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1、2.2函数的单调性与最值第二章函数概念与基本初等函数基础知识基础知识自主学习自主学习题型分类题型分类深度剖析深度剖析思想方法思想方法感悟提高感悟提高1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数f(x1)f(x2)图象描述自左向右看图象是自左向右看图象是上升的下降的(2)单调区间的定义如果函数yf(x)在区间D上是 或 ，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性， 叫
2、做函数yf(x)的单调区间.增函数减函数区间D2.函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意xI，都有；(2)存在x0I，使得.(3)对于任意xI，都有；(4)存在x0I，使得.结论M为最大值M为最小值f(x)Mf(x0)Mf(x)Mf(x0)Mu思考辨析判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数y 的单调递减区间是(，0)(0，).()(2)对于函数f(x)，xD，若x1，x2D，且(x1x2)f(x1)f(x2)0，则函数f(x)在D上是增函数.()(3)函数y|x|是R上的增函数.()(4)函数yf(x)在1，)上是增函数，则函数的单调
3、递增区间是1，).()(5)函数f(x)log5(2x1)的单调增区间是(0，).()(6)函数y 的最大值为1.()题号答案解析1234 AC(，12，)解析函数f(x)x22ax3的图象开口向上，对称轴为直线xa，画出草图如图所示.由图象可知函数在(，a和a，)上都具有单调性，因此要使函数f(x)在区间1,2上具有单调性，只需a1或a2，从而a(，12，).题型一题型一 函数单调性的判断函数单调性的判断例1(1)判断函数f(x) (a0)在x(1,1)上的单调性.解析思维升华题型一题型一 函数单调性的判断函数单调性的判断例1(1)判断函数f(x) (a0)在x(1,1)上的单调性.解设1x
4、1x21，1x1x20)在x(1,1)上的单调性.x2x10，x1x210，又 a0,f(x1) f(x2)0，函数f(x)在(1,1)上为减函数.解析思维升华题型一题型一 函数单调性的判断函数单调性的判断例1(1)判断函数f(x) (a0)在x(1,1)上的单调性.对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法：可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论)求解；可导函数则可以利用导数解之.解析思维升华例1(2)求函数y的单调区间.解析思维升华例1(2)求函数y的单调区间.由ux2x60，得x3或x2.ux2x6在(，3上是减函数，解析思维升华例1(2)求
5、函数y的单调区间.解析思维升华例1(2)求函数y的单调区间.解析思维升华复合函数yfg(x)的单调性规律是“同则增，异则减”，即yf(u)与ug(x)若具有相同的单调性，则yfg(x)为增函数，若具有不同的单调性，则yfg(x)必为减函数.跟踪训练1(1)判断函数f(x)x (a0)在(0，)上的单调性.解设x1，x2是任意两个正数，且0x10，即f(x1)f(x2)，跟踪训练1(1)判断函数f(x)x (a0)在(0，)上的单调性.所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)0，则x3.函数y (x24x3)的定义域为(，1)(3，).又ux24x3的图象的对称轴为x2，且开口向上，ux24x3
6、在(，1)上是减函数，在(3，)上是增函数.(2)求函数y (x24x3)的单调区间.而函数y u在(0，)上是减函数，y (x24x3)的单调递减区间为(3，)，单调递增区间为(，1).解析答案思维升华题型二题型二 利用单调性求参数范围利用单调性求参数范围例2(1)如果函数f(x)ax22x3在区间(，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是()题型二题型二 利用单调性求参数范围利用单调性求参数范围例2(1)如果函数f(x)ax22x3在区间(，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是()当a0时，f(x)2x3，在定义域R上是单调递增的，故在(,4)上单调递增；当a0时，二次函数f(x)的
7、对称轴为x ，因为f(x)在(，4)上单调递增，解析答案思维升华题型二题型二 利用单调性求参数范围利用单调性求参数范围例2(1)如果函数f(x)ax22x3在区间(，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是()解析答案思维升华题型二题型二 利用单调性求参数范围利用单调性求参数范围例2(1)如果函数f(x)ax22x3在区间(，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是()D解析答案思维升华题型二题型二 利用单调性求参数范围利用单调性求参数范围例2(1)如果函数f(x)ax22x3在区间(，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是()已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两 点 ： 若 函
8、数 在 区 间a,b上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；分段函数的单调性，除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值.解析答案思维升华D解析答案思维升华由已知条件得f(x)为增函数，解析答案思维升华由已知条件得f(x)为增函数，解析答案思维升华已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两 点 ： 若 函 数 在 区 间a,b上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；分段函数的单调性，除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值.解析答案思维升华跟踪训练2(1)若f(x)x22ax与g(x) 在区间1,2上都是减函数，则a的取值范围是()A.(1,0)(0,1) B.(1,
9、0)(0,1C.(0,1) D.(0,1解析由f(x)x22ax在1,2上是减函数可得1,2a，)，a1.跟踪训练2(1)若f(x)x22ax与g(x) 在区间1,2上都是减函数，则a的取值范围是()A.(1,0)(0,1) B.(1,0)(0,1C.(0,1) D.(0,1故01时，f(x)1时，f(x)0，代入得f(1)f(x1)f(x1)0，故f(1)0.解析思维升华(2)证明：f(x)为减函数；证 明 (2)任 取 x1,x2(0,),由于当x1时，f(x)1时，f(x)0.(1)求f(1)的值；解析思维升华(2)证明：f(x)为减函数；即f(x1)f(x2)0，因此f(x1)1时，f
10、(x)1时，f(x)0时，恒有f(x)1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；答答题模板系列模板系列1 利用函数的单调性解不等式利用函数的单调性解不等式思 维 点 拨规 范 解 答温 馨 提 醒典例：(12分)函数f(x)对任意的m、nR，都有f(mn)f(m)f(n)1，并且x0时，恒有f(x)1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；答答题模板系列模板系列1 利用函数的单调性解不等式利用函数的单调性解不等式(1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义.应该构造出f(x2)f(x1)并与0比较大小.思 维 点 拨规 范 解 答温 馨 提 醒典例：(12分)函数f(x)对任意的m、nR，都有f(
11、mn)f(m)f(n)1，并且x0时，恒有f(x)1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；答答题模板系列模板系列1 利用函数的单调性解不等式利用函数的单调性解不等式证明设x1，x2R，且x10，当x0时，f(x)1，f(x2x1)1.2分分 f(x2)f(x2x1)x1f(x2x1)f(x1)1，4分分 思 维 点 拨规 范 解 答温 馨 提 醒典例：(12分)函数f(x)对任意的m、nR，都有f(mn)f(m)f(n)1，并且x0时，恒有f(x)1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；答答题模板系列模板系列1 利用函数的单调性解不等式利用函数的单调性解不等式f(x2)f(x1)f(x2x1)
12、10f(x1)0时，恒有f(x)1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；答答题模板系列模板系列1 利用函数的单调性解不等式利用函数的单调性解不等式本题对函数的单调性的判断是一个关键点.不会运用条件x0时，f(x)1，构造不出f(x2)f(x1)f(x2x1)1的形式，便找不到问题的突破口.思 维 点 拨规 范 解 答温 馨 提 醒思 维 点 拨规 范 解 答答 题 模 板温 馨 提 醒(2)若f(3)4，解不等式f(a2a5)2.(2)若f(3)4，解不等式f(a2a5)2.(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本题的切入点.要构造出f(M)f(N)的形式.思 维 点 拨
13、规 范 解 答答 题 模 板温 馨 提 醒(2)若f(3)4，解不等式f(a2a5)2.解m，nR，不妨设mn1，f(11)f(1)f(1)1f(2)2f(1)1，8分分 f(3)4f(21)4f(2)f(1)143f(1)24，f(1)2，f(a2a5)2f(1)，10分分 f(x)在R上为增函数，a2a513a2，即a(3,2).12分分 思 维 点 拨规 范 解 答答 题 模 板温 馨 提 醒(2)若f(3)4，解不等式f(a2a5)2.解函数不等式问题的一般步骤：第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M)f(N)的形式；第三步：(去
14、f)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集；第五步：(反思)反思回顾.查看关键点，易错点及解题规范.思 维 点 拨规 范 解 答答 题 模 板温 馨 提 醒(2)若f(3)4，解不等式f(a2a5)2.解此小题的关键应该是将不等式化为f(M)f(N)的形式.解决此类问题的易错点：忽视了M、N的取值范围，即忽视了f(x)所在的单调区间的约束.思 维 点 拨规 范 解 答答 题 模 板温 馨 提 醒方 法 与 技 巧1.利用定义证明或判断函数单调性的步骤(1)取值；(2)作差；(3)定量；(4)判断.2.判断单调性的常用方法：定义法、图象法、导数法.失 误 与 防 范1.区分两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集.2.若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集.例如，函数f(x)在区间(1,0)上是减函数，在(0,1)上是减函数，但在(1,0)(0,1)上却不一定是减函数如函数f(x) .
