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1、第八章第八章 相量法相量法 内容：内容： 复数复数 正弦量正弦量 相量法的基础相量法的基础 电路定律的相量形式电路定律的相量形式适恫禹翔碴膳篮颊关界讲治抚廓蹿喧钉狭蛰羊淖阐理吹炬慷仙淹锣诸类仕第八部分相量法第八部分相量法8. 1 复数复数一、复数的几种形式：一、复数的几种形式：1、代数形式：、代数形式：F = a + j ba=Re F b=Im F 2、三角形式：、三角形式：F=|F| (cos+jsin)+1abF0+j3、指数形式：、指数形式：F=|F|欧拉公式：欧拉公式：极坐标形式：极坐标形式： F=|F| 肘鼓名蓉瓮圭础称殖堂关舵肪夜刷骂折般擎颓惦镁珐教戎掖只该畔钒沉枣第八部分相量法
2、第八部分相量法一、复数的运算：一、复数的运算：则则 F1F2=(a1a2)+j(b1b2)(1)加减运算加减运算直角坐标直角坐标若若 F1=a1+jb1， F2=a2+jb2加减法可用图解法。加减法可用图解法。平行四边形法平行四边形法(2) 乘除运算乘除运算极坐标（指数形式）极坐标（指数形式）若若 F1=|F1| 1 ，若若F2=|F2| 2除法：模相除，角相减。除法：模相除，角相减。乘法：模相乘，角相加。乘法：模相乘，角相加。则则:F1F2ReImOF1+ F2F1- F2叭行懊写戮股瘩农智湿倒逸儡珐普缄渔奸吼露芜洼标哼摘粪遂擎疟衬蜂述第八部分相量法第八部分相量法例例1. 解解:例例2. 解
3、：上式解：上式(3) 旋转因子：旋转因子：复数复数 ej =cos +jsin =1 A ej 相当于相当于A逆时针旋转一个角度逆时针旋转一个角度 ，而模不变。，而模不变。资颇脐鞋稚酵亩芹垦端据敞嫡俯通菠帮韶贵窗户谈卢咕峭综拼怕就过棋矿第八部分相量法第八部分相量法8. 2 正弦量正弦量一一. 正弦量：按正弦规律变化的量。正弦量：按正弦规律变化的量。瞬时值表达式：瞬时值表达式：i(t)=Imsin( t+ )i+_u波形：波形：tiO / / T周期周期T (period)和频率和频率f (frequency) :频率频率f ：每秒重复变化的次数。每秒重复变化的次数。周期周期T ：重复变化一次所
4、需的时间。重复变化一次所需的时间。f =1/T单位：单位：Hz，赫，赫(兹兹)单位：单位：s，秒，秒烤箩恰啃俐痘责娶锦暮撑蚂患歌涩日损爷视妥诚鹤惫裂叶兽斧淆堰考宪一第八部分相量法第八部分相量法(1) 幅幅值值 (amplitude) (振振幅幅、 最最大大值值)Im：反反映映正正弦弦量变化幅度的大小。量变化幅度的大小。(2) (2) 角角频频率率(angular frequency) ：每每秒秒变变化化的的角角度度( (弧弧度度) )， 反映正弦量变化快慢。反映正弦量变化快慢。 二、正弦量的二、正弦量的三要素三要素：tiO / / T(3) 初相位初相位(initial phase angle
5、) ：反映了正弦量的：反映了正弦量的计时起点计时起点。 ( t+ )表表示示正正弦弦量量随随时时间间变变化化的的进进程程,称称之之为为相相位位角角。它它的的大大小小决决定定该时刻正弦量的值。该时刻正弦量的值。Im2 t单位：单位： rad/s ，弧度，弧度 / 秒秒i(t)=Imsin( t+ )峰峰-峰值：峰值：2 Im口千痔倦而坟吊危砚云满阶掺件凳纤三飞拭婆荫眉粘样悦漏吞惺孩皑睹叔第八部分相量法第八部分相量法同一个正弦量，同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同计时起点不同，初相位不同。tiO =0=0 = = /2/2 =-=- /2/2一般规定一般规定：| | 。 一个电路中的许多相关的
6、正弦量，计时零点必一个电路中的许多相关的正弦量，计时零点必须相同。须相同。靛桩汤就笛袍楼神蹦抽走摊风掇就剐歌荡糕怪包盏詹状警遍惑褪邦助躲瘁第八部分相量法第八部分相量法三、正弦量的性质：三、正弦量的性质： 正弦量的微分、积分，同频正弦量的代数和等运算，正弦量的微分、积分，同频正弦量的代数和等运算，结果仍为一个同频率的正弦量。结果仍为一个同频率的正弦量。四、周期量的有效值四、周期量的有效值 周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其大小工程上采用有效值来表示。用其大小工程上采用有效值来表示。用大写字母大写字母表示。表示。物物理理意意义义：周周期期性性
7、电电流流 i 流流过过电电阻阻 R，在在一一周周期期T 内内吸吸收收的的电电能能，等等于于一一直直流流电电流流I 流流过过R , 在在时时间间T 内内吸吸收的电能，则称电流收的电能，则称电流 I 为周期性电流为周期性电流 i 的有效值。的有效值。均方根值均方根值海棱允闪笛微蜗羹硒怀撂缚般菲袒澜夜挣位鉴拟砷村搜赛贩厉红些顺狗闰第八部分相量法第八部分相量法正弦电流、电压的有效值正弦电流、电压的有效值设设 i(t)=Imsin( t+ )品馁蕉鸦转肪韩卒挠荒绥套镶汤轰春欺熙锯亏妊低街乒隆触鹰绊镍熊南昂第八部分相量法第八部分相量法同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：同理，可得正弦电压有效值与最大值
8、的关系：若一交流电压有效值为若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为，则其最大值为Um 311V；U=380V， Um 537V。工工程程上上说说的的正正弦弦电电压压、电电流流一一般般指指有有效效值值，如如设设备备铭铭牌牌额额定定值值、电电网网的的电电压压等等级级等等。但但绝绝缘缘水水平平、耐耐压压值值指指的的是是最最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。*注意注意 区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。区分电压、电流的
9、瞬时值、最大值、有效值的符号。左屋姜理得伪雀沟邓痈颧啃鳃咳娱拉抿萌绪月燃匝伙负藤磨汝述欧逼妄彰第八部分相量法第八部分相量法五、同频率正弦量的相位差五、同频率正弦量的相位差 (phase difference)。设设 u(t)=Umsin( t+ u), i(t)=Imsin( t+ i)则则 相位差相位差 即相位角之差：即相位角之差： = ( t+ u)- - ( t+ i)= u- - i 0， u 领领先先(超超前前)I 角角，或或i 落落后后(滞滞后后) u 角角(u 比比 i 先先到达最大值到达最大值)； 0， i 领先领先(超前超前) u 角，或角，或u 落后落后(滞后滞后) i 角
10、角(i 比比 u 先到达最大值先到达最大值)。 tu, iu i u i O恰好等于初相位之差恰好等于初相位之差此缎凭刮嚷隋阉讣贬湘嘲峪爱赤拳撕抽蔬票旨外骚挂致优吨麦晰嵌那刚游第八部分相量法第八部分相量法 =0， 同相：同相： = ( 180o ) ，反相：，反相：规定：规定： | | (180)。特殊相位关系：特殊相位关系： tu, iu iO tu, iu iO似失显恬滔啄彭送舵洗肢谐走沉试渤挟筐遇屏示邀幽黎扭刮梧闹撬博履繁第八部分相量法第八部分相量法 = /2/2：u 领先领先 i /2/2, 不说不说 u 落后落后 i 3 /2； i 落后落后 u /2/2, 不说不说 i 领先领先
11、u 3 /2。 tu, iu iO同样可比较两个电压或两个电流的相位差。同样可比较两个电压或两个电流的相位差。漓桥琉枪妒泡厚价豢熊回镰身喝淹蛹颠农息解笼伎凋间邓檄圃语舅乌前菱第八部分相量法第八部分相量法8. 3 相量法的基础相量法的基础正弦稳态电路的特点：激励和稳态响应统一频率。正弦稳态电路的特点：激励和稳态响应统一频率。相量法是分析求解正弦电流电路稳态响应的一种有效工具。相量法是分析求解正弦电流电路稳态响应的一种有效工具。加加一一个个小小圆圆点点是是用用来来和和普普通通的的复复数数相相区区别别(强强调调它它与与正正弦弦量量的的联联系系)，同同时时也也改改用用“相相量量”，而而不不用用“向向量
12、量”，是是因因为为它它表表示示的的不不是是一一般般意意义义的的向向量量，而而是是表表示示一一个个正正弦弦量。量。 为正弦量为正弦量 i(t) 对应的相量。对应的相量。正弦量的相量表示正弦量的相量表示:相量的模表示正弦量的相量的模表示正弦量的有效值有效值相量的幅角表示正弦量的相量的幅角表示正弦量的初相位初相位同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：1、相量：、相量：舟随雾看乓煽厄戈酮袒郝你缸抑有邵居七堤聂附末道歪备售狠蹿待挪疹激第八部分相量法第八部分相量法已知已知例例1 1. .试用相量表示试用相量表示i, u .解解：例例2.试写出电流的瞬时值表达式。试写出
13、电流的瞬时值表达式。解解：樱周加苫穷阐胰求巡跑摇句龙瓢湛峙资帆粳肯让笔飘吴垒剧会肤史嘎姿胶第八部分相量法第八部分相量法 2、相量图相量图(相量和复数一样可以在平面上用向量表示相量和复数一样可以在平面上用向量表示)： q q我们用相量和一个正弦时间函数对应看看它的我们用相量和一个正弦时间函数对应看看它的我们用相量和一个正弦时间函数对应看看它的我们用相量和一个正弦时间函数对应看看它的几何意义几何意义几何意义几何意义：ej t 为一模为为一模为1、幅角为、幅角为 t 的相量。随的相量。随t的增加，模不变，的增加，模不变，而幅角与而幅角与t成正比，可视其为一成正比，可视其为一旋转因子旋转因子，当，当t
14、从从0T时，时，相量旋转一周回到初始位置，相量旋转一周回到初始位置， t 从从02 。俞酌柑你啸拔遵祷夫渭殖唇痪镰寓漠辩启赌蛮缔辗殊澡出冬胎监青出蹦想第八部分相量法第八部分相量法3、 相量运算相量运算(1) 同频率正弦量相加减同频率正弦量相加减故同频的正弦量相加减运算就变成对应的相量相加减运算。故同频的正弦量相加减运算就变成对应的相量相加减运算。i1 i2 = i3这实际上是一种这实际上是一种变换思想变换思想可得其相量关系为：可得其相量关系为：膨露焦搭宽督候韶类薄遗笼留晃徽澡耶遂灌里狭王印冷毙穆鹃寨镣纤州棚第八部分相量法第八部分相量法例例同同频频正正弦弦量量的的加加、减减运运算算可可借借助助相
15、相量量图图进进行行。相相量量图图在正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析在正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析。ReImReIm首首尾尾相相接接云连讹惧翰感室成弥灵苍廓酚捐欲赢萧滋羌频甸窗粕闽柯酌搁厦拙哲沦鸦第八部分相量法第八部分相量法 (2) . 正弦量的微分，积分运算正弦量的微分，积分运算微分运算微分运算:积分运算积分运算:相量微分相量微分:相量积分相量积分:姬涕炮也暗苫粮盆彼疽滋眨篡酶诀陀疹严体鹃碾峻敌甄席洽咕碱掂述蹿歇第八部分相量法第八部分相量法（3）、）、 相量法的应用相量法的应用求解正弦电流电路的稳态解求解正弦电流电路的稳态解(微分方程的特解微分方程的特解) 例例一阶
16、常系数一阶常系数线性微分方程线性微分方程自由分量自由分量(齐次方程解齐次方程解)： Ae- -R/L t强制分量强制分量(特解特解)：Imsin( t+ i)Ri(t)u(t)L+- -解解:陋沮骏本池背殆于替麓藉稼模兢蔡术趾膜稻剧春哲猾滩膝概囤午湘衬恕观第八部分相量法第八部分相量法用相量法求：用相量法求： R LRi(t)u(t)L+- -取相量取相量窄葛礼屡裤肠线角及孩购吐拈骨过搏笨睡玉硒穷八赔脂类惭偷距框捷圈镀第八部分相量法第八部分相量法小结小结 正弦量正弦量相量相量时域时域 频域频域 相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。 相相
17、量量法法可可以以用用来来求求强强制制分分量量是是正正弦弦量量的的任任意意常常系系数数 线线性微分方程的特解，即可用来分析正弦稳态电路。性微分方程的特解，即可用来分析正弦稳态电路。N线性线性N线性线性 1 2非非线性线性 不适用不适用正弦波形图正弦波形图相量图相量图升碧直潘靠寥杭鸯鞋滓杂眷闸危默加授性市斗第慈销廓庇严操锚榷您佬栈第八部分相量法第八部分相量法8. 4 电路定律的相量形式电路定律的相量形式VCR、KCL和和KVL一、电阻、电感和电容的一、电阻、电感和电容的VCR1. 电阻电阻时域形式：时域形式：相量形式：相量形式：相量模型相量模型uR(t)i(t)R+- -有效值关系：有效值关系：U
18、R=RI相位关系相位关系 u= i (u,i同相同相)R+- -UR u相量关系相量关系：UR=RI u= i棒无没稻昼谰历啊绒坐活娄碘帐撞演损栗疯如恳木副诉秆借涅妆棱抨锯奸第八部分相量法第八部分相量法瞬时功率：瞬时功率：波形图及相量图：波形图及相量图： i tOuRpR u= iURI瞬时功率以瞬时功率以2 交变。但始终大于零，交变。但始终大于零，表明电阻始终是吸收（消耗）功率。表明电阻始终是吸收（消耗）功率。澡勺奴叙狈氰集寅昂雇咬村业孟癸楞风朗奴椽绦袒径庸阎唯吗责甚炭删却第八部分相量法第八部分相量法2 . 电感电感时域形式：时域形式：i(t)uL(t)L+- -相量形式：相量形式：相量模型
19、相量模型j L+- - i有效值关系：有效值关系： U= L I相位关系：相位关系： u= i +90 (u 超前超前 i 90)1. 相量关系：相量关系： =0时，相当于时，相当于短路短路阳圃稳丽淡瘟撅扣降蔬部沽颜宪侩屡孕绿世那恶湛持渺弄灼戍堆傻坛呻怕第八部分相量法第八部分相量法功率：功率：波形图：波形图： t iOuLpL2 瞬时功率以瞬时功率以2 交变，有正有负，交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消。一周期内刚好互相抵消。逝琉况帧谈某况汉猖椿膝望均兴染厦街殊摧磊叠糖龙村账弟朔欺饰檬逞科第八部分相量法第八部分相量法3、 电容电容时域形式：时域形式：相量形式：相量形式：相量模型相量模型有效值
20、关系：有效值关系： IC= CU相位关系：相位关系： i= u+90 (i 超前超前 u 90) uiC(t)u(t)C+- -+- - =0时，相当于时，相当于开路开路庐翼鹤等葡鹅娇牌些陌动拴挨陛饵内染栈辰妹间膊宠豢诈伞暗妇麻械判嘿第八部分相量法第八部分相量法功率：功率：波形图：波形图： t iCOupC2 瞬时功率以瞬时功率以2 交变，有正有交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消。负，一周期内刚好互相抵消。钟涪抗夹犬宜诚追弯苔窖饶耻芯墓鸯撂刚坪蔗维矿捐果卧马洗核疹澡痢奥第八部分相量法第八部分相量法4、 受控源受控源VCCSgu1+_u2i2+_u1i1时域形式：时域形式：相量形式：相量形式：
21、VCCS+_+_鸡败皇宋息坏靛袄鲤批息胺疯儒奖归矗平呜死引标预酱胸矩娄平茶烈悬蒂第八部分相量法第八部分相量法二、二、基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式同同频频率率的的正正弦弦量量加加减减可可以以用用对对应应的的相相量量形形式式来来进进行行计计算算。因因此此，在在正正弦弦电电流流电电路路中中，KCL和和KVL可可用用相相应应的相量形式表示：的相量形式表示：涎椽朵祈洞挫椎蒋寥砧艳鸡潞哈栋捏疑啄斩暴霸凉骤碱粱称蹦檄弗婶伦伞第八部分相量法第八部分相量法由由KVL：其相量关系也成立其相量关系也成立LCRuuLuCi+- -+- -+- -+- -uRj LR+- -+- -+- -+例例1：列列KVL，一般一般设电流相量为参考相量设电流相量为参考相量说赵锅勾撅突弗粹丈企搏盐黍敷钳仁尤奇嘘窍掺贝上园狰栅伴罩刻用瘟却第八部分相量法第八部分相量法例例2：列：列KCL方程方程书上例书上例8-4，187页页列列KCL，一般一般设电压相量为参考相量设电压相量为参考相量附侩妹影薛驯耻寻帧辙缸垃摸韭佣豌侯拙传俗搽跟砧苗蠕犁利败庸嘉耙黑第八部分相量法第八部分相量法
