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1、第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第四章第四章 力学量用算符表达力学量用算符表达教学内容第1页1力学量的平均值力学量的平均值2 算符的运算规则算符的运算规则3 动量算符和角动量算符动量算符和角动量算符4 厄米算符的本征值与本征函数厄米算符的本征值与本征函数5 共同本征函数共同本征函数第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 1 力学量的平均值力学量的平均值微观粒子的运动状态用微观粒子的运动状态用波函数波函数描述。一旦给出了描述。一旦给出了波函数波函数，就确，就确定了微观粒子的运动
2、状态。定了微观粒子的运动状态。但但不是可观测得量，何谓确定了微观粒子的运动状态？不是可观测得量，何谓确定了微观粒子的运动状态？在微观粒子的某一个运动状态下，它的力学量如在微观粒子的某一个运动状态下，它的力学量如坐标、动量，角坐标、动量，角动量、能量动量、能量等不同时具有确定的值，具有一系列可能的值，每一等不同时具有确定的值，具有一系列可能的值，每一可能的值以一定的可能的值以一定的概率概率出现。出现。给定运动状态的波函数给定运动状态的波函数后，力学量出现的各种可能值的相应概后，力学量出现的各种可能值的相应概率就完全确定，利用统计平均的方法，可以算出该力学量的平均率就完全确定，利用统计平均的方法，
3、可以算出该力学量的平均值，进而与实验观测值比较。值，进而与实验观测值比较。第2页原则上，一切力学量的平均值就是在所描写的状态下的相应的力原则上，一切力学量的平均值就是在所描写的状态下的相应的力学量的观测结果，在这种意义下一般认为，波函数描写了粒子的学量的观测结果，在这种意义下一般认为，波函数描写了粒子的运动状态。运动状态。第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 1. 统计平均值的意义统计平均值的意义如果通过一系列的实验测定系统的一个状态的参量如果通过一系列的实验测定系统的一个状态的参量，得到相应的，得到相应的值为值为A1,A2,As，在总
4、的实验次数在总的实验次数N N中，则得到这些值的次数分别是中，则得到这些值的次数分别是N1,N2, Ns，则则的（算术）平均值为的（算术）平均值为第3页当总的实验次数当总的实验次数N时，量时，量的平均值的极限是的平均值的极限是的统计平均值的统计平均值式中式中Pi为量为量出现值出现值Ai的几率。如果变量是连续分布的，则上述统的几率。如果变量是连续分布的，则上述统计平均值可以表示成计平均值可以表示成(x)为量为量出现值出现值Ai的几率密度。的几率密度。第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 2. 2. 再论（归一化的）再论（归一化的）|2和和
5、|C|2的物理意义的物理意义 与波函数相联系的粒子，一般不具有精确的位置，又不具有与波函数相联系的粒子，一般不具有精确的位置，又不具有精确的动量。一般地，对于精确的动量。一般地，对于 表示的单个粒子系统，要对该粒子表示的单个粒子系统，要对该粒子的动力学变量中的这个或者那个做测量，我们不能对测量结果做的动力学变量中的这个或者那个做测量，我们不能对测量结果做确定的预言。确定的预言。 但是对于但是对于N个大量数目，彼此独立的等价系统（每个系统都由个大量数目，彼此独立的等价系统（每个系统都由同一波函数描述），若我们对他们中的每个做位置测量，则同一波函数描述），若我们对他们中的每个做位置测量，则|2 给
6、出的就是成员数给出的就是成员数N趋于无穷大的极限下，趋于无穷大的极限下，N次测量结果的分布。次测量结果的分布。类似地，如果测量的是动量，则类似地，如果测量的是动量，则|C|2 给出动量的几率分布。给出动量的几率分布。第4页第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun (1) 坐标表象的力学量平均值。坐标表象的力学量平均值。 对以波函数对以波函数(r, t)描写的状态，按照波函数的统计解释，描写的状态，按照波函数的统计解释， |(r, t)|2 dr表示在表示在t t时刻在时刻在rr+dr中找到粒子的几率，因此坐标中找到粒子的几率，因此坐标r的的
7、平均值显然是平均值显然是第5页3.3.在坐标表象中的力学量平均值在坐标表象中的力学量平均值坐标坐标 r 的函数的函数 f(r) 的平均值是的平均值是其物理意义和我们对其物理意义和我们对 |(r,t)|2所做的解释一样：它是对所做的解释一样：它是对N个大个大量数目的，等价的，彼此独立的且由同一波函数表示的体系做量数目的，等价的，彼此独立的且由同一波函数表示的体系做f(r) 测量的结果的平均值。测量的结果的平均值。第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun （2 2）动量的平均值）动量的平均值p 的平均值不能简单地写为的平均值不能简单地写为第6页
8、在在 t 时刻，在时刻，在pp+dp 找到粒子的概率为找到粒子的概率为|C(p, t)|2 dp，动量的平动量的平均值可以表示为均值可以表示为用波函数用波函数直接计算动量平均值的公式直接计算动量平均值的公式第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 记动量算符为：记动量算符为：第7页动量平均值为动量平均值为利用数学归纳法不难证明，对于正整数利用数学归纳法不难证明，对于正整数 n，有有第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 如果如果 是动量是动量 的解析函数，且可以展成幂级数：的解析函数，
9、且可以展成幂级数：则有则有上面的结果立即可以推广到三维情形：上面的结果立即可以推广到三维情形：第8页第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun （3 3）动能和角动量的平均值）动能和角动量的平均值动能的平均值：动能的平均值：第9页角动量的平均值：角动量的平均值：动能算符：动能算符：角动量算符：角动量算符：第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun （4 4）任一力学量的平均值）任一力学量的平均值一般地，微观粒子的任何一个力学量一般地，微观粒子的任何一个力学量A A的平均值总能表示为的平均值总
10、能表示为第10页其中其中 是力学量是力学量 A 相应的算符。如果该力学量相应的算符。如果该力学量 A 在经典力学中在经典力学中有相对应的力学量，则表示该力学量的算符有相对应的力学量，则表示该力学量的算符 由经典表达式由经典表达式 A(r, p)中将中将 p 换成算符换成算符 而得出，即而得出，即综上所述，我们可以得出，在求平均值的意义下，力学量可以用算综上所述，我们可以得出，在求平均值的意义下，力学量可以用算符来代替。当我们用坐标表象中的波函数来计算动量平均值，需要符来代替。当我们用坐标表象中的波函数来计算动量平均值，需要引进动量算符，除此之外，能量算符和角动量算符也可依此引进。引进动量算符，
11、除此之外，能量算符和角动量算符也可依此引进。第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 2 算符的运算规则算符的运算规则算符算符: : 代表对波函数的某种运算或变换代表对波函数的某种运算或变换第11页把函数把函数u变为变为v。注意注意: : 算符只是一种符号，单独存在是没有意义的。仅当其作用于算符只是一种符号，单独存在是没有意义的。仅当其作用于波函数上，对波函数做相应的运算，才有意义。波函数上，对波函数做相应的运算，才有意义。约定约定：算符只对右边的波函数作用。算符只对右边的波函数作用。定义单位算符定义单位算符（I）和零算符和零算符(0)算符
12、例子：算符例子：第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 算符的一般特性算符的一般特性1.线性算符 满足如下运算关系的算符称为线性算符(c11 + c22 )= c1 1 + c2 2 其中c1 , c2为任意复常数, 1 , 2任意两个波函数。第12页例如单位算符动量算符均为线性算符开方算符，取复共轭算符均不是线性算符注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠加原理的反映。第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 例子例子粒子状态满足薛定谔方程第13页若1, 2是方程的解，则
13、c11 + c22也是方程的解。事实上仅当是线性算符时才有仅当是线性算符时才有第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 2.算符的运算规则算符的运算规则算符之和算符之和 算符算符 A A与与B B之和记为之和记为A+BA+B, ,定义为定义为是任意波函数。是任意波函数。 第14页例如体系的哈密顿算符例如体系的哈密顿算符，算符求和满足交换律和结合律算符求和满足交换律和结合律线形算符之和仍为线形算符之和仍为线形算符线形算符。第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 称称A A与与B B不对易
14、不对易算符算符 与与 之积之积 ，定义为，定义为 设算符设算符 和和 对体系的任何波函数对体系的任何波函数 的运算所得结果都相的运算所得结果都相同同算符相等算符相等则称两个算符相等，记做则称两个算符相等，记做算符之积算符之积且满足且满足但一般不满足交换率但一般不满足交换率这是算符与通常代数运算规则的唯一不同之处。这是算符与通常代数运算规则的唯一不同之处。第15页第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 若若 ，则称，则称 与与 不对易。不对易。若若 ，则称，则称 与与 对易。对易。第16页对易关系对易关系例如，算符例如，算符 ，不对易，不对
15、易。 证明：证明：显然二者不相等，所以显然二者不相等，所以是任意波函数是任意波函数同理同理坐标算符和对应的动量坐标算符和对应的动量分量算符不对易。分量算符不对易。第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 量子力学中最基本的量子力学中最基本的 对易关系。对易关系。写出通式：写出通式：但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。第17页第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 注意：注意：B B与与A A对易，对易，A A与与C C
16、对易，不能推知对易，不能推知B B与与C C对易对易。第18页对易括号对易括号为了表述简洁，运算便利和研究量子力学与经典力学的为了表述简洁，运算便利和研究量子力学与经典力学的关系，人们定义了关系，人们定义了对易括号对易括号：采用对易括号，基采用对易括号，基本对易关系写为本对易关系写为思考思考：第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 不难证明，对易式满足如下关系不难证明，对易式满足如下关系最后一式称为最后一式称为Jacobi恒等式。恒等式。例题证明：证明：第19页第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun
17、Fang Jun 逆算符逆算符第20页算符的乘幂算符的乘幂显然显然设设能够唯一地解出能够唯一地解出，则可定义则可定义算符之逆算符之逆性质性质1：若：若的逆存在，则的逆存在，则有有性质性质2：若：若的逆存在，则的逆存在，则有有证明：若证明：若第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 算符函数算符函数设给定一函数设给定一函数F(xF(x),),其各阶导数均存在。若有一个算符其各阶导数均存在。若有一个算符 ，则可定义算符，则可定义算符 的函数的函数第21页例：例： e ex x 的各阶导数都存在，则有的各阶导数都存在，则有 于是有于是有令令 ，则
18、可定义，则可定义，由此可得到由此可得到第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 两个（或者多个）算符的函数两个（或者多个）算符的函数其中其中第22页复共轭算符复共轭算符算符算符 的复共轭算符的复共轭算符 就是把就是把的表达式中所有量换成复共轭，的表达式中所有量换成复共轭，例如：例如：在坐标表象中，在坐标表象中，一般，一般，转置算符转置算符标积标积的概念量子力学中任意两个波函数的标量子力学中任意两个波函数的标积定义为积定义为它具有下列它具有下列性质性质第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Ju
19、n 转置算符转置算符算符算符 的转置算符的转置算符 定义为定义为第23页式中式中和和是任意两个波函数是任意两个波函数。可以证明：可以证明： ? ?例题：例题：证明证明由此可证由此可证第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 厄米共轭算符厄米共轭算符算符算符 的厄米共轭算符的厄米共轭算符 定义为，定义为，第24页由此可得由此可得厄米共轭算符可写为厄米共轭算符可写为可以证明可以证明第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 厄米算符厄米算符满足下列关系的算符称为满足下列关系的算符称为厄米厄米算
20、符算符第25页或者例如例如动量算符是厄米算符动量算符是厄米算符性质性质I: I: 两个厄米算符之和仍是厄米算符。即若两个厄米算符之和仍是厄米算符。即若 A A+ + = A, B = A, B+ + = B = B，则，则(A+B)(A+B)+ + = A = A+ + + B + B+ + = (A+B) = (A+B) 性质性质II: II: 两个厄米算符之积一般不是厄米算符两个厄米算符之积一般不是厄米算符, , 除除 非二算符非二算符对易。对易。 因为因为 (AB)(AB)+ + = B = B+ + A A+ + = BA AB = BA AB 仅当仅当 A, B = 0 A, B =
21、 0 成立时成立时, (A B), (A B)+ + = A B = A B 才成立。才成立。第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 按假定，在任意状态按假定，在任意状态下，即下，即性质性质III:III:体系的任何状态下，其厄米算符的平均值必为实数。体系的任何状态下，其厄米算符的平均值必为实数。体系的任何状态下，其厄米算符的平均值必为实数。体系的任何状态下，其厄米算符的平均值必为实数。性质性质IV:IV:在任何情况下，平均值均为实数的算符必为厄米算符。在任何情况下，平均值均为实数的算符必为厄米算符。证明：证明：取取取取1 1 1 1 2
22、 2 2 2，1 1 1 1和和和和2 2 2 2也是任意的，也是任意的，也是任意的，也是任意的， 是任意常数。代入上是任意常数。代入上是任意常数。代入上是任意常数。代入上式，式，式，式，由于在任意状态下由于在任意状态下都为实，所以都为实，所以 ( (1 1,A,A1 1)=(A)=(A1 1, ,1 1),),有有 第26页第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 分别令分别令分别令分别令1 1 1 1和和和和i i i i可得：可得：可得：可得：以上两式相减，得以上两式相减，得两式相加，得两式相加，得两式相加，得两式相加，得此即厄米算符
23、定义的要求，故得证明。此即厄米算符定义的要求，故得证明。此即厄米算符定义的要求，故得证明。此即厄米算符定义的要求，故得证明。由于实验上的可观测量，必然在任何态下的平均值都是实数，由于实验上的可观测量，必然在任何态下的平均值都是实数，故相应的算符必须是厄米算符。故相应的算符必须是厄米算符。此外，设此外，设A A为厄米算符，则在任意态下，有为厄米算符，则在任意态下，有第27页第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 量子力学中力学量的平均值就是该态下力学量的观测值，量子力学中力学量的平均值就是该态下力学量的观测值，而力学量的观测值总为实数，故而
24、力学量的观测值总为实数，故 力学量算符是厄米算符，且是线性厄米算符（力学量算符是厄米算符，且是线性厄米算符（态叠加原态叠加原理之要求理之要求）。）。第28页例题：例题：证明（证明（1 1）无论厄米算符）无论厄米算符A A与与B B是否对易，算符是否对易，算符 ，与与 必是厄米算符。必是厄米算符。（2 2）任何一个算符）任何一个算符F F总可以分解为总可以分解为 ，其中，其中 ， 与与 均为厄米算符。均为厄米算符。 第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 算符：算符：代表对波函数的某一种运算。代表对波函数的某一种运算。线性算符线性算符 算符
25、之和算符之和 算符之积算符之积 逆算符逆算符 算符函数算符函数第29页转置算符转置算符复共轭算符复共轭算符 算符表达式中所有的量换成复共轭算符表达式中所有的量换成复共轭 厄米共轭算符厄米共轭算符厄米算符厄米算符1.1.体系任何状态下厄米算符的平均值为实数体系任何状态下厄米算符的平均值为实数2.2.任何状态下平均值为实的算符都是厄米算符任何状态下平均值为实的算符都是厄米算符第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 例题：例题：(a)(a)已知粒子的坐标已知粒子的坐标r,r,动量动量p p均为厄米算符，判断均为厄米算符，判断l=r p,rp,r
26、p是否为厄米算符。是否为厄米算符。(b)(b)证明：证明：(c)(c)证明：证明：第30页第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun (d) 设A,BA,B为矢量算符，F为标量算符，证明第31页第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 3 动量算符和角动量算符动量算符和角动量算符 ( (一一) ) 动量算符动量算符 （1）动量算符的本征方程和本征函数 （2）动量本征函数的“归一化” ( (二二) ) 角动量算符角动量算符 （1）角动量算符的形式 （2）角动量本征方程和本征函数 （3）角动量
27、算符的对易关系第32页第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun ( (一一) ) 动量算符量算符（1 1）动量算符的本征方程和本征函数动量算符的本征方程和本征函数 动量算符的本征值方程（坐标表象）动量算符的本征值方程（坐标表象）第33页动量本征函数动量本征值在直角坐标下的分量形式在直角坐标下的分量形式采用分离变量法采用分离变量法这正是自由粒子的这正是自由粒子的 de Broglie波的空波的空 间部分波函数。间部分波函数。第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 自由粒子的波函数自由粒子
28、的波函数就是就是动量本征函数动量本征函数，相应的动量本征值为，相应的动量本征值为p p. .动量可以在动量可以在（-，+）连续取值，所以动量本征谱为）连续取值，所以动量本征谱为连续谱连续谱。此。此外，自由粒子波函数也是外，自由粒子波函数也是能量本征函数能量本征函数，对应本征值，对应本征值E E，也是连续谱。也是连续谱。第34页连续谱本征函数不能归一化，连续谱本征函数不能归一化，如何如何“归一化归一化”？第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun （2 2）动量本征函数的动量本征函数的“归一化归一化”A. A. 归一化为归一化为函数函数动量本征
29、函数动量本征函数第35页利用利用若取若取“归一化归一化”的动量本的动量本征函数为征函数为坐标本征函数如何求？坐标本征函数如何求？第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun B. 箱归一化具有连续谱的本征函数如具有连续谱的本征函数如: :动量的本征函数是不能归一化为一的，动量的本征函数是不能归一化为一的，而只能归一化为而只能归一化为-函数。函数。但是，如果我们加上适当的边界条件，则可以用以前的归一化方但是，如果我们加上适当的边界条件，则可以用以前的归一化方法来归一，这种方法称为法来归一，这种方法称为箱归一化。箱归一化。第36页周期性边界条件周期
30、性边界条件箱子边界上对应点处，波函数箱子边界上对应点处，波函数相等（动量算符厄米性之要求相等（动量算符厄米性之要求）。）。xyzo第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第37页本征值本征值 第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第38页这表明动量只能取分立值。换言之，加上周期性边界条这表明动量只能取分立值。换言之，加上周期性边界条件后，连续谱变成了分立谱。件后，连续谱变成了分立谱。由归一化条件由归一化条件归一化归一化本征函数本征函数 第4章 力学量用算符表示 Quantum Me
31、chanicsFang Jun Fang Jun (1)(1)可以看出，只有在分立谱情况下，波函数才能可以看出，只有在分立谱情况下，波函数才能归一化为一；连续谱情况，归一化为归一化为一；连续谱情况，归一化为 函数。函数。(2)(2)由由可以看出，相邻两本征值的间隔可以看出，相邻两本征值的间隔 ，与，与L L成反比。当成反比。当L L足够大时，本征值间隔可以任意小，足够大时，本征值间隔可以任意小，当当 时，时， ，离散谱离散谱连续谱。连续谱。第39页讨论讨论第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun ( (二二) ) 角角动量算符量算符角动量算
32、符的形式角动量算符的形式第40页 xz球球 坐坐 标标r y第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 利用直角坐标与球坐标之间的变换关系利用直角坐标与球坐标之间的变换关系, ,求得偏导数求得偏导数第41页第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 由上面结果得由上面结果得第42页则球坐标下角动量算符的表达式为则球坐标下角动量算符的表达式为第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 直角坐标直角坐标第43页球坐标球坐标vs角动量算符角动量算
33、符第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 定义角动量平方算符定义角动量平方算符第44页本征方程本征方程L Lz z的本征方程的本征方程本征方程本征方程 在球坐标系中在球坐标系中 由于由于 为为 的单值函数，应有周期的单值函数，应有周期条件条件: : 即即 本征值本征值:第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第45页 称为磁量子数称为磁量子数 可见，微观系统的角动量在可见，微观系统的角动量在z z方向的分量只能取分离值方向的分量只能取分离值（零或（零或 的整数倍）。由于的整数倍）。由
34、于z z方向是任意取定的，所以方向是任意取定的，所以角角动量在空间任意方向的投影是量子化的动量在空间任意方向的投影是量子化的。 本征函数本征函数由归一化条件由归一化条件 归一化本征函数归一化本征函数正交性：正交性：将归一化条件与正交性合记之得正交归一化条件：将归一化条件与正交性合记之得正交归一化条件：第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 这正是周期这正是周期性边界条件性边界条件讨论：讨论：设设和和为粒子的二任意态，为粒子的二任意态，第46页按按L Lz z的厄米性要求：的厄米性要求：第4章 力学量用算符表示 Quantum Mechan
35、icsFang Jun Fang Jun 角动量算符的对易关系角动量算符的对易关系第47页任何两个指标对换，改变正负号任何两个指标对换，改变正负号任何两个指标相同，为任何两个指标相同，为0.0.类似，可证明类似，可证明矢量形式矢量形式第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun （4 4）角动量升降阶算符）角动量升降阶算符(I) 定义定义显显 然然 有有 如如 下下 性性 质质所以，这两个算符所以，这两个算符 不是厄米算符。不是厄米算符。(II) (II) 对易关系对易关系不不 难难 证证 明明第48页第4章 力学量用算符表示 Quantum
36、MechanicsFang Jun Fang Jun 证明：证明：第49页第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 4. 4.4 4 厄米算符的本征值和本征函数厄米算符的本征值和本征函数第50页假设在一态假设在一态测量测量力学量力学量A A时，一般可出现各种时，一般可出现各种不同的结果不同的结果，各有，各有一定的几率。对状态的大量完全相同的体系，如进行多次测量，所一定的几率。对状态的大量完全相同的体系，如进行多次测量，所得结果的平均将趋于一个得结果的平均将趋于一个确定的值确定的值。而每次测量的结果则围绕平均。而每次测量的结果则围绕平均值有一
37、个涨落，它由下式定义：值有一个涨落，它由下式定义：因为因为因为因为A A A A为厄米算符，为厄米算符，为厄米算符，为厄米算符， 必为实数，因而必为实数，因而必为实数，因而必为实数，因而 A-A-A-A-仍为厄米算符，仍为厄米算符，仍为厄米算符，仍为厄米算符，由上式有由上式有由上式有由上式有第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第51页如果体系处于测量如果体系处于测量A A所得结果是唯一确定的态，即涨落所得结果是唯一确定的态，即涨落 =0=0，则，则称为力学量称为力学量A A的本征态，满足的本征态，满足为方便，通常将此常数记为为方便，通
38、常将此常数记为为方便，通常将此常数记为为方便，通常将此常数记为A A A An n n n，并将该特殊状态记为，并将该特殊状态记为，并将该特殊状态记为，并将该特殊状态记为n n n n。故。故。故。故A A A An n n n 称为称为称为称为A A A A的一个本征值，的一个本征值，的一个本征值，的一个本征值，n n n n 为相应的本征态。为相应的本征态。为相应的本征态。为相应的本征态。2.2.本征态和本征方程本征态和本征方程本征方程本征方程第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第52页量子力学的一个基本假定是量子力学的一个基本假
39、定是量子力学的一个基本假定是量子力学的一个基本假定是：测量力学量：测量力学量：测量力学量：测量力学量A A A A时所有可能出现的值，都是时所有可能出现的值，都是时所有可能出现的值，都是时所有可能出现的值，都是相应的线形厄米算符的本征值。当体系处于本征态相应的线形厄米算符的本征值。当体系处于本征态相应的线形厄米算符的本征值。当体系处于本征态相应的线形厄米算符的本征值。当体系处于本征态n n n n ，则每次测量，则每次测量，则每次测量，则每次测量得到的结果都是得到的结果都是得到的结果都是得到的结果都是A A A An n n n . . . .量子力学中的力学量算符都是线形厄米算符，可以得到其
40、本征值与本量子力学中的力学量算符都是线形厄米算符，可以得到其本征值与本量子力学中的力学量算符都是线形厄米算符，可以得到其本征值与本量子力学中的力学量算符都是线形厄米算符，可以得到其本征值与本征函数具有下述性质。征函数具有下述性质。征函数具有下述性质。征函数具有下述性质。（1 1）厄米算符的本征值一定是实数。）厄米算符的本征值一定是实数。3.3.本征态和本征函数的性质本征态和本征函数的性质第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun （2 2）厄米算符属于不同本征值的本征函数相互正交。）厄米算符属于不同本征值的本征函数相互正交。证明证明: : 设
41、设l53则有则有由算符厄米性由算符厄米性第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 若若i(i(i=1,2,3=1,2,3) )是归一化的是归一化的本征函数本征函数，则，则综合正交归一性综合正交归一性综合正交归一性综合正交归一性对分立谱对分立谱: :对连续谱对连续谱: :第54页 微观体系所处的状态，只可能分为两大类：一是体系状态恰好处于力学量算符的本征态；二是处于任意态。 当体系处于力学量算符A的本征态时，力学量A具有确定值。 量子力学重要的基本任务之一，就是确定力学量算符的本征态及本征值。但必须随时注意：力学量算符的本征态可能不止一个。第
42、4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun （3 3）厄米算符所有的本征函数组成的函数）厄米算符所有的本征函数组成的函数系构成完备系统系构成完备系统第55页若算符若算符A A的正交归一本征函数系的正交归一本征函数系则任意函数可由展开为则任意函数可由展开为且展开式唯一，其中且展开式唯一，其中C Cn n与与r r无关，无关，称本征函数系称本征函数系n n构成构成完备函数系，或本征函数系具有完备性。完备函数系，或本征函数系具有完备性。第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun IIII连续谱：连续
43、谱：求展开函数求展开函数C Cn n：I. I. 分离谱：分离谱：第56页第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 设任一态为设任一态为分立谱分立谱而而归一化归一化条件可表示为条件可表示为4.4.任一态中力学量的平均值任一态中力学量的平均值则力学量的则力学量的平均值平均值可表示为可表示为l57第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 若若A A的本征函数既有分立谱又有连续谱时，完备系为的本征函数既有分立谱又有连续谱时，完备系为n n，则有，则有因此，量子力学中的力学量以线形厄米算符来表示
44、，力学量取确因此，量子力学中的力学量以线形厄米算符来表示，力学量取确定的态就是力学量算符的本征态，力学量的取值就是算符的本征定的态就是力学量算符的本征态，力学量的取值就是算符的本征值。力学量算符的本征函数系是正交归一完备的，它们是力学量值。力学量算符的本征函数系是正交归一完备的，它们是力学量所有可能取的数值及其相应态。所有可能取的数值及其相应态。第58页第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 大致可分为三类：大致可分为三类： （1 1）连续谱连续谱本征值可取任何实数值。如自由粒子的坐标和动量的本征值可取任何实数值。如自由粒子的坐标和动量的
45、本征值谱；本征值谱； （2 2）带谱带谱本征值被限定在某些区域，本征值被限定在某些区域， 例如固体中的能带；例如固体中的能带； （3 3）分立谱分立谱本征值只能取一系列孤立实数，如粒子在束缚态下的本征值只能取一系列孤立实数，如粒子在束缚态下的能谱。能谱。 重点讨论连续谱和分立谱。通常连续谱记为重点讨论连续谱和分立谱。通常连续谱记为 或或 分立谱记分立谱记为为 。对应的本征函数分别记为。对应的本征函数分别记为 及及 。力学。力学量算符的本征态及本征值可能不是一一对应，而出现若干个（如量算符的本征态及本征值可能不是一一对应，而出现若干个（如 f f 个）本征态对应一个本征值，称这种情况为个）本征态
46、对应一个本征值，称这种情况为 f f 度简并。度简并。力学量算符的本征值被称为力学量算符的本征值被称为力学量谱力学量谱或或本征值谱本征值谱第59页第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 下列函数哪些是算符下列函数哪些是算符的本征函数，其本征值是什么？的本征函数，其本征值是什么？，解：解：不是不是的本征函数。的本征函数。是是的本征函数，其对应的本征值为的本征函数，其对应的本征值为1。l第60页第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第61页简并情况简并情况上面证明厄密算符本征函数的正交
47、性时，曾假设上面证明厄密算符本征函数的正交性时，曾假设 这这些本征函数属于不同本征值，即些本征函数属于不同本征值，即非简并情况非简并情况。如果如果 F F 的本征值的本征值F Fn n是是f f度简并的，则对应度简并的，则对应F Fn n有有f f个本征函数：个本征函数：n1n1 ,n2 n2 , ., , ., nfnf 满足本征方程：满足本征方程：一般说来，这些函数一般说来，这些函数 并不一定正交。并不一定正交。可以证明由这可以证明由这 f f 个函数可以线性组合成个函数可以线性组合成 f f 个独立的新函数，它个独立的新函数，它们仍属于本征值们仍属于本征值 F Fn n 且满足正交归一化
48、条件。且满足正交归一化条件。第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第62页证证明明: :由这由这 f 个个n i 线性组合成线性组合成 f 个新函数个新函数 n j可以满足正交归一化条件：可以满足正交归一化条件：证明分如下两步进行证明分如下两步进行1. 1. njnj 是本征值是本征值 F Fn n 的本征函数。的本征函数。2. 满足正交归一条件的满足正交归一条件的 f 个新函数个新函数n j可以组成。可以组成。第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第63页1. 1. njnj是
49、本征值是本征值F Fn n的本征函数。的本征函数。2. 满足正交归一条件的满足正交归一条件的f个新函数个新函数nj可以组成。可以组成。为此只需证明线性为此只需证明线性 叠加系数叠加系数 A Ajiji 的的个个 数数 f f 2 2 大于或等于大于或等于 正交归一条件正交归一条件方程方程 个数即可。个数即可。正交归一条件正交归一条件方程的归一化条件有方程的归一化条件有 f f 个，正交条个，正交条 件有件有f(f-1)/2 f(f-1)/2 个，所以共有独立方个，所以共有独立方 程数为二者之和等于程数为二者之和等于 f(f+1)/2 f(f+1)/2 第4章 力学量用算符表示 Quantum
50、MechanicsFang Jun Fang Jun 第64页因为因为 f f2 2 - f(f+1)/2 = f(f-1)/2 0 - f(f+1)/2 = f(f-1)/2 0， 所以，方程个数少于待定系数所以，方程个数少于待定系数 A Ajiji 的个数，因而，我们的个数，因而，我们有多种可能来确定这有多种可能来确定这 f f 2 2 个系数使上式成立。个系数使上式成立。f f 个新函个新函数数njnj 的确是算符的确是算符 F F 对应于本征值对应于本征值 F Fn n 的正交归一化的的正交归一化的本征函数。本征函数。综合上述讨论可得如下结论：综合上述讨论可得如下结论： 既然厄密算符本
51、征函数总可以取为正交归一化的，所以以后凡是既然厄密算符本征函数总可以取为正交归一化的，所以以后凡是提到厄密算符的本征函数时，都是正交归一化的，即组成正交归提到厄密算符的本征函数时，都是正交归一化的，即组成正交归一系。一系。第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 量子力学基本假设量子力学基本假设1.1.波函数公设波函数公设 (r, t) 描述量子态。 |(r, t)|2 几率密度。 量子态叠加。2. 2. 算符公设算符公设 可观测量可观测量线性厄米算符线性厄米算符 A = 3. 3. 测量公设（平均值公设）测量公设（平均值公设）4. 4.
52、微观体系动力学演化公设微观体系动力学演化公设第65页5. 5. 全同性原理公设全同性原理公设第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 测量公设（平均值公设）测量公设（平均值公设）1.A1.A的平均值的平均值多次测量的平均结果多次测量的平均结果2. 2. 可观测力学量可观测力学量A A的本征函数构成一完备集，的本征函数构成一完备集，第66页单次测量，单次测量，A Ai i每次测量之后，波函数受到严重干扰，每次测量之后，波函数受到严重干扰，发生突变（发生突变（波函数坍缩波函数坍缩）随机，不可预计，不可逆。随机，不可预计，不可逆。第4章 力学量用
53、算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 量子力学中的测量量子力学中的测量经典理论中，测量对系统无影响（影响甚微）。经典理论中，测量对系统无影响（影响甚微）。量子理论中，测量对系统影响很大。量子理论中，测量对系统影响很大。在微观原子系统中，测量将在微观原子系统中，测量将极大地扰乱系统。极大地扰乱系统。例：测量氢原子中电子的位置。例：测量氢原子中电子的位置。 用电磁波（光子）照射电子。电磁波频率要足够高。用电磁波（光子）照射电子。电磁波频率要足够高。 电子轨道半径电子轨道半径1010-10-10m m，需要电磁波的波长小于此数值，需要电磁波的波长小于此数值，
54、氢原子电离能氢原子电离能13.6eV.13.6eV.测量将完全摧毁系统。测量将完全摧毁系统。第67页第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 两个力学量的观测两个力学量的观测测量会极大地影响量子系统。对两个力学量（测量会极大地影响量子系统。对两个力学量（A,BA,B）的测量次序）的测量次序不一样得到的结果一般也会不同。不一样得到的结果一般也会不同。如果如果，不对易，不对易，不能同时观测，观测次序将影响观测结不能同时观测，观测次序将影响观测结果。果。假设系统处于假设系统处于A A的某一本征态的某一本征态i下，测下，测A A，得，得ai，测量，
55、测量B B，得，得b bj j, ,此此时体系将变为时体系将变为j, ,再测量再测量A A，会得到什么值呢？，会得到什么值呢？如果，对易，观测会得到什么结果，它们能如果，对易，观测会得到什么结果，它们能同时观测吗？同时观测吗？第68页第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 4.4.5 5 共同本征函数共同本征函数1.1.测不准关系的严格证明测不准关系的严格证明设有两个任意的力学量设有两个任意的力学量A A和和B.B.考虑下列积分不等式考虑下列积分不等式为体系的任一波函数为体系的任一波函数, ,为任意实参数为任意实参数, , A A与与B
56、B均为厄米算符均为厄米算符. .上述不等式可化为上述不等式可化为引进厄米算符引进厄米算符C=A,B/i,C=A,B/i,则则第69页第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 注意注意 , ,均为实均为实, ,不妨令不妨令=/2A=/2 , ,则得则得上面不等式对于任意两个厄米算符上面不等式对于任意两个厄米算符A,BA,B均成立均成立. .令令显然显然A,A,B B也是厄米算符也是厄米算符, ,所以将所以将A AA A,B,BB, B, 上述不等式上述不等式仍然成立仍然成立. .再考虑到再考虑到此即测不准关系此即测不准关系. .令令A Ax,
57、x,B=B=p px x, ,代入上式，并利用代入上式，并利用 x,px,px x=ihih, ,有有测不准关系测不准关系, ,又称做不确定性原理又称做不确定性原理, ,是微观粒是微观粒子运动的基本规律子运动的基本规律, ,是微观粒子波粒二象性和是微观粒子波粒二象性和波函数统计解释导致的必然结果。波函数统计解释导致的必然结果。第70页第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件体系处于任意状态体系处于任意状态 （x x）时，力学量）时，力学量 F F 一般没有确定值。一般没有确定值。如果力学
58、量如果力学量 F F 有确定值，有确定值， （x x）必为）必为 F F 的本征态，即的本征态，即如果有另一个力学量如果有另一个力学量 G G 在在 态中也有确定值，态中也有确定值， 则则 必也必也是是G G 的一个本征态，即的一个本征态，即结论：结论：当在当在 态中测量力学量态中测量力学量 F F 和和 G G 时，如果同时具有确定值，时，如果同时具有确定值，那么那么 必是必是 二力学量共同本征函数。二力学量共同本征函数。第71页第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 两算符对易的物理含义所以所以是特定函数，是特定函数， 非任非任意函数
59、也！意函数也！例如：例如：ll l = 0 = 0 的态，的态，Y Y m m = Y= Y0000 L Lx x L Lz z 同时有确定值。同时有确定值。但是，如果两个力学量的共同本征函数不止一个，而是一组但是，如果两个力学量的共同本征函数不止一个，而是一组且构成完备系，此时二力学量算符必可对易。且构成完备系，此时二力学量算符必可对易。考察前面二式：考察前面二式：第72页第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 定理：若两个力学量算符有一组共同完备的本征函数系，定理：若两个力学量算符有一组共同完备的本征函数系，则二算符对易。则二算符对易
60、。证：证：由于由于 n n 组成完备系，所以组成完备系，所以任意态函数任意态函数 (x) (x) 可以按可以按其展开：其展开：则则因为因为 (x) (x) 是任意函数是任意函数第73页第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 逆定理：如果两个力学量算符对易，则此二算符有组成逆定理：如果两个力学量算符对易，则此二算符有组成完备系的共同的本征函数。完备系的共同的本征函数。证：证： n n 也是也是 G G 的本征函数，同理的本征函数，同理 F F 的所有本征函数的所有本征函数 n n （ n = 1n = 1，2 2， ) )也都是也都是 G
61、G 的本征函数的本征函数, ,因此二算符具有共同完备的本征函数系因此二算符具有共同完备的本征函数系. .仅考虑非简并情况仅考虑非简并情况即：即：与与 n n 只差只差一常数一常数 G Gn n第74页第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 定理：定理：一组力学量算符具有共同完备本征函数系的充要一组力学量算符具有共同完备本征函数系的充要条件是这组算符两两对易。条件是这组算符两两对易。例例 1 1：例例 2 2：第75页第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 的共同本征态的共同本征态,球
62、谐函数球谐函数由于角动量的三个分量不对易由于角动量的三个分量不对易, ,一般无共同本征态一般无共同本征态, ,但由于但由于 因此可以找出因此可以找出 与与 任何一个分量的共同本征态任何一个分量的共同本征态. .采用球坐标采用球坐标: :第76页第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 由于由于的本征函数可以同时也取为的本征函数可以同时也取为 的本征态的本征态此时此时 的本征函数已分离变量的本征函数已分离变量, ,即令即令带入本征方程带入本征方程是是 的本征值的本征值, , 无量纲无量纲, , 待定待定第77页第4章 力学量用算符表示 Qua
63、ntum MechanicsFang Jun Fang Jun 令令,则则连带连带LegendreLegendre方程方程其解其解: : 当当 有一个多项式解有一个多项式解本征方程：本征方程：利用正交归一性公式，可以定义一个归一化的利用正交归一性公式，可以定义一个归一化的部分的波函数（实）部分的波函数（实）：第78页第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 这样这样, , 的正交归一的共同本征函数表示为的正交归一的共同本征函数表示为: :称为球谐函数称为球谐函数, ,它们满足它们满足: :对应一个对应一个 值，值，m m 取值为取值为 0,
64、 0, 1, 1, 2, 2, 3, ., 3, ., 共共 (2 (2 +1) +1)个值。因个值。因此当此当 确定后，尚有确定后，尚有(2 (2 +1) +1)个磁量子状态不确定。个磁量子状态不确定。换言之，对应一个换言之，对应一个 值值有有(2 (2 +1) +1)个量子状态，这种现象称为简并，个量子状态，这种现象称为简并， 的简并度是的简并度是 (2 (2 +1) +1) 度。度。由于量子数由于量子数 表征了角动量的大小，表征了角动量的大小， 所以称为角量子数；所以称为角量子数；m m 称为磁量子数。称为磁量子数。的本征值为：的本征值为：的本征值为：的本征值为：第79页第4章 力学量用
65、算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 由角动量对易关系：由角动量对易关系：代入平均值公式：代入平均值公式：同理：同理：例：证明在例：证明在 L LZ Z 本征态本征态 Y Ylmlm 下，下，L = = = 0 = 0第80页第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 利用测不准关系证明，在利用测不准关系证明，在 L Lz z 本征态本征态 Y Ylmlm 下，下，L Lx x= = L Ly y= 0= 0证：证：由于在由于在 L Lz z 本征态本征态 Y Ylmlm 中，测量力学量中，测量力学量
66、 L Lz z 有确定值，所以有确定值，所以L Lz z 均方偏差必为零，即均方偏差必为零，即则测不准关系：则测不准关系：平均值的平方平均值的平方为非负数为非负数欲保证不等式成立，欲保证不等式成立，必有：必有：第81页第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 力学力学量完全集合量完全集合定义：定义： 设有一组彼此对易而又相互独立的力学量算符设有一组彼此对易而又相互独立的力学量算符 ( ( 1 1, , 2 2, .), .)，如果它们的共同的本征函数是完备，非简并如果它们的共同的本征函数是完备，非简并的，它们的共同本征函数记为的，它们的共同
67、本征函数记为 k k，k k是一组量子数的笼统记号。是一组量子数的笼统记号。设给定设给定k k之后即给定这组本征值就能够确定体系的一个可能状之后即给定这组本征值就能够确定体系的一个可能状态，则称这组力学量态，则称这组力学量( ( 1 1, , 2 2, .), .)构成体系的对易力学量完全构成体系的对易力学量完全集。集。第82页第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 例例 1 1：三维空间中自由粒子，完全确定其三维空间中自由粒子，完全确定其状态需要三个两两对易的力学量：状态需要三个两两对易的力学量：例例 2 2：氢原子，完全确定其状态也需
68、氢原子，完全确定其状态也需要三个两两对易的力学量：要三个两两对易的力学量：例例 3 3：一维谐振子，只需要一个力学一维谐振子，只需要一个力学量就可完全确定其状态：量就可完全确定其状态：力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度数相同。力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度数相同。由力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体系态空间的一由力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体系态空间的一组完备的本征函数，即体系的任何状态均可用它展开。组完备的本征函数，即体系的任何状态均可用它展开。第83页第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 小结：两
69、个力学量同时有确定值的条件体系恰好处小结：两个力学量同时有确定值的条件体系恰好处在其共同本征态上。在其共同本征态上。例例 ：动量算符：动量算符： 两两对易，两两对易，共同完备本征函数系：共同完备本征函数系：本征态下有确定值：本征态下有确定值：第84页第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第85页例：一维谐振子，例：一维谐振子，Hamilton量就构成一组力学量完全量就构成一组力学量完全集。能量本征值集。能量本征值相应的本征函数相应的本征函数n,构成正交归一的完备系。构成正交归一的完备系。测量谐振子能量为测量谐振子能量为EnEn的概率为的
70、概率为|Cn|2.第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 例：已知空间转子处于如下状态例：已知空间转子处于如下状态试问：试问： （1 1）是否是是否是 L L2 2 的本征态？的本征态？ （2 2）是否是是否是 L Lz z 的本征态？的本征态？ （3 3）求）求 L L2 2 的平均值；的平均值； （4 4）在）在 态中分别测量态中分别测量 L L2 2 和和 L Lz z 时得到的可能值及其相时得到的可能值及其相应的几率。应的几率。解：解： 没有确定的没有确定的 L L2 2 的本征值，故的本征值，故 不是不是 L L2 2 的本征态
71、。的本征态。第86页第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 是是 L Lz z 的本征态，本征值为的本征态，本征值为 。（3 3）求）求 L L2 2 的平均值的平均值方法方法 I I验证归一化：验证归一化：第87页第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 归一化波函数方法 II（4 4）第88页第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第89页第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第90页第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第91页第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第92页第4章 力学量用算符表示 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第93页
