控制工程基础教程.课件

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1、控制工程基础控制工程基础 （第二章）（第二章） 清华大学清华大学第二章第二章 控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型2.1 2.1 基本环节数学模型基本环节数学模型2.22.2 数学模型的线性化数学模型的线性化2.32.3 拉氏变换及反变换拉氏变换及反变换2.42.4 传递函数以及典型环节的传递函数传递函数以及典型环节的传递函数2.52.5 系统函数方块图及其简化系统函数方块图及其简化2.62.6 系统信号流图及梅逊公式系统信号流图及梅逊公式2.72.7 受控机械对象数学模型受控机械对象数学模型2.82.8 绘制实际机电系统的函数方块图绘制实际机电系统的函数方块图2.92.9 状态空间方

2、程状态空间方程第二章第二章 控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型 建建立立控控制制系系统统的的数数学学模模型型，并并在在此此基基础础上上对对控控制制系系统统进进行行分分析析、综综合合，是是机机电电控控制制工工程程的的基基本本方方法法。如如果果将将物物理理系系统统在在信信号号传传递递过过程程中中的的动动态态特特性性用用数数学学表表达达式式描描述述出出来来，就得到了组成物理系统的数学模型。就得到了组成物理系统的数学模型。 经经典典控控制制理理论论采采用用的的数数学学模模型型主主要要以以传传递递函函数数为为基基础础。而而现现代代控控制制理理论论采采用用的的数数学学模模型型主主要要以以状状态态

3、空空间间方方程程为为基基础础。而而以以物物理理定定律律及及实实验验规规律律为为依依据据的的微微分分方方程程又又是是最最基基本本的的数数学学模模型型，是是列列写写传传递递函函数数和和状状态态空空间间方程的基础。方程的基础。本章要熟悉下列内容：本章要熟悉下列内容：1、建建立立基基本本环环节节（质质量量-弹弹簧簧-阻阻尼尼系系统统和和电电路网络）的数学模型及模型的线性化路网络）的数学模型及模型的线性化2、重要的分析工具：拉氏变换及反变换、重要的分析工具：拉氏变换及反变换3、经典控制理论的数学基础：传递函数、经典控制理论的数学基础：传递函数4、控制系统的图形表示：方块图及信号流图、控制系统的图形表示：

4、方块图及信号流图5、受控机械对象的数学模型、受控机械对象的数学模型6、绘制实际机电系统的函数方块图、绘制实际机电系统的函数方块图7、现代控制理论的数学基础：状态空间模型、现代控制理论的数学基础：状态空间模型2.1 基本环节数学模型基本环节数学模型 数学模型是描述物理系统的运动规律、特性数学模型是描述物理系统的运动规律、特性和输入输出关系的一个或一组方程式。和输入输出关系的一个或一组方程式。 系统的数学模型可分为静态和动态数学模型。系统的数学模型可分为静态和动态数学模型。 静态数学模型：静态数学模型：反映系统处于平衡点（稳态）反映系统处于平衡点（稳态）时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。

5、时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。即只考虑同一时刻实际系统各物理量之间的数学即只考虑同一时刻实际系统各物理量之间的数学关系，不管各变量随时间的演化，输出信号与过关系，不管各变量随时间的演化，输出信号与过去的工作状态（历史）无关。因此静态模型都是去的工作状态（历史）无关。因此静态模型都是代数式代数式，数学表达式中不含有时间变量。，数学表达式中不含有时间变量。 动态数学模型：动态数学模型：描述动态系统瞬态与过渡描述动态系统瞬态与过渡态特性的模型。也可定义为描述实际系统各物态特性的模型。也可定义为描述实际系统各物理量随时间演化的数学表达式。动态系统的输理量随时间演化的数学表达式。动态系统的

6、输出信号不仅取决于同时刻的激励信号，而且与出信号不仅取决于同时刻的激励信号，而且与它过去的工作状态有关。微分方程或差分方程它过去的工作状态有关。微分方程或差分方程常用作动态数学模型。常用作动态数学模型。 对于给定的动态系统，数学模型不是唯一对于给定的动态系统，数学模型不是唯一的。的。工程上常用的数学模型包括：微分方程，工程上常用的数学模型包括：微分方程，传递函数和状态方程。对于线性系统，它们之传递函数和状态方程。对于线性系统，它们之间是等价的。针对具体问题，选择不同的数学间是等价的。针对具体问题，选择不同的数学模型。模型。 建立数学模型是控制系统分析与设计中最建立数学模型是控制系统分析与设计中

7、最重要的工作！重要的工作！2.1.1 质量质量- -弹簧弹簧- -阻尼系统阻尼系统 机电控制系统的受控对象是机械系统。机电控制系统的受控对象是机械系统。在机械系统中，有些构件具有较大的惯性和在机械系统中，有些构件具有较大的惯性和刚度，有些构件则惯性较小、柔度较大。在刚度，有些构件则惯性较小、柔度较大。在集中参数法中，我们将前一类构件的弹性忽集中参数法中，我们将前一类构件的弹性忽略将其视为质量块，而把后一类构件的惯性略将其视为质量块，而把后一类构件的惯性忽略而视为无质量的弹簧。这样受控对象的忽略而视为无质量的弹簧。这样受控对象的机械系统可抽象为质量机械系统可抽象为质量- -弹簧弹簧- -阻尼系统

8、。阻尼系统。见光盘课件（第二章第一节）见光盘课件（第二章第一节）有源电路网络2.2 数学模型的线性化数学模型的线性化线性模型：线性模型：满足满足叠加性与齐次性叠加性与齐次性，用来描述线性系统。，用来描述线性系统。 叠加性指当几个激励信号同时作用于系统时，总叠加性指当几个激励信号同时作用于系统时，总的输出响应等于每个激励单独作用所产生的响应之和。的输出响应等于每个激励单独作用所产生的响应之和。齐次性指当输入信号乘以某常数时，响应也倍乘相同齐次性指当输入信号乘以某常数时，响应也倍乘相同的常数。的常数。 即若即若 为线性系统，则为线性系统，则 非线性模型：非线性模型：不满足叠加性或齐次性，用非线性方

9、程不满足叠加性或齐次性，用非线性方程表示。表示。 用来描述非线性系统。用来描述非线性系统。 线性化方法：一般可在系统工作平衡线性化方法：一般可在系统工作平衡点附近，对非线性方程采用台劳级数展开点附近，对非线性方程采用台劳级数展开进行线性化，略去高阶项，保留一阶项，进行线性化，略去高阶项，保留一阶项，就可得到近似的线性模型。就可得到近似的线性模型。 由于反馈系统不允许出现大的偏差，由于反馈系统不允许出现大的偏差，因此，这种线性化方法对于闭环控制系统因此，这种线性化方法对于闭环控制系统具有实际意义。具有实际意义。阀控液压缸例阀控液压缸例线性化方法：线性化方法：假设变量相对于某一工作状态假设变量相对

10、于某一工作状态（平衡点）偏差很小。设系统的函数关系为（平衡点）偏差很小。设系统的函数关系为简写为简写为 。如果系统的工作平衡点为。如果系统的工作平衡点为 ，则方程可以在，则方程可以在 点附近台劳展开点附近台劳展开 如果如果 很小，可以忽略其高阶项，因很小，可以忽略其高阶项，因此上述方程可写成增量方程形式此上述方程可写成增量方程形式 其中，其中， ， ，2.3 拉氏变换及反变换拉氏变换及反变换Laplace（拉普拉斯）变换是描述、分析拉普拉斯）变换是描述、分析连续、线性、时不变系统的重要工具！连续、线性、时不变系统的重要工具！2.3.1 拉氏变换定义拉氏变换定义 定义定义 拉氏变换可理解为广义单

11、边傅立叶变拉氏变换可理解为广义单边傅立叶变换。傅氏变换建立了时域和频域间的联系，换。傅氏变换建立了时域和频域间的联系，而拉氏变换建立了时域和复频域间的联系。而拉氏变换建立了时域和复频域间的联系。 见光盘课件（第一章第二节）见光盘课件（第一章第二节）2.3.2简单函数的拉氏变换简单函数的拉氏变换正弦函数正弦函数sintsint 1 1（t t）和和余弦函数余弦函数costcost 1 1（t t）的拉氏变换的拉氏变换 的拉氏变换 证： 周期函数的象函数周期函数的象函数 设函数设函数x(t)x(t)是以是以T T为周期的周期函数，为周期的周期函数，即即x(t+T)=x(t)x(t+T)=x(t)，

12、则则证：证： 令令 则则 拉氏反变换公式为拉氏反变换公式为 简写为简写为在一般机电控制系统中，通常遇到如下形在一般机电控制系统中，通常遇到如下形式的有理分式式的有理分式 其中，使分母为零的其中，使分母为零的s s值称为极点，使分子值称为极点，使分子为零的为零的s s值称为零点。则有值称为零点。则有其中，其中，式中，式中， 是常值，是常值， 为极点处的留数，为极点处的留数，可由下式求得可由下式求得 将式（将式（2.192.19）拉氏反变换，可利用拉氏变换）拉氏反变换，可利用拉氏变换表得表得例例 试求试求 的拉氏反变换。的拉氏反变换。解：解：含共轭复数极点情况含共轭复数极点情况式中，式中， 是常值

13、，可由以下步骤求得是常值，可由以下步骤求得将上式两边乘将上式两边乘 , , 两边同两边同时令时令 （或同时令（或同时令 ），），得得 （2.212.21）分别令式（分别令式（2.212.21）两边实部、虚部对应相等，）两边实部、虚部对应相等，即可求得即可求得 。 可通过配方，化成正弦、余可通过配方，化成正弦、余弦象函数的形式，然后求其反变换。弦象函数的形式，然后求其反变换。例例 试求试求 的拉氏反变换。的拉氏反变换。解：解：将该式两边同乘将该式两边同乘 ，并令，并令 ，即即 解解 得得 又又故故 则则含共轭复根的情况，也可用第一种情况的方含共轭复根的情况，也可用第一种情况的方法。值得注意的是，

14、此时共轭复根相应两个法。值得注意的是，此时共轭复根相应两个分式的分子分式的分子 和和 是共轭复数，只要求出是共轭复数，只要求出其中一个值，另一个即可得到。其中一个值，另一个即可得到。例例 求求 的拉氏反变换。的拉氏反变换。解：解：则则则则含多重极点的情况含多重极点的情况 式中，式中，可由下式求得可由下式求得 利用拉氏变换解常系数线性微分方程利用拉氏变换解常系数线性微分方程 例例 解方程解方程 ，其中，其中， 解：解： 将方程两边取拉氏变换，得将方程两边取拉氏变换，得 将将 代入，并整理，代入，并整理，得得 所以所以 2.4 2.4 传递函数以及典型环节的传递函数传递函数以及典型环节的传递函数

15、传递函数是在拉氏变换的基础上，以系统本身传递函数是在拉氏变换的基础上，以系统本身的参数描述的线性定常系统输入量与输出量的关系的参数描述的线性定常系统输入量与输出量的关系式，它表达了系统内在的固有特性，而与输入量或式，它表达了系统内在的固有特性，而与输入量或驱动函数无关。它可以是无量纲的，也可以是有量驱动函数无关。它可以是无量纲的，也可以是有量纲的，视系统的输入、输出量而定，它包含着联系纲的，视系统的输入、输出量而定，它包含着联系输入量与输出量所需要的量纲。它不能表明系统的输入量与输出量所需要的量纲。它不能表明系统的物理特性和物理结构，许多物理性质不同的系统，物理特性和物理结构，许多物理性质不同

16、的系统，有着相同的传递函数，正如一些不同的物理现象可有着相同的传递函数，正如一些不同的物理现象可以用相同的微分方程描述一样。以用相同的微分方程描述一样。 见光盘课件（第二章第三节）见光盘课件（第二章第三节）表表2-2 2-2 等效弹性刚度说明等效弹性刚度说明表表2-2 2-2 复阻抗说明复阻抗说明 比例环节比例环节 （其中（其中k k为常数）为常数） 比例环节 （其中k为常数）一一阶阶惯惯性性环环节节 （其其中中T T为为时时间常数）间常数）一一阶阶惯惯性性环环节节 （其其中中T T为为时时间常数）间常数）积分环节积分环节 ( (其中其中k k为常数）为常数）二二阶阶振振荡荡环环节节 （其其中

17、中 0011）二二阶阶振振荡荡环环节节 （其其中中 0011） 见光盘课件（第二章第四、五节）见光盘课件（第二章第四、五节） 2.6 2.6 系统信号流图及梅逊公式系统信号流图及梅逊公式信号流图中的网络是由一些定向线段将一些节点连接起来组信号流图中的网络是由一些定向线段将一些节点连接起来组成的。其中，节点用来表示变量或信号，输入节点也称源点，成的。其中，节点用来表示变量或信号，输入节点也称源点，输出节点也称阱点，混合节点是指既有输入又有输出的节点；输出节点也称阱点，混合节点是指既有输入又有输出的节点；定向线段称为支路，其上的箭头表明信号的流向，各支路上定向线段称为支路，其上的箭头表明信号的流向

18、，各支路上还标明了增益，即支路上的传递函数；从输入节点到输出节还标明了增益，即支路上的传递函数；从输入节点到输出节点的通路上通过任何节点不多于一次的通路称为前向通路，点的通路上通过任何节点不多于一次的通路称为前向通路，起点与终点重合且与任何节点相交不多于一次的通路称为回起点与终点重合且与任何节点相交不多于一次的通路称为回路。路。从从输输入入变变量量到到输输出出变变量量的的系系统统传传递递函函数数可可由由梅逊公式求得。梅逊公式可表示为梅逊公式求得。梅逊公式可表示为 第第k k条前向通路的传递函数；条前向通路的传递函数； 第第k k条条前前向向通通路路特特征征式式的的余余因因子子，即即对对于于流流

19、图图的的特特征征式式,将将与与第第k k条条前前向向通通路路相相接接触触的的回回路路传传递递函函数数代代以以零零值值，余余下下的的即为即为 。例：例： 2.7 2.7 受控机械对象数学模型受控机械对象数学模型 一般整个机械传动系统的特性可以用若干相一般整个机械传动系统的特性可以用若干相互耦合的质量弹簧阻尼系统表示。其中每部分互耦合的质量弹簧阻尼系统表示。其中每部分的动力学特性可表示为如下传递函数的动力学特性可表示为如下传递函数 为了得到良好的闭环机电系统性能，对为了得到良好的闭环机电系统性能，对于受控机械对象，应注意以下方面于受控机械对象，应注意以下方面: : （1 1）高谐振频率）高谐振频率

20、 一般整个机械传动系统的特性可以用若一般整个机械传动系统的特性可以用若干相互耦合的质量弹簧阻尼系统表示。干相互耦合的质量弹簧阻尼系统表示。 为了满足机电系统的高动态特性，机械传动为了满足机电系统的高动态特性，机械传动的各个分系统的谐振频率均应远高于机电系的各个分系统的谐振频率均应远高于机电系统的设计截止频率。各机械传动分系统谐振统的设计截止频率。各机械传动分系统谐振频率最好相互错开。另外，对于可控硅驱动频率最好相互错开。另外，对于可控硅驱动装置，应注意机械传动系统谐振频率不能与装置，应注意机械传动系统谐振频率不能与控制装置的脉冲频率接近，否则将产生机械控制装置的脉冲频率接近，否则将产生机械噪声

21、并加速机械部件的磨损。噪声并加速机械部件的磨损。 （2 2）高刚度）高刚度 在闭环系统中，低刚度往往造成稳定性在闭环系统中，低刚度往往造成稳定性下降，与摩擦一起，造成反转误差，引起系下降，与摩擦一起，造成反转误差，引起系统在被控位置附近振荡。统在被控位置附近振荡。 在刚度的计算中，需要注意机械传动部在刚度的计算中，需要注意机械传动部件的串并联关系。对于串联部件（例如在同件的串并联关系。对于串联部件（例如在同一根轴上），总刚度一根轴上），总刚度k k为为 (2.36) (2.36)式中，式中， 各分部件刚度。各分部件刚度。对于并联部件（例如同一支承上有几个轴承）对于并联部件（例如同一支承上有几个

22、轴承），总刚度，总刚度k k为为 (2.37) (2.37)式中，式中， 各分部件刚度。各分部件刚度。 从低速轴上的刚度折算到高速轴上时，从低速轴上的刚度折算到高速轴上时，等效的刚度等效的刚度k k为为 (2.38) (2.38)式中，式中，i i 升速比。升速比。 （3 3）适当阻尼）适当阻尼 机械传动分系统的阻尼比为机械传动分系统的阻尼比为 (2.39) (2.39) 一般电机驱动装置从驱动电压到输出转速一般电机驱动装置从驱动电压到输出转速的数学模型是二阶振荡环节的数学模型是二阶振荡环节, ,存在所需要的机存在所需要的机械传动环节较合适的阻尼比。增加机械传动械传动环节较合适的阻尼比。增加机

23、械传动阻尼比往往引起摩擦力增加，进而产生摩擦阻尼比往往引起摩擦力增加，进而产生摩擦反转误差的不利影响。另一方面，为了衰减反转误差的不利影响。另一方面，为了衰减机械振动和颤振现象，又需要增加机械传动机械振动和颤振现象，又需要增加机械传动阻尼比。针对以上矛盾的要求，根据经验，阻尼比。针对以上矛盾的要求，根据经验，适当的机械传动阻尼比可选为适当的机械传动阻尼比可选为0.10.1 0.20.2。 （4 4）低转动惯量）低转动惯量 快速性是现代机电一体化系统的显著特快速性是现代机电一体化系统的显著特点。在驱动力矩一定的前提下，转动惯量越点。在驱动力矩一定的前提下，转动惯量越小，加速性能越好。小，加速性能

24、越好。 机械传动部件对于电动机等驱动装置是机械传动部件对于电动机等驱动装置是负载，通常将其折算成电动机转轴上的转动负载，通常将其折算成电动机转轴上的转动惯量来评价它对快速性的影响。惯量来评价它对快速性的影响。如图齿轮传动机构，主动轮由电动机驱动，如图齿轮传动机构，主动轮由电动机驱动，从动轮通过轴带动负载转动。假设电动机轴从动轮通过轴带动负载转动。假设电动机轴上的转矩为上的转矩为 ，转角为，转角为 ，转动惯量为，转动惯量为 ；从动轴上的负载转矩为；从动轴上的负载转矩为 ，转角为，转角为 ，转，转动惯量为动惯量为 ，阻尼系数为，阻尼系数为 ；主动轮和从动；主动轮和从动轮的齿数分别为轮的齿数分别为

25、和和 ，速比，速比 。 , 依题意，有依题意，有消去中间变量，可得消去中间变量，可得 (2.45) (2.45) （2.462.46）其中，方程（其中，方程（2.452.45）是折合到主动轴的关系）是折合到主动轴的关系式，方程（式，方程（2.462.46）是折合到从动轴的关系式。）是折合到从动轴的关系式。当当折折合合到到主主动动轴轴上上时时，从从动动轴轴上上的的转转动动惯惯量量和和阻阻尼尼系系数数都都要要除除以以传传动动比比的的平平方方，负负载载转转矩矩除除以以传传动动比比。因因此此，减减速速传传动动时时，相相当当于于电电动动机机带带的的负负载载变变小小了了，也也可可以以说说电电动动机机带带负

26、负载载的的力力矩矩增增大大了了。反反之之，当当折折合合到到从从动动轴轴上上时时，主主动动轴轴上上的的转转动动惯惯量量和和阻阻尼尼系系数数都都要要乘以传动比的平方，输入转矩乘以传动比。乘以传动比的平方，输入转矩乘以传动比。将将方方程程（2.452.45）和和（2.462.46）进进行行拉拉氏氏变变换换后后，可得可得当当从从动动轴轴弹弹性性刚刚度度为为时时，可可列列写写主主动动轴轴和和从从动轴的动力学方程为动轴的动力学方程为可可见见，当当折折合合到到主主动动轴轴上上时时，从从动动轴轴上上的的转转动动惯惯量量和和阻阻尼尼系系数数以以及及刚刚度度都都要要除除以以传传动动比比的的平平方方，负负载载转转矩

27、矩除除以以传传动动比比，从从动动轴轴的的转转角角则则乘乘以以传传动动比比。反反之之，当当折折合合到到从从动动轴轴上上时时，主主动动轴轴上上的的转转动动惯惯量量和和阻阻尼尼系系数数以以及及刚刚度度都都要要乘乘以以传传动动比比的的平平方方，输输入入转转矩矩乘乘以以传传动比，主动轴的转角则除以传动比。动比，主动轴的转角则除以传动比。联立求解代数方程组（联立求解代数方程组（2-512-51）和（）和（2-522-52），），可得可得 若若 ，变为刚性传动，前面推导的完，变为刚性传动，前面推导的完全刚性情况。全刚性情况。丝丝杠杠螺螺母母副副传传动动有有类类似似的的结结果果。如如下下图图，设设电电动动机机

28、驱驱动动转转矩矩为为 ，转转角角为为 ，电电动动机机转转子子与与丝丝杠杠一一起起的的转转动动惯惯量量为为 ；设设工工作作台台连连同同工工件件一一起起的的质质量量为为m m，位位移移为为x x，负负载载阻阻力力为为f f，工工作作台台与与导导轨轨之之间间的的粘粘性性阻阻尼尼系系数数为为D D，基本导程为基本导程为 。 mx D f m根据上图，可得根据上图，可得 （2.552.55） （2.562.56）式中，丝杠螺母副传动比定义为式中，丝杠螺母副传动比定义为若丝杠弹性刚度为，则有若丝杠弹性刚度为，则有上上述述结结果果可可以以推推广广到到更更加加复复杂杂的的机机械械传传动动系系统统。任任何何机机

29、械械传传动动系系统统，经经过过简简化化，都都可可以以得得到到类类似似上上述述方方程程所所描描写写的的动动态态数数学学模模型型。由由这这些些方方程程可可以以看看出出，若若阻阻尼尼系系数数D D比比较较小小，分分母母方方括括号号中中将将有有一一对对共共轭轭复复根根。不不考考虑虑负负载载力力（或或转转矩矩），由由输输入入转转矩矩到到主主动动轴轴转转角角的的传传递递函函数数，由由于于分分子子和和分分母母多多项项式式都都有有一一对对数数值值相相近近的的共共轭轭复复根根，可可以以作作为为一一对对偶偶极极子子相相消消，因因而而，可可以以近近似似为为二二阶阶系系统统；而而由由输输入入转转矩矩到到工工作作台台位

30、位移移的的传传递递函函数数，由由于于分分子子为为常常数数项项，因因而而是是一一个个四四阶阶系系统统，且且有有一一对共轭复根。对共轭复根。进给传动链例进给传动链例进给传动链例进给传动链例进给传动链例进给传动链例进给传动链例进给传动链例进给传动链例进给传动链例进给传动链例进给传动链例进给传动链例进给传动链例进给传动链例进给传动链例 状态空间方程状态空间方程 伴随计算机的发展，以状态空间理论为伴随计算机的发展，以状态空间理论为基础的现代控制理论的数学模型采用状态空基础的现代控制理论的数学模型采用状态空间方程，以时域分析为主，着眼于系统的状间方程，以时域分析为主，着眼于系统的状态及其内部联系，研究的机

31、电控制系统扩展态及其内部联系，研究的机电控制系统扩展为多输入为多输入- -多输出的时变系统。多输出的时变系统。 所谓状态方程是由系统状态变量构成的一所谓状态方程是由系统状态变量构成的一阶微分方程组阶微分方程组; ;状态变量是足以完全表征系统状态变量是足以完全表征系统运动状态的最小个数的一组变量。状态变量运动状态的最小个数的一组变量。状态变量相互独立但不唯一。相互独立但不唯一。状态空间方程可表示成状态空间方程可表示成 （状态方程）（状态方程） （2.632.63） （输出方程）（输出方程） (2.64) (2.64)式中，式中， n n维状态矢量；维状态矢量； nnnn维系统状态系数矩阵；维系统

32、状态系数矩阵； r r维维控控制制矢矢量量； nrnr维维系系统统控控制制系系数数矩矩阵阵； m m维维输输出出矢矢量量； mnmn维维输输出出状状态态系系数数矩矩阵阵； mrmr维维输输出出控控制制系系数数矩矩阵阵； 例例 如下图所示系统如下图所示系统, , 和和 分别为输入分别为输入和输出电压。和输出电压。 该系统可表示为如下微分方程组该系统可表示为如下微分方程组即即 也可表示为也可表示为 例：如下图所示系统，例：如下图所示系统， 为输入力，为输入力， 为为输出位移。输出位移。 该系统可表示为如下微分方程组该系统可表示为如下微分方程组 例：例：设设 , , , , 之间的位移为之间的位移为 , , 则则整理整理, ,得得 本章作业本章作业（p67-p75) 2-1, 2-2, 2-6(b), 2-8,2-9(b), 2-10(a), 2-11(c),2-12(b), 2-19选做选做: 2-3, 2-26(b)