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1、 对正态曲线方程的理解对正态曲线方程的理解对于正态变量的概率密度函数：对于正态变量的概率密度函数： 其中其中是圆周率，是常数是圆周率，是常数,x,x是随是随机变量的取值，机变量的取值，=EX=EX为数学期望；为数学期望；是标准差是标准差. .因此，正因此，正态分布是由它的数学期望态分布是由它的数学期望和标准差和标准差唯一决定的唯一决定的. .利用图利用图像求正态曲线的方程，关键是确定像求正态曲线的方程，关键是确定、，结合图像，利，结合图像，利求正态曲线的方程求正态曲线的方程用正态曲线的两条性质：一是对称轴，二是最值即可求用正态曲线的两条性质：一是对称轴，二是最值即可求,. .相应参数确定了，代
2、入相应参数确定了，代入【例例1 1】如图所示的一个正态曲线，试根据该图像写出其正如图所示的一个正态曲线，试根据该图像写出其正态分布的概率密度函数的解析式，并计算随机变量的期望态分布的概率密度函数的解析式，并计算随机变量的期望和方差和方差. .【审题指导审题指导】由图易知正态曲线的对称轴是由图易知正态曲线的对称轴是x=20,x=20,最大值为最大值为 可考虑利用正态密度曲线求可考虑利用正态密度曲线求，然后求，然后求.【规范解答规范解答】从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线线x=20x=20对称，峰值是对称，峰值是 所以所以=20.=20.于是该正态分布的
3、概率密度函数的解析式是于是该正态分布的概率密度函数的解析式是 随机变量的期望是随机变量的期望是=20,=20,方差是方差是 正态分布在实际生活中的应用正态分布在实际生活中的应用 利用正态分布解决实际问题的方法与策略利用正态分布解决实际问题的方法与策略. .(1)(1)将实际问题抽象为数学问题，利用正态曲线的有关性质将实际问题抽象为数学问题，利用正态曲线的有关性质解决解决. .(2)(2)解决正态曲线的性质问题，应对正态曲线的简单性质熟解决正态曲线的性质问题，应对正态曲线的简单性质熟练掌握并且能够应用，尤其是对称性，最高点的位置，曲练掌握并且能够应用，尤其是对称性，最高点的位置，曲线左右无限延伸
4、并逐渐降低，要结合正态曲线的图像理解线左右无限延伸并逐渐降低，要结合正态曲线的图像理解并掌握并掌握. .(3)(3)灵活把握灵活把握33原则，将所求问题向原则，将所求问题向P(-P(-+) )，P(-2+2)P(-2+2)，P(-3+3)P(-3+3)进行转化，进行转化，然后利用特定值求出相应概率然后利用特定值求出相应概率. .同时要充分利用曲线的对称同时要充分利用曲线的对称性和曲线与性和曲线与x x轴之间的面积为轴之间的面积为1 1这一特殊性质这一特殊性质. .【例例2 2】在一次数学测验中，某班学生的分数服从正态分布在一次数学测验中，某班学生的分数服从正态分布X XN(110,20N(11
5、0,202 2) )，且知满分为，且知满分为150150分分. .这个班的学生共这个班的学生共5454人，人，求这个班在这次数学考试中及格求这个班在这次数学考试中及格( (不小于不小于9090分分) )的人数和的人数和130130分以上的人数分以上的人数. .【审题指导审题指导】本题求及格及本题求及格及130130分以上的人数，可考虑利用分以上的人数，可考虑利用正态分布求不小于正态分布求不小于9090分和分和130130分以上的概率然后求解分以上的概率然后求解. .【规范解答规范解答】XXN(110,20N(110,202 2) )=110=110，=20.=20.P(110-20X110+2
6、0)=0.683P(110-20X110+20)=0.683P(XP(X130)= 130)= (1-0.683)=0.158 5(1-0.683)=0.158 5P(X90)=0.683+0.158 5=0.841 5P(X90)=0.683+0.158 5=0.841 5及格的人数为及格的人数为54540.841 545(0.841 545(人人) )130130分以上的人数为分以上的人数为54540.158 59(0.158 59(人人) )【例例】有一种精密零件，其尺寸有一种精密零件，其尺寸X(X(单位：单位：mm)mm)服从正态分服从正态分布，即布，即X XN(20,4).N(20,
7、4).若这批零件共有若这批零件共有5 0005 000个个. .试求试求(1)(1)这批这批零件中尺寸在零件中尺寸在18 mm18 mm22 mm22 mm之间的零件所占的百分比之间的零件所占的百分比. .(2)(2)若规定尺寸在若规定尺寸在24 mm24 mm26 mm26 mm间的零件不合格，则这批零间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？件中不合格的零件大约有多少个？【审题指导审题指导】正态分布已经确定，可考虑利用正态分布已经确定，可考虑利用33原则进行原则进行求解求解. .【规范解答规范解答】(1)X(1)XN(20,4),=20,=2.N(20,4),=20,=2.-=
8、18,+=22.=18,+=22.于是零件尺寸于是零件尺寸X X在在18 mm18 mm22 mm22 mm间的零件所占百分比大约是间的零件所占百分比大约是68.3%.68.3%.(2)-3=20-3(2)-3=20-32=14,+3=20+32=14,+3=20+32=26,-2=2=26,-2= 16,+2=24,16,+2=24,零件尺寸零件尺寸X X在在14 mm14 mm26 mm26 mm间的百分比大约是间的百分比大约是99.7%99.7%，而零，而零件尺寸件尺寸X X在在16 mm16 mm24 mm24 mm间的百分比大约是间的百分比大约是95.4%.95.4%.零件尺寸在零件
9、尺寸在24 mm24 mm26 mm26 mm间的百分比大约是间的百分比大约是 因此尺寸在因此尺寸在24 mm24 mm26 mm26 mm间的大约有间的大约有5 0005 000 2.15%108(2.15%108(个个).).【典例典例】(12(12分分) )设设X XN(6N(6，1)1)，求，求P(4P(4X X5).5).【审题指导审题指导】求求P(4P(4X X5)5)可利用正态分布的性质结合可利用正态分布的性质结合33原则及对称性求解原则及对称性求解. .【规范解答规范解答】由已知由已知=6=6，=1=1，2 2分分P(5P(5X X7)=7)=P(-P(-X X+)=)=0.6
10、830.683， 4 4分分P(4P(4X X8)=P(-28)=P(-2X X+2)=+2)=0.9540.954， 6 6分分P(4P(4X X5)+P(75)+P(7X X8)=8)=P(4P(4X X8)-P(58)-P(5X X7)=7)=0.2710.271， 8 8分分如图：由正态曲线的对称性知如图：由正态曲线的对称性知P(4P(4X X5)=P(75)=P(7X X8)8)，1010分分P(4P(4X X5)= 5)= P(4P(4X X8)-P(58)-P(5X X7)7)= = 0.2710.271=0.135 5.=0.135 5.1212分分【误区警示误区警示】对解答本
11、题时易犯的错误具体分析如下：对解答本题时易犯的错误具体分析如下：1.1.在正态分布在正态分布(0,1)(0,1)中，数值落在中，数值落在(-2,2)(-2,2)内的概率为内的概率为( )( )(A)0.683 (B)0.954 (C)0.997 (D)0.317(A)0.683 (B)0.954 (C)0.997 (D)0.317【解析解析】选选B.B.=0,=1,=0,=1,数值落在数值落在(-2,+2),(-2,+2),即即(-2,2)(-2,2)内的概率为内的概率为0.954.0.954.2.2.设有一正态总体，设有一正态总体， 则这个正态总体的平则这个正态总体的平均数与标准差分别是均数
12、与标准差分别是( )( )(A)6(A)6与与8 (B)68 (B)6与与2 (C)82 (C)8与与6 (D)26 (D)2与与6 6【解析解析】选选B.B.由由 知知=6,2=6,22 2=8,=2.=8,=2.3.3.若随机变量若随机变量N(0,1),N(0,1),则则P(P(0)=_.0)=_.【解析解析】由由N(0,1)N(0,1)知正态曲线关于直线知正态曲线关于直线x=0x=0对称对称. .P(P(0)= .0)= .答案：答案：4.4.正态总体正态总体N(2,N(2,2 2) )在区间在区间(,3)(,3)内取值的概率为内取值的概率为_._.【解析解析】由题意知由题意知P(2-P
13、(2-X X2+)=0.683.2+)=0.683.答案：答案：0.6830.6835.5.已知随机变量已知随机变量X XN(2,4),N(2,4),试计算正态总体落在下列区间的试计算正态总体落在下列区间的值值. .(1)(2-2,2+2(1)(2-2,2+2(2)(2-2(2)(2-22,2+22,2+22 2(3)(-4,8(3)(-4,8【解析解析】XXN(2,4)N(2,4)，=2,=2=2,=2(1)P(2-2(1)P(2-2X2+2)=X2+2)=P(-P(-X+X+)=0.683.)=0.683.(2)P(2-2(2)P(2-22 2X2+2X2+22)=P(-22)=P(-2X+2)=0.954.X+2)=0.954.(3)P(-4(3)P(-4X8)=P(-3X8)=P(-3X+3)=0.997.X+3)=0.997.
