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1、10.5 傅立叶级数傅立叶级数10.5.1、三角函数的正交性三角函数的正交性 10.5.2、将函数展开成傅立叶级数、将函数展开成傅立叶级数 10.5.3 正弦级数与余弦级数正弦级数与余弦级数10.5.1、三角级数、三角级数 三角函数系的正交性三角函数系的正交性 1三角级数三角级数 周期函数：周期函数： 简谐振动：简谐振动： y=Asin(t+ ) A为振幅，为振幅，为角频，为角频， 为初相。为初相。 其中其中A0 ,An, n为常数。为常数。（1）式的物理意义：谐波分析）式的物理意义：谐波分析 由三角公式，我们有由三角公式，我们有A nsin(nt+ n ) =A nsin n cosnt+A
2、 ncos n sinnt则则(1)式右端变型为式右端变型为 形如形如(2)(2)式的级数叫做式的级数叫做三角级数三角级数，其中，其中a0、an、 bn 为常数。为常数。 an=Ansin n ，bn=Ancos n ,t=x，2.2.三角函数系的正交性三角函数系的正交性三角函数系三角函数系10.5.2、函数展开成傅里叶级数、函数展开成傅里叶级数问题问题: :1.若能展开若能展开, 是什么是什么?2.展开的条件是什么展开的条件是什么?1).1).傅里叶系数傅里叶系数, ,傅里叶级数傅里叶级数设设f (x)是是周周期期T = 2的的周周期期函函数数，且且能能展展开开成成三三角角级级数：数：1.将
3、定义在将定义在（， ）上的）上的 以以2 为周期的函数为周期的函数f(x) 展开成傅立叶级数展开成傅立叶级数傅里叶系数傅里叶系数傅里叶级数傅里叶级数问题问题: :2).2).狄利克雷狄利克雷( (DirichletDirichlet) )充分条件充分条件( (收敛定理收敛定理) )3):将定义在将定义在（， ）上的）上的 以以2 为周期的函数为周期的函数f(x) 展开成傅立叶级数的步骤展开成傅立叶级数的步骤:(i)先求傅里叶系数先求傅里叶系数(ii) 写出对应的傅里叶级数写出对应的傅里叶级数(iii)根据收敛定理把上式写成等式根据收敛定理把上式写成等式解解所求函数的傅氏展开式为所求函数的傅氏展
4、开式为所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件.和函数图象为和函数图象为注意注意: :对于非周期函数对于非周期函数,如果函数如果函数 只在只在区间区间 上有定义上有定义,并且满足狄氏并且满足狄氏充分条件充分条件,也可展开成傅氏级数也可展开成傅氏级数.作法作法: :2将定义在将定义在-,上的函数展成傅里叶级数上的函数展成傅里叶级数 (2)将将F(x)展开成傅里叶级数展开成傅里叶级数 (F(x)的傅立叶系数与的傅立叶系数与 f(x)的傅立叶系数相同的傅立叶系数相同)(3)限制限制x在在(-,)内，就得到内，就得到f (x)的傅里叶级数展的傅里叶级数展开式，收敛性的讨论仅在开式，收敛
5、性的讨论仅在-,上进行，在上进行，在x=处，处，级数收敛于级数收敛于 解解(i) 拓广的周期函数如图拓广的周期函数如图:它的的傅氏级数展开式在它的的傅氏级数展开式在(ii)求系数(iii)所求函数的傅氏展开式为所求函数的傅氏展开式为注：利用傅里叶级数求数项级数的和注：利用傅里叶级数求数项级数的和10.5.3 正弦级数和余弦级数正弦级数和余弦级数 1 1、奇函数和偶函数的傅里叶级数、奇函数和偶函数的傅里叶级数 一般说来一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正一个函数的傅里叶级数既含有正弦项弦项,又含有余弦项又含有余弦项.但是但是,也有一些函数的傅里也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项或者只含有常数
6、项和余弦项叶级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项.证明证明奇函数奇函数同理可证同理可证(2)定义定义偶函数偶函数定理证毕定理证毕.解解所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件.和和函函数数图图象象所求函数的傅氏展开式为所求函数的傅氏展开式为2、函数展开成正弦级数或余弦级数、函数展开成正弦级数或余弦级数则有如下两种情况则有如下两种情况(i) 奇延奇延拓拓: (iii)限制在限制在0， 再用收敛定理得到再用收敛定理得到f(x)的傅立叶级的傅立叶级 数展开式。数展开式。(i)偶延拓偶延拓: (iii)限制在限制在0， 再用收敛定理得到再用收敛定理得到f(x)的傅立的傅立叶级数展开
7、式。叶级数展开式。解解 (1)(1)求正弦级数求正弦级数. .(2)(2)求余弦级数求余弦级数. .内容小结内容小结1. 周期为周期为 2 的函数的傅里叶级数的收敛定理的函数的傅里叶级数的收敛定理 条件：条件：f ( (x) )在一个周期上（在一个周期上（1）连续或仅有限个第一）连续或仅有限个第一类间断点；（类间断点；（2）至多有限个极值点。）至多有限个极值点。 结论：结论： f ( (x) )可展开成傅里叶级数，且有可展开成傅里叶级数，且有2.将将f(x)展开傅立叶级数有以下三种情况：展开傅立叶级数有以下三种情况：(1) 将定义在将定义在（， ）上的）上的 以以2 为为周期的函数周期的函数f
8、(x) 展开成傅立叶级数。展开成傅立叶级数。方法：计算方法：计算f(x)的傅立叶系数后得到的傅立叶系数后得到f(x)的傅立叶级数，的傅立叶级数，再用收敛定理得到再用收敛定理得到f(x)的傅立叶级数展开式。的傅立叶级数展开式。(2) 将定义在将定义在- ， 上的上的 函数函数f(x) 展开成傅立叶级展开成傅立叶级数。数。方法：应对方法：应对f(x)作周期为作周期为2 的周期延拓得定义在的周期延拓得定义在（， ）上的周期函数）上的周期函数F(x), F(x)的傅立叶级数与的傅立叶级数与f(x)的傅立叶级数相同，限制在的傅立叶级数相同，限制在- ， 再用收敛定再用收敛定理得到理得到f(x)的傅立叶级数展开式。的傅立叶级数展开式。(3) 将定义在将定义在0， 上的上的 函数函数f(x) 展开成正弦展开成正弦（余弦）级数。（余弦）级数。方法：应对方法：应对f(x)作奇延拓（或偶延拓），再作周期延作奇延拓（或偶延拓），再作周期延拓得定义在（拓得定义在（， ）上的周期函数）上的周期函数F(x), F(x)的的傅立叶级数即为正弦级数（或余弦级数），限制在傅立叶级数即为正弦级数（或余弦级数），限制在0， 再用收敛定理得到再用收敛定理得到f(x)的正弦级数（或余弦级的正弦级数（或余弦级数）展开式。数）展开式。习题习题 10.5
