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1、3.4.1 3.4.1 函数单调性的判定法函数单调性的判定法 3.4.2 3.4.2 函数的极值及其求法函数的极值及其求法 3.4 函数的单调性和极值 3.4.3 最大值与最小值问题最大值与最小值问题3.4.1 3.4.1 函数单调性的判定法函数单调性的判定法如图所示单调递增曲线上各点处的切线斜率是非负的单调递减曲线上各点处的切线斜率是非正的若设函数则 在I内单调递增 (递减) .证明证明 无妨设任取由拉格朗日中值定理得故这说明 在 I 内单调递增.在开区间I内可导,证毕定理定理 3.4.1 3.4.1例例1 1 确定函数的单调区间.解解令得故的单调增单调增区间为的单调减单调减区间为注注 1.
2、(1)单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如,(2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 .例如,讨论函数的单调性可按下列步骤进行:(1) 确定连续函数的定义域 ;(2) 求出(3) 判断在每个区间内的符号,就可以确定出函数的单调区间.例例2 2 证明时,成立不等式证明证明 令则由于得证!3.4.2 函数的极值及其求法函数的极值及其求法定义定义3.4.13.4.1在其中当时,(1) 则称 为 的极大点极大点 ,称 为函数的极大值极大值 ;(2) 则称 为 的极小点极小点 ,称 为函数的极小值极小值 .极大点与极小点统称为极值点极值点 .注注为极大点为极小点不是
3、极值点2) 对常见函数,极值可能出现在导数为 0 或不存在的点.1) 函数的极值是函数的局部性质.例如例如 ( (例例1)1)为极大点 , 是极大值 是极小值 为极小点 , 定理 3.4.2 (第一充分条件)且在空心邻域内有导数(1)如果处取得极大值。(2)如果处取得极小值。(3)如果处没有极值。求极值的步骤求极值的步骤: :例例3 3求函数求函数的极值 .解解 1) 求导数2) 求极值可疑点令得令得3) 列表判别是极大点， 其极大值为是极小点， 其极小值为定理定理3.4.33.4.3( (第二充分条件第二充分条件) )二阶导数,且则 在点 取极大值 ;则 在点 取极小值 .证证: : (1)
4、存在由第一判别法知(2) 类似可证 .例例4 4 求函数的极值 . 解解 1) 求导数2) 求驻点令得驻点3) 判别因故 为极小值 ;又故需用第一判别法判别.试问 为何值时,在时取得极值 ,还是极小.解解由题意应有又取得极大值为例例5 5求出该极值,并指出它是极大 例6 (隐函数的极值)设 ,求由方程所确定的函数 在 内的极值点.解( 1 )(2) (3)例7 (参数方程所表示的函数的极值)求由参数方程解由于又因为所以3.4.3 最大值与最小值问题最大值与最小值问题 则其最值只能在极值点极值点或端点端点处达到 .求函数最值的方法求函数最值的方法: :(1)求 在 内的极值可疑点(各驻点或不可导
5、点)(2) 最大值最小值情形1:例例8 8 求函数在闭区间上的最大值和最小值 .解解 显然且故函数在取最小值 0;在及取最大值 5. 当 在区间内可导只有一个极值驻点时,若在此点取极大 值,则也是最大 值 . (小)在应用问题 往往会遇到这种情形.(小)情形2:例例9 把一根直径为 d 的圆木锯成矩形梁 ,问矩形截面的高 h 和 b 应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大? 解解 由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为令得从而有即由实际意义可知 , 所求最值存在 ,驻点只一个,故所求结果就是最好的选择 .这时如果函数 在区间内部只有一个在应用问题中,往往根据问题的性质就可以情形3:判断内部取得,确有
6、最大值或最小值,而且一定在定义区间驻点就可以判定是最大值或最小值.解例例10小结小结2. 连续函数的极值(1) 极值可疑点 :使导数为0 或不存在的点(2) 第一充分条件过由正正变负负为极大值过由负负变正正为极小值在I 上单调递增在I 上单调递减1. 可导函数单调性判别(3) 第二充分条件为极大值为极小值最值点应在极值点和边界点上找 ;应用题可根据问题的实际意义判别 .3. 连续函数的最值1.1. 设则在点 a 处( ).的导数存在 ,取得极大值 ;取得极小值;的导数不存在.B提示提示: : 利用极限的保号性 .思考思考2.2. 设在的某邻域内连续, 且处则在点(A) 不可导 ;(B) 可导, 且(C) 取得极大值 ;(D) 取得极小值 .D提示提示: : 利用极限的保号性 .3. 3. 设是方程的一个解,若且则在(A) 取得极大值 ;(B) 取得极小值 ;(C) 在某邻域内单调增加 ;(D) 在某邻域内单调减少 .提示提示: :A作业作业P116 1; 2 ; 4 ; 5 ; 6; 8; 9
