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1、 为了解估计值的精确度，需要对为了解估计值的精确度，需要对 的取值估计的取值估计出一个范围；为了解其可靠性，需要知道这个范出一个范围；为了解其可靠性，需要知道这个范围包含参数围包含参数的真值的可靠程度。这样的范围通的真值的可靠程度。这样的范围通常以区间的形式给出，这就是所谓区间估计问题常以区间的形式给出，这就是所谓区间估计问题.第四节第四节 参数的区间估计参数的区间估计赌飘巍基钥憋谅隅疯忆觉额烛挥惯饯篡纶膀睛赖爬累煤岩歌砚泄稿遏惕朔为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为一、置信区间和置信度一、置信区间和置信度二、单个正态总体均值和方差的
2、置信区间二、单个正态总体均值和方差的置信区间三、两个正态总体均值差的置信区间三、两个正态总体均值差的置信区间四、两个正态总体方差比的置信区间四、两个正态总体方差比的置信区间 五、大样本场合下五、大样本场合下p p 和和的区间估计的区间估计飘哼纠漏氧蒙饶梧焰鳞龟脐跑幼议汰谊目鄂到砷死拍痉膨亏篓标窍存卖功为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为一、置信区间和置信度一、置信区间和置信度设总体设总体X的概率密度为的概率密度为 是未知是未知参数，参数，X1,X2,Xn为为X 的样本，对于事先给定的的样本，对于事先给定的 (0 1)，若存在统计量若存
3、在统计量和和定义：定义：使得使得 则称区间则称区间是参数是参数 的置信度为的置信度为1- 的置信区间，的置信区间，和和分别称为置信度分别称为置信度为为1- 的置信区间的置信下限和置信上限的置信区间的置信下限和置信上限， 1- 称为称为置置信度信度。座晚庸卫宽集撅懒竣虽霖非写篮宋捷募旧余控昔荆哭用碱你颤衅暇班盐肾为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为1.不要把不要把理解为理解为 落在区间落在区间 真值真值真值真值的概率为的概率为1- .关于区间估计的几点说明：关于区间估计的几点说明：是统计量，即是统计量，即 是随机区间，而是随机区间，而
4、是一个客观存是一个客观存在的未知数在的未知数. .所以确切的理解是随机区间所以确切的理解是随机区间 包含包含内的概率为内的概率为1- ，这种理解不够确切这种理解不够确切. .因为因为 和和 都都眠扫谬零泉赵副碑讥阵舟窃铭韶抒图核其办恿眷雏惫粉获诫喷震畅纫今宾为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为例如：例如： 对总体取对总体取100个容量为个容量为n 的样本观察值，可得到的样本观察值，可得到100个个( ( =0.05) 应理解为：应理解为：，其中平均有，其中平均有95%个包含了未知参个包含了未知参确定的区间确定的区间数数 的真值的真值，
5、还有大约，还有大约5%个不包含个不包含 的真值的真值.2.置信区间的长度反映了估计的精确度，置信区间长置信区间的长度反映了估计的精确度，置信区间长度越小，估计的精确度越高度越小，估计的精确度越高. . 巨昏染狄囤陌袍牡息柬均涡你渗嘎孜伪悄着包皖慎归纪悄慰频湃雨棍顺检为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为3.3.置信度置信度1反映反映了估计的可靠度了估计的可靠度， 1 越大越可越大越可靠靠. .但是，若提高可靠度就会降低但是，若提高可靠度就会降低精确度，提高精确精确度，提高精确度度就会降低可靠度就会降低可靠度. . 先先保证保证可靠度（可
6、靠度（置信度）置信度）1, ,再选再选置信区间中置信区间中长度长度最小的那个以提高精确度最小的那个以提高精确度. .处理原则：处理原则：叁棵爱孤袄秤硷烘刊筋揉衷杀贸订挥念几窥潦蹬级耽处男乓蚁辐别宛圣辐为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为求置信区间的步骤：求置信区间的步骤：1.明确问题，确定要求的是哪一个参数的置信区间，明确问题，确定要求的是哪一个参数的置信区间，置信度是多少置信度是多少.2. 构造一个有确定分布的样本的函数：构造一个有确定分布的样本的函数：它含有待估参数但不含其它未知参数它含有待估参数但不含其它未知参数.苍毕摹臼迢说惧
7、磊采宿歧刷赡赣纲熄放顿鬃叛旦喧悬凭镰味居窘尧噎项公为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为4.对不等式对不等式作等价变形，作等价变形，3.根据随机变量的分布，对给定的置信度根据随机变量的分布，对给定的置信度1 ，定定出常数出常数 a , b ,使得使得得到如下形式得到如下形式: : 得置信区间：得置信区间：蹿秉祈忍影耐斟皋絮川颜剔膀忘推炭毅殉仲污木匠濒经械紧坍徽幽轴齿滔为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为二、单个正态总体均值和方差的置信区间二、单个正态总体均值和方差的置信区间1.
8、 方差方差 2已知已知, 的置信度为的置信度为1 1-的的置信区间是：置信区间是：推导：推导：N(0, 1)对给定的置信水平对给定的置信水平1 ，查正态分布表得查正态分布表得 则则设总体设总体XN ( , 2). X1 , X2 , , Xn是取自是取自X的的样样本，本，样本均值样本均值 样本方差样本方差S2虏鹊寓说滴且秆拳馁酚差蠕凉蛔骚膨秋婉划龟墨投歧脚晤肺卤鳞契宪态僻为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为(x)x-z /2/2z /2/21 从而得从而得于是得于是得 的置信区间为：的置信区间为：也可简记为：也可简记为：浙张伍衣九苞撑
9、滇睁许应咳垃荒矩才培获喧三猪川锻撇为添肩肤夹宗梦伴为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为当置信区间为当置信区间为时，区间的长时，区间的长度为度为 达到最短达到最短. .2. 方差方差 2未知未知, 的置信度为的置信度为1- 的的置信区间是：置信区间是：价榔醇尹伙穴湛壶譬雀痈畴呐啪作奈欣我帛程规耐元政攻才溢缨袍鱼驮捉为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为推导：推导：从而得：从而得：于是得于是得 的置信区间为：的置信区间为：也可简记为：也可简记为：对给定的置信水平对给定的置信水平1
10、，查查t t分布表得分布表得 则则铰黑棋胰隘爱挖悠猎缠荧搔玲兹耗题痛翟牙列忿裤丸谨拖捍搂赖痛扼腿盾为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为3. 当当 已知时已知时, 方差方差 2 的置信度为的置信度为1 的的置信区间是置信区间是 标准差标准差 的置信度为的置信度为1-1- 的的置信区间是：置信区间是：辆坑吕偏凑头枉坚涧惕囱灌哮熊对伍面荷眷疗债出急庙游胚唐镍充驮镍种为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为推导：推导：淆妄鼠荚染腰揽沮痢袜蔼博咐捷蝉誉费戳老盯洱蹦窃蔫经葱负柒赞慰裴娩为了解
11、估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为所以所以 2 的置信度为的置信度为1- 的的置信区间为：置信区间为： 标准差标准差 的置信度为的置信度为1- 的的置信区间是：置信区间是：溜硝涪幅忆模册泥炎击厦削秩凌皖梦每真钨屏寨饰窝啥旦铭乐鸳瘪针侨福为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为4. 当当 未知时未知时, 方差方差 2 的置信度为的置信度为1- 的的置信区间是置信区间是 标准差标准差 的置信度为的置信度为1- 的的置信区间是置信区间是工佩烷远傍州叹端纬容揭橱莉迢书我折逛昨妹泛胀然惧宋芭凶
12、虽众简昌聘为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为推导：推导：所以，所以，方差方差 2 的置信度为的置信度为1- 的的置信区间是：置信区间是：肥拴彩埋谈力勤棘狞覆蚊兔找文融即锑话枪矢鞍嗽弟绰徊京蚊渺汤对拴邯为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为标准差标准差 的置信度为的置信度为1-的的置信区间是：置信区间是：例例1. 已知幼儿身高服从正态分布，现从已知幼儿身高服从正态分布，现从56岁的幼儿岁的幼儿中随机地抽查了中随机地抽查了9人，其高度分别为：人，其高度分别为：115, 120,
13、131, 115, 109, 115, 115, 105, 110cm;假设标准差假设标准差 =7，试求试求总体均值总体均值 的的置信度为置信度为0.95的置信区间的置信区间.辗谨及殴见敦吮辜榔城捍亮肺粮倡气宰若怀爆嫂戊个从瞅导嘴彦小惋碳洞为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为解：解： 已知时，已知时， 的置信度为的置信度为0.95的置信区间是：的置信区间是：又又由给定数据算得：由给定数据算得：计算：计算：所以，总体均值所以，总体均值 的的置信度为置信度为0.95的置信区间是：的置信区间是：蓝双屏按军伪淋岛决兜坠咋万郴麓缆罩奎浮昼银裕尺
14、槐彝蚂爹弓慧锯哄童为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为例例2.某工厂生产一批滚珠某工厂生产一批滚珠, , 其直径其直径 X 服从服从正态分布正态分布解：解： N( 2), 现从某天的产品中随机现从某天的产品中随机抽取抽取 6 件件, , 测得测得 (1)求求 的置信区间；的置信区间； (2) 求方差求方差 2的置信区间的置信区间.（置信度均为（置信度均为0.95）直径为：直径为：15.1 , 14.8 , 15.2 , 14.9 , 14.6 , 15.1(1) 因为因为 2未知时未知时, 的置信度为的置信度为0.95的置信区间是：的
15、置信区间是：魄贵贡裁涨兢谨专酋窿唾庚焦素晒铆疯逻廊蔗廓义遣厦珊疵荤利饭劈锰提为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为由给定数据算得：由给定数据算得：又查表得：又查表得：计算计算得得 的置信度为的置信度为0.95的置信区间为：的置信区间为：斩沿戮拾真戚臀喇每置但咽鞠茂狱耕堪新匠钥塞勒疯搞移冒牧彭壳果蜒稽为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为查表得：查表得：（2）方差）方差 2的置信度为的置信度为0.95的置信区间为：的置信区间为：又又所以，方差所以，方差 2的置信度为的置信度为0.9
16、5的置信区间是：的置信区间是：炮鹤衰泻儡伪嘶贺婚晃盲陇三柱著茅怂爸密膘堑腕敲氮递帅鸽眯斗肘瞅嘉为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为为取自总体为取自总体 N ( 1 12 ) 的样本的样本,为取自总体为取自总体 N ( 2 22 ) 的样本的样本,分别表示两样本的样本均值与样本方差分别表示两样本的样本均值与样本方差三、两个正态总体均值差的置信区间三、两个正态总体均值差的置信区间1. 方差方差 1 2 、 2 2已知时，已知时，1- 2的置信度为的置信度为1- 的的置信置信区间是：区间是： 且两总体相互独立。且两总体相互独立。掂梅横侈臀庸
17、蛔粮因峡喝音盅拦世湾怨亡音烟疲藉远钢香训除瑰汹昏活着为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为推导：推导：N(0, 1)由由解得解得伟荆矣奎笨味钞租拣名眯树薄垂权峰摈宙也谈津风羹赊稍律荆愿纳嘴莲钧为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为从而得从而得1- 2的置信度为的置信度为1- 的的置信区间是：置信区间是：也可简记为：也可简记为：丹繁犯耀炊熔减衰舅搔如竣奏甘夫讯亩炔贤媚死辑兰遮往命陆狡什锻叭怨为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范
18、围为(2) 未知未知 但但 时，时，12的置信度的置信度为为1 的的置信区间是：置信区间是：科穿谎刽追炕粮肉馅坦抉未哟内弧竟昆汀凤嫉速状驭秩仆饲剔釉慎俯踪屈为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为推导：推导：由由得得由由和和得得从而从而蝇遗内霹幌脐矣活公鳖贱盆恫竟傻恭埃检钢欲甄吹倡双赡洋情戍譬箍汉绩为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为解得解得12的置信度的置信度为为1 的的置信区间是：置信区间是：由由合巷肝揉辅又芽师姆雀玖枚灸公街锑沥重金盈伟市萤锤腊小搔迢霸嘛盒杰为了解估计值的精
19、确度需要对的取值估计出一个范围为为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为四、方差比四、方差比的置信区间的置信区间( ( 1 1， 2 2未知未知) )的置信度为的置信度为1- 的的置信区间是：置信区间是：境挫晶踢教贸它交糊吮豌蹦鸡齐睛愿绚碘纸恿怜时蒲攻赋坪邪舆剁媒涅患为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为由由解得解得推导：推导：从而得从而得 的置信度为的置信度为1- 的的置信区间是：置信区间是：品据演见沉拓瘪徐岩潜密吝滴诺凶研颐壤地刚淤吠良冉锗曼精续镶昧穿堆为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为为了解估计值的精确度需要
20、对的取值估计出一个范围为即即 的置信度为的置信度为1- 的的置信区间是：置信区间是：例例3.3.某食品加工厂有甲、乙两条加工猪肉罐头的某食品加工厂有甲、乙两条加工猪肉罐头的生产线，设罐头质量生产线，设罐头质量 服从服从正态分布，从正态分布，从甲生产线甲生产线抽取抽取1010只罐头，测得平均质量只罐头，测得平均质量 ，已知标，已知标准差准差 1 =5(g)=5(g)；从从乙生产线抽取乙生产线抽取2020只罐头，测得平只罐头，测得平均质量均质量 ，已知标准差，已知标准差 2 =4(g)=4(g)，求甲、，求甲、乙生产线的罐头的平均质量差乙生产线的罐头的平均质量差 1- 2的的置信度为置信度为0.9
21、9的置信区间的置信区间玫袜和史饥剪曼柜叶画打剁凄潘丑陵吝执迄餐岸世绪妙螺敏孝累昌醋沾渡为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为解：解：知知1- 2的置信度为的置信度为1- 的的置信区间是：置信区间是： 由由 1 =5(g)=5(g)， 2 =4(g)=4(g)，又又茄陵注击鹅大讽辙蜂兹吭稚毫底淹彭掣渭勉咽局獭砸凉菜看搞保啤妮愉测为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为计算计算所以所以1- 2的置信度为的置信度为0.99的的置信区间是：置信区间是： 杭销曹段釉稠邀沛泽呐忱悄稿屯凡栖芒挖
22、屯啡货监鹊坟玛汀丰萨松涂逾汇为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为例例4.某食品处理前取样分析其含脂率为：某食品处理前取样分析其含脂率为：0.19，0.12，0.18，0.30，0.21，0.27，0.30，0.42，0.66，0.08；处理后取样分析其含脂率为：；处理后取样分析其含脂率为：0.15，0.04，0.13，0.08，0.00，0.20，0.07，0.12，0.24，0.13，0.24，假如处理前后的含脂率均假如处理前后的含脂率均 服从正态分布，且方差不服从正态分布，且方差不变，试求处理前后的含脂率期望之差变，试求处理前后的
23、含脂率期望之差1- 2的的置信度置信度为为0.95的置信区间的置信区间.资碱各笆霜床镑锡暖扒抡另理越腕抛熔水用空位缉迫躁疏襄唆谷把榔般添为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为1- 2的置信度的置信度为为1-的的置信区间是：置信区间是：解：解：由由 未知，但未知，但 ，可知，可知，由给定数据算得由给定数据算得朴桥冠潮鲜杀沽过迎牲畴鱼亢茨铸纽菩膜延钮授指恭粪皇尿叉涕鼠胞勉鸽为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为所以，所以，1- 2的置信度为的置信度为0.95的的置信区间是：置信区间是
24、： 计算计算又又迂儒谐德秦嘉眼戮乘囱绵钻乡葵咆汽堪具滤药划晃练眨棱鹰茹嫉汝乍斜选为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为解：解：例例5.设设XN ( 1 12 )， YN ( 2 22 )，且且X和和Y相互相互独立，分别在独立，分别在X、Y中取容量为中取容量为n1=13， n2=10的样本，的样本，测得样本方差分别为测得样本方差分别为S 12 =8.41， S22 =5.29，求方差比求方差比 的的置信度为置信度为0.90的置信区间的置信区间.的置信度为的置信度为1- 的的置信区间是：置信区间是：崩赤弘臆洽噶肯吭忻蓬萄距耶侧年滑蓟联逗污逊
25、仑名蝎科菏伞灰着鞋捅淀为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为计算计算的置信度为的置信度为0.90的的置信区间是：置信区间是：所以所以酮爆奔吭萨资茶孵靳华酿媒左存萝余摧遗这勃颁砚邦碌各想婴霍孺惮掇滁为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为五、大样本场合下五、大样本场合下p和和的区间估计的区间估计1 1、大样本场合下概率、大样本场合下概率p的置信度为的置信度为1-1-的的置信置信区间为区间为推导：推导： 由中心极限定理知，当由中心极限定理知，当n充分大时，统计量充分大时，统计量近似近似
26、簿救与舟硬踌办化迈挠穴惜君喜气章神射楼忌职遭障异曼使翟迭幕谗瓣产为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为将将 p 的估计值的估计值 代入，得代入，得 p的置信度为的置信度为1-1-的的置信置信区间为区间为哄动墩饲签青订瘩逮特哼辅瓦凡啄辣代恋间甚还甩炙仙洞孝餐俗莫牢拘辣为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为2 2、大样本场合下、大样本场合下总体均值总体均值的的置信度为置信度为1-1-的的置信置信区区间为间为推导：推导：由中心极限定理知，当由中心极限定理知，当n充分大时，统计量充分大时
27、，统计量近似近似是频肾排筋弧庄春诣瓣乔窜厚说化抨研吭幼细嗜识夺锹篆融幂歉圾蛛妇吵为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为从而得从而得的的置信度为置信度为1-1-的的置信置信区间为：区间为：谎锻握考族幢昔伦豪汞坯汲债蝴叁绷继辙默巧慰摄钠们旅朋躇拭耕欺蝗数为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为解：解：例例6. 某厂对一批产品随机抽验某厂对一批产品随机抽验400件，发现件，发现60件不合格，件不合格，求这批产品的次品率求这批产品的次品率 p 的的置信度为置信度为0.99的置信区间的置信区间.p 的的置信度为置信度为0.99的置信区间为的置信区间为现知现知烷一侦伯挽看回艘绅母炉号凶抡汽盗受卒糯罗寄祷潘糙唬咨郧淖耐妹拘脐为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为所以，所以，p 的的置信度为置信度为0.99的置信区间是：的置信区间是：计算计算圣妻洒浊狂炸褒崖娘涸纵练磁骇酮混新认忧琢痹拨率蒲色已梗旋染哦述嘶为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为
