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1、平稳随机过程的功率谱密度平稳随机过程的功率谱密度 白噪声随机过程白噪声随机过程主讲人：张有光主讲人：张有光电电 话：话：82314978办公室：新主楼办公室：新主楼F806第六讲：第六讲：主要内容主要内容l一、平稳过程的功率谱密度一、平稳过程的功率谱密度l二、谱密度与自相关函数二、谱密度与自相关函数l三、平稳过程的互谱密度三、平稳过程的互谱密度l四、白噪声过程四、白噪声过程一、平稳过程的功率谱密度一、平稳过程的功率谱密度l1、能量型信号、能量型信号l2、信号的频谱、信号的频谱l3、信号的能谱、信号的能谱l4、功率型信号、功率型信号l5、平均功率的谱表示和功率谱密度、平均功率的谱表示和功率谱密度
2、l6、平稳过程的功率谱密度、平稳过程的功率谱密度1、能量型信号、能量型信号l能量型信号能量型信号 其中，其中，s(t)为信号，为信号，W为总能量。为总能量。2、信号的频谱、信号的频谱l在在的情况下，能量型的情况下，能量型信号信号s(t)的傅立叶变换存在，即的傅立叶变换存在，即 称称F()为为信号信号s(t)的的频谱频谱。？3、信号的能谱密度、信号的能谱密度l能量型信号的能谱能量型信号的能谱E()为为l由巴塞伐尔等式，可得到由巴塞伐尔等式，可得到能量守恒！能量守恒！信号的总能量信号的总能量信号的总能量信号的总能量信号的能谱密度信号的能谱密度信号的能谱密度信号的能谱密度4、功率型信号、功率型信号l
3、能量无限，平均功率有限的信号称能量无限，平均功率有限的信号称为功率型信号。即为功率型信号。即Ps s为信号的平均功率。为信号的平均功率。5、平均功率的谱表示、平均功率的谱表示l功率型信号不满足绝对可积条件。功率型信号不满足绝对可积条件。l为了能够利用傅立叶变换给出平均为了能够利用傅立叶变换给出平均功率的谱表示式，构造截尾函数：功率的谱表示式，构造截尾函数：平均功率的谱表示平均功率的谱表示lsT T(t)能够满足绝对可积条件。能够满足绝对可积条件。 sT T(t)的频域结构的频域结构lsT T(t)的平均功率：的平均功率：平均功率的谱表示平均功率的谱表示l由巴塞伐尔等式，可得到由巴塞伐尔等式，可
4、得到两边同除以两边同除以2T，并由截尾函数的定并由截尾函数的定义，得到义，得到平均功率的谱表示平均功率的谱表示l令令T趋于无穷，功率型信号趋于无穷，功率型信号s(t)在在 (-, )上的平均功率可表示为上的平均功率可表示为功率型信号的平均功率谱密度功率型信号的平均功率谱密度功率型信号的平均功率谱密度功率型信号的平均功率谱密度功率谱密度功率谱密度l功率型信号的平均功率谱密度，简功率型信号的平均功率谱密度，简称称功率谱密度功率谱密度，定义为：，定义为：6、平稳过程的功率谱密度、平稳过程的功率谱密度l平稳随机过程的样本函数是平稳随机过程的样本函数是功率型功率型的。的。为平稳过程为平稳过程X(t)的平
5、均功率。的平均功率。我们定义我们定义6、平稳过程的功率谱密度、平稳过程的功率谱密度l由于平稳随机过程的均方值是常数由于平稳随机过程的均方值是常数平稳过程的功率谱密度平稳过程的功率谱密度l定义定义 为平稳随机过程为平稳随机过程X(t)的功率谱密度。的功率谱密度。这样，这样，Px x又可以写成又可以写成平均功率谱平均功率谱的表达式的表达式平稳过程的功率谱密度平稳过程的功率谱密度l 为双边功率谱密度，但在实际为双边功率谱密度，但在实际应用中，负频率不存在，故引入应用中，负频率不存在，故引入 单边谱密度单边谱密度二、谱密度与自相关函数二、谱密度与自相关函数l1、功率谱密度与自相关函数的关、功率谱密度与
6、自相关函数的关系系维纳维纳-辛钦公式辛钦公式l2、功率谱密度两种定义的等价条件、功率谱密度两种定义的等价条件l3、功率谱密度的性质、功率谱密度的性质1、谱密度与自相关函数的关系、谱密度与自相关函数的关系平稳随机过程的功率谱密度是它的自平稳随机过程的功率谱密度是它的自相关函数的傅立叶变换：相关函数的傅立叶变换：由于由于是是实函数实函数谱密度与自相关函数的关系谱密度与自相关函数的关系l由傅立叶逆变换公式，有由傅立叶逆变换公式，有上述两式统称为上述两式统称为 维纳维纳- -辛钦公式辛钦公式返回返回返回返回注释：对比注释：对比“信号与系统信号与系统”中维纳辛钦公式中维纳辛钦公式2、功率谱密度两种定义的
7、等价条件、功率谱密度两种定义的等价条件l对于对于第一种定义第一种定义，将其展开，将其展开功率谱密度两种定义的等价条件功率谱密度两种定义的等价条件l通过变量置换，最后得到：通过变量置换，最后得到：l只要只要则上式中第二项为零，故此时则上式中第二项为零，故此时l也就是说，平稳随机过程在也就是说，平稳随机过程在自相关自相关函数绝对可积函数绝对可积的情况下，维纳的情况下，维纳-辛辛钦公式成立。此时功率谱密度的两种钦公式成立。此时功率谱密度的两种定义等价。定义等价。功率谱密度两种定义的等价条件功率谱密度两种定义的等价条件功率谱的意义功率谱的意义3、功率谱密度的性质、功率谱密度的性质l若过程若过程X(t)
8、是实平稳的，则自相关函是实平稳的，则自相关函数是实偶函数，因此功率谱密度也数是实偶函数，因此功率谱密度也是实偶函数，即是实偶函数，即证明：证明：功率谱密度的性质功率谱密度的性质l由于由于R()和和S()都是偶数，于是都是偶数，于是维维纳纳-辛辛钦钦公式公式还还可以写成：可以写成：例例 2.4-1l设随机相位余波设随机相位余波 的功的功率谱密度，其率谱密度，其 是在区间是在区间 内均内均匀分布匀分布.解：解：例例 2.4-2l随机电报信号自相关函数随机电报信号自相关函数求功率谱密度求功率谱密度例例 2.4-3l已知功率谱已知功率谱应用留数定理应用留数定理留数和留数和例例 2.4-4l若若平稳随机
9、过程功率谱平稳随机过程功率谱三、互谱密度三、互谱密度l1、互谱密度的定义、互谱密度的定义l2、互谱密度的维纳、互谱密度的维纳-辛钦公式形式定义辛钦公式形式定义l3、互谱密度的性质、互谱密度的性质1、互谱密度的定义、互谱密度的定义l定义：定义：设随机过程设随机过程X(t)X(t)和和Y(t)Y(t)是联合平稳是联合平稳的，则定义互谱密度为的，则定义互谱密度为2、互谱密度的维纳、互谱密度的维纳-辛钦公式辛钦公式l随机过程随机过程X(t)X(t)和和Y(t)Y(t)的互谱密度是的互谱密度是它们的互相关函数它们的互相关函数R RXYXYXYXY( () )的傅立叶的傅立叶变换：变换：2、互谱密度的维纳
10、、互谱密度的维纳-辛钦公式辛钦公式l当当l若若X(t)是一个二端电压、是一个二端电压、Y(t)是流经是流经该器件的电流，则上式左边就是消该器件的电流，则上式左边就是消耗的功率。耗的功率。两个正交随机过程性质两个正交随机过程性质l随机过程随机过程X(t)X(t)和和Y(t)Y(t)正交正交l此时有：此时有：3、互谱密度的性质、互谱密度的性质1）2 2）3 3）奇函数奇函数偶函数偶函数先先证明：证明：令：令：互谱密度函数不是实的、正的偶函数互谱密度函数不是实的、正的偶函数l从从定义定义l和施瓦茨不等式和施瓦茨不等式四、白噪声过程四、白噪声过程l1、白噪声过程的定义、白噪声过程的定义l2、白噪声过程
11、的自相关函数、白噪声过程的自相关函数l3、白噪声的相关系数、白噪声的相关系数1、白噪声过程的定义、白噪声过程的定义l若一个均值为零的平稳过程若一个均值为零的平稳过程 具有恒定功率谱密度具有恒定功率谱密度 则称称W(t)为白噪声白噪声过程。其中程。其中N0 0表表示示单边功率功率谱密度。密度。相当于相当于信号与系统信号与系统中的冲击响应函数中的冲击响应函数2、白噪声过程的自相关函数、白噪声过程的自相关函数l根据维纳根据维纳-辛钦公式，白噪声过程的辛钦公式，白噪声过程的自相关函数：自相关函数：2、白噪声过程的自相关函数、白噪声过程的自相关函数l白噪声的自相关函数和功率谱密度白噪声的自相关函数和功率
12、谱密度3、白噪声过程的相关系数、白噪声过程的相关系数l白噪声的相关系数：白噪声的相关系数： 可见白噪声在任意两个相邻时刻的取值可见白噪声在任意两个相邻时刻的取值都不相关。还句话说，白噪声随时间的都不相关。还句话说，白噪声随时间的起伏变化较快，频域来说频谱很宽。起伏变化较快，频域来说频谱很宽。注释：白噪声平均功率注释：白噪声平均功率l l白噪声是一种理想化的数学模型，在物白噪声是一种理想化的数学模型，在物理上不可实现，因为按照白噪声的定义理上不可实现，因为按照白噪声的定义它的平均功率是无限大。它的平均功率是无限大。 由于白噪声数学表述上的简洁性，是很多物理现象的由于白噪声数学表述上的简洁性，是很
13、多物理现象的由于白噪声数学表述上的简洁性，是很多物理现象的由于白噪声数学表述上的简洁性，是很多物理现象的一种近似。如电子管中的散弹噪声，通信传播中的信道一种近似。如电子管中的散弹噪声，通信传播中的信道一种近似。如电子管中的散弹噪声，通信传播中的信道一种近似。如电子管中的散弹噪声，通信传播中的信道干扰。显然白噪声是各态历经过程，它可以看成是大数干扰。显然白噪声是各态历经过程，它可以看成是大数干扰。显然白噪声是各态历经过程，它可以看成是大数干扰。显然白噪声是各态历经过程，它可以看成是大数定律中随机序列推广到连续时间的情形。定律中随机序列推广到连续时间的情形。定律中随机序列推广到连续时间的情形。定律
14、中随机序列推广到连续时间的情形。4、非白噪声、非白噪声l非白噪声成为有色噪声，或相关噪非白噪声成为有色噪声，或相关噪声，其功率谱密度：声，其功率谱密度：其功率谱密度不再是均匀的，而是其功率谱密度不再是均匀的，而是频率频率的函数。的函数。5、矢量白噪声、矢量白噪声l定义：若一个定义：若一个n维独立矢量随机过程维独立矢量随机过程l 均值矢量为均值矢量为本节课小结本节课小结l1、平稳过程的功率谱密度、平稳过程的功率谱密度l2、谱密度与自相关函数：维纳辛钦、谱密度与自相关函数：维纳辛钦定理，计算功率谱的方法；定理，计算功率谱的方法；l3、平稳过程的互谱密度、平稳过程的互谱密度l4、白噪声过程、白噪声过程习题习题lP83：27lP84：28、29、30、31
