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1、10.2.1 平面简谐波的波动方程平面简谐波的波动方程10.2 平面简谐波平面简谐波10.2.2 波的能量波的能量10.2.3 例题分析例题分析10.2.1 平面简谐波的波动方程平面简谐波的波动方程平面简谐波平面简谐波: : 波阵面是平面，且波所到之处，媒质波阵面是平面，且波所到之处，媒质中各质元均作同频率、同振幅的简谐振动，中各质元均作同频率、同振幅的简谐振动，这样的波叫这样的波叫平面简谐波平面简谐波平面简谐波平面简谐波. . . .1. 波动方程的推导波动方程的推导 设设设设一平面简谐波波速为一平面简谐波波速为u，沿沿x 轴正方轴正方向传播向传播, ,起始时刻，原点起始时刻，原点o 处质元
2、的振动方处质元的振动方程为程为 振动状态从振动状态从o 点传播到点传播到P 点所用时间为点所用时间为x/ /u , 即即P 点在时刻点在时刻t 的状态应等于的状态应等于o o 点在点在t - -( (x/ /u) )时刻的状态时刻的状态. . 所以所以P 点处质元的振点处质元的振动方程为动方程为综合以上两种情况综合以上两种情况, 平面简谐波的波动方程为平面简谐波的波动方程为 若平面波沿若平面波沿x 轴负方向传播，则轴负方向传播，则P 点的点的振动方程为振动方程为所以所以 选择适当的计时起点，使上式中的选择适当的计时起点，使上式中的 等等于于0 ，于是有，于是有2. 波动方程的意义波动方程的意义
3、 如果如果x 给定，则给定，则y 是是t 的函数，这时波的函数，这时波动方程表示距原点为动方程表示距原点为x 处的质元在处的质元在不同时不同时不同时不同时刻的位移刻的位移刻的位移刻的位移. . . . y-t 曲线称之为位移时间曲线曲线称之为位移时间曲线. . 如果如果t 给定，则给定，则y 只是只是x 的函数的函数, , 这时这时波动方程表示在给定时刻波射线上各振动波动方程表示在给定时刻波射线上各振动质元的位移，即给定时刻的质元的位移，即给定时刻的波形图波形图波形图波形图. . 如果如果x 和和t 都变化，则波动方程表示波都变化，则波动方程表示波射线上各振动质元在不同时刻的位移，即射线上各振
4、动质元在不同时刻的位移，即波波波波形的传播形的传播形的传播形的传播. . . .时刻的波形时刻的波形t1 1时刻的波形时刻的波形 由图可见由图可见t1 1时刻时刻x1 1处的振动状态与处的振动状态与t1 1+ + t 时刻时刻x1 1+ + x 处的振动状态完全相同，即相位处的振动状态完全相同，即相位相同相同. . t1 1时刻时刻x1 1处质元的振动相位在处质元的振动相位在t1 1+ + t 时刻时刻传至传至x1 1+ + x 处，相位的传播速度为处，相位的传播速度为u u10.2.2 波的能量波的能量1. 波的能量波的能量行波行波: 有能量传播的波叫行波有能量传播的波叫行波. 媒质中所有质
5、元的动能和势能之和称媒质中所有质元的动能和势能之和称之为波的能量之为波的能量. 设平面简谐波在密度为设平面简谐波在密度为 的均匀媒质中的均匀媒质中传播其波动方程为传播其波动方程为 在在x 处取一体积为处取一体积为dV 的小质元，该质元的小质元，该质元在任意时刻的速度为在任意时刻的速度为质元因变形而具有的势能等于动能质元因变形而具有的势能等于动能质元的总能量为质元的总能量为2. 能量密度能量密度单位体积内的能量称为能量密度单位体积内的能量称为能量密度. 为定量的反映能量在媒质中的分布和为定量的反映能量在媒质中的分布和随时间的变化情况随时间的变化情况, 引入能量密度的概念引入能量密度的概念.平面简
6、谐波的能量密度为平面简谐波的能量密度为 平均能量密度平均能量密度: : 能量密度在一个周期内能量密度在一个周期内的平均值的平均值. . 3. 能流密度能流密度 为了描述波动过程中能量的传播情况，为了描述波动过程中能量的传播情况，引入能流密度的概念引入能流密度的概念. 单位时间内通过垂直于波动传播方向上单位时间内通过垂直于波动传播方向上单位面积的平均能量，叫做波的单位面积的平均能量，叫做波的平均能流密平均能流密平均能流密平均能流密度度度度, ,也称之为也称之为波的强度波的强度波的强度波的强度. . . .平均能流密度为平均能流密度为 设在均匀媒质中，垂直于波速的方向的设在均匀媒质中，垂直于波速的
7、方向的面积为面积为S ，已知平均能量密度为，已知平均能量密度为 , ,则则4. 波的吸收波的吸收 波在媒质中传播时，媒质总要吸收一部分波在媒质中传播时，媒质总要吸收一部分能量，因而波的强度将逐渐减弱，这种现象叫能量，因而波的强度将逐渐减弱，这种现象叫做做波的吸收波的吸收波的吸收波的吸收. . 实验指出当波通过厚度为实验指出当波通过厚度为dx 的一簿层媒的一簿层媒质时质时, ,若波的强度增量为若波的强度增量为dI (dI 0) 则则dI正比于入正比于入射波的强度射波的强度I ，也正比于媒质层的厚度，也正比于媒质层的厚度dx 10.2.3 例题分析例题分析求：求： （1）波的振幅、波长、周期及波速
8、波的振幅、波长、周期及波速; ;（2）质元振动的最大速度质元振动的最大速度; ;（3）画出画出t = =1 s 时的波形图时的波形图. . 1.一平面简谐波沿一平面简谐波沿x 轴的正向传播已知波轴的正向传播已知波动方程为动方程为二式比较得二式比较得解解（）将题给的波动方程改写成将题给的波动方程改写成而波动方程的标准方程为而波动方程的标准方程为（2）质元的振动速度为质元的振动速度为其最大值为其最大值为（3）将将t =1s代入波动方程得代入波动方程得0.02 2. 如图所示，一平面简谐波以如图所示，一平面简谐波以400 ms-1-1的波速在均匀媒质中沿的波速在均匀媒质中沿x 轴正向传播轴正向传播.
9、 .已知波已知波源在源在o 点，波源的振动周期为点，波源的振动周期为0.01s 、振幅为、振幅为0.01m. 设以波源振动经过平衡位置且向设以波源振动经过平衡位置且向y 轴轴正向运动作为计时起点，求：正向运动作为计时起点，求：（1）B 和和A 两两点之间的振动相位差；点之间的振动相位差；（2）以以B 为坐标原点为坐标原点写出波动方程写出波动方程.解解 根据题意设波源的振动方程为根据题意设波源的振动方程为（1）B 和和A 两点之间的振动相位差为两点之间的振动相位差为（2）以以B 为坐标原点时有为坐标原点时有因此以因此以B 为坐标原点的波动方程为为坐标原点的波动方程为 3. 有一沿有一沿x 轴正向传播的平面简谐波，在轴正向传播的平面简谐波，在t = =0时的波形图如图中实线所示时的波形图如图中实线所示. . 问：问：（1）原点原点o o 的振动相位是多大？的振动相位是多大？（2）如果振幅为如果振幅为A、圆频率为、圆频率为 、波速为、波速为u ，请写出波动方程，请写出波动方程. .所以原点所以原点o o 的振动相位为的振动相位为（2）波动方程为波动方程为解解（）设设o 点的振动方程为点的振动方程为
