勾股定理的有关证明

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1、 勾股定理的有关证明勾股定理的有关证明勾股定理勾股定理: :直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方a a2 2+b+b2 2=c=c2 2b2c2a211美丽的勾股树美丽的勾股树2002年，在北京举行的国际年，在北京举行的国际数学家大会会标数学家大会会标赵爽的赵爽的“弦图弦图” 早在公元早在公元3世纪，我国世纪，我国数学家赵爽就用左边的图数学家赵爽就用左边的图形验证了形验证了“勾股定理勾股定理”思考思考:你能验证吗？你能验证吗？(4)(3)(2)(1)(1)(2)(3)(4)cccc(a-b)2(a-b)2C24ab=a2 + b2 = c2可得：a2

2、+b22ab = c22abbCa想一想：这四个直角三角形还能怎样拼？想一想：这四个直角三角形还能怎样拼？证证明明一一bababa bacccc大正方形的面积该怎样表示大正方形的面积该怎样表示?(a+b)2=a2 + b2 + 2ab = c2+2ab可得可得: a2 + b2 = c2证证明明二二证明三c2a2b2 a2 + b2 = c2a2b2a2c2对比两个图形对比两个图形, ,你能直接观察验你能直接观察验证出勾股定理吗？证出勾股定理吗？a证明六 印度婆什迦罗的证明c c2 = b2 + a2b美国总统的证明加菲尔德加菲尔德 （James A. Garfield； 1831 1881）

3、1881 1881 年成年成为为美国美国第第 20 20 任任总统总统1876 1876 年提出有年提出有关证关证明明证明七证明七 “总统总统”证法证法 (a + b)(b + a) = c2 + 2ab a2 + 2ab + b2= c2 +2 ab a2 + b2= c2aabbcc证明八证明八证明八证明八证明八a2b2证明九证明九证明九证明九证明九c2 a2 + b2 = c2证明九证明九拼图游戏证明九拼图游戏无字证明无字证明青出青出朱方朱方青方青方朱入朱入朱朱出出青入青入青青入入青出青出青青出出 abc无字证明无字证明青出青出朱入朱入朱朱出出朱方朱方青方青方青入青入青青入入青出青出青青

4、出出华罗庚华罗庚青青朱朱出入图出入图朱入朱入朱朱出出证明十IIIIII注意：面积 I :面积II :面积III= a2 : b2 : c2 IIIIII注意：面积 I : 面积 II : 面积 III= a2 : b2 : c2 证明十IIIIII注意：面积 I : 面积 II : 面积 III= a2 : b2 : c2 证明十注意：面积 I : 面积 II : 面积 III= a2 : b2 : c2 证明十注意：面积 I : 面积 II : 面积 III= a2 : b2 : c2 证明十注意：面积 I : 面积 II : 面积 III= a2 : b2 : c2 证明十注意：面积 I

5、: 面积 II : 面积 III= a2 : b2 : c2 由此得，面积 I + 面积 II = 面积 III因此，a2 + b2 = c2 。 证明十 在从在从“面积到乘法公式面积到乘法公式”一章的学习中，我们把几个图形拼一章的学习中，我们把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的成一个新的图形，通过图形面积的计算得到了许多有用的式子。这节计算得到了许多有用的式子。这节课同样地我们用多种方法拼图验证课同样地我们用多种方法拼图验证了勾股定理，你有什么感受？了勾股定理，你有什么感受？ 例例 . .在在RtABCRtABC中，中，=90=90. . (1) (1) 已知：已知：a=6a=6，=8

6、=8，求，求c c； (2) (2) 已知：已知：a=40a=40，c=41c=41，求，求b b； (3) (3) 已知：已知：c=13c=13，b=5b=5，求，求a a； (4) (4) 已知已知: a:b=3:4, c=15,: a:b=3:4, c=15,求求a a、b.b.例题分析例题分析(1)在直角三角形中在直角三角形中,已知两边已知两边,可求第三边可求第三边;(2)可用勾股定理建立方程可用勾股定理建立方程.方法方法小结小结、一个直角三角形的三边长为三个连续、一个直角三角形的三边长为三个连续偶数偶数,则它的三边长分别为则它的三边长分别为 ( )A 2、4、6 4、6、8B试一试试一试: 6、8、10 8、10、12