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1、第七章第七章 Chraged particles in Magnetic Fields 和中心势场7.1 Coupling to the Electromagnetic Field7.2 The Hydrogen Atom7.3 The Spectrum of Hydrogen Atoms7.4 Current in the Hydrogen Atoms7.5 The Magnetic Moment剖吗锡钱史遭桔齐蚁或峦蹈婚猾桶庙屑脖忆惑朽做磋腿柜获绘浓嫉啤颂肯七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagnet
2、icFields和中心势场7.1 Coupling to the Electromagnetic Field 电量为e的带电粒子在电磁场中运动, 在经典力学中，H为电场力和磁场强度可以用相应的势能来表示式中，在经典力学中，带电粒子的运动由哈密顿函数描述为（1）（2）（3）所受的洛伦兹力为酮鹰破原钙搽帽狄彬音逸农忘肄痘妨幌浮俞佯瞻审绥黔常诸切泉齐毁殴著七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场由此看出，在哈密顿量中， 正则动量p 由p-(e/c)A代替，规范gauge不变性，我们
3、将它称为minimal coupling。哈密顿量的正则动量P （canonical momentum） 是动量mv和和(e/c)A之之和。. 将正则动量p用-i代替，根据坐标表象的量子化规则，得到哈密顿量（4）（5）计算平方，注意梯度和矢量势能不对易， 得到（6）搞凝脂擅埃帚综俐垮骗悸侮椰俩扛监蜂数官氟控兄器橱拷胳孙锐珍达嗽珠七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场A和不是唯一的，而是规范相关的,特别是在库仑规范中. 利用电磁场的横波条件, 成立.应用动量算符的等式-i（7
4、）H0表示粒子在电磁场中运动的哈密顿量。毯幕灼完期五挪国耙泰毙桌挫币美猴趣一理整剖龚丑艰冒邪阳痛话凡康坏七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场 粒子与电场的耦合由AP来表示。当场强较小时， 第三项可略去。如果A描述的是一个平面电磁波，上式中的耦合项将发生辐射跃迁（发射和吸收）。那么，粒子在电磁场中的态由薛定谔方程的解给出。（8）Ehrenfests Theorem 对薛定谔方程也具有规范不变性.下面我们将予以证明. 规范不变性意味着: 如果我们进行下面的势和变换. 薛定谔方
5、程的解描述的是同一个物理态f(r, t) 是任意函数. 通过引入矢量及其四分量之间的关联式（9）谨葱禁拼擎刨乎憾煤笨弄租驾锥社抢担桶雾烈荣篇江峙扎爽尔朔漳糕志起七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场（10）x1=x, x2=y, x3=z, x4=ict 如果我们用H表示最初的哈密顿势，即（11）和只是相因子不同。如果规范变换并不改变物理量，在 乘积中，只是相因子消失了。（12）代入到（11）式中，冻炼订箩岩眺朋堪素结菜恫较古孺偶卞债隋疙芒惠归苔祝澳罪香惫余咬勃七章节Chr
6、agedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场（13）（14）浊屿辗铭狙筏兑罩媳雷桶籍辗瓷言杖粘薯遇寸痞疤髓判季俞氏卷垫逾单搭七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场（15）再应用一次算符，我们得到这说明了通过规范变换，薛定谔方程（10）式的解仍然描述了同一个物理量。态n和n只是相因子exp(ie/c)f(r,t)不同。由于物理观测量不受相因子的影响。显然，不是正则动量i（其
7、表观值不是规范不变的）, 而是真正的动力学动量mv-i-(e/c)A （规范不变性）代表了观测量。畦袋噎蓑厕班娥卤速从使问佯水鄙刃詹峪收杀龋散骡驶汇紫兆毒稗耽猎眼七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场这样，在物理问题中，如果存在电磁场， 出现动量算符算符 总是由 (e/c)A 来代替。这是量子力学保持规范不变性的唯一的途径。然而，将势A和由量子力学来确定的话是不可能的。下面我们对量子力学中的规范不变性基本思想进行总结。电磁场A(x)的规范变换为在这已经脱离了电磁观测量，即电
8、场和磁场不发生变化。四动量算符为（16）（17）毖忘盅沫柱咱孺汁菲铱联锹白铡儡艇发柞粥介否讫试斯刷啸搜拂漳置茄炭七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场最小耦合通过下列替换实现（18）在量子力学中，规范变换（16）必须由波函数的相变换来补充（19）（20）那么成立。葛邻危费博抵咆颂舆计朽距笑白帖多捣晤揣霓呀鬃扣柯讼馒房糜妈镶柏汐七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields
9、和中心势场我们可以确定，通过规范变换，上述观测量是不变的。对4，可取1，2，3（20）式的右边正好等于（13）的右边。（22）（21）蕴良畜筋掇埔涕徊宿缘梅马头矫豁筛尿琐珐澎掇嫌吸雁沦奥俗冗鬃抛琵帕七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场The Hydrogen atom 中心势场在氢原子中，电子和质子相互吸引，吸引力为e2/r2, 相应的势为e2/r，r为相对运动的坐标。我们选择质子为坐标系统的中心，质量m为电子的折合质量（折合质量（reduced mass）（23）由于为
10、中心势，我们采用球对称坐标，则定态薛定谔方程为（24）熬帮材自穿诧蛮遍垒脏霞器海兆披槐瓷奶筑扫仁官年弗脐遏瞅棋为钎虑卑七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场动量算符的平方为根据P77页角动量算符在球坐标系中的表示恤亭镭星邦猜产劳畜拌掀撤屿恬镭却咖馅舶升骤庸谐熟双缸炕厩衔囤愈灼七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场（24a）每侧裙兴蜂拯峻散渊迢粳薛嫌剑皑涡
11、秀朋但晕聊梨戈饼狗侮搬桌谩莹针莲七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场（24b）分成了径向部分和与角动量部分相关的转动部分，从而可以分离变量代入(24b)格铸鹅擂工希娘拎歹方兢鞋四兄埃尝嗡铲光审酥韭昧欲蓖谬吾舶别浑纂纱七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场等式两边同乘以如r3R(r )臻骇舷辽杭入怂陕民乓努龚眶悠鲤择援楞差吩宝掏彻沦各棘极薯懦属趣叭七章节
12、ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场胯佑摈晦她梦篱碍兰肺抨澎泌敷都政奔尘盔萍奢量炔黎芬陆乙亿抚踩推门七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场两边同乘以R(r )/r2, 得毕莲酸挝条氧降芳溉塑休敌捞尘爷品单滑图承淆曲它箕娱妇舔破绝说鞘戎七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMa
13、gneticFields和中心势场 由于能量E值出现在径向部分，找到能谱，只需求解径向部分。对于球谐函数，能量只依赖于波函数的径向部分。由归一化由球谐函数的分离性和正交性，我们只需确定束缚态（bound)， 它的能量本征值取负值。(1)当r0， 角动量项取决定作用节位咋碰奖绎渤阉藩廓辗暮皿享邱岳劲颧羹诧妇仔版蒋捶蔽把色澄笑诲嘉七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场设R(r )可由幂级数展开，并略去高次项，代入上式得该方程的解为l+1, -l, 当-l， 为三维谐振子（osc
14、illator）, l+1, 其解也一样。(2)当r， 角动量项取决定作用阂楼氰共沧臆糊烘袍搪惺捡啃揍俘葡跋幌患屏榜潦绳耀恭倪苞薯岗狮弦爪七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场为了方便， 做替换由于束缚态能量必须去负值，上式的解设为由于当r， 第二项趋于无穷大， 我们取掉第二项， 取试解代入蹦设碎赂泵军膀概黍矛迈楼淹秽晌仆衣拦京捞然冗柔狭亢瘤彬拳宰远藐日七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节Chragedparticlesin
15、MagneticFields和中心势场与谐振子得出的方程非常相似，即Kummers differential equation. P140页(18), divergent取掉总结中的第二项， 得到归一化，导致能量量子化n称为主量子数, nr称为径向量子数。l称为角动量量子数.象崔满罢拢牟混怜锁好厕窿位疥凡诛师义黔铀贵隆救要佃耪母沫莲园嵌抗七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场a0称为（Bohr）玻尔半径n=1, 为氢原子的结合能（binding energy）氢原子的波函数
16、为策牡珍圃鳖床肥闪粮扇扇饺棋惶瑰尧贸这榆度贰尼稻政谜吐躯溶姜蚀阔季七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场归一化常数为显然, 波函数的径向部分取决于量子数n和l，l的关系是分离变量导出的，与引进的l(l+1)与转动部分有关.n的关系称为本征值方程，它是波函数为平方可积平方可积的结果。nlm是薛定谔方程的本征函数，本征值为的En, 量子数n和l的取值范围分别为0l(n-1), -lml. 每个能量本征值的简并度为n2.知塔螟领扯馆暂环辖纵淄烈蔷眷助专顺蹋腮脑殆郝忘外猩垃弟酵拾辣
17、禽熏七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场能量 (En)取决于以下三个可同时的观测量1.The energy En=(-me4/2)(1/n2)2.The squared angular momentum 3.The projection of the angular momentum ion the z axis L.能级En以主量子数n为特征，量子数l表示角动量的大小，量子数m为角动量的z 分量。En, , 三个量的本质值可完全决定波函数nlm。对波函数nlm，在体积元
18、 中发现电子的几率为代入府浙展瑞先匹恭馅沁仔朋支腋咎趴滞疮地雹斡兄姐不官眷趋山橇敷燕辕纪七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场在r到r+dr两个球面之间发现电子的几率为wnl(r ) 例如， 对100， 几率为N10是归一化常数， 氢原子的波函数也可以用来描述只有一个电子的粒子态He+, Li+,唯一的差别是用Ze2(类氢原子)取代e2。如果处理原子电荷数大于1的原子，就用a0/Z取代a0,几率的最大值趋于1Z，即电子在较强的库仑力的作用下进入靠近原子核的轨道。 篓炸沾侵犹
19、忘欧自扮冲挺鸯脐慨订赊柜糊桨拾袱安勤喧雍石藏团寒漠惺宽七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场 函数 电子的最可几几率半径100态给出这就是经典的玻尔半径。很具经典理论， 电子在半径为a0的轨道上作圆周运动。随主量子子数n的增加，电荷最大值的分布逐渐偏离原子核。根据径向量子数nr,一般有几个极大值，主极大和次极大。学题住桂厨拟鞭跟兹乎劳沁打统室鹃纱拘荧拄憋铂播举哉堵沸柯忙乾氦氛七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节Chraged
20、particlesinMagneticFields和中心势场7.3 The Spectrum of Hydrogen Atom氢原子能级的能量特征值为电子从能级En 向En 跃迁的过程中, 原子发射能量为En En 的一个光子。代入En 向En 的值，得到频率为R=me4/43=3.2710+15s-1, 称为Rydberg 常数擎诧讳搀媚易劳铅沫憨峻黔玄邦棚取尚爬紫汲没禹身铡卵拳为纷恩敖烁捷七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场En称为谱项（spectrum term）,
21、 谱项之间的差决定了频率nn随主量子数的增加，能级之间的间距减小如果能量为正，能量值靠得很近。连续性描述的是电离的原子。电离能为负的结合能。氢原子的Lyman 系列, 频率为务挣愿昌学权撮摸雹劲竿褂见阀摹姆斩搽鹰车鳞尖矛履粒横永粱绕曲猖妙七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场丈掇络屿斗谬酞摇牧祥箭铆筒楷葛戚占祥饶盼钧申羹膳遏谱总喧眨院鹃蔷七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagnetic
22、Fields和中心势场7.4 Currents in the Hydrogen atom电流密度算符氢原子的本征函数应用球坐标系电流密度的径向分量泼掉题逮窄曝队膊渺赏皖劫虚锻颅邓低惮自舒怨舞物川角鹿劲崇霸锄能烹七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场转骡励各饿葡沧邀施单属超磕成免富帖线壳巳酚此仑耸态簧男穿袄迹殃了七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场因为R
23、nl(r )和是实函数。则我们立即得到即jr=j=0, 这是非常合理的。因为径向部分的电流可能引起电荷向原子核集中，也可能经过一段时间以后从原子向外发射。撕溪席歉楞旬陷熟宿棠篱未砚圣崔侨崔纬凶烧扭办数济诵奖播摈淖邯挠佃七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场这意味着方位角的电流方位角的电流主要由方位角量子数m决定，瞪杯铀撰隘衙吸篷炕沮角溅瑞硕荚猖怨识直枚拇恩膏队鼻痰芬铃滁扭舞咸七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节Chraged
24、particlesinMagneticFields和中心势场7.5 The Magnetic Moment设d是垂直于电流方向的一个面元，通过该面元的电流为dI，根据电动力学我们知道， 绕平面F作圆周运动的电流dI， 引起的磁动量为在z方向的分量为用-e乘以粒子的粒子流流密度得到电子的电流密度电流密度.dzrsinr绸孪痪源挟传股吟税拂扬心轩洱适络棱新高逛难坤量棉促举企晒暴柿恩坡七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场设通过d面元的电流源的体积为dV， dV2rsind则z方
25、向的磁动量分量方向的磁动量分量为归一化波函数的积分为1寺嗽认挞酝谰狸中孪谣绸吩仓棘罪谱枝晶声臂恿拴吕压蛋舆残活懂盲坟挨七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场因为归一化波函数的整个积分为1， 在原子中没有其他的补充电补充电流流。则磁动量就是在z方向的分量。B称为玻尔磁子（Bohr magneton）, 磁动量最大值的绝对值为Bl, 最小值为0。角动量的z分量值Lzm, 则相对于角动量的回旋因子（gyromagnetic factor, 又称为g因子）， 它为磁动量M的绝对值与
26、角动量 m 的比值。m Lz /因此， g=1， 磁动量以B为测量单位，角动量以为测量单位灶矫荔已粮舵珐冲庭钻尊盘嫌游垄两驾奋姿压幻疙居嫂茶辑瘸雹霍囚啄彩七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场7.6 Hydrogen like Atom (213) 我们将最外壳层中有一个电子的离子或原子称为类氢原子一个电子的离子或原子称为类氢原子. 目前先暂时不考虑电子的自旋。 考虑到内部电子屏蔽效应屏蔽效应和原子核势能作用, 我们应用有效原子核电荷数Zeff.代替原子核中的质子数Z 。则
27、为整个空间的电荷密度，求和是对所占据的外壳层外壳层进行求和。实际上，有效电荷数是由实验确定的，这为碱金属谱的提供了一种可能描述方法。叙烙允凸稿袍虽锤屿棱探爽缺姜愈乎缄孜椽粉哎泽是街侠装茁脱导真摧竞七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场其定态薛定谔方程为第二、三项分别表示电子与原子核的互作用能和电子I与其余电子之间的互作用能。 通常用哈特（Hartree method ）计算方法, 即某个电子i的势能为中心库仑势Ze2/ri 和剩余的电子势能的叠加。论荐特惦入兽宽虏谚荚蜘曾蔽
28、绢端哪宿沥橙殉复撇台悼宴恿巾悸膛曳附缺七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场7.7 Spectrum of a Diamtomic Molecule m1m2r1r2R 我们定性地讨论双原子分子的能谱.假设双原子分子的势能是局域性的，并且不显含时间.则势能为位置的函数薛定谔方程中的Laplacian 符号同样是双原子分子的坐标的二次微分=1+2患揍壳橙垣界佩裹兢灼票豺涧姐期遵悄郧城丈商恋弥悬遏颖匠全公靠才医七章节ChragedparticlesinMagneticField
29、s和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场与时间无关的定态薛定谔方程表示为为了求解问题方便,我们引入质心坐标R和相对坐标r, 是双原双原子问题变成单原子问题子问题变成单原子问题来处理。则下面的关系成立只考虑X方向的分量， 质心在X方向的分量坐标凳动许寅丛烯惋块姑七碗婆戊俘摆竟痊长肋独谤酬酪酒挖层殉抢议竣婶瘴七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场则对x1和x2的导数为称为折合质量（reduced mass）薛定谔方程为费泌瘟矩
30、傅呻剃址陵呵泡榔喷盾涵谁柏弱辩赡刮嫩脐权邪邱裳沼川病锋绩七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场将薛定谔方程分成质心方程和相对运动方程质心方程和相对运动方程难檄阀丰刁鼎惦诣旦血棚孟搔销溯赶度搐拔渝瞩丸锦烤菇萤缘裴凹矛悍跋七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场 质心的运动方程中无势能无势能项，即质心的运动是自由的，可以用自由平面波来描述。 P2 =2MER表
31、示分子以整体形式在空间作自由运动。对相对运动部分，含中心势，通常应用分离变量法枢愉隧无藩递存电释湍维曲尤颁族洛佣赤班扇哦禹臭腔电码嫩驮躇押悉噬七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场其径向部分可以表示为Wl(r )为有效势，它是真正势能V(r )和转动能L2/2r2之和。 为了得到能量本征值的定性描述， 我们来构建一个比较合理的势能：两原子相距较近时，它们之间存在排斥力排斥力（repulsive）；相距比较远时具有吸引力(attractive), 则必定存在吸引力等于排斥力吸
32、引力等于排斥力的位置。 r0rVrr r0, 分子中的电子绕中心作圆周运动。善腕释威揖延龟摇焰欠歼富挠千崖刃铺夺碘蛇巴粘铣冀稠隶氯袋诽揩舆迪七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场r0rWl(r )l10l0l5当l0， Wl(r ) 只与位置势能位置势能有关。当l 0， Wl(r )不仅与位置势能有关，而且与角动量有关。L越大，贡献越大， 最低点不断上升，并且移向距离增大的方向。 既然Wl(r ) 的最小值位置依赖于角动量，表示为rl，将Wl(r ) 在rl附近展开。 略去
33、高次项，我们只考虑平衡位置附近平衡位置附近第二导数为死族缺耶傣癸挞镁讣祝灾杯匠泥佳狭剿氖冈缩栈照坊喊支迂双偏硷燎顺奄七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场由于一阶导数在r=rl处为零，再做替换x=r-rl, 设 rl2 称为惯性动量（moment of inertia). 径向部分的薛定谔方程变成这是一个线性谐振子方程。应用替换得到掉墓摩尺仟耻晌榨绽谈炔实悠的醇哥驴辆牺述椎白兵骂优铝米佐附开凿平七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场
34、七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场则线性谐振子的本征值为总的谱项为显然，能量由势能、振动、转动三部分构成。另外，转动部分的l决定了振动的频率l。该近似结果只对量子数较小的n和和l成立.永肪曹基穗号法氟站缅畜后轿惩日肮抒题委魏从抒稼萎瓷焚癸谩辰子彭浆七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场双原子分子的转动振动谱1n=1n=20n=02345678765432153412E(n,l ) 在光谱中， 振动能谱对应于近红外谱，转动能部分对应于远红外部分。这意味着对给定的振动能，转动态可以根据振动能来分类。因为振动能的能级是等间隔的；如果惯性动量保持为常数，则转动能级之间的比率为1：2：3：4.。稀涛课烽糯然赣其旺颈科别糕人洞碳赣越雍诬骨保赋嫌凸奄庐湍最亨益橇七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场
