《带电粒子在有界磁场中极值问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《带电粒子在有界磁场中极值问题（38页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、极值问题1.1.容容易易混混淆淆点点是是：有有界界磁磁场场的的圆圆形形区区域域与与粒粒子子运运动动径径迹迹的的圆圆弧弧注注意意区区别别轨轨迹迹半半径径R与与磁场圆半径磁场圆半径r。 2.2.理解关键词：理解关键词：以题中以题中“恰好恰好”“最大最大”“最高最高”“至少至少”等词语为突破口，借助等词语为突破口，借助半径半径R和速度和速度v(或磁场或磁场B)之间的约束关系进行之间的约束关系进行动态运动轨迹分析，确定轨迹圆和边界的关动态运动轨迹分析，确定轨迹圆和边界的关系，找出临界点，利用数学方法求解极值等系，找出临界点，利用数学方法求解极值等 3 3常用结论如下常用结论如下： (1)刚好穿出磁场边
2、界的条件是带电粒子在磁场刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与磁场边界相切中运动的轨迹与磁场边界相切(2)当速率当速率v一定时，弧长一定时，弧长(或弦长或弦长)越长，圆心角越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长长(3)当速率当速率v变化时，圆周角大的，对应的运动变化时，圆周角大的，对应的运动时间也越长时间也越长(4)从同一直线边界射入又从从同一边界射出的从同一直线边界射入又从从同一边界射出的粒子，速度与边界的夹角相等；圆形磁场区域粒子，速度与边界的夹角相等；圆形磁场区域沿径向射入的粒子必沿径向射出。沿径向射入的粒子必沿径向射
3、出。一、一、平移法平移法带电粒子以大小带电粒子以大小不变的不变的速度速度v0沿沿任意方向垂直任意方向垂直射入匀强射入匀强磁场时，将在磁场中做匀速圆周运动，磁场时，将在磁场中做匀速圆周运动，圆周运动半径为圆周运动半径为Rmv0/(qB)，其轨迹半径相同，其轨迹半径相同因此可以得到一种确定临界因此可以得到一种确定临界条件或极值的方法：可以将条件或极值的方法：可以将半径为半径为Rmv0/(qB)的的轨迹轨迹圆平移圆平移，从而探索出临界条从而探索出临界条件件或极值或极值，这种方法称为这种方法称为“平移法平移法”4.4.临界极值问题的思维方法及规律临界极值问题的思维方法及规律量变积累到一定程度发生质变，
4、出现临界状态量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态提示：准备圆规或提示：准备圆规或一元硬币等、动手一元硬币等、动手画轨迹图找临界、画轨迹图找临界、极值等规律极值等规律二、缩放圆法二、缩放圆法带电粒子以带电粒子以任意速度任意速度沿沿特定方向特定方向射入匀强磁场射入匀强磁场时，在磁场中做匀速圆周运动，其轨迹半径随速度时，在磁场中做匀速圆周运动，其轨迹半径随速度的变化而变化，如图的变化而变化，如图( (图中只画出粒子带正电的情景图中只画出粒子带正电的情景) )，速度速度v0 0越大，运动半径也越大越大，运动半径也越大可以发现这样的可以发现这样的粒子源产生的粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆粒子源产生
5、的粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直速度方向的直线心在垂直速度方向的直线PPPP上上2.从同一直线边界射入又从从同一直线边界射入又从同一边界射出的粒子，速度同一边界射出的粒子，速度与边界的夹角相等，粒子在与边界的夹角相等，粒子在磁场中运动时间相同磁场中运动时间相同1.粒子的运动轨粒子的运动轨迹是内切圆，圆迹是内切圆，圆心在垂直速度的心在垂直速度的直线上直线上SBPSSQPQQ圆心在过入射点跟跟速圆心在过入射点跟跟速圆心在过入射点跟跟速圆心在过入射点跟跟速度方向垂直的直线上度方向垂直的直线上度方向垂直的直线上度方向垂直的直线上圆心在过入射点跟圆心在过入射点跟圆心在过入射点跟圆心在过入射点跟
6、边界垂直的直线上边界垂直的直线上边界垂直的直线上边界垂直的直线上圆心在磁场圆心在磁场圆心在磁场圆心在磁场原边界上原边界上原边界上原边界上量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态P刚好穿出刚好穿出或穿不出磁场或穿不出磁场边界的临界条件是带电边界的临界条件是带电粒子在磁场中运动的轨粒子在磁场中运动的轨迹与磁场边界相切迹与磁场边界相切圆形磁场圆形磁场圆形磁场圆形磁场临界点临界点临界点临界点临界点临界点变化变化1：在上题中若电子的电量：在上题中若电子的电量e，质量，质量m，磁感，磁感应强度应强度B及宽度及宽度d已知，若要求电子不从右边界已知，若要求电子不从右边界
7、穿出，则初速度穿出，则初速度v0满足什么条件？满足什么条件？Be v0d小结：小结：临界问题的分析方法临界问题的分析方法1、理解轨迹的变化（从小到大）、理解轨迹的变化（从小到大）2、找临界状态：、找临界状态：（切线、找圆心、求半径等）（切线、找圆心、求半径等）变化变化2：若初速度向下与边界成：若初速度向下与边界成 =60度角，则初速度满足什么条件？度角，则初速度满足什么条件？Bv0变化变化3：若初速度向上与边界成：若初速度向上与边界成 =60度角，则初速度满足什么条件？度角，则初速度满足什么条件？Bv轨迹圆轨迹圆轨迹圆轨迹圆心圆心圆三、旋转圆法三、旋转圆法在磁场中向垂直于磁场的各个方向发射速度
8、大在磁场中向垂直于磁场的各个方向发射速度大小小v0相同的带电粒子时，带电粒子的运动轨迹是围绕相同的带电粒子时，带电粒子的运动轨迹是围绕发射点旋转的半径相同的动态圆（如图），用这一发射点旋转的半径相同的动态圆（如图），用这一规律可快速确定粒子的运动轨迹。规律可快速确定粒子的运动轨迹。dmm-q-qA Av vO O R Rd du 对象模型：对象模型：质点质点质点质点u 过程模型：过程模型：匀速圆周运动匀速圆周运动匀速圆周运动匀速圆周运动u 规律：规律：牛顿第二定律牛顿第二定律牛顿第二定律牛顿第二定律 + + + + 圆周运动公式圆周运动公式圆周运动公式圆周运动公式u 条件：条件：要求时间最短要
9、求时间最短要求时间最短要求时间最短w w w w = = = = = = =v vs st t 速度速度速度速度 v v 不变，欲使穿过磁场时间最短，须使不变，欲使穿过磁场时间最短，须使不变，欲使穿过磁场时间最短，须使不变，欲使穿过磁场时间最短，须使 s s 有最有最有最有最小值，则要求小值，则要求小值，则要求小值，则要求弦最短弦最短弦最短弦最短。 例例例例 一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形状一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形状一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形状一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形状如图所示，磁场宽度为如图所示，磁场宽度为如图所示，磁场宽度为如图所示，磁场宽度为 d d。在垂直。在垂
10、直。在垂直。在垂直B B的平面内的平面内的平面内的平面内的的的的A A点，有一个电量为点，有一个电量为点，有一个电量为点，有一个电量为 q q、质量为质量为质量为质量为 mm、速度、速度、速度、速度为为为为 v v 的带电粒子进入磁场，请问其速度方向与的带电粒子进入磁场，请问其速度方向与的带电粒子进入磁场，请问其速度方向与的带电粒子进入磁场，请问其速度方向与磁场边界的夹角为多少时粒子磁场边界的夹角为多少时粒子磁场边界的夹角为多少时粒子磁场边界的夹角为多少时粒子穿过磁场的时间穿过磁场的时间穿过磁场的时间穿过磁场的时间最短最短最短最短？（已知？（已知？（已知？（已知 mv/Bqmv/Bq d d）
11、dmm-q-qA Av v O O中垂线中垂线中垂线中垂线 与边界的夹角为（与边界的夹角为（与边界的夹角为（与边界的夹角为（9090 ）BqmvdBqm2arcsinRvt= = = =2 2q qw w2 2q qmvdBqRd22/sin= = =q q例例例例 一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形状一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形状一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形状一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形状如图所示，磁场宽度为如图所示，磁场宽度为如图所示，磁场宽度为如图所示，磁场宽度为 d d。在垂直。在垂直。在垂直。在垂直B B的平面内的平面内的平面内的平面内的的的的A A点，有一个电量为点，有一
12、个电量为点，有一个电量为点，有一个电量为 q q、质量为质量为质量为质量为 mm、速度、速度、速度、速度为为为为 v v 的带电粒子进入磁场，请问其速度方向与的带电粒子进入磁场，请问其速度方向与的带电粒子进入磁场，请问其速度方向与的带电粒子进入磁场，请问其速度方向与磁场边界的夹角为多少时粒子磁场边界的夹角为多少时粒子磁场边界的夹角为多少时粒子磁场边界的夹角为多少时粒子穿过磁场的时间穿过磁场的时间穿过磁场的时间穿过磁场的时间最短最短最短最短？（已知？（已知？（已知？（已知 mv/Bqmv/Bq d d）例、例、如图，半径为如图，半径为 r r=3=310102 2m m的圆形区域内有一匀强磁场的
13、圆形区域内有一匀强磁场B B=0.2T=0.2T，一带正电粒子以速度，一带正电粒子以速度v v0 0=10=106 6m/sm/s的从的从a a点处射入磁场，点处射入磁场，该粒子荷质比为该粒子荷质比为q q/ /m m=10=108 8C/kgC/kg，不计重力。若要使粒子飞离，不计重力。若要使粒子飞离磁场时有最大的偏转角，其入磁场时有最大的偏转角，其入射时粒子的方向应如何（以射时粒子的方向应如何（以v v0 0与与aoao的夹角表示）？最大偏转的夹角表示）？最大偏转角多大？角多大？ R =mv/Bq=5102m rOaBv v0 0b R Rr r说明：说明：说明：说明：1. 1.本题中，由
14、于是两圆相交，两个交点的连线同本题中，由于是两圆相交，两个交点的连线同本题中，由于是两圆相交，两个交点的连线同本题中，由于是两圆相交，两个交点的连线同时是两个圆的弦。时是两个圆的弦。时是两个圆的弦。时是两个圆的弦。2. 2.轨道圆轨道圆轨道圆轨道圆半径确定时，弦线越长，通半径确定时，弦线越长，通过的弧越长，偏转角度也越大。过的弧越长，偏转角度也越大。R =mv/Bq=5102m r解析：解析：解析：解析：OaBv v0 0b R Rr r得得 = 37，sin = r/R最大偏转角为最大偏转角为 2 = 74。例、例、如图，半径为如图，半径为 r r=3=310102 2m m的圆形区域内有一
15、匀强磁场的圆形区域内有一匀强磁场B B=0.2T=0.2T，一带正电粒子以速度，一带正电粒子以速度v v0 0=10=106 6m/sm/s的从的从a a点处射入磁场，点处射入磁场，该粒子荷质比为该粒子荷质比为q q/ /m m=10=108 8C/kgC/kg，不计重力。若要使粒子飞离，不计重力。若要使粒子飞离磁场时有最大的偏转角，其入射时粒子的方向应如何（以磁场时有最大的偏转角，其入射时粒子的方向应如何（以v v0 0与与aoao的夹角表示）？的夹角表示）？ 最大偏转角多大？最大偏转角多大？ 变式：变式：变式：变式：如图所示，一带负电荷的质点，质量为如图所示，一带负电荷的质点，质量为如图所
16、示，一带负电荷的质点，质量为如图所示，一带负电荷的质点，质量为mm，带电量，带电量，带电量，带电量为为为为q q，从，从，从，从MM板附近由静止开始被电场加速，又从板附近由静止开始被电场加速，又从板附近由静止开始被电场加速，又从板附近由静止开始被电场加速，又从N N板的小板的小板的小板的小孔孔孔孔a a水平射出，垂直进入半径为水平射出，垂直进入半径为水平射出，垂直进入半径为水平射出，垂直进入半径为R R的圆形区域匀强磁场中，的圆形区域匀强磁场中，的圆形区域匀强磁场中，的圆形区域匀强磁场中，磁感应强度为磁感应强度为磁感应强度为磁感应强度为B B，入射速度方向与，入射速度方向与，入射速度方向与，入
17、射速度方向与OPOP成成成成4545角，要使质角，要使质角，要使质角，要使质点在磁场中飞过的距离最大，则两板间的电势差点在磁场中飞过的距离最大，则两板间的电势差点在磁场中飞过的距离最大，则两板间的电势差点在磁场中飞过的距离最大，则两板间的电势差U U为多为多为多为多少？少？少？少？例、例、例、例、如图如图如图如图，带电质点质量为带电质点质量为带电质点质量为带电质点质量为mm，电量为电量为电量为电量为q q，以平行于以平行于以平行于以平行于OxOx 轴轴轴轴的速度的速度的速度的速度v v 从从从从y y 轴上的轴上的轴上的轴上的a a 点射入图中第一象限所示的区域点射入图中第一象限所示的区域点射
18、入图中第一象限所示的区域点射入图中第一象限所示的区域。为了使该质点能从为了使该质点能从为了使该质点能从为了使该质点能从 x x 轴上的轴上的轴上的轴上的 b b 点以垂直于点以垂直于点以垂直于点以垂直于 OxOx 轴的速度轴的速度轴的速度轴的速度v v 射出射出射出射出，可在适当的地方加一个垂直于可在适当的地方加一个垂直于可在适当的地方加一个垂直于可在适当的地方加一个垂直于 xyxy平面、磁感应强平面、磁感应强平面、磁感应强平面、磁感应强度为度为度为度为 B B的匀强磁场的匀强磁场的匀强磁场的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆形区域内若此磁场仅分布在一个圆形区域内若此磁场仅分布在一个圆形区域内若
19、此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径试求这圆形磁场区域的最小半径试求这圆形磁场区域的最小半径试求这圆形磁场区域的最小半径。重力忽略不计重力忽略不计重力忽略不计重力忽略不计。yOaxbv02 2R RB BO Or rr rMMN N解解解解 ：质点在磁场中圆周运动半径为质点在磁场中圆周运动半径为r=mv/Bq。质点在磁场区域中的轨道是质点在磁场区域中的轨道是1/4 圆周，如图中圆周，如图中MM、N N两点间的圆弧两点间的圆弧两点间的圆弧两点间的圆弧。在通过在通过在通过在通过MM、N N两点的不同的圆中，最小两点的不同的圆中，最小两点的不同的圆中，最小两点的不同的圆中，最小
20、的一个是以的一个是以的一个是以的一个是以MNMN 连线为直径的圆周。连线为直径的圆周。连线为直径的圆周。连线为直径的圆周。圆形磁场区域的最小半径圆形磁场区域的最小半径圆形磁场区域的最小半径圆形磁场区域的最小半径qBqBmvmvMNMNR R2 22 21 1= = = = = = =例、例、如图，质量为如图，质量为m、带电量为、带电量为+q 的粒子以速度的粒子以速度v 从从O点沿点沿y 轴正方向射入磁感应强度为轴正方向射入磁感应强度为 B 的圆形匀强磁场区域，磁的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从 b 处穿过处穿过x轴，速度
21、方向与轴，速度方向与 x 轴正方向的夹角为轴正方向的夹角为30，同时进入场强，同时进入场强为为 E、方向沿与与、方向沿与与 x 轴负方向成轴负方向成60角斜向下的匀强电场角斜向下的匀强电场中，通过了中，通过了 b点正下方的点正下方的 C点。不计重力，试求：点。不计重力，试求： （1）圆形匀强磁场区域的最小面积；）圆形匀强磁场区域的最小面积； （2）C点到点到 b点的距离点的距离 h。v vyxEbO3060v vhAO2O1v vyxEbO3060v vhAO2O1解：解：解：解：( (1) 反向延长反向延长vb交交y 轴于轴于O2 点，作点，作bO2 O的角平分线的角平分线交交x 轴于轴于O
22、1 ， O1即为圆形轨道的圆心，半径为即为圆形轨道的圆心，半径为R = OO1 =mv/qB，画出圆形轨迹交，画出圆形轨迹交b O2于于A点，如图虚线所示。点，如图虚线所示。最小的圆形磁场区域是以最小的圆形磁场区域是以OA为直径的圆，如图示：为直径的圆，如图示：S Smin min = = r r2 23 3 m m2 2v v2 24 4q q2 2B B2 2= =OA OA = 2= 2r rqBqBmvmv3 3= =hsin 30=vth cos 30 =21qEm t2(2) b到到C 受电场力作用，做类平抛运动受电场力作用，做类平抛运动得得t=2mv/qEtan 30A平移法平移
23、法平移法平移法例例1.在真空中，半径为在真空中，半径为R=310-2m的圆形区域内，有一匀的圆形区域内，有一匀强磁场，磁场的磁感应强度为强磁场，磁场的磁感应强度为B=0.2T，方向如图所示，方向如图所示，一带正电粒子，以初速度一带正电粒子，以初速度v0=106m/s的速度从磁场边界上的速度从磁场边界上直径直径ab一端一端a点处射入磁场，已知该粒子荷质比为点处射入磁场，已知该粒子荷质比为q/m=108C/kg，不计粒子重力，则，不计粒子重力，则(1)粒子在磁场中匀速圆周粒子在磁场中匀速圆周运动的半径是多少？运动的半径是多少？(2)若要使粒子飞离磁场时有最大的若要使粒子飞离磁场时有最大的偏转角，其
24、入射时粒子的方向应如何（以偏转角，其入射时粒子的方向应如何（以v0与与Oa的夹角的夹角表示）？最大偏转角多大？表示）？最大偏转角多大？ 圆形磁场圆形磁场R： 轨迹轨迹半径半径rR,v大小不大小不变，则一个周期内变，则一个周期内弦长越长时间弦长越长时间t越长，越长，此时轨迹圆的最大此时轨迹圆的最大弦长弦长L=2RRr例例.在真空中，半径为在真空中，半径为r=110-1m的圆形区域内，有一匀强的圆形区域内，有一匀强磁场，磁场的磁感应强度为磁场，磁场的磁感应强度为B=0.2T，方向如图所示，一带，方向如图所示，一带正电粒子，以初速度正电粒子，以初速度v0=1.0106m/s从磁场边界上直径从磁场边界
25、上直径ab一一端端a点处沿各个方向射入磁场，已知该粒子荷质比为点处沿各个方向射入磁场，已知该粒子荷质比为q/m=108C/kg，不计粒子重力，则，不计粒子重力，则(1)粒子在磁场中匀速圆粒子在磁场中匀速圆周运动的半径是多少？周运动的半径是多少？(2)求粒子可能飞离圆形磁场区域求粒子可能飞离圆形磁场区域边界上的圆弧范围及弧长大小？边界上的圆弧范围及弧长大小？ 圆形磁场圆形磁场R： 轨迹轨迹半径半径rR,v大小不大小不变，则粒子可能一变，则粒子可能一直在磁场中运动，直在磁场中运动，因此问题通常是可因此问题通常是可以穿出的范围以穿出的范围拓展拓展1.如图边界如图边界OA与与OC之间分布有垂之间分布有
26、垂直纸面向里的匀强磁场，边界直纸面向里的匀强磁场，边界OA上有上有一粒子源一粒子源S.某一时刻，从某一时刻，从S平行于纸面平行于纸面向各个方向发射出大量带正电的同种向各个方向发射出大量带正电的同种粒子粒子(不计粒子的重力及粒子间的相互不计粒子的重力及粒子间的相互作用作用)，所有粒子的初速度大小相同，所有粒子的初速度大小相同，经过一段时间有大量粒子从边界经过一段时间有大量粒子从边界OC射射出磁场出磁场.已知已知AOC60，从边界，从边界OC射出的粒子在磁场中运动的最长时间射出的粒子在磁场中运动的最长时间等于等于T/2(T为粒子在磁场中运动的周期为粒子在磁场中运动的周期)，则从边界，则从边界OC射
27、出的粒子在磁场中运射出的粒子在磁场中运动的时间可能为（动的时间可能为（ ）o，A B C 小结小结：当速率当速率v一定时，一定时，弧长弧长(或弦长或弦长)越长，越长，圆心角越大，则带电圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运粒子在有界磁场中运动的时间越长动的时间越长【变变式式】如如图图所所示示，在在0xa、0y 范范围围内内有有垂垂直直于于xy平平面面向向外外的的匀匀强强磁磁场场，磁磁感感应应强强度度大大小小为为B.坐坐标标原原点点O处处有有一一个个粒粒子子源源，在在某某时时刻刻发发射射大大量量质质量量为为m、电电荷荷量量为为q的的带带正正电电粒粒子子，它它们们的的速速度度大大小小相相同同，速速度
28、度方方向向均均在在xy平平面面内内，与与y轴轴正正方方向向的的夹夹角角分分布布在在090范范围围内内已已知知粒粒子子在在磁磁场场中中做做圆圆周周运运动动的的半半径径介介于于 到到a之之间间，从从发发射射粒粒子子到到粒粒子子全全部部离离开开磁磁场场经经历历的的时时间间恰恰好好为为粒粒子子在在磁磁场场中中做做圆圆周周运运动动周周期期的的四四分分之之一一求求最最后后离离开开磁磁场场的粒子从粒子源射出时的的粒子从粒子源射出时的(1)(1)速度的大小；速度的大小；(2)(2)速度方向与速度方向与y轴正方向夹轴正方向夹角的正弦角的正弦同时进同时进入磁场入磁场最长时间最长时间t=T/4弦长最长弦长最长分析：
29、本题是粒子以一定速度沿任意方向射入磁场的问题，做分析：本题是粒子以一定速度沿任意方向射入磁场的问题，做出出轨迹圆心圆轨迹圆心圆轨迹圆心圆轨迹圆心圆（如虚圆），（如虚圆），（如虚圆），（如虚圆）， 再做动态圆，找临界状态。再做动态圆，找临界状态。再做动态圆，找临界状态。再做动态圆，找临界状态。最后最后离开磁场的粒子在磁场中的圆周运动的弦最长，经历的时间恰离开磁场的粒子在磁场中的圆周运动的弦最长，经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一则粒子速度方好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一则粒子速度方向改变向改变90900 0粒子也即粒子半径转过的最大圆心角为粒子也即粒子半径转过的最大圆
30、心角为90900 0在动态圆中在动态圆中与边界相切与边界相切的这种情况的这种情况弦最长，对弦最长，对应的圆心角应的圆心角为为90900 0，最后，最后射出磁场射出磁场【解解析析】(1)设设粒粒子子的的发发射射速速度度为为v，粒粒子子做做圆圆周周运运动动的的轨轨道道半半径径为为R，由由牛牛顿顿第第二二定定律律和和洛洛伦伦兹兹力力公公式式，得得qvB=m 由由式得式得R=当当a/2Ra时，在磁场中时，在磁场中运动时间最长的粒子，运动时间最长的粒子，其轨迹是圆心为其轨迹是圆心为C的圆的圆弧，圆弧与磁场的上边弧，圆弧与磁场的上边界相切，界相切，如如右右图图所所示示，设设该该粒粒子子在在磁磁场场运运动动
31、的的时时间间为为t，依依题题意意t=T/4，得，得OCA= 设设最最后后离离开开磁磁场场的的粒粒子子的的发发射射方方向向与与y y轴轴正正方方向向的的夹夹角角为为a，由几何关系可得，由几何关系可得Rsina=R- Rsina=a-Rcosa 又又sin2a+cos2a=1 由由式得式得R=(2- )a 由由式得式得v=(2- ) (2)(2)由由式得式得sina= 练习练习.如右图所示，垂直于纸面向如右图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形里的匀强磁场分布在正方形abcd区域区域内，内，O点是点是cd边的中点一个带正电边的中点一个带正电的粒子仅在磁场力的作用下，从的粒子仅在磁场力的作用下
32、，从O点点沿纸面以垂直于沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方边的速度射入正方形内，经过时间形内，经过时间t0刚好从刚好从c点射出磁场点射出磁场现设法使该带电粒子从现设法使该带电粒子从O点沿纸面点沿纸面以与以与Od成成30的方向，以大小不同的的方向，以大小不同的速率射入正方形内，那么下列说法中速率射入正方形内，那么下列说法中正确的是正确的是 ()A若该带电粒子从若该带电粒子从ab边射出，它经历的时间可能为边射出，它经历的时间可能为5t0/3B若该带电粒子从若该带电粒子从bc边射出，它经历的时间可能为边射出，它经历的时间可能为t0C若该带电粒子从若该带电粒子从cd边射出，它经历的时间为边射出，它经历
33、的时间为5t0/3D若该带电粒子从若该带电粒子从ad边射出，它经历的时间可能为边射出，它经历的时间可能为t0/3解析解析作出从作出从ab边射出的轨迹边射出的轨迹、刚好从刚好从bc边射出的轨迹边射出的轨迹、从、从cd边射出边射出的轨迹的轨迹和刚好从和刚好从ad边射出的轨迹边射出的轨迹.由由带正电的粒子从带正电的粒子从O点沿纸面以垂直于点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间边的速度射入正方形内，经过时间t0刚刚好从好从c点射出磁场可知，带电粒子在磁场点射出磁场可知，带电粒子在磁场中做圆周运动的周期是中做圆周运动的周期是2t0.答案 C例、例、例、例、如图，质量为如图，质量为如图，质量为
34、如图，质量为mm、电量为、电量为、电量为、电量为q q的正离子，从的正离子，从的正离子，从的正离子，从A A点正对圆心点正对圆心点正对圆心点正对圆心O O以以以以某一速度射入半径为某一速度射入半径为某一速度射入半径为某一速度射入半径为R R的绝缘圆筒中。圆筒内存在垂直纸的绝缘圆筒中。圆筒内存在垂直纸的绝缘圆筒中。圆筒内存在垂直纸的绝缘圆筒中。圆筒内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B B。要使带电粒。要使带电粒。要使带电粒。要使带电粒子与圆筒内壁碰撞多次后仍从子与圆筒内壁碰撞
35、多次后仍从子与圆筒内壁碰撞多次后仍从子与圆筒内壁碰撞多次后仍从A A点射出，问发生碰撞的最点射出，问发生碰撞的最点射出，问发生碰撞的最点射出，问发生碰撞的最少次数？并计算此过程中正离子在磁场中运动的时间少次数？并计算此过程中正离子在磁场中运动的时间少次数？并计算此过程中正离子在磁场中运动的时间少次数？并计算此过程中正离子在磁场中运动的时间t t ？设粒子与圆筒内壁碰撞时无能量和电量损失，不计粒子设粒子与圆筒内壁碰撞时无能量和电量损失，不计粒子设粒子与圆筒内壁碰撞时无能量和电量损失，不计粒子设粒子与圆筒内壁碰撞时无能量和电量损失，不计粒子的重力。的重力。的重力。的重力。t = t = m / B
36、qm / Bq2 2次次次次B BvOB BvOO O + + = = 例、例、例、例、如图，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场。如图，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场。左侧匀强电场的场强大小为左侧匀强电场的场强大小为E、方向水平向右，电场宽度、方向水平向右，电场宽度为为L；中间区域匀强磁场方向垂直纸面向外，右侧区域匀；中间区域匀强磁场方向垂直纸面向外，右侧区域匀强磁场方向垂直纸面向里，两个磁场区域的磁感应强度强磁场方向垂直纸面向里，两个磁场区域的磁感应强度大小均为大小均为B。一个质量为。一个质量为m、电量为、电量为q、不计重力的带正电、不计重力的带正电的粒子从电场的左边缘的的粒
37、子从电场的左边缘的O点由静止开始运动，穿过中间点由静止开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧磁磁场区域进入右侧磁 场区域后，又回到场区域后，又回到O点，然点，然 后重复上述运动过程。求：后重复上述运动过程。求： （1）中间磁场区域的宽度）中间磁场区域的宽度d； （2）带电粒子的运动周期。）带电粒子的运动周期。B B1 1E EO OB B2 2L Ld dO O1 1O O3 3O O2 2由以上两式，可得由以上两式，可得（2）在电场中运动时间）在电场中运动时间在中间磁场中运动时间在中间磁场中运动时间在右侧磁场中运动时间在右侧磁场中运动时间则粒子的运动周期为则粒子的运动周期为带电粒子在磁场中偏转，
38、由牛顿第二定律得：带电粒子在磁场中偏转，由牛顿第二定律得：解：（解：（1）如图所示，带电粒子在电场中加速，由动能定理得：）如图所示，带电粒子在电场中加速，由动能定理得：粒子在两磁场区运动半径相同，三段圆弧的圆心组成的三角形粒子在两磁场区运动半径相同，三段圆弧的圆心组成的三角形O1O2O3是等是等边三角形，其边长为边三角形，其边长为2R。所以中间磁场区域的宽度为：。所以中间磁场区域的宽度为： B B1 1E EO OB B2 2L Ld dO O1 1O O3 3O O2 2例、例、例、例、 如图，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上如图，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上如图，两
39、个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上如图，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝均匀分布着平行于轴线的四条狭缝均匀分布着平行于轴线的四条狭缝均匀分布着平行于轴线的四条狭缝a a、b b、c c和和和和d d，外筒的，外筒的，外筒的，外筒的半径为半径为半径为半径为r r0 0，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场向的均匀磁场向的均匀磁场向的均匀磁场B B。在两极间加上电压。一质量为。在两极间加上电压。一质量为。在两极间加上电压
40、。一质量为。在两极间加上电压。一质量为mm、带电、带电、带电、带电量为量为量为量为+ +q q的粒子初速为零，从紧靠内筒且正对狭缝的粒子初速为零，从紧靠内筒且正对狭缝的粒子初速为零，从紧靠内筒且正对狭缝的粒子初速为零，从紧靠内筒且正对狭缝a a的的的的S S点点点点出发，经过一段时间的运动之后恰好又回到点出发，经过一段时间的运动之后恰好又回到点出发，经过一段时间的运动之后恰好又回到点出发，经过一段时间的运动之后恰好又回到点S S，则两电，则两电，则两电，则两电极之间的电压极之间的电压极之间的电压极之间的电压U U应是多少？应是多少？应是多少？应是多少？（不计重力，整个装置在真空中）（不计重力，
41、整个装置在真空中）（不计重力，整个装置在真空中）（不计重力，整个装置在真空中） OabcdqS解析解析解析解析 ：qUmv212=qBvRvm2=2mBqrU220=半径半径 R = r06 6如图所示，一个质量为如图所示，一个质量为如图所示，一个质量为如图所示，一个质量为mm、电量为、电量为、电量为、电量为q q的正离子，在小的正离子，在小的正离子，在小的正离子，在小孔孔孔孔S S处正对着圆心处正对着圆心处正对着圆心处正对着圆心OO以速度以速度以速度以速度v v射入半径为射入半径为射入半径为射入半径为R R的绝缘圆筒中。的绝缘圆筒中。的绝缘圆筒中。的绝缘圆筒中。圆筒内存在垂直纸面向里的匀强磁
42、场，磁感应强度的大圆筒内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大圆筒内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大圆筒内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为小为小为小为B B。要使带电粒子与圆筒内壁碰撞多次后仍从。要使带电粒子与圆筒内壁碰撞多次后仍从。要使带电粒子与圆筒内壁碰撞多次后仍从。要使带电粒子与圆筒内壁碰撞多次后仍从A A点点点点射出，求正离子在磁场中运动的时间射出，求正离子在磁场中运动的时间射出，求正离子在磁场中运动的时间射出，求正离子在磁场中运动的时间t. t.设粒子与圆筒内设粒子与圆筒内设粒子与圆筒内设粒子与圆筒内壁碰撞时无能量和电量损失，不计粒子的重力。壁碰撞时无能量
43、和电量损失，不计粒子的重力。壁碰撞时无能量和电量损失，不计粒子的重力。壁碰撞时无能量和电量损失，不计粒子的重力。 OBRS解解解解: : : :粒子经过与圆筒发生粒子经过与圆筒发生粒子经过与圆筒发生粒子经过与圆筒发生n n n n（n=2,3,4n=2,3,4n=2,3,4n=2,3,4）次与圆筒碰撞从原孔射）次与圆筒碰撞从原孔射）次与圆筒碰撞从原孔射）次与圆筒碰撞从原孔射出，其在圆筒磁场中运动的轨迹为出，其在圆筒磁场中运动的轨迹为出，其在圆筒磁场中运动的轨迹为出，其在圆筒磁场中运动的轨迹为n+1n+1n+1n+1段段段段对称分布的圆弧，对称分布的圆弧，对称分布的圆弧，对称分布的圆弧，每段圆弧
44、的圆心角为每段圆弧的圆心角为每段圆弧的圆心角为每段圆弧的圆心角为正离子在磁场中运动的时间正离子在磁场中运动的时间正离子在磁场中运动的时间正离子在磁场中运动的时间OrrOBRS7 7如图所示，在半径为如图所示，在半径为如图所示，在半径为如图所示，在半径为R R的圆筒内有匀强磁场，质量的圆筒内有匀强磁场，质量的圆筒内有匀强磁场，质量的圆筒内有匀强磁场，质量为为为为mm、带电量为、带电量为、带电量为、带电量为q q的正离子在小孔的正离子在小孔的正离子在小孔的正离子在小孔S S处，以速度处，以速度处，以速度处，以速度v v0 0向着向着向着向着圆心射入，施加的磁感应强度为多大，此粒子才能在圆心射入，施
45、加的磁感应强度为多大，此粒子才能在圆心射入，施加的磁感应强度为多大，此粒子才能在圆心射入，施加的磁感应强度为多大，此粒子才能在最短的时间内从原孔射出？（设相碰时电量和动能均最短的时间内从原孔射出？（设相碰时电量和动能均最短的时间内从原孔射出？（设相碰时电量和动能均最短的时间内从原孔射出？（设相碰时电量和动能均无损失）无损失）无损失）无损失）OrrOBRS解解解解: : : :粒子经过粒子经过粒子经过粒子经过n=2,3,4n=2,3,4n=2,3,4n=2,3,4次与圆次与圆次与圆次与圆筒碰撞从原孔射出，其运动轨迹筒碰撞从原孔射出，其运动轨迹筒碰撞从原孔射出，其运动轨迹筒碰撞从原孔射出，其运动轨
46、迹具有对称性当发生最少碰撞次具有对称性当发生最少碰撞次具有对称性当发生最少碰撞次具有对称性当发生最少碰撞次数数数数n=2n=2n=2n=2时时时时OBRSOrr当发生碰撞次数当发生碰撞次数当发生碰撞次数当发生碰撞次数n=3n=3n=3n=3时时时时可见发生碰撞次数越多，所用时间越长，故当可见发生碰撞次数越多，所用时间越长，故当可见发生碰撞次数越多，所用时间越长，故当可见发生碰撞次数越多，所用时间越长，故当n=2n=2n=2n=2时所用时所用时所用时所用时间最短时间最短时间最短时间最短OrrOBRS思考：求碰撞次数思考：求碰撞次数思考：求碰撞次数思考：求碰撞次数n=2n=2n=2n=2时粒子在磁
47、场中运动的时间时粒子在磁场中运动的时间时粒子在磁场中运动的时间时粒子在磁场中运动的时间8.8.一带电质点，质量为一带电质点，质量为一带电质点，质量为一带电质点，质量为mm，电量为，电量为，电量为，电量为q q，重力忽略不计，重力忽略不计，重力忽略不计，重力忽略不计，以平行于以平行于以平行于以平行于oxox轴的速度轴的速度轴的速度轴的速度v v从从从从y y轴上的轴上的轴上的轴上的a a点射入如图中第一点射入如图中第一点射入如图中第一点射入如图中第一象限所示的区域。为了使该质点能从象限所示的区域。为了使该质点能从象限所示的区域。为了使该质点能从象限所示的区域。为了使该质点能从x x轴上的轴上的轴上的轴上的b b点以垂直点以垂直点以垂直点以垂直于于于于oxox的速度射出，可在适当的地方加一垂直于的速度射出，可在适当的地方加一垂直于的速度射出，可在适当的地方加一垂直于的速度射出，可在适当的地方加一垂直于xyxy平面、平面、平面、平面、磁感应强度为磁感应强度为磁感应强度为磁感应强度为B B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆形区域内，求这圆形磁场区域的最小半径形区域内，求这圆形磁场区域的最小半径形区域内，求这圆形磁场区域的最小半径形区域内，求这圆形磁场区域的最小半径. .abxyOO
