线轴上的双曲线 k k1 1 k k2 21 0 1+k 01 0 1+k 0方程的曲线为焦点在方程的曲线为焦点在y y轴上的双曲线。轴上的双曲线。故故 选（选（B）例例4 4: :如果方程如果方程 表示双曲线，表示双曲线， 求求m m的取值范围的取值范围. .分析分析: :由由得得变式一变式一: :方程方程方程方程 表示双曲线时，则表示双曲线时，则表示双曲线时，则表示双曲线时，则mm的取值的取值的取值的取值范围范围范围范围
10、或或变式二变式二:表示焦点在表示焦点在表示焦点在表示焦点在y y轴的双曲线时，求轴的双曲线时，求轴的双曲线时，求轴的双曲线时，求mm的范围。的范围。的范围。的范围。课堂练习：课堂练习：1、已知点、已知点F1(- 8, 3 )、F2(2 ,3)，动点点P满足足|PF|PF1 1| - |PF| - |PF2 2|= 10|= 10，则P P点的点的轨迹是迹是( )( )2 化简化简:，使结果，使结果不含根式不含根式.设：设：点的轨迹为双曲线的一支点的轨迹为双曲线的一支又焦点在又焦点在y轴上，所以：轴上，所以：例例5. 相相距距2000m的的两两个个哨哨所所A、B，听听到到远远处处传传来来的的炮炮
11、弹弹的的爆爆炸炸声声。已已知知当当时时的的声声速速是是330m/s,在在A哨哨所所听听到到爆爆炸炸声声的的时时间间比比在在B哨哨所所听听到到时时迟迟4s，试试判判断断爆爆炸炸点点在在什什么么样样的的曲曲线上，并求出曲线的方程。线上，并求出曲线的方程。解（解（1）设爆炸点设爆炸点P，由已知可得，由已知可得|PA|PB|=330 4=1320因因为为|AB|=20001320,又又|PA|PB|,所所以以点点P在在以以A、B为焦点的双曲线的靠近为焦点的双曲线的靠近B处的那支上。处的那支上。（2）如如图图217，建建立立直直角角坐坐标标系系xOy，使使 A、B两两点点在在x轴轴上上，并并且且点点O与
12、与线线段段AB的的中中点重合点重合. 设爆炸点设爆炸点P的坐标为（的坐标为（x,y），则），则 即即2a=1320,a=660.2c=2000,c=1000 b2=c2a2=564400 所求双曲线的方程为：所求双曲线的方程为：1. 方程方程mx2-my2=n中中mn0，则其表示焦点在则其表示焦点在 轴上轴上 的的 .x 双曲线双曲线2. 若方程若方程(k2+k-2)x2+(k+1)y2=1的曲线是焦点在的曲线是焦点在y轴上的轴上的 双曲线，则双曲线，则k .(-1, 1)3. 双曲线双曲线 的焦点坐标是的焦点坐标是 . 4. 双曲线双曲线 的焦距是的焦距是6，则，则k= . 6 5. 若方程
13、若方程 表示双曲线，求实数表示双曲线，求实数k的的 取值范围取值范围. -2k5巩固练习巩固练习6. 已知双曲线的焦点在已知双曲线的焦点在y轴上轴上,并且两点并且两点P1 (3, ) 、P2 (9/4 ,5)在双曲线上，求双曲线的标准方程。在双曲线上，求双曲线的标准方程。变题：变题：若若去去掉掉焦焦点点在在y轴上的条件，如何？轴上的条件，如何？解解:由题意可设双曲线方程为由题意可设双曲线方程为把点把点P1,P2坐标代入得坐标代入得所以所求双曲线的标准方程为所以所求双曲线的标准方程为7. 已知已知B(-5,0),C(5,0)是是ABC的两个顶点的两个顶点,且且sinB-sinC= sinA,求顶
14、点求顶点A的轨迹方程的轨迹方程.变题变题. 已知动圆与定圆已知动圆与定圆C1:(x+5)2+y2=49, C2: (x-5)2+y2=1都外切都外切,求动圆圆心的轨迹求动圆圆心的轨迹方程方程.解解:根据条件根据条件,由正弦定理得由正弦定理得:AC-AB=3/5BC=6所以所以 点点A的轨迹为以的轨迹为以B,C为焦点的双曲线的右支为焦点的双曲线的右支2a=6,c=5a=3,c=5,b=4a=3,c=5,b=4所以所以A 的轨迹方程为的轨迹方程为(x0,y0)课堂小结：课堂小结：本本节课学学习了双曲了双曲线的定的定义、图象和象和标准方程，要注意使用准方程，要注意使用类比比的方法，仿照的方法，仿照椭圆的定的定义、图象和象和标准方程的探究思路来准方程的探究思路来处理双曲理双曲线的的类似似问题。作业：作业：教材教材 P48 练习练习第第1.2题题
