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1、一、引例一、引例二、导数的定义二、导数的定义机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数导数三、导数运算法则三、导数运算法则一、一、 引例引例1. 变速直线运动的速度变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为则 到 的平均速度为而在 时刻的瞬时速度为自由落体运动机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2. 曲线的切线斜率曲线的切线斜率曲线在 M 点处的切线割线 M N 的极限位置 M T(当 时)割线 M N 的斜率切线 MT 的斜率机动 目录 上页 下页 返回 结束 两个问题的共性共性:瞬时速度切线斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .类似问题还有:加速度角速度线密
2、度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、导数的定义二、导数的定义定义定义1 . 设函数在点存在,并称此极限为记作:即则称函数若的某邻域内有定义 , 在点处可导可导, 在点的导数导数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 运动质点的位置函数在 时刻的瞬时速度曲线在 M 点处的切线斜率机动 目录 上页 下页 返回 结束 若上述极限不存在 ,在点 不可导. 若也称在若函数在开区间 I 内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:注意注意:就说函数就称函
3、数在 I 内可导. 的导数为无穷大 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 求函数(C 为常数) 的导数. 解解:即例例2. 求函数解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明：说明：对一般幂函数( 为常数) 例如，例如，机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求函数的导数. 解解:则即类似可证得机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、三、 导数的几何意义导数的几何意义曲线在点的切线斜率为若曲线过上升;若曲线过下降;若切线与 x 轴平行,称为驻点驻点;若切线与 x 轴垂直 .曲线在点处的切线方程切线方程:法线方程法线方程:机动 目录 上页 下页 返回 结束 四则运算求导法则四则
4、运算求导法则 定理定理的和、 差、 积、 商 (除分母为 0的点外) 都在点 x 可导, 且机动 目录 上页 下页 返回 结束 在点 x 可导,复合函数求导法则复合函数求导法则定理定理在点可导复合函数且在点 x 可导,机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如,推广推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.初等函数的求导问题初等函数的求导问题 1. 常数和基本初等函数的导数机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 有限次四则运算的求导法则( C为常数 )3. 复合函数求导法则4. 初等函数在定义区间内可导初等函数在定义区间内可导,由定义证 ,说明说明: 最基本的公式其它公式用求导法则推出.且导数仍
5、为初等函数且导数仍为初等函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 高阶导数的概念高阶导数的概念速度即加速度即引例引例：变速直线运动机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义.若函数的导数可导,或即或类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,阶导数的导数称为 n 阶导数 ,或的二阶导数二阶导数 ,记作的导数为依次类推 ,分别记作则称机动 目录 上页 下页 返回 结束 高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则都有 n 阶导数 , 则(C为常数)莱布尼兹莱布尼兹(Leibniz) 公式公式及设函数推导 目录 上页 下页 返回 结束 二、微分运算法则二、微分运算法则一、微分的概念一、微分的概念 机动 目录
6、 上页 下页 返回 结束 函数的微分一、微分的概念一、微分的概念 引例引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则面积的增量为关于x 的线性主部高阶无穷小时为故称为函数在 的微分当 x 在取得增量时,变到边长由其机动 目录 上页 下页 返回 结束 的微分微分,定义定义: 若函数在点 的增量可表示为( A 为不依赖于x 的常数)则称函数而 称为记作即在点可微可微,机动 目录 上页 下页 返回 结束 微分的几何意义当 很小时,则有从而导数也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微分自变量的微分,记作记机动 目录 上页 下页 返回 结束 微
7、分运算法则微分运算法则设 u(x) , v(x) 均可微 , 则(C 为常数)分别可微 ,的微分为微分形式不变微分形式不变5. 复合函数的微分则复合函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、 基本积分表基本积分表 三、不定积分的性质三、不定积分的性质一、一、 原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念机动 目录 上页 下页 返回 结束 不定积分原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念引例引例: 一个质量为 m 的质点,下沿直线运动 ,因此问题转化为:已知求在变力试求质点的运动速度机动 目录 上页 下页 返回 结束 根据牛顿第二定律,加速度定义定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个
8、函数 F (x) 及 f (x)满足在区间 I 上的一个原函数 .则称 F (x) 为f (x) 如引例中, 的原函数有 定义定义 2. 在区间 I 上的原函数全体称为上的不定积分,其中 积分号积分号; 被积函数被积函数; 被积表达式被积表达式. 积分变量积分变量;若则( C 为任意常数 )C 称为积分常数积分常数不可丢不可丢 !例如,记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 不定积分的几何意义不定积分的几何意义:的原函数的图形称为的图形的所有积分曲线组成的平行曲线族.机动 目录 上页 下页 返回 结束 的积分曲线积分曲线 . 基本积分表基本积分表 从不定积分定义可知:或或利用逆向思维利用逆向思
9、维( k 为常数)机动 目录 上页 下页 返回 结束 或或机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、定积分的定义定积分的定义二、二、 定积分的性质定积分的性质机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分定积分定义定积分定义任一种分法任取总趋于确定的极限 I , 则称此极限 I 为函数在区间上的定积分定积分,即此时称 f ( x ) 在 a , b 上可积可积 .记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和定积分仅与被积函数及积分区间有关 ,而与积分变量用什么字母表示无关 ,即机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分的几何意义定积分的几何意义:曲边梯形面积曲边梯形面积的负值各部分面积的代数和机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:机动 目录 上页 下页 返回 结束 根据定积分定义可得如下近似计算方法:将 a , b 分成 n 等份: (左矩形公式)(右矩形公式)(梯形公式)为了提高精度, 还可建立更好的求积公式, 例如辛普森机动 目录 上页 下页 返回 结束 公式, 复化求积公式等, 并有现成的数学软件可供调用.定积分的性质定积分的性质(设所列定积分都存在)( k 为常数)机动 目录 上页 下页 返回 结束 6. 若在 a , b 上则
