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1、第4讲导数的热点问题专题二函数与导数高考真题体验热点分类突破高考押题精练栏目索引高考真题体验(1)求a，b；解函数f(x)的定义域为(0，)，由题意可得f(1)2，f(1)e.故a1，b2.(2)证明：f(x)1.设函数g(x)xln x，则g(x)1ln x.则h(x)ex(1x)所以当x(0,1)时，h(x)0；当x(1，)时，h(x)0时，g(x)h(x)，即f(x)1.考情考向分析利用导数探求函数的极值、最值是函数的基本问题，高考中常与函数零点、方程根及不等式相结合，难度较大.热点一利用导数证明不等式热点分类突破用导数证明不等式是导数的应用之一，可以间接考查用导数判定函数的单调性或求函
2、数的最值，以及构造函数解题的能力例1已知函数f(x)ln xx3.(1)求函数f(x)的单调区间；解f(x)0得x(1，)；解f(x)0；证明f(x)ln xx3，所以f(1)2，由(1)知f(x)ln xx3在(1，)上单调递增，所以当x(1，)时，f(x)f(1)即f(x)2，所以f(x)20.证明由(1)可知，当x(1，)时，f(x)f(1)，即ln xx10，0ln xx1对一切x(1，)成立n2，nN*，则有0ln nn1，思维升华用导数证明不等式的方法(1)利用单调性：若f(x)在a，b上是增函数，则xa，b，则f(a)f(x)f(b)，对x1，x2a，b，且x1x2，则f(x1)
3、f(x2)对于减函数有类似结论(2)利用最值：若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m)，则对xD，则f(x)M(或f(x)m)(3)证明f(x)g(x)，可构造函数F(x)f(x)g(x)，证明F(x)1时，h(x)0，函数h(x)在(1，)上单调递增，故h(x)h(1)0.从而，当x1时，g(x)0，即函数g(x)在(1，)上单调递增，热点二利用导数讨论方程根的个数方程的根、函数的零点、函数图象与x轴的交点的横坐标是三个等价的概念，解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值，画出函数图象的走势，通过数形结合思想直观求解(1)求f(x)的单调区间、最大值(2)讨论关于x的方程|ln
4、x|f(x)根的个数所以g(x)在(1，)上单调递增因为e2x(1，e2)，e2x1x0，所以g(x)0，函数g(x)单调递增；在区间(e，)上，g(x)0，故V(r)在(0,5)上为增函数；由此可知，V(r)在r5处取得最大值，此时h8.即当r5，h8时，该蓄水池的体积最大思维升华利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)建模：分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x)(2)求导：求函数的导数f(x)，解方程f(x)0.(3)求最值：比较函数在区间端点和使f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值(4)作答：回归实际问题
5、作答解析设剪成的两块中是正三角形的那一块边长为x m，高考押题精练(1)讨论a1时，函数f(x)的单调性和极值；(3)是否存在正实数a，使f(x)的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由押题依据函数的单调性、极值、最值是导数的典型应用，不等式证明体现了转化与化归的思想，是高考的必考点当0x1时，f(x)0，此时f(x)单调递减；当10时，此时f(x)单调递增f(x)的极小值为f(1)1.(2)证明f(x)的极小值为1，f(x)在(0，e上的最小值为1，即f(x)min1.当0x0，g(x)在(0，e上单调递增(3)解假设存在正实数a，使f(x)axln x(x(0，e)有最小值3，所以，此时f(x)无最小值综上，存在实数ae2，使得当x(0，e时f(x)有最小值3.
