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1、第四节一次函数和二次函数 第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用考考 纲纲 要要 求求1熟练掌握二次函数的图象，并能求给出了某些条件的熟练掌握二次函数的图象，并能求给出了某些条件的二次函数的解析式二次函数的解析式2掌握二次函数的单调性，会求二次函数的单调区间掌握二次函数的单调性，会求二次函数的单调区间3会求二次函数的最值会求二次函数的最值4结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.课课 前前 自自 修修知识梳理知识梳理一、一次函数及其性质一、一次函数及其
2、性质函数函数yaxb(a0)叫做一次函数当叫做一次函数当_时，该函数时，该函数在在R上是增函数；当上是增函数；当_时，该函数在时，该函数在R上是减函数由于上是减函数由于一次函数是单调函数，故其在闭区间上的最大、最小值一定在一次函数是单调函数，故其在闭区间上的最大、最小值一定在端点取得端点取得若函数若函数f(x)axb在在xp，q时恒为正时恒为正(负负)，则在，则在p，q处处的函数值满足的函数值满足_若函数若函数f(x)axb在在xp，q上与上与x轴有交点，则在轴有交点，则在p，q处的函数值满足处的函数值满足_a0a0时，值域为时，值域为_；当；当a0时，开口向时，开口向_；当；当a0时，在区间
3、时，在区间_上是增函数；在区间上是增函数；在区间_上是减函数；上是减函数；当当a0时，在区间时，在区间_上是增函数；在区间上是增函数；在区间_上是减函数；上是减函数；(5)当当_时，该函数是偶函数；当时，该函数是偶函数；当_时，该函时，该函数是非奇非偶函数数是非奇非偶函数b0 b04二次函数二次函数f(x)ax2bxc在闭区间在闭区间p，q(p0的情形为例的情形为例)f(p)f(q)f(p)ff(q)ff(q)f(p)三、一元二次方程根的分布问题三、一元二次方程根的分布问题 研究一元二次方程的根的分布，一般情况下需要从以下三研究一元二次方程的根的分布，一般情况下需要从以下三个方面考虑：个方面考
4、虑：(1)一元二次方程根的判别式；一元二次方程根的判别式；(2)相应二次函数区间端点函数值的符号；相应二次函数区间端点函数值的符号；(3)相应二次函数图象相应二次函数图象抛物线的对称轴抛物线的对称轴x 与端点与端点的位置关系的位置关系设设x1，x2是实系数二次方程是实系数二次方程ax2bxc0(a0)的两实根，的两实根，则则x1，x2分布范围与二次方程系数之间的关系见下表：分布范围与二次方程系数之间的关系见下表：根的分布根的分布x1x2kkx1x2x1kx2图象图象等价条件等价条件f(k)0根的根的分布分布x1，x2(k1，k2)k1x1k2x2k3在在(k1，k2)内有且仅有一个根内有且仅有
5、一个根图象图象等价等价条件条件基础自测基础自测1(2012柳州市模拟柳州市模拟)已知函数已知函数yx24ax(1x3)是单调递增函是单调递增函数，则实数数，则实数a的取值范围是的取值范围是()解析：解析：对称轴为对称轴为x2a，依题意，对称轴应在区间，依题意，对称轴应在区间1,3的左侧的左侧(包括左端点包括左端点)故故2a1，得，得a .故选故选A.答案：答案：A2(2012长春市调研长春市调研)已知函数已知函数f(x) 则则f(f(x)1的的充要条件是充要条件是()Ax(， Bx4 ，)Cx(，1)4 ，)Dx(， 4，)解析：解析：当当x0时，时，f(f(x) 1，所以，所以x4；当；当x
6、0时，时，f(f(x) 1，所以，所以x22，x (舍去舍去)或或x .所以所以x(， 4，)故选故选D.答案：答案：D3(2013揭阳一中段考揭阳一中段考)若函数若函数f(x)(a22a3)x2(a3)x1的定义域和值域都为的定义域和值域都为R，则，则a的取值范围是的取值范围是()Aa1或或3 Ba1Ca3或或a1 D1a3解析：解析：依题意知函数依题意知函数f(x)为一次函数，所以为一次函数，所以a22a30，解，解得得a1或或a3.当当a3时，时，f(x)1，值域不为，值域不为R，故舍去，故舍去故选故选B.答案：答案：B4(2012苏州市模拟苏州市模拟)若关于若关于x的方程的方程3tx2
7、(37t)x40的两个的两个实根实根，满足满足012，实数，实数t的取值范围是的取值范围是_考考 点点 探探 究究考点一考点一求二次函数的解析式求二次函数的解析式【例【例1】已知二次函数已知二次函数f(x)的对称轴为的对称轴为x ，截，截x轴上轴上的弦长为的弦长为4，且过点，且过点(0，1)，求函数，求函数f(x)的解析式的解析式点评点评：已知函数的类型：已知函数的类型(模型模型)，求其解析式，用待定系，求其解析式，用待定系数法，根据题设恰当选用二次函数解析式的形式，可使解法数法，根据题设恰当选用二次函数解析式的形式，可使解法简捷简捷变式探究变式探究1已知二次函数已知二次函数f(x)满足满足f
8、(2)1，f(1)1，且，且f(x)的最大的最大值是值是8，试确定此二次函数，试确定此二次函数(法三法三)依题意知，依题意知，f(x)10的两根为的两根为x12，x21，故可设，故可设f(x)1a(x2)(x1)，即，即f(x)ax2ax2a1.又函数有最大值又函数有最大值ymax8，即即 8，解之，得解之，得a4或或a0(舍去舍去)函数解析式为函数解析式为f(x)4x24x7.考点二考点二二次函数的单调性与对称性二次函数的单调性与对称性【例【例2】(1)(2012佛山一中期中佛山一中期中)函数函数f(x)2x2mx3，当当x2，)时是增函数，则时是增函数，则m的取值范围是的取值范围是()A8
9、，) B8，)C(，8 D(，8(2)(2012湛湛江江二二中中月月考考)若若f(x)x2xa，f(m)0，则则f(m1)的值的值()A是正数是正数 B是负数是负数C是非负数是非负数 D与与m有关有关解析：解析：(1)函数的对称轴为函数的对称轴为x ，且图象的开口向上，且图象的开口向上，当当x 时，函数是增函数若时，函数是增函数若x2，)时，函数是增时，函数是增函数，则函数，则 2，得，得m8.故选故选C.(2)函数的对称轴为函数的对称轴为x ，f(m1)f(m)0Db0(2)如果函数如果函数f(x)x2bxc对任意实数对任意实数t都有都有f(2t)f(2t)，那么那么()Af(2)f(1)f
10、(4) Bf(1)f(2)f(4)Cf(2)f(4)f(1) Df(4)f(2)f(1)解析：解析：(1)函数函数yx2bxc(xR)的对称轴的对称轴x ，函数函数yx2bxc，x0，)是单调函数是单调函数 (0，) 0b0.故选故选A.(2)f(x)x2bxc，a1，抛物线开口向上又抛物线开口向上又f(2t)f(2t)，故，故x2是其对称轴，即当是其对称轴，即当x2时，时，f(x)取最小值，且取最小值，且f(1)f(3)而当而当x2时，时，f(x)是增函数，是增函数，f(2)f(1)f(4)故选故选A.答案：答案：(1)A(2)A考点三考点三求二次函数的最值求二次函数的最值( (值域值域)
11、)【例【例3】求二次函数求二次函数f(x)x22x3在区间在区间t，t1(tR)上的最大值与最小值上的最大值与最小值解析：解析：f(x)x22x3(x-1)22，其对称轴为其对称轴为x1.(1)当当t11，即，即t0时，时，f(x)在区间在区间t，t1上是减函数，上是减函数，f(x)maxf(t)t22t3，f(x)minf(t1)(t1)22(t1)3t22.(2)当当t1时，时，f(x)在区间在区间t，t1上是增函数，上是增函数，f(x)minf(t)t22t3，f(x)maxf(t1)(t1)22(t1)3t22.(3)当当t1t1，即，即0t1时，时，f(x)在区间在区间t,1上是减函
12、数，上是减函数，在区间在区间1，t1上是增函数，上是增函数，f(x)minf(1)12232，(i)当当1tt11，即，即0t 时，时，f(t)f(t1)，f(x)maxf(t)t22t3，(ii)当当1tt11，即，即 t1时，时，f(t)1时，时，f(x)maxf(1)a21，成立，成立(3)当当a0时，时，f(x)maxf(0)1a，1a2，得，得a10成立成立综上可得综上可得a1或或a2.考点四考点四二次方程根的分布问题二次方程根的分布问题【例【例4】 已知函数已知函数f(x)x2(2a1)xa22的图象与的图象与x轴轴的非负半轴至少有一个交点，求的非负半轴至少有一个交点，求a的取值范
13、围的取值范围解析：解析：(法一法一)由题设知关于由题设知关于x的方程的方程x2(2a1)xa220至少有一个非负实根，设两实根为至少有一个非负实根，设两实根为x1，x2，则，则变式探究变式探究4(2012中山市桂山中学月考中山市桂山中学月考)若方程若方程x2(k2)x2k10的的两根中，一根在两根中，一根在0和和1之间，另一根在之间，另一根在1和和2之间，则实数之间，则实数k的取的取值范围是值范围是_ .考点五考点五二次函数的综合问题二次函数的综合问题【例【例5】(2012肇庆市一模肇庆市一模)设函数设函数f(x)ax2bx1(a，bR)，F(x)(1)若若f(1)0且对任意实数且对任意实数x
14、均有均有f(x)0恒成立，求恒成立，求F(x)的表的表达式；达式；(2)在在(1)的条件下，当的条件下，当x3,3时，时，g(x)f(x)kx是单调是单调函数，求实数函数，求实数k的取值范围；的取值范围；(3)设设mn0，a0且且f(x)为偶函数，证明：为偶函数，证明：F(m)F(n)(1)解析：解析：f(1)0，ba1.由于由于f(x)0恒成立，即恒成立，即ax2bx10恒成立，恒成立，当当a0时，时，b1，此时，此时，f(x)x1与与f(x)0恒成立矛盾；恒成立矛盾；当当a0时，由时，由(b)24a(a1)24a(a1)20，得，得a1，b2.从而从而f(x)x22x1，F(x)(2)解析
15、：解析：由由(1)知知f(x)x22x1，g(x)f(x)kxx2(2k)x1，其对称轴为，其对称轴为x ，由由g(x)在在x3,3上是单调函数知：上是单调函数知： 3或或 3，解得，解得k4或或k8.(3)证明：证明：f(x)是偶函数，是偶函数，由由f(x)f(x)得得b0.故故f(x)ax21，F(x)a0，f(x)在在0，)上是增函数上是增函数对于对于F(x)，当，当x0时，时，x0，F(x)f(x)f(x)F(x)，当当x0，F(x)f(x)f(x)F(x)F(x)是奇函数，且是奇函数，且F(x)在在0，)上为增函数上为增函数. mn0，n0得得mn0，F(m)F(n)F(n)(2)当
16、当m0时，由时，由mn0得得nm0，F(n)F(m)F(m)，即，即F(m)F(n)综上可知，综上可知，F(m)F(n)变式探究变式探究5(2012长沙市模拟长沙市模拟)已知函数已知函数yf(x)的图象与函数的图象与函数h(x)x26x8的图象关于点的图象关于点(1,0)对称对称(1)求函数求函数f(x)的表达式；的表达式；(2)设函数设函数g(x)f(x)2x|x1a|(aR)，求，求g(x)的最小值的最小值解析：解析：(1)设设yf(x)上的任意一点为上的任意一点为(x，y)，则它关于点，则它关于点(1,0)的对称点的坐标为的对称点的坐标为(2x，y)而点而点(2x，y)满足满足yx26x
17、8，y(2x)26(2x)8.yx22x.f(x)x22x.课时升华课时升华1三个三个“二次二次”即二次函数、一元二次方程、一元二次不即二次函数、一元二次方程、一元二次不等式，是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，等式，是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具高考试题中同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具高考试题中近一半的试题与这三个近一半的试题与这三个“二次二次”问题有关因此要注意以二次函问题有关因此要注意以二次函数为主线数为主线(或纽带或纽带)来理解三者之间的联系与区别，掌握函数、方来理解三者之间的联系与区别，掌握函
18、数、方程及不等式的思想和方法程及不等式的思想和方法2配方法与数形结合是解决二次函数在给定闭区间上的最配方法与数形结合是解决二次函数在给定闭区间上的最值值(值域值域)问题的有效方法，注意问题的有效方法，注意“两看两看”：一看开口方向；二看：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系二次函数在给出区间上的最对称轴与所给区间的相对位置关系二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间值有两类：一是求闭区间m，n上的最值；二是求区间定上的最值；二是求区间定(动动)、对称轴动对称轴动(定定)的最值问题解决这类问题时，不要死记结论，应的最值问题解决这类问题时，不要死记结论，应利用数形结合利用数形结合
19、(其实质是单调性其实质是单调性)，抓住，抓住“三点一轴三点一轴”(三点指的是三点指的是区间的两个端点和区间中点，一轴指的是对称轴区间的两个端点和区间中点，一轴指的是对称轴)来考虑来考虑3讨论二次函数相应的二次方程的根的分布情况，一般需讨论二次函数相应的二次方程的根的分布情况，一般需从三方面考虑：从三方面考虑：判别式；判别式；区间端点的函数值的符号；区间端点的函数值的符号；对称对称轴与区间的相对位置轴与区间的相对位置.感感 悟悟 高高 考考品味高考品味高考1设设abc0，二次函数，二次函数f(x)ax2bxc的图象可能是的图象可能是 ()解析：解析：当当a0时，由时，由abc0知知b，c同号，对
20、应的图象应为同号，对应的图象应为C或或D，在，在C，D两图中有两图中有c0，故，故b0，选项，选项D符符合，同理可判断当合，同理可判断当a0时，选项时，选项A，B都不符合题意故选都不符合题意故选D.答案：答案：D2对实数对实数a和和b，定义运算，定义运算“ ”：a b 设函数设函数f(x)(x22) (x1)，xR.若函数若函数yf(x)c的图象与的图象与x轴恰有两轴恰有两个公共点，则实数个公共点，则实数c的取值范围是的取值范围是()A(1,1(2，)B(2，1(1,2C(，2)(1,2 D2，1解析：解析：f(x)则则f(x)的图象如右图所示的图象如右图所示函数函数yf(x)c的图象与的图象与x轴恰有两个公共点，轴恰有两个公共点，函数函数yf(x)与与yc的图象有两个交点，由图象可得的图象有两个交点，由图象可得2c1或或1c2.答案：答案：B高考预测高考预测1(2012东莞市二模东莞市二模)已知函数已知函数f(x)x2xc，若，若f(0)0，f(p)0，则必有，则必有()Af(p1)0Bf(p1)0Cf(p1)0Df(p1)的符号不能确定的符号不能确定A2 B1 C. D.
