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1、球面距离球面距离：球面上两点球面距离：球面上两点A、B之间的最短距离，就是之间的最短距离，就是经过经过A、B两点的大圆在这两点的大圆在这两点间的一段劣弧两点间的一段劣弧AB的长的长度，我们把这个弧长叫做度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离两点的球面距离A AB BO一一. .定义定义球面距离距离公式距离公式： （其中（其中R为球半径，为球半径， 为为A,B所对应的球心角的弧度数所对应的球心角的弧度数 ）RR1.1.已知已知A A，B B是半径为是半径为3 3的球面上的球面上两点，且两点，且AB= AB= ，求，求A A，B B两两点的球面距离点的球面距离. . ABO2.2.设地球的半径为设地
2、球的半径为R R，若甲地位于北纬若甲地位于北纬6060O O，东经，东经120120O O；乙地位于南纬乙地位于南纬1515O O度，东经度，东经120120O O，求甲、乙两地的球面距离。求甲、乙两地的球面距离。回顾：经度与纬度回顾：经度与纬度纬度：纬度：P的纬度是指球半径的纬度是指球半径OP和赤道平面所成的角度和赤道平面所成的角度 PA纬度是线面角纬度是线面角本初子午线经过经过P点的经线与地轴确点的经线与地轴确定的半平面定的半平面和和本初子午本初子午线与地轴确定的半平面线与地轴确定的半平面所成的二面角的度数所成的二面角的度数（即（即AOB的度数）的度数）经度：经度：PBOAMQ经度是二面角
3、经度是二面角1.位于同一经线上两点的球面距离位于同一经线上两点的球面距离例例1. 求东经求东经线上，纬度分别为北纬线上，纬度分别为北纬和和的两地的两地A，B B的球面距离的球面距离 (设地球半径为设地球半径为R).赤道赤道，根据，根据A ，B B的球面距离为的球面距离为解解 二二. .应用举例应用举例2.2.设地球的半径为设地球的半径为R R，若甲地位于北纬若甲地位于北纬6060O O，东经，东经120120O O；乙地位于南纬乙地位于南纬1515O O度，东经度，东经120120O O，求甲、乙两地的球面距离。求甲、乙两地的球面距离。O甲甲乙乙例例2.已知地球半径为已知地球半径为R,A、B两
4、点均位于北纬两点均位于北纬45度度线上，点线上，点A在东经在东经30度，点度，点B在东经在东经120度。度。求求(1)在北纬在北纬45度圈上劣弧度圈上劣弧 的长度的长度; (2) 求经过求经过A、B两地的球面距离？两地的球面距离？OO1ABm2.位于同一纬线上两点的球面距离位于同一纬线上两点的球面距离纬线圈中纬线圈中 的长度为的长度为OO1ABm (2) 求经过求经过A、B两地球面距离？两地球面距离？ A、B两地的球面距离为两地的球面距离为的的纬线上，上， A、 B B两地的球面距两地的球面距 变式：把地球当作半径式：把地球当作半径为的球，的球， 地球上两地地球上两地A B B均在北均在北纬离
5、离为 , ,且且A在西经在西经 处，求点，求点B B的位置。的位置。 B解：假设解：假设AB B的弧的弧长为在直角三角形在直角三角形为正三角形，为正三角形，B同理得：同理得：B所以所以 B B在西经在西经因为因为A在西经在西经处处,3.3.地球是一个半径为地球是一个半径为R R的球，的球， A A在北在北纬4545，东经7070， B B在北在北纬4545，东经160160 求求A A、B B两地的球面距离两地的球面距离。 4. 4. 北京的位置为东经北京的位置为东经116116，北，北纬4040 纽约的位置的位置为西西经7474，北，北纬4040 求两个城市求两个城市间的距离。的距离。 （地
6、球的半径（地球的半径约为6371Km,6371Km,精确到精确到1Km1Km）例例3 3 已知球已知球的半径的半径为1 1， A 、 B B 、 C三三 点都在球面上，且每两点点都在球面上，且每两点间的球面距离都的球面距离都为 ，则球球心到平面心到平面AB BC距离距离为（ ） ABC D ，同理得：，同理得：，在直角三角形，在直角三角形 A 、 B B 、 C三点三点 解法一解法一 每两点每两点间的球面距离都的球面距离都为 为正三角形，为正三角形，在直角三角形，在直角三角形注：我们可以把球的问题转化成棱锥注：我们可以把球的问题转化成棱锥(或棱柱或棱柱)问题来处理问题来处理解法二解法二：建立空
7、间直角坐标系建立空间直角坐标系假设平面假设平面AB BC的法向量为的法向量为XYZ则，则，注：只要有三条互相垂直的直线我们都可以建立空间直角坐注：只要有三条互相垂直的直线我们都可以建立空间直角坐标系标系XYZ令令得得平面的一个法向量为平面的一个法向量为，因为，因为B B点在平点在平面面AB BC内，内，三三、小结小结1.两种形式的球面距离的求解两种形式的球面距离的求解2.球面距离公式球面距离公式(1).位于同一经线上两点的球面距离位于同一经线上两点的球面距离(2).位于同一纬线上两点的球面距离位于同一纬线上两点的球面距离方法：先求弦长，再由余弦定理求球心角，化方法：先求弦长，再由余弦定理求球心
8、角，化为弧度，最后代公式。为弧度，最后代公式。方法：直接代公式方法：直接代公式练习：练习：已知在半径已知在半径为的球面上有的球面上有 A 、 B B 、 C三三 点，点， , A 、 C两点两点间的球面距离的球面距离为 则球心到平面球心到平面AB BC距离距离为多少多少？ 解：解： A 、 C两点的球面距离两点的球面距离为为直角三角形，为直角三角形， A 、 B B 、 C三点共三点共圆 球心球心在平面在平面AB BC内的射影一定在内的射影一定在上，上，所以点所以点到平面到平面AB BC的距离的距离为练习：练习：球面上有球面上有3个点，其中任意两点的球面距离个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的都等于大圆周长的经过经过3点的小圆的周点的小圆的周长为长为那么这个球的半径为（那么这个球的半径为（ ）ABC D
