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1、相量法在正弦交流电计算中的几个问题大家知道， 用相量法来分析计算正弦交流电时，能把复杂的三角函数的加减与微分积分运算，化为简单的复数代数运算。但在传统教材中，对于两个同频率的正弦量相加，为什么能用对应相量相加来计算，阐述不是很清楚；计算交流电路的功率问题，及求解交流电路中功率因数的提高时，却只采用了实数的方法。本文进一步探讨了在正弦交流电路计算中用相量法计算的理论基础； 并提出了用相量法（复数）来计算功率的方法，和用相量法来求解电感性电路中功率因数的提高的方法， 采用传统实数法求法不一样的角度来解决问题，更加促进了相量法理论的统一与和谐。一、相量法理论基础探讨一、相量法理论基础探讨传统教材中，
2、讲解相量法分析计算正弦交流电路中，一般分析电路中的e、i、u 均为正弦量，它具有有效值、初相位、同频率的特征。然后讲解正弦量可以用旋转有向线段表示，而有向线段可用复数来表示，从而同频率的正弦量可以化为相应的相量（复数）来表示与计算。在含有电容和电感的电路中，又巧妙的引入复数阻抗， 从而把复杂的三角函数的微分积分运算转化为简单的复数乘除运算。 但在论述两同频率正弦量相加减，为什么可以转化为其对应相量相加减来计算，阐述不是很清楚。下面就这个问题作深入的研究和证明，例子中只证明了电流 i 的相加， 其实也适用也电压 u 与电动势 e 的相加， 当然也适用于相减的情况。（一）证明两同频率正弦量相加等价
3、于两正弦理对应的相量相加证明两同频率正弦量相加可以用相量式相加来表示。即证明如下问题：已 知 ： 三 个 正 弦 交 流 量 ， i1=I12sin(wt+1) ， i2=I22sin(wt+2) ，i=I2sin(wt+)，且 i1+i2=i 。证明（另证明反过来I1I2I。I1I2I，i1+i2=i 也成立）证：证：从 i1+i2=i 中套入已知的表达式，得I12sin(wt+1) +I22sin(wt+2)= I2sin(wt+)展开得I1sinwtcos1 + I1coswtsin1+I2sinwtcos2+I2coswtsin2)= Isinwtcos+ Icoswtsin整理得si
4、nwt (I1cos1 +I2cos2)+ coswt(I1sin1+I2sin2)= sinwtI cos+ coswtIsin从而可以推出以下两等式：I1cos1 +I2cos2= I cosI1s i n1+I2sIn2=I sin从可以推出，jI1sin1+jI2sIn2=jIsin由两式左右分别相加，整理得I1cos1 +I2cos2+ jI1sin1+jI2sIn2= I cos+jIsinI1（cos1 +jsin1）+I2（cos2 +jsIn2）= I（cos+jsin）据欧拉公式，可以化为：I1e即I1I2I很明显，以上证明反过来也成立，故I1I2I，i1+i2=i 也成立
5、。（二）证明两正弦量相加用相量法计算与三角函数计算结果是一样的已知：并联电路中，i1=I12(sinwt+1)，i2=I22(sinwt+2)，求：i=I2sin(wt+)。 （即求其中的和 ，用 I1 I212表示）解：方法一：用三角函数式来计算i=i1+i2=2I1sin(wt+1)+I2sin(wt+2)=j1 I2ej2 Iej2(I1sinwtcos1+ I1coswtsin1+I2sinwt cos2+I2coswt sin2)=2sinwt(I1cos1+I2 cos2)+ coswt(I1sin1+I2 sin2) 式两个同频率的正弦量相加，得到的仍然是一个同频率的正弦量i=2
6、Isin(wt+) =2(sinwtIcos+ coswtIsin)式对比式式可得,Icos= I1cos1+I2 cos2式Isin= I1sin1+I2 sin2式综合式 式得出：I (I1cos1 I2cos2)2(I1sin1 I2sin2)2 arctgI1sin1I2sin2I1cos1I2cos2方法二：用相量来计算j1j2jI I e， I I e， 求I Ie把已知条件化为相量得1122据并联电路特点：II1I2 I1ej1 I2ej2=I1cos1+jI1sin1+ I2cos2+jI2sin2=I1cos1+ I2cos2+j(I1sin1+I2sin2)把上面相量从代数
7、式化为指数式得I (I1cos1I2cos2)2(I1sin1I2sin2)2ejI Ie对比得出：I I sin1I2sin1jarctg1I1cos1I2cos2(I1cos1 I2cos2)2(I1sin1 I2sin2)2I sin1I2sin2 arctg1I1cos1I2cos2方法三：用相量图来分析从相量图来看，电流的有效值与初相位计算方法，与上面的方法安全一致。1可以看出，合正弦量的有效值 I 等于两分正弦量实部与虚部分别相加，再分别取平方后相加，最后求平方根。合正弦量的初相位就是 。2实际中常用实数结合相量图来进行分析计算。结论： 以上证明，清楚说明了同频率两正弦量相加减可以
8、用它们对应的相量相加减来表示与计算。二、用相量法来计算正弦交流电路的功率j2j1已知：正弦交流电中，电压为U Ue，电流为I Ie，u 与 i 的相位差为 =12，S 为视在功率，Q 为无功功率，P 为有功功率。I的共轭复数为I解：设 S*为复功率，电流I Ue定义复功率S U*j1 Ie j2，Ie j2 UIej(12) UIej则复功率的模就是视在功率S|S*| UI复功率的实部就是有功功率P Re(S*) UIcos复功率的虚部就是无功功率Q Im(S*) UIsin电压、阻抗、功率三角形电压、阻抗、功率三角形结论：引入复功率以后，各种功率计算更加有规律可循。三、相量法求解交流电路中功
9、率因数的提高三、相量法求解交流电路中功率因数的提高已知：某电感性交流电路中，电路电压为 u，原电流为 iL，u 与 iL的相位差为1， 频率为f， 原电路功率为P=UILcos1。 若要把功率因素从cos1提高到cos2。求：电路中应并联的多大的电容器 C。i iL L解：方法一：实数计算法并联电容前后，因电容器不做功，故并联前后电路的有功功率不变，即P=UIL cos1 =UI cos2，从而求出 IL和 IIL=P/（U cos1）式I=P/（U cos2）式从相量图可以看出：I C= ILsin1Isin2式又据纯电容电路特点，IC=U/XC式XC=1/(2fC)式综合式得出C= P/2
10、f U2（tg1 tg2）方法二：相量计算法（即复数计算法）设 u 的初相位为 0，则 iL、i 和 ic的初相位分别为-1，-2和 90。据并联电路的电流关系，有ILICI展开得：ILej1 Icej90 Iej2，即ILcos1 jILsin1+ jI C= Icos2 jIsin2ILcos1 j(ILsin1 I C)= Icos2 jIsin2据两复数相等的定义，可以推出，（一）实部相等ILcos1= Icos2，所以 P=UIL cos1 =UI cos2从而可以说明并联电容器后，电路中有功功率没有变，并可以求出 IL和 IIL=P/（U cos1）式I=P/（U cos2）式（二
11、）虚部相等 （ILsin1 I C）=Isin2则I C= ILsin1Isin2式式和式代入式得：I C=PL sin1/（U cos1）P sin/（U cos2）=P/U（tg1 tg2） 式又据纯电容电路特点，IC=U/XC式XC=1/(2fC)式把式和式代入式，解得：C= P/2f U2（tg1 tg2）对比：用实数法来求解问题时，要判断出电路的总有功功率不变，还要从右边的相量图中推导出 I CILI 三者的关系，难度比较大。而用相量法，不用看右边的相量图， 这些结论都可以从相量式中完全推导出来，只要判断一下三个电流的相位关系就可以了，降低许多难度，纯粹是数学公式的推导，也比较有规律。
