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1、动能与动能定理动能与动能定理河北省景县中学张书州一、动能一、动能v1.定义定义v物体由于运动而具有的能量物体由于运动而具有的能量,叫动能叫动能.v动能的表达式动能的表达式:v2.对动能概念的理解和掌握对动能概念的理解和掌握v(1)动能是标量动能是标量.物体的动能除与其质量有关物体的动能除与其质量有关外外,再是和物体速度的大小有关再是和物体速度的大小有关.因此因此,根据根据某一物体动能的变化情况某一物体动能的变化情况,我们只能确定其我们只能确定其速度大小的变化情况速度大小的变化情况,而不能判断其运动方而不能判断其运动方向是否变化向是否变化.v(2)动能是状态量动能是状态量. 物体在某时刻的动能物
2、体在某时刻的动能,与其在该时刻的运动状态相对应与其在该时刻的运动状态相对应,它也只它也只能反映其在该时刻运动能量状态能反映其在该时刻运动能量状态.v(3)动能是相对的动能是相对的.选择不同的参考系选择不同的参考系,物物体运动速度的大小不同体运动速度的大小不同,所以其动能一般所以其动能一般也不相同也不相同.在中学阶段在中学阶段,我们常选地面为参我们常选地面为参考系来研究问题考系来研究问题.v3.动能的变化动能的变化.动能的变化对应一个过程动能的变化对应一个过程,在某过程中动能的变化量在某过程中动能的变化量(增量增量)是指末动是指末动能与初动能的差值能与初动能的差值.二、动能定理二、动能定理v1.
3、内容内容v合外力所做的功等于物体动能的变化合外力所做的功等于物体动能的变化.v其表达式其表达式:v2.动能定理的意义动能定理的意义v动能定理的意义就在于给定了改变物体动动能定理的意义就在于给定了改变物体动能的原因是合外力做功能的原因是合外力做功.v3.需要注意的几点需要注意的几点v(1)动能定理一般用于处理力和运动的综合问题动能定理一般用于处理力和运动的综合问题,无论是恒力问题、变力问题无论是恒力问题、变力问题,还是直线运动问题、还是直线运动问题、曲线运动问题曲线运动问题.v(2)合力功合力功,可以是几个力在同一段位移中的功可以是几个力在同一段位移中的功,也可以是一个力在几段位移中的功也可以是
4、一个力在几段位移中的功,还可以是几还可以是几个力在几段位移中的功个力在几段位移中的功.v合功的求解方法合功的求解方法:一种是先求出合外力，然一种是先求出合外力，然后求总功，表达式为后求总功，表达式为v另一种是总功等于各力在各段位移中做功的代数另一种是总功等于各力在各段位移中做功的代数和和,即即v4.解题思路解题思路v(1)选取研究对象选取研究对象.一般选取某一个物体或相对静一般选取某一个物体或相对静止的多个物体做研究对象止的多个物体做研究对象.v(2)确定研究过程确定研究过程.研究过程可以是物体运动中的研究过程可以是物体运动中的某一阶段某一阶段,也可以是由物体运动的多个阶段所组也可以是由物体运
5、动的多个阶段所组成的全过程成的全过程.v(3)在确定的研究过程内在确定的研究过程内,对研究对象进行力的分对研究对象进行力的分析和功的分析析和功的分析.在进行功的分析时在进行功的分析时,不但要分析哪不但要分析哪些力做功些力做功,还要分析其做功性质还要分析其做功性质.v(4)确定研究对象的初、末动能及动能的变化确定研究对象的初、末动能及动能的变化.这这里的初和末是相对所选取的研究过程来讲的里的初和末是相对所选取的研究过程来讲的.v(5)应用动能定理列出相应关系式应用动能定理列出相应关系式.v例题例题:如图所示如图所示,小滑块从斜面顶点小滑块从斜面顶点A由静由静止滑至水平部分止滑至水平部分C点而停止
6、点而停止.已知斜面高为已知斜面高为h,滑块运动的整个水平距离为滑块运动的整个水平距离为s,设转角设转角B处处无动能损失无动能损失,斜面和水平部分与小滑块的动斜面和水平部分与小滑块的动摩擦因数相同摩擦因数相同,求此动摩擦因数求此动摩擦因数. v解解:滑块从滑块从A点滑到点滑到C点点,只有重力和摩擦力做功只有重力和摩擦力做功,设滑块质量为设滑块质量为m,动摩擦动摩擦因数为因数为,斜面倾角为斜面倾角为,斜面底边长斜面底边长S1,水平部水平部分长分长S2,由动能定理得由动能定理得: 三、动能定理的应用三、动能定理的应用v1.恒力做功问题恒力做功问题v例例:两辆汽车在同一平直路面上行驶两辆汽车在同一平直
7、路面上行驶,它们它们的质量之比的质量之比m1:m2=1:2,速度之比速度之比v1:v2=2:1,两车急刹车后甲车滑行的最大距离为两车急刹车后甲车滑行的最大距离为s1,乙乙车滑行的最大距离为车滑行的最大距离为s2,设两车与路面间的设两车与路面间的动摩擦因数相等动摩擦因数相等,不计空气阻力不计空气阻力,则则v A.s1:s2=1:2B.s1:s2=1:1v C.s1:s2=2:1D.s1:s2=4:1(D)v例例:斜面倾角为斜面倾角为,长为长为L, AB段光滑段光滑,BC段粗糙段粗糙,AB =L/3, 质量为质量为m的木块从斜面顶端无初速下滑的木块从斜面顶端无初速下滑,到到达达C端时速度刚好为零端
8、时速度刚好为零.求物体和求物体和BC段间的动摩段间的动摩擦因数擦因数.BACL分析：以木块为对象，下滑全过程用动能定理：分析：以木块为对象，下滑全过程用动能定理：重力做的功为重力做的功为摩擦力做功为摩擦力做功为 支持力不做功支持力不做功,初、末动能均为零。初、末动能均为零。由动能定理由动能定理 mgLsin-2/3 mgLcos=0可解得可解得v2.变力做功问题变力做功问题v例例:质量为质量为500t的列车的列车,以恒定功率沿平直轨道行驶以恒定功率沿平直轨道行驶,在在3min内行驶内行驶1.45km速度由速度由18km/h增加到最大速增加到最大速度度54km/h,求机车的功率求机车的功率.(g
9、=10m/s2)v解析解析:由于整个过程中列车所受的牵引力不断变化，由于整个过程中列车所受的牵引力不断变化，因此加速度不是恒量，运动学中匀变速直线运动公因此加速度不是恒量，运动学中匀变速直线运动公式不能用，由动能定理得式不能用，由动能定理得v W牵牵+W阻阻=1/2mv2m-1/2mv2v其中其中W阻阻=-fs, W牵牵是一个变力的功，但因该变力的功是一个变力的功，但因该变力的功率恒定，故可用率恒定，故可用W=Pt计算计算,这样这样式变为式变为v Pt-fs=1/2mv2m-1/2mv2v又因达到最大速度时又因达到最大速度时F=f故故vm=P/fv 联立解得：联立解得：P=600kW.v3.直
10、线运动问题直线运动问题v例例:在某市区内在某市区内,一辆小汽车在平直的公路上以速度一辆小汽车在平直的公路上以速度vA向东向东匀速匀速行驶行驶,一位观光游客正由南向北从斑马线上横过马路一位观光游客正由南向北从斑马线上横过马路,汽车司机发现前方有危险汽车司机发现前方有危险(游客正在游客正在D处处).经经0.7s作出反应作出反应,紧急刹车紧急刹车,但仍将正步行至但仍将正步行至B处的游客撞伤处的游客撞伤,该汽车最终在该汽车最终在C处停下处停下,为了清晰了解事故现场为了清晰了解事故现场,现以图模拟之现以图模拟之:v为了判断汽车司机是否超速行驶，警方派一警车以法定最为了判断汽车司机是否超速行驶，警方派一警
11、车以法定最高速度高速度vm=14.0m/s行驶在同一马路的同一地段，在肇事汽行驶在同一马路的同一地段，在肇事汽车的起始制动点车的起始制动点A紧急刹车，经紧急刹车，经14.0m停下来，在事故现场停下来，在事故现场测得测得AB=17.5m、BC=14.0m、BD=2.6m问问v(1)该肇事汽车的初速该肇事汽车的初速度度vA是多大是多大?v(2)游客横过马路的速游客横过马路的速度大小度大小?(g取取10m/s2)v解析解析(1)以警车为研究对象以警车为研究对象,由动能定理由动能定理,得得v - mgs=1/2mv2-1/2mv20v将将v0=14.0m/s,s=14.0m,v=0,代入得代入得 g=
12、7.0m/s2v因为警车行驶条件与肇事汽车相同，所以肇事汽车的初因为警车行驶条件与肇事汽车相同，所以肇事汽车的初速度速度 vA= =21m/sv(2)肇事汽车在出事点肇事汽车在出事点B的速度的速度vvB= =14m/sv肇事汽车通过肇事汽车通过AB段的平均速度段的平均速度vV平均平均=（vA+vB）/2=（21+14）/2=17.5m/sv肇事汽车通过肇事汽车通过AB段的时间段的时间vt2=AB/v平均平均=（31.5-14.0）/17.5=1sv游客横过马路的速度游客横过马路的速度vv人人=BD/（t1+t2）=2.6/（1+0.7）m/s=1.53m/sv4.曲线运动问题曲线运动问题v例例
13、:质量为质量为m的飞机以水平速度的飞机以水平速度v0飞离跑道飞离跑道后逐渐上升后逐渐上升,若飞机在此过程中水平速度保若飞机在此过程中水平速度保持不变持不变,同时受到重力和竖直向上的恒力升同时受到重力和竖直向上的恒力升力力(该升力由其它力的合力提供该升力由其它力的合力提供,不含重力不含重力).今测得当飞机在水平方向的位移为今测得当飞机在水平方向的位移为l时时,它的上升高度为它的上升高度为h.求求:(1)飞机受到的升力飞机受到的升力大小大小;(2)从起飞到上升至从起飞到上升至h高度的过程中高度的过程中升力所做的功及在高度升力所做的功及在高度h处处 飞机的动能飞机的动能. v(2)升力做升力做功功
14、v由牛顿第二定律求得升力由牛顿第二定律求得升力v消去消去t即得即得vy方向加速度恒定方向加速度恒定v(1)飞机水平速度不变飞机水平速度不变l v0tv重力做功重力做功:-mgh v由动能定理得由动能定理得 v例例:如下图所示如下图所示,一个质量为一个质量为m的小球从的小球从A点由静止开始滑到点由静止开始滑到B点点,并从并从B点抛出点抛出,若在若在从从A到到B的过程中的过程中,机械能损失为机械能损失为E,小球自小球自B点抛出的水平分速度为点抛出的水平分速度为v,则小球抛出后到则小球抛出后到达最高点时与达最高点时与A点的竖直距离是点的竖直距离是 。ABv解解: 小球自小球自B点抛出后做斜上抛运动点
15、抛出后做斜上抛运动,水平水平方向做匀速直线运动方向做匀速直线运动,到最高点到最高点C的速度仍的速度仍为为v ,设设AC的高度差为的高度差为h由动能定理由动能定理, AB Cmgh E=mv2/2h=v2/2g+E/mgvChv例例:如图示如图示,光滑水平桌面上开一个小孔光滑水平桌面上开一个小孔,穿一根穿一根细绳细绳,绳一端系一个小球绳一端系一个小球,另一端用力另一端用力F 向下拉向下拉,维持小球在水平面上做半径为维持小球在水平面上做半径为r 的匀速圆周运动的匀速圆周运动.现缓缓地增大拉力现缓缓地增大拉力,使圆周半径逐渐减小使圆周半径逐渐减小.当拉力当拉力变为变为8F 时时,小球运动半径变为小球
16、运动半径变为r/2,则在此过程中则在此过程中拉力对小球所做的功是：拉力对小球所做的功是：vA0 B7Fr/2vC4Fr D3Fr/2解：解：v5.多过程问题多过程问题v例例:总质量为总质量为M的列车沿水平直线轨道匀速的列车沿水平直线轨道匀速前进前进,其末节车厢质量为其末节车厢质量为m,中途脱节中途脱节,司机司机发觉时发觉时,机车已行驶了机车已行驶了L的距离的距离,于是立即于是立即关闭油门关闭油门,除去牵引力除去牵引力.设阻力与质量成正设阻力与质量成正比比,机车的牵引力是恒定的机车的牵引力是恒定的,当列车的两部当列车的两部分都停止时分都停止时,它们的距离是多少它们的距离是多少?解解:对机车应用动
17、能定理便可解得对机车应用动能定理便可解得: FL- (M-m)gs1=-1/2(M-m)v02对末节车厢，根据动能定理有对末节车厢，根据动能定理有 - mgs2 =-1/2mv02 而而s=s1-s2.由于原来列车匀速运动，所以由于原来列车匀速运动，所以F= Mg. 以上方程联立解得以上方程联立解得s=ML/(M-m)v首先画图示意首先画图示意.脱脱节节发发现现停停止止L关闭关闭油门油门S2S1v例例:如图所示如图所示,A、B是位于水平桌面上的两质量是位于水平桌面上的两质量相等的木块相等的木块,离墙壁的距离分别为离墙壁的距离分别为l1 和和l2 ,与桌面与桌面之间的滑动摩擦系数分别为之间的滑动
18、摩擦系数分别为 A和和 B,今给今给A以某以某一初速度一初速度,使之从桌面的右端向左运动使之从桌面的右端向左运动,假定假定A、B之间之间,B与墙间的碰撞时间都很短与墙间的碰撞时间都很短,且碰撞中总且碰撞中总动能无损失动能无损失,若要使木块若要使木块A最后不从桌面上掉下最后不从桌面上掉下来来,则则A的初速度最大不能超过的初速度最大不能超过 v .l1ABl2v6.物体往复运动的问题物体往复运动的问题v例例:如图所示如图所示,斜面倾角为斜面倾角为,质量为质量为m的滑块在距板的滑块在距板P为为s0处以初速度处以初速度v0沿斜面沿斜面上滑上滑,滑块与斜面间的动摩滑块与斜面间的动摩擦因数为擦因数为,滑块
19、所受摩擦力滑块所受摩擦力小于使滑块沿斜面下滑的小于使滑块沿斜面下滑的力力,若滑块每次与挡板相碰若滑块每次与挡板相碰均无机械能损失均无机械能损失,求滑块经求滑块经过的路程有多大过的路程有多大?v解解:由于滑块重力沿斜面向下的分力大于滑块所由于滑块重力沿斜面向下的分力大于滑块所受摩擦力，所以可断定滑块最终将停靠在挡板处受摩擦力，所以可断定滑块最终将停靠在挡板处.v从以从以v0向上滑动至最终停下向上滑动至最终停下,设滑块经过的路程设滑块经过的路程为为s，此过程中重力对滑块做功，此过程中重力对滑块做功WG=mgs0sin v摩擦力做功摩擦力做功Wf=- mgscos v对滑块由动能定理对滑块由动能定理
20、,有有vmgs0sin - mgscos =0-1/2mv20v解得解得s=(gs0sin +1/2v20)/ gscos v例例:如图所示如图所示,AB与与CD为两个对称斜面为两个对称斜面,其上部都其上部都足够长足够长,下部分分别与一个光滑的圆弧面的两端下部分分别与一个光滑的圆弧面的两端相切相切,圆弧圆心角为圆弧圆心角为1200,半径半径R=2.0m,一个物体一个物体在离弧底在离弧底E高度为高度为h=3.0m处处,以初速度以初速度V0=4m/s沿斜面运动沿斜面运动,若物体与两斜面的动摩擦因数均为若物体与两斜面的动摩擦因数均为=0.02,则则v(1)物体对圆弧底端的压力何时最大物体对圆弧底端的
21、压力何时最大?何时最小何时最小?v(2)物体在两斜面上物体在两斜面上(不包括圆弧部分不包括圆弧部分)一共能走一共能走多少路程？多少路程？(g=10m/s2). ABCDDOREhv解解:由于滑块在斜面上受到摩擦阻力作用由于滑块在斜面上受到摩擦阻力作用,所以物所以物体的机械能将逐渐减少体的机械能将逐渐减少,最后物体在最后物体在BEC圆弧上圆弧上作永不停息的往复运动作永不停息的往复运动. v(1)物体第一次通过物体第一次通过E点时点时,对圆弧底端的压力最对圆弧底端的压力最大大.最后物体在圆弧内往复运动时最后物体在圆弧内往复运动时,通过通过E点对圆点对圆弧底端压力最小弧底端压力最小.v(2)取物体在
22、圆弧内往复运动之前阶段全程分析取物体在圆弧内往复运动之前阶段全程分析.重力所做的功为重力所做的功为WG=mg(h-R/2),摩擦力所做的功摩擦力所做的功为为Wf=-mgscos600,v由动能定理得由动能定理得:vmg(h-R/2) -mgscos600=0-v s=280m v例例:如图所示如图所示,质量质量m=0.5kg的小球从距地面高的小球从距地面高H=5m处自由下落处自由下落,到达地面恰能沿凹陷于地面到达地面恰能沿凹陷于地面的半圆形槽壁运动的半圆形槽壁运动,半圆槽半径半圆槽半径R=0.4m.小球到小球到达槽最低点时速率为达槽最低点时速率为10m/s,并继续沿槽壁运动直并继续沿槽壁运动直
23、到从槽右端边缘飞出到从槽右端边缘飞出,如此反复几次如此反复几次,设摩擦设摩擦力恒定不变力恒定不变,求求:(设小球与槽壁相碰时不损失能设小球与槽壁相碰时不损失能量量)v(1)小球第一次离槽上升的高度小球第一次离槽上升的高度h；v(2)小球最多能飞出槽外的次数小球最多能飞出槽外的次数(取取g=10m/s2)。v解析解析:(1)小球从高处至槽口时小球从高处至槽口时,由于只有重力做由于只有重力做功功;由槽口至槽底端重力、摩擦力都做功由槽口至槽底端重力、摩擦力都做功.由于对由于对称性称性,圆槽右半部分摩擦力的功与左半部分摩擦圆槽右半部分摩擦力的功与左半部分摩擦力的功相等力的功相等.v小球落至槽底部的整个
24、过程中小球落至槽底部的整个过程中,由动能定理得由动能定理得解得解得 v由对称性知小球从槽底到槽左端口摩擦力的功也由对称性知小球从槽底到槽左端口摩擦力的功也为为2J，则小球第一次离槽上升的高度，则小球第一次离槽上升的高度h，由，由得得:4.2m v(2)设小球飞出槽外设小球飞出槽外n次次,则由动能定理得则由动能定理得 v即小球最多能飞出槽外即小球最多能飞出槽外6次。次。 v7.物体间相互作用问题物体间相互作用问题v例例:如图所示如图所示,在光滑的水平面上有一平板在光滑的水平面上有一平板M正以正以速度速度v向右运动向右运动,现将一质量为现将一质量为m的木块无初速度的木块无初速度地放在小车上地放在小
25、车上,由于木块和小车之间的摩擦力的由于木块和小车之间的摩擦力的作用作用,小车的速度将发生变化小车的速度将发生变化,为使小车保持原来为使小车保持原来的运动速度不变的运动速度不变,必须及时对小车施加一向右的必须及时对小车施加一向右的水平恒力水平恒力F.当当F作用一段时间后把它撤去时作用一段时间后把它撤去时,木块木块恰能随小车一起以速度恰能随小车一起以速度v共同向右运动共同向右运动.设木块设木块和小车间的动摩擦因数为和小车间的动摩擦因数为,求在上述过程中求在上述过程中,水水平恒力平恒力F对小车做多少功对小车做多少功?v解析解析:本题中的本题中的m和和M是通过摩擦相互联系的是通过摩擦相互联系的,题题中已经给出最后两者速速度均为中已经给出最后两者速速度均为v，解题的关键，解题的关键是要找出是要找出s车车和和s木木的关系的关系.v由于由于s车车=vt,s木木=v平均平均t=(v/2)t,v所以所以s车车/s木木=2/1v根据动能定理根据动能定理,对于木块有对于木块有v mgs木木=1/2mv2-0v对于车有对于车有v WF- mgs车车=Mv2/2-Mv2/2=0v将将式、式、式和式和式联系起来式联系起来.可得可得vW=mv2
