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1、机械电子学院机械电子学院机械电子学院机械电子学院School of Mechanical & Electronic EngineeringSchool of Mechanical & Electronic Engineering工业机器人工业机器人主讲：牛雪娟主讲：牛雪娟 杜玉红杜玉红Industrial Robot机械机械机械机械电电子学院子学院子学院子学院2第三章第三章 机器人的轨迹规划机器人的轨迹规划3.1 3.1 工业机器人的轨迹规划概述工业机器人的轨迹规划概述 3.2 3.2 插插补方式分类与轨迹控制补方式分类与轨迹控制3.3 3.3 机器人机器人轨迹的插值计算轨迹的插值计算*3.4
2、 3.4 机器机器人手部路径的轨迹规划人手部路径的轨迹规划机械机械机械机械电电子学院子学院子学院子学院33.1 工业机器人的轨迹规划概述工业机器人的轨迹规划概述机械机械机械机械电电子学院子学院子学院子学院4机械机械机械机械电电子学院子学院子学院子学院5.轨迹规划的一般性问题轨迹规划的一般性问题 常见的机器人作业有两种：常见的机器人作业有两种：轨迹是指操作臂在运动过程中的位移、速度和加速度。轨迹是指操作臂在运动过程中的位移、速度和加速度。轨迹是指操作臂在运动过程中的位移、速度和加速度。轨迹是指操作臂在运动过程中的位移、速度和加速度。点位作业（点位作业（PTP=point-to-point mot
3、ion）连续路径作业（连续路径作业（continuous-path motion），或者称为轮廓运动），或者称为轮廓运动（contour motion）。）。 轨迹的生成一般是先给定轨迹上的若干个点，将其经运动学反解映射到关节空间，对关节空间中的相应点建立运动方程，然后按这些运动方程对关节进行插值，从而实现作业空间的运动要求，这一过程通常称为轨迹规划。 机器人运动轨迹的描述一般是对其手部位姿的描述，此位姿值可与关节变量相互转换。控制轨迹也就是按时间控制手部或工具中心走过的空间路径。机械机械机械机械电电子学院子学院子学院子学院6 操作臂最常用的轨迹规划方法有两种：操作臂最常用的轨迹规划方法有两种
4、：轨迹规划既可以在关节空间也可以在直角空间中进行。轨迹规划既可以在关节空间也可以在直角空间中进行。轨迹规划既可以在关节空间也可以在直角空间中进行。轨迹规划既可以在关节空间也可以在直角空间中进行。第一种第一种是要求对于选定的轨迹结点（插值点）上的位姿、速是要求对于选定的轨迹结点（插值点）上的位姿、速度和加速度给出一组度和加速度给出一组显式约束显式约束（例如连续性和光滑程度等），轨（例如连续性和光滑程度等），轨迹规划器从一类函数（例如迹规划器从一类函数（例如n次多项式）选取参数化轨迹，对结次多项式）选取参数化轨迹，对结点进行插值，并满足约束条件。点进行插值，并满足约束条件。第二种第二种方法要求给出
5、运动路径的方法要求给出运动路径的解析式解析式。机械机械机械机械电电子学院子学院子学院子学院72轨迹规划几个要点；起始点、终止点：工具坐标系的起始位姿及终止位姿 路径点：中间点的位姿约束时间分配；存在着各路径点之间的时间分配问题。运动平稳：不平稳的运动将加剧机械部件的磨损，并导致机器人的振动和冲击。要求所选择的运动轨迹描述函数必须连续，而且它的一阶导数(速度)，有时甚至二阶导数(加速度)也应该连续。机械机械机械机械电电子学院子学院子学院子学院83轨迹的生成方式运动轨迹的描述或生成有以下几种方式：(1) 示教-再现运动 由人手把手示教机器人，定时记录各关节变量，得到沿路径运动时各关节的位移时间函数
6、q(t)；再现时，按内存中记录的各点的值产生序列动作。(2) 关节空间运动（适用于对端点位姿有要求，路径无要求） 直接在关节空间里进行。由于动力学参数及其极限值直接在关节空间里描述，所以用这种方式求最短时间运动很方便。(3) 空间直线运动 这是一种直角空间里的运动，它便于描述空间操作，计算量小，适宜简单的作业。(4) 空间曲线运动 这是一种在描述空间中用明确的函数表达的运动，如圆周运动、螺旋运动等。机械机械机械机械电电子学院子学院子学院子学院93.2插补方式分类与轨迹控制插补方式分类 点位控制(PTP控制)： 通常没有路径约束，多以关节坐标运动表示。点位控制只要求满足起、终点位姿，在轨迹中间只
7、有关节的几何限制、最大速度和加速度约束。 连续轨迹控制(CP控制)： 有路径约束，因此要对路径进行设计。机械机械机械机械电电子学院子学院子学院子学院10机器人轨迹控制过程机器人的基本操作方式是示教-再现。 操作过程中，不可能把空间轨迹的所有点都示教一遍使机器人记住，对于有规律的轨迹，仅示教几个特征点，计算机就能利用插补算法获得中间点的坐标，如： 直线需要示教两点 圆弧需要示教三点， 通过机器人逆向运动学算法由这些点的坐标求出机器人各关节的位置和角度(1, , n)，然后由后面的角位置闭环控制系统实现要求的轨迹上的一点。机械机械机械机械电电子学院子学院子学院子学院113.3 机器人轨迹的插值计算
8、机器人轨迹的插值计算直线插补和圆弧插补是机器人系统中的基本插补算法。空间直线插补：是在已知该直线始末两点的位置和姿态的条件下，求各轨迹中间点(插补点)的位置和姿态。通常，机器人沿直线运动时其姿态不变，所以无姿态插补，即保持第一个示教点时的姿态。当然在有些情况下要求变化姿态，这就需要姿态插补。机械机械机械机械电电子学院子学院子学院子学院12一、直线插补已知直线始末两点的坐标值P 0(X 0，Y 0，Z 0)、P e(Xe，Ye，Ze)及姿态，其中P 0、P e是相对于基坐标系的位置。设v为要求的沿直线运动的速度；t s为插补时间间隔。t s s间隔内行程d = vts s；插补总步数N为L/d+
9、1取整数部分；式中：i=0，1，2，N-1。 机械机械机械机械电电子学院子学院子学院子学院13二、平面圆弧插补平面圆弧是指圆弧平面与基坐标系的三大平面之一重合，以XOY平面圆弧为例。 设v为沿圆弧运动速度；ts为插补时时间隔。 (1) 由P1、P2、P3决定的圆弧圆心及半径R。机械机械机械机械电电子学院子学院子学院子学院14(2) 总的圆心角=1+2， 余弦定理正弦定理(3) ts时间内角位移量=tsv/R (4) 总插补步数(取整数) N = / + 1机械机械机械机械电电子学院子学院子学院子学院15对Pi+1 点的坐标，有由i+1=i +可判断是否到插补终点。若i+1，则继续插补下去；当
10、i+1时，则修正最后一步的步长，机械机械机械机械电电子学院子学院子学院子学院16三、空间圆弧插补空间圆弧是指三维空间任一平面内的圆弧 空间圆弧插补可分三步来处理：(1) 把三维问题转化成二维，找出圆弧所在平面。(2) 利用二维平面插补算法求出插补点坐标(Xi+1, Yi+1)。(3) 把该点的坐标值转变为基础坐标系下的值。机械机械机械机械电电子学院子学院子学院子学院17x0、yo、z0机械机械机械机械电电子学院子学院子学院子学院18 若ZR轴与基础坐标系Z0轴的夹角为，XR轴与基础坐标系X0的夹角为，则可完成下述坐标变换：将基础坐标系原点移到XRYRZR的原点OR绕ZR轴转，使X与XR平行再绕
11、XR轴转角，使Z与ZR平行新坐标系即为ORXRYRZR。机械机械机械机械电电子学院子学院子学院子学院19将R坐标系的坐标转换成O坐座系坐标将O坐标系的坐标转换成R坐座系坐标机械机械机械机械电电子学院子学院子学院子学院20四、定时插补与定距插补四、定时插补与定距插补定时插补 :固定ts，每隔一个时间间隔ts，插补一个轨迹点。大多数工业机器人采用定时查补方式。 ts上限：一般不超过25ms(40Hz)，受机器人本体的刚度限制 ts下限：几ms，受机器人控制器的计算速度的限制实现方式：定时中断优点：控制系统容易实现。缺点：速度一般不会很高， 机械机械机械机械电电子学院子学院子学院子学院21定距插补：
12、插补点的距离不变，但ts要随着不同工作速度v的变化而变化。优点：保证轨迹插补精度，缺点：ts 要随之变化，控制系统实现起来比前者困难。这两种插补方式的基本算法相同，只是前者固定ts，易于实现，机械机械机械机械电电子学院子学院子学院子学院22轨轨迹迹规规划划方方法法一一般般是是在在机机器器人人的的初初始始位位置置和和目目标标位位置置之之间间用用多多项项式式函函数数来来“内内插插”或或“逼逼近近”给给定定的的路路径径，并并产产生生一一系系列列的的控制点。控制点。关节空间法计算简单、容易。不会发生机构的奇异性问题。关节空间法计算简单、容易。不会发生机构的奇异性问题。五、五、 关节轨迹的插值计算关节轨
13、迹的插值计算约束条件：1）特定点的位姿、速度、加速度的要求。2）各个关节位移、速度、加速度在整个时间间隔内的连续性3）各个关节位移、速度、加速度的极值必须在各个关节变量的容许范围之内等。 机械机械机械机械电电子学院子学院子学院子学院23a. 三次多项式插值三次多项式插值 四四个个约约束束条条件件：机机器器人人起起始始点点和和终终止止点点的的关关节节角角度度和和角角速度。速度。机械机械机械机械电电子学院子学院子学院子学院24为了实现平稳运动，轨迹函数至少需要四个约束条件。即为了实现平稳运动，轨迹函数至少需要四个约束条件。即满足起点和终点的关节角度约束满足起点和终点的关节角度约束满足起点和终点的关
14、节速度约束（满满足起点和终点的关节速度约束（满足关节速度的连续性要求）足关节速度的连续性要求）机械机械机械机械电电子学院子学院子学院子学院25注意：这组解只适用于关节起点、终点速度为零的运动情况。注意：这组解只适用于关节起点、终点速度为零的运动情况。 速度、加速度机械机械机械机械电电子学院子学院子学院子学院26关节空间角位移、角速度、角加速度机械机械机械机械电电子学院子学院子学院子学院27例：例：例：例：设只有一个自由度的旋转关节机械手处于静止状态时，设只有一个自由度的旋转关节机械手处于静止状态时， =150，要在，要在3s内平稳运动到达终止位置：内平稳运动到达终止位置： =750，并且在终，
15、并且在终止点的速度为零。根据上述要求规划该关节的运动止点的速度为零。根据上述要求规划该关节的运动 解：解：解：解：将上式的已知条件代入以下四个方程得四个系数：将上式的已知条件代入以下四个方程得四个系数：因此得：因此得：机械机械机械机械电电子学院子学院子学院子学院28b. b. 过路径点的三次多项式插值过路径点的三次多项式插值 方法是：方法是：1 1）把把所所有有路路径径点点都都看看成成是是“起起点点”或或“终终点点”，求求解解逆逆运运动动学学，得到相应的关节矢量值。得到相应的关节矢量值。2）确确定定所所要要求求的的三三次次多多项项式式插插值值函函数数，把把路路径径点点平平滑滑的的连连接接起起来
16、（连续）。来（连续）。3）*不同的是，这些不同的是，这些“起点起点”和和“终点终点”的关节速度不再是零。的关节速度不再是零。机械机械机械机械电电子学院子学院子学院子学院29此此时时的的速速度度约约束束条条件件变为：变为：同理可以求得此时的三次多项式系数：同理可以求得此时的三次多项式系数：利用约束条件确定三次多项式系数，有下列方程组机械机械机械机械电电子学院子学院子学院子学院30由由上上式式确确定定的的三三次次多多项项式式描描述述了了起起始始点点和和终终止止点点具具有有任任意意给给定定位位置置和和速速度度的的运运动动轨轨迹迹。剩剩下下的的问问题题就就是是如如何何确确定定路路径径点点上上的的关关节
17、节速度速度，有以下三种方法：，有以下三种方法：如何确定？机械机械机械机械电电子学院子学院子学院子学院31 （1） 根根据据工工具具坐坐标标系系在在直直角角坐坐标标空空间间中中的的瞬瞬时时线线速速度度和和角角速速度来确定每个路径点的关节速度度来确定每个路径点的关节速度 ；该方法工作量大。；该方法工作量大。 （2）为为了了保保证证每每个个路路径径点点上上的的加加速速度度连连续续，由由控控制制系系统统按按照照此要求自动地选择路径点的速度。此要求自动地选择路径点的速度。 （3）在在直直角角坐坐标标空空间间或或关关节节空空间间中中采采用用某某种种适适当当的的启启发发式式方方法，由控制系统自动地选择路径点
18、的速度；法，由控制系统自动地选择路径点的速度；机械机械机械机械电电子学院子学院子学院子学院32 对对于于方方法法（2），为为了了保保证证路路径径点点处处的的加加速速度度连连续续，可可以以设设法法用用两两条条三三次次曲曲线线在在路路径径点点处处按按照照一一定定的的规规则则联联系系起起来来，拼拼凑凑成成所所要要求求的的轨轨迹迹。其其约约束束条条件件是是：联联接接处处不不仅仅速速度度连连续续，而而且且加加速速度度也要连续。也要连续。机械机械机械机械电电子学院子学院子学院子学院33 对对于于方方法法（3）， 这这里里所所说说的的启启发发式式方方法法很很简简单单，即即假假设设用用直直线线段段把把这这些些
19、路路径径点点依依次次连连接接起起来来，如如果果相相邻邻线线段段的的斜斜率率在在路路径径点点处处改改变变符符号号，则则把把速速度度选选定定为为零零；如如果果相相邻邻线线段段不不改改变变符符号号，则选择路径点两侧的线段斜率的平均值作为该点的速度。则选择路径点两侧的线段斜率的平均值作为该点的速度。机械机械机械机械电电子学院子学院子学院子学院34例: 对于只有一个中间路径点的机器人作业，设其路径点处的关节加速度连续。如果路径点用三次多项式连接，试确定多项式的所有系数。已知中间路径点的关节角度为v，与它相邻的前后两点的关节角度分别为0和g。解：通过由两个三次多项式组成的样条函数连接 两个三次多项式的时间
20、区间分别是0，tf1和0，tf2，保证路径点处的速度和加速度连续 机械机械机械机械电电子学院子学院子学院子学院35机械机械机械机械电电子学院子学院子学院子学院36 c、 高阶多项式插值高阶多项式插值如如果果对对于于运运动动轨轨迹迹的的要要求求更更为为严严格格，约约束束条条件件增增多多，那那么么三三次次多多项项式式就就不不能能满满足足需需要要，必必须须用用更更高高阶阶的的多多项项式式对对运运动动轨轨迹迹的的路路径径段段进进行行插插值值。例例如如，对对某某段段路路径径的的起起点点和和终终点点都都规规定定了了关关节节的的位位置置、速速度度和和加加速速度度（有有六六个个未未知知的的系系数数），则则要要
21、用用一一个个五次多项式进行插值。五次多项式进行插值。机械机械机械机械电电子学院子学院子学院子学院37 d、用抛物线过渡的线性插值、用抛物线过渡的线性插值 单纯线性插值将导致在结点处关节运动速度不连续，加速度单纯线性插值将导致在结点处关节运动速度不连续，加速度无限大。无限大。机械机械机械机械电电子学院子学院子学院子学院38对于多解情况，如右图所示。加对于多解情况，如右图所示。加速度的值越大，过渡长度越短。速度的值越大，过渡长度越短。 解决办法：解决办法：在使用线性插值时，把每个结点的邻域内增加一段抛物线的“缓冲区段”，由于抛物线函数对于时间的二阶导数为常数，即相应区段内的加速度恒定，这样保证起始
22、点和终止点的速度平滑过渡，从而使整个轨迹上的位移和速度都连续。机械机械机械机械电电子学院子学院子学院子学院39抛物线函数：对称性：速度平滑：已知根据要求确定待求机械机械机械机械电电子学院子学院子学院子学院40条件：例：例：例：例：设只有一个自由度的旋转关节机械手处于静止状态时，设只有一个自由度的旋转关节机械手处于静止状态时， =150，要在，要在3s内平稳运动到达终止位置：内平稳运动到达终止位置： =750，并且在终，并且在终止点的速度为零。根据上述要求规划两条带有抛物线过渡的线性止点的速度为零。根据上述要求规划两条带有抛物线过渡的线性轨迹轨迹 机械机械机械机械电电子学院子学院子学院子学院41
23、解：26.67/s21) 设计第一条轨迹（取为42/s2）机械机械机械机械电电子学院子学院子学院子学院42机械机械机械机械电电子学院子学院子学院子学院432) 设计第二条轨迹机械机械机械机械电电子学院子学院子学院子学院44 e、过路径点的用抛物线过渡的线性插值、过路径点的用抛物线过渡的线性插值 如图所示，某个关节在运动中设有如图所示，某个关节在运动中设有n个路径点，其中三个相个路径点，其中三个相邻的路径点表示为邻的路径点表示为j，k和和l，每两个相邻的路径点之间都以线性函每两个相邻的路径点之间都以线性函数相连，而所有的路径点附近则有抛物线过渡。数相连，而所有的路径点附近则有抛物线过渡。注：注：
24、1、同样存在多解、同样存在多解 2、不能严格到达该点、不能严格到达该点机械机械机械机械电电子学院子学院子学院子学院45 如果要求机器人通过某个结点，同时速度不为零，怎么办？如果要求机器人通过某个结点，同时速度不为零，怎么办？可以在此结点两端规定两个可以在此结点两端规定两个“伪结点伪结点”，令该结点在两伪结点的，令该结点在两伪结点的连线上，并位于两过渡域之间的线性域上。连线上，并位于两过渡域之间的线性域上。机械机械机械机械电电子学院子学院子学院子学院463.4机器人手部路径的轨迹规划操作对象的描述 固接于对象的坐标系机械机械机械机械电电子学院子学院子学院子学院47作业的描述 作业过程可用手部位姿结点序列来规定，每个结点可用工具坐标系相对于作业坐标系的齐次变换来描述。相应的关节变量可用运动学逆解程序计算。机械机械机械机械电电子学院子学院子学院子学院48结点P0P1P2P2P3P4P5P5P6运动INITMOVEMOVEGRASPMOVEMOVEMOVERELEASEMOVE目标原始接近螺栓到达抓住提升接近托架插入孔中松夹移开螺栓的抓紧和插入过程
