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1、-因式分解的多种方法因式分解的多种方法编者按:编者按:很多同学在做因式分解的题目时,很多同学在做因式分解的题目时,会觉得无从入手。会觉得无从入手。而面临竞赛题目时,而面临竞赛题目时,更加摸更加摸不着头脑。在此介绍几种因式分解的方法。其实,因式分解没有想象中的则难。不着头脑。在此介绍几种因式分解的方法。其实,因式分解没有想象中的则难。1 1】提取公因式这种方法比较常规、简单,必须掌握。常用的公式有:完全平方公式、平方差公式等例一:2*2-3*=0解:*(2*-3)=0*1=0,*2=3/2这是一类利用因式分解的方程。总结:要发现一个规律就是:当一个方程有一个解*=a 时,该式分解后必有一个(*-
2、a)因式这对我们后面的学习有帮助。2】公式法将式子利用公式来分解,也是比较简单的方法。常用的公式有:完全平方公式、平方差公式等注意:使用公式法前,建议先提取公因式。例二:*2-4 分解因式分析:此题较为简单,可以看出4=2 2,适用平方差公式 a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) 2解:原式=(*+2)(*-2)3】十字相乘法是做竞赛题的根本方法,做平时的题目掌握了这个也会很轻松。注意:它不难。这种方法的关键是把二次项系数a 分解成两个因数 a1,a2 的积 a1a2,把常数项c 分解成两个因数 c1,c2 的积 c1c2,并使 a1c2+a2c1 正好是一次项 b,则可以直接写成结果例三
3、: 把 2*2-7*+3 分解因式 .分析:先分解二次项系数,分别写在十字穿插线的左上角和左下角,再分解常数项,分别写在十字穿插线的右上角和右下角,然后穿插相乘,求代数和,使其等于一次项系数 .分解二次项系数 (只取正因数 ):21221;分解常数项:3=13=31=( -3)(-1)=(- 1)(-3).用画十字穿插线方法表示以下四种情况:1 12 313+21=51 32 1.z.-11+23=71 -12 -31(-3)+2( -1)=-51 -32 -11(-1)+2( -3)=-7经过观察,第四种情况是正确的,这是因为穿插相乘后,两项代数和恰等于一次项系数 7.解 原式=(*-3)(
4、2*-1).总结: 对于二次三项式 a*2+b*+c(a0),如果二次项系数 a 可以分解成两个因数之积,即 a=a1a2 ,常数项 c 可以分解成两个因数之积,即c=c1c2 ,把 a1,a2,c1,c2,排列如下:a1 c1a2 c2a1c2+a2c1按斜线穿插相乘,再相加,得到a1c2+a2c1 ,假设它正好等于二次三项式a*2+b*+c 的一次项系数 b,即 a1c2+a2c1=b ,则二次三项式就可以分解为两个因式a1*+c1 与a2*+c2 之积,即a*2+b*+c=(a1*+c1)(a2*+c2).这种方法要多实验,多做,多练。它可以包括前两者方法。4】分组分解法也是比较常规的方
5、法。一般是把式子里的各个局局部开分解,再合起来需要可持续性!例四: *2+4*+4y2-y2可以看出,前面三项可以组成平方,结合后面的负平方,可以用平方差公式解:原式 =*+22-y2=(*+2+y)(*+2-y)总结:分组分解法需要前面的方法作根底,可见前面方法的重要性。5】换元法整体代入,免去繁琐的麻烦,亦是建立的之前的根底上例五: *+y2-2(*+y)+1 分解因式考虑到*+y 是以整体出现,展开是十分繁琐的,用a 代替*+y则原式=a2-2a+1.z.-=(a-1)2回代原式=*+y-126】主元法这种方法要难一些,多练即可即把一个字母作为主要的未知数,另一个作为常数例六:因式分解
6、16y+2*2(y+1)2+(y-1)2*4分析:此题尚且属于简单例用,只是稍加难度,以y 为主元会使原式极其烦琐,而以*为主元的话,原式的难度就大大降低了。原式=(y-1)2*4+2(y+1)2*2+16y-【主元法】=(*2y2-2*2y+*2+8y)(*2+2)-【十字相乘法】可见,十字相乘十分重要。7】双十字相乘法难度较之前的方法要提升许多。是用来分解形如a*2b*ycy2d*eyf 的二次六项式在草稿纸上,将 a 分解成 mn 乘积作为一列, c 分解成 pq 乘积作为第二列,f 分解成 jk 乘积作为第三列,如果mqnpb,pkqje,mknjd,即第 1,2 列和第2,3列 都
7、满 足 十 字 相 乘 规 则 。 则 原 式 m* py j n* qy k 要诀:把缺少的一项当作系数为0,0 乘任何数得 0,例七: abb2ab2 分解因式解:原式01a2 abb2ab20a b1ab2b1ab28】待定系数法将式子看成方程,将方程的解代入这时就要用到 1】中提到的知识点了当一个方程有一个解*=a 时,该式分解后必有一个(*-a)因式例八: *2+*-2该题可以用十字相乘来做,这里介绍一种待定系数法我们可以把它当方程做, *2+*-2=0一眼看出,该方程有一根为*=1则必有一因式为 (*-1)结合多项式展开原理,另一因式的常数必为2因为乘-1 要为-2一次项系数必为
8、1因为与 1 相乘要为 1所以另一因式为*+2分解为(*-1)(*+2).z.-9】列竖式让人拍案叫绝的方法。原理和小学的除法差不多。要建立在待定系数法的方程法上缺乏的项要用 0 补除的时候,一定要让第一项抵消例九:3*3+5*2-2 分解因式提示:*=-1 可以使该式=0,有因式*+1则该式分解为*+1(3*2+2*-2)因式分解有 9 种方法,这么多.其实是不止的,还有很多很多。不过了解这些,初中的因式分解是不会有问题了。考虑到每种方法只有一个例题,下面提供一些题目,供大家练习。(ab+b)2(a+b)2(a2*2)24a*(*a)23a3b2c6a2b2c29ab2c3*y62*3y(3ab)24(3ab)(a3b)4(a3b)2(*2)(*3)(*2)(*4)12*229*15*(y2)*y14*24*yy24*2y32*413*320*211*22*2-7*y-22y2-5*+35y-34m2+8mn+3n24n2+4n15*2+2*-8*2+3*-10.*2+*-62*2+5*-3*2+4*-2*2-2*-35a*+5b*+3ay+3by*-*+*-118a2-32b2-18a+24b希望同学们能掌握因式分解,把因式分解看成一种乐趣.z.