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1、第四节第四节 平平 面面一、平面的方程一、平面的方程二、两平面的夹角及位置关系二、两平面的夹角及位置关系三、点到平面的距离三、点到平面的距离水桶的表面、台灯的罩子面等水桶的表面、台灯的罩子面等曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面方程的定义：曲面方程的定义：曲面的实例：曲面的实例：一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程平平面面由由一一定定点点和和一一非非零零向向量量所所确确定定，与与平平面面垂垂直直的的非非零零向向量量叫做平面的法向量叫做平面的法向量平面的点法式方程平面的点法式方程过已知三点过已知三点A,B,C A,B,C 的平面方程为：的平面方
2、程为： 平面的三点式方程平面的三点式方程 由平面的点法式方程由平面的点法式方程平面的一般式方程平面的一般式方程二、平面的一般式方程二、平面的一般式方程定理：定理：且此平面的一个法向量为且此平面的一个法向量为任何三元一次方程任何三元一次方程(A, B, C,不全为不全为0) 都表示一个平面，都表示一个平面，解解设所求平面方程为设所求平面方程为由已知有由已知有解得解得代入方程代入方程并消去并消去A，即得所求平面方程为即得所求平面方程为平面一般方程的几种特殊情况：平面一般方程的几种特殊情况：平面通过坐标原点；平面通过坐标原点；平面通过平面通过 轴；轴；平面平行于平面平行于 轴；轴；平面平行于平面平行
3、于 坐标面；坐标面；类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.特殊情形特殊情形 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点通过原点的平面; 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量平面平行于 x 轴; A x+C z+D = 0 表示 A x+B y+D = 0 表示 C z + D = 0 表示 A x + D =0 表示 B y + D = 0 表示平行于 y 轴的平面;平行于 z 轴的平面;平行于 xOy 面 的平面;平行于 yOz 面 的平面；平行于 zOx 面 的平面.三、平面的截距式方程三、平
4、面的截距式方程平面的截距式方程平面的截距式方程1、定义、定义（通常取锐角）通常取锐角）两平面法向量之间的夹角称为两两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角平面的夹角. .四、两平面的夹角及位置关系四、两平面的夹角及位置关系 按照两向量夹角余弦公式有按照两向量夹角余弦公式有两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式2、两、两个个平面的位置关系：平面的位置关系： 两个平面相互垂直或平行相当于它两个平面相互垂直或平行相当于它们的们的法向量法向量垂直或平行垂直或平行两平面垂直或平行的充要条件：两平面垂直或平行的充要条件：例例4 4 研究以下各组里两平面的位置关系：研究以下各组里两平面的位置关系：平面法向量为平
5、面法向量为所求平面法向量为所求平面法向量为解解故所求平面方程为故所求平面方程为设平面为设平面为由所求平面与已知平面平行得由所求平面与已知平面平行得（向量平行的充要条件）（向量平行的充要条件）解解化简得化简得令令代入体积式代入体积式所求平面方程为所求平面方程为五、点到平面的距离五、点到平面的距离点到平面的距离公式点到平面的距离公式平面的方程平面的方程（熟记平面的几种特殊位置的方程）熟记平面的几种特殊位置的方程）两平面的夹角两平面的夹角.点到平面的距离公式点到平面的距离公式.点法式方程点法式方程.一般方程一般方程.截距式方程截距式方程.（注意两平面的（注意两平面的位置位置特征）特征）四、小结四、小结思考题思考题思考题解答思考题解答练练 习习 题题练习题答案练习题答案
