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1、我的數學之路 丘成桐教授丘成桐教授丘成桐教授丘成桐教授浙江大学浙江大学浙江大学浙江大学二零零四年三月二十日二零零四年三月二十日二零零四年三月二十日二零零四年三月二十日 1我我 在在 香香 港港 的的 郊郊 區區 元元 朗朗 和和 沙沙 田田 長長 大大 。那那裏裏沒沒有有電電，也也沒沒有有自自來來水水。小小時時候候就就在在河河中中洗洗澡澡。家家中中有有八八兄兄弟弟姐姐妹妹，食食物物少少得得可可憐憐。五五歲歲時時參參加加某某著著名名小小學學的的入入學學試試，結結果果沒考上。原因是用了錯誤的記號，如把沒考上。原因是用了錯誤的記號，如把57反反寫成寫成75，69反寫成反寫成96等。等。2我我只只能能
2、上上一一所所小小小小的的鄉鄉村村學學校校。那那裏裏有有很很多多來來自自農農村村的的粗粗野野小小孩孩。受受到到這這些些小小孩孩的的威威嚇嚇，加加上上老老師師處處理理不不善善，不不到到一一年年，我我便便身身患患重重病病。在在家家中中養養病病的的半半年年，我我思思索索如如何何跟跟同同學學老老師師相相處處。升升上上小小六六時時，我我已已經經是是一一群群小小 孩孩 的的 首首 領領 ， 帶帶 著著 他他 們們 在在 街街 頭頭 亂亂 闖闖 。3家家父父是是位位教教授授。他他教教了了我我不不少少中中國國文文學學。可可是是，他他並並不不知知道道我我曾曾曠曠課課好好一一段段日日子子。 或或者者這這是是因因為為
3、我我在在家家中中循循規規蹈蹈矩矩，他他教教授授的的詩詩詞詞我我也也能能背背誦誦如如流流。逃逃學學的的原原因因是是老老師師不不怎怎樣樣教教學學，在在學學校校悶悶得得發發慌慌，不不久久連連上上街街也也覺覺得得無無聊聊了了。當當時時香香港港有有統統一一的的升升中中試試。我我考考得得並並不不好好，但但幸幸好好分分數數落落在在分分界界線線上上。4政政 府府 允允 許許 這這 些些 落落 在在 分分 界界 線線 上上 的的 學學 生生 申申 請請 私私 立立政政 府府 允允 許許 這這 些些 落落 在在 分分 界界 線線 上上 的的 學學 生生 申申 請請 私私 立立中中 學學 ， 並並 提提 供供 學學
4、 費費 。 我我 進進 入入 了了 培培 正正 中中 學學 。 培培中中 學學 ， 並並 提提 供供 學學 費費 。 我我 進進 入入 了了 培培 正正 中中 學學 。 培培正正 是是 一一 所所 很很 好好 的的 中中 學學 。 中中 學學 生生 涯涯 的的 第第 一一 年年 乏乏正正 是是 一一 所所 很很 好好 的的 中中 學學 。 中中 學學 生生 涯涯 的的 第第 一一 年年 乏乏善善 可可 陳陳 。 我我 的的 成成 績績 不不 大大 好好 ， 老老 師師 常常 常常 對對 我我 很很善善 可可 陳陳 。 我我 的的 成成 績績 不不 大大 好好 ， 老老 師師 常常 常常 對對
5、我我 很很生生 氣氣 。 大大 概概 剛剛 從從 鄉鄉 村村 出出 來來 ，生生 氣氣 。 大大 概概 剛剛 從從 鄉鄉 村村 出出 來來 ，“ “野野 性性野野 性性” ”未未 改改 吧吧 。未未 改改 吧吧 。我我 熱熱 中中 於於 養養 蠶蠶 、 養養 小小 魚魚 ， 到到 山山 上上 去去 捉捉 各各 種種 小小我我 熱熱 中中 於於 養養 蠶蠶 、 養養 小小 魚魚 ， 到到 山山 上上 去去 捉捉 各各 種種 小小動動物物。沙沙田田的的風風景景美美麗麗清清新新，在在大大自自然然的的懷懷抱抱裏裏，動動物物。沙沙田田的的風風景景美美麗麗清清新新，在在大大自自然然的的懷懷抱抱裏裏，倒倒
6、是是 自自 得得 其其 趣趣 ， 到到 如如 今今 還還 不不 能能 忘忘 懷懷 。倒倒 是是 自自 得得 其其 趣趣 ， 到到 如如 今今 還還 不不 能能 忘忘 懷懷 。 5當當時時武武俠俠小小說說盛盛行行，我我很很喜喜歡歡讀讀這這些些小小說說，沒沒有有錢錢去去買買，就就向向鄰鄰居居借借。父父親親不不贊贊成成我我讀讀這這些些小小說說，認認為為膚膚淺淺，但但我我還還是是偷偷偷偷去去看看，也也看看了了各各種種不不同同的的章章回回小小說說如如七七俠俠五五義義、說說岳全傳、東周列國志等雜書。岳全傳、東周列國志等雜書。6父父親親從從我我小小學學五五年年級級教教我我詩詩詞詞、古古文文和和古古典典小小說
7、說如如三三國國演演義義、水水滸滸傳傳、紅紅樓樓夢夢、西西廂廂記記等等。父父親親堅堅持持我我在在看看這這些些小小說說時時，要要背背誦誦其其中中的的詩詩詞詞。當當時時雖雖以以為為苦苦，但但順順口口吟吟誦誦，也也慢慢習慣。總覺得沒有看武俠小說来得刺激。慢慢習慣。總覺得沒有看武俠小說来得刺激。7但但是是真真正正對對我我有有影影響響的的卻卻不不是是武武俠俠小小說說。中中國國古古典典文文學學深深深深影影響響了了我我做做學學問問的的氣氣質質和和修修養養。近近代代的的作作品品，如如魯魯迅迅的的也也有有閱閱讀讀。記記憶憶深刻的深刻的 路路 是是 人人 行行 出出 來來 的的 ， 自自 己己 的的 路路 更更 要
8、要自己去走。自己去走。8我 們 家 中 常 有 父 親 的 學 生 來 訪 ， 往 往 興 高 采我 們 家 中 常 有 父 親 的 學 生 來 訪 ， 往 往 興 高 采烈的談學問。他們討論時常常談及希臘哲學，雖然烈的談學問。他們討論時常常談及希臘哲學，雖然我對希臘哲學不大了解，但卻對它留下深刻的印我對希臘哲學不大了解，但卻對它留下深刻的印象。希臘學者對真理和美無條件的追求是我一生做象。希臘學者對真理和美無條件的追求是我一生做學問的座右銘。他們對康德的哲學、對自然辦證法學問的座右銘。他們對康德的哲學、對自然辦證法的討論使我莫名其妙，但是久而久之，竟然引起了的討論使我莫名其妙，但是久而久之，竟
9、然引起了我對自然科學的興奮。西方的作品如浮士德、戰爭我對自然科學的興奮。西方的作品如浮士德、戰爭與和平等文學著作，雖有接觸，但遠不如中國文學與和平等文學著作，雖有接觸，但遠不如中國文學對我的印象深厚。對我的印象深厚。9我開始研讀史學名著史記和左傳。對史記尤其著迷。這不僅是由於其文字優美、音調鏗鏘，還是因為它敘事求真，史觀獨特。直到現在，我還不時披閱這書。史學大師駐足高涯，俯視整個歷史，與大科學家的思入風雲，干宇宙之奧秘遙相呼應。10在當時讀這些文章，大多部份不能夠領會，尤其困難的是讀在當時讀這些文章，大多部份不能夠領會，尤其困難的是讀馮友蘭寫的新原道和新原人，但是重複的去讀，總有點收馮友蘭寫的
10、新原道和新原人，但是重複的去讀，總有點收穫。穫。晉晉晉晉 陶淵明陶淵明陶淵明陶淵明好讀書，不求甚解，好讀書，不求甚解，每有會意，便欣然忘食。每有會意，便欣然忘食。其實在做科學時，也往往有同樣的經驗，讀書只要有興趣，其實在做科學時，也往往有同樣的經驗，讀書只要有興趣，不一定要全懂，慢慢自然領會其中心思想，同時一定要做不一定要全懂，慢慢自然領會其中心思想，同時一定要做到到不戚戚於貧賤，不汲汲於富貴。不戚戚於貧賤，不汲汲於富貴。這是古人的經驗，陶淵明的古文和詩有他的獨特氣質，深得這是古人的經驗，陶淵明的古文和詩有他的獨特氣質，深得自然之趣，我們做科學的學者也需要得到自然界的氣息，需自然之趣，我們做科
11、學的學者也需要得到自然界的氣息，需要同樣的精神。要同樣的精神。11在在 以以 後後 的的 日日 子子 裏裏 ， 我我 都都 以以 此此 作作 為為 原原 則則 ， 以以 研研在在 以以 後後 的的 日日 子子 裏裏 ， 我我 都都 以以 此此 作作 為為 原原 則則 ， 以以 研研讀讀 學學 問問 為為 樂樂 事事 ， 不不 以以 為為 苦苦 。 在在 父父 親親 的的 循循 循循 善善讀讀 學學 問問 為為 樂樂 事事 ， 不不 以以 為為 苦苦 。 在在 父父 親親 的的 循循 循循 善善導導 下下 ， 我我 開開 始始 建建 立立 我我 對對 人人 生生 的的 看看 法法 。導導 下下
12、， 我我 開開 始始 建建 立立 我我 對對 人人 生生 的的 看看 法法 。到到如如今今，我我讀讀史史記記至至以以下下一一段段時時，仍仍然然使使我我心心志志清清到到如如今今，我我讀讀史史記記至至以以下下一一段段時時，仍仍然然使使我我心心志志清清新新新新司馬遷司馬遷司馬遷司馬遷孔子世家贊孔子世家贊孔子世家贊孔子世家贊天下君王至於賢人，眾矣！天下君王至於賢人，眾矣！天下君王至於賢人，眾矣！天下君王至於賢人，眾矣！當時則榮，沒則已焉，孔子布衣，當時則榮，沒則已焉，孔子布衣，當時則榮，沒則已焉，孔子布衣，當時則榮，沒則已焉，孔子布衣，傳十餘世，學者宗之。傳十餘世，學者宗之。傳十餘世，學者宗之。傳十餘
13、世，學者宗之。 12假如我們追求的永恆的真理，即使一時的挫折，也不覺灰心。假如我們追求的永恆的真理，即使一時的挫折，也不覺灰心。假如我們追求的永恆的真理，即使一時的挫折，也不覺灰心。假如我們追求的永恆的真理，即使一時的挫折，也不覺灰心。韓愈韓愈韓愈韓愈苟余行之不迷，雖顛沛其何傷。苟余行之不迷，雖顛沛其何傷。苟余行之不迷，雖顛沛其何傷。苟余行之不迷，雖顛沛其何傷。我讀左傳，始知有不朽的事情。我讀左傳，始知有不朽的事情。我讀左傳，始知有不朽的事情。我讀左傳，始知有不朽的事情。左傳左傳左傳左傳叔孫豹論三不朽叔孫豹論三不朽叔孫豹論三不朽叔孫豹論三不朽太上有立德，其次有立功，其次有立言，太上有立德，其次
14、有立功，其次有立言，太上有立德，其次有立功，其次有立言，太上有立德，其次有立功，其次有立言，雖久不廢，此之謂不朽。雖久不廢，此之謂不朽。雖久不廢，此之謂不朽。雖久不廢，此之謂不朽。以前我以為立德跟立言沒有關係，但是數十年的觀察才知道以前我以為立德跟立言沒有關係，但是數十年的觀察才知道以前我以為立德跟立言沒有關係，但是數十年的觀察才知道以前我以為立德跟立言沒有關係，但是數十年的觀察才知道立德的重要性。立德立功立言之道，必以謙讓質樸為主。立德的重要性。立德立功立言之道，必以謙讓質樸為主。立德的重要性。立德立功立言之道，必以謙讓質樸為主。立德的重要性。立德立功立言之道，必以謙讓質樸為主。 13我我有
15、有一一個個學學生生在在南南京京大大學學電電視視台台訪訪問問自自炫炫會會當當凌凌絕絕頂頂，一一覽覽眾眾山山小小，真真輕輕妄妄浮浮誇誇之之言言。其其實實遠遠山山微微小小，越越近近越越覺覺其其宏宏大大。往往往往眾眾人人合合作作才才能能跨跨過過困困難難的的地地方方，在在沒沒有有嘗嘗試試創創作作性性的的學學問問時時，才才會會說說這這種種膚膚淺淺的的說說話話。14在培正的第二年，我多言多動，老師要記我在培正的第二年，我多言多動，老師要記我小過。她是我的班主任，責任心強，誠然是小過。她是我的班主任，責任心強，誠然是為我好。當她知道家父是位教授，但卻拿著為我好。當她知道家父是位教授，但卻拿著微薄的薪酬後，大為
16、震動。此後在她悉心栽微薄的薪酬後，大為震動。此後在她悉心栽培下，我在課堂上規矩多了。培下，我在課堂上規矩多了。就在這年，我們開始學習平面幾何。就在這年，我們開始學習平面幾何。15同學對抽象思維都不習慣。由於在家中時常同學對抽象思維都不習慣。由於在家中時常聽父親談論哲學，對利用公理進行推導的做聽父親談論哲學，對利用公理進行推導的做法，我一點也不覺得見外。法，我一點也不覺得見外。學習幾何後，我對父親的講話，又多明白了學習幾何後，我對父親的講話，又多明白了幾分。利用簡單的公理，卻能推出美妙的定幾分。利用簡單的公理，卻能推出美妙的定理，實在令人神往。理，實在令人神往。 16對幾何的狂熱，提高了對數學對
17、幾何的狂熱，提高了對數學包括代數包括代數的鑑賞能力。當你喜歡某科目時，所有的鑑賞能力。當你喜歡某科目時，所有有關的東西都變得淺易。有關的東西都變得淺易。我對歷史也甚有興趣。它培養我對事物要作我對歷史也甚有興趣。它培養我對事物要作一整體觀。一整體觀。事件是如何發生的？事件是如何發生的？到底是甚麼原故？到底是甚麼原故？將來會如何？將來會如何？17就在這時，父親完成了他的西方哲學史。他就在這時，父親完成了他的西方哲學史。他跟學生談話，總是說應整體地看歷史。這種跟學生談話，總是說應整體地看歷史。這種觀念深深地影響了我。觀念深深地影響了我。這種想法，在往後的日子中，指引我去尋找這種想法，在往後的日子中，
18、指引我去尋找研究項目。研究項目。父親的書對我有很深的影響。父親的書對我有很深的影響。 18書中第一頁的引言書中第一頁的引言文心雕龍文心雕龍 諸子諸子身與時舛，志共道申。身與時舛，志共道申。標心於萬古之上，而送懷與千載之下。標心於萬古之上，而送懷與千載之下。這是何等的胸襟。這是何等的胸襟。19哲學史的目的有三，哲學史的目的有三， 一曰求因，哲學思潮其源甚夥，必先上溯以一曰求因，哲學思潮其源甚夥，必先上溯以求之。求之。 二曰明變，往昔哲學思想交纏屈結，故重理二曰明變，往昔哲學思想交纏屈結，故重理其脈絡，是為要務。其脈絡，是為要務。 三曰評論，所有思潮及其流派，皆一一評論，三曰評論，所有思潮及其流派
19、，皆一一評論，作警策精闢之言。作警策精闢之言。這三點和自然科學的研究有密切的關係，再這三點和自然科學的研究有密切的關係，再加上創新，則可以概括研究的方法了。加上創新，則可以概括研究的方法了。20十四歲時，父親便去世了。這或許是我一生十四歲時，父親便去世了。這或許是我一生中最大的打擊。在一段頗長的日子裏，對父中最大的打擊。在一段頗長的日子裏，對父親離開了我和家人的事實，我都不能置信。親離開了我和家人的事實，我都不能置信。家中經濟，頓入困境，我們面臨輟學。幸得家中經濟，頓入困境，我們面臨輟學。幸得母親苦心操持，先父舊交弟子的援手，我們母親苦心操持，先父舊交弟子的援手，我們才倖免如此。才倖免如此。2
20、1家中遽變，令我更成熟堅強。困境中人情冷家中遽變，令我更成熟堅強。困境中人情冷暖，父親生前的教導，竟變得真實起來。以暖，父親生前的教導，竟變得真實起來。以前誦讀的詩詞古文，有了進一步的體會。前誦讀的詩詞古文，有了進一步的體會。我花了整整半年，研習古典文學和中國歷我花了整整半年，研習古典文學和中國歷史，藉此撫平繃緊的心弦。典麗的詩詞教人史，藉此撫平繃緊的心弦。典麗的詩詞教人欣賞自然之美。欣賞自然之美。 22我我閱閱讀讀了了大大量量數數學學書書籍籍，並並考考慮慮書書中中的的難難題題。當當這這些些難難題題都都我我閱閱讀讀了了大大量量數數學學書書籍籍，並並考考慮慮書書中中的的難難題題。當當這這些些難難
21、題題都都解解 決決 掉掉 後後 ， 我我 開開 始始 創創 造造 自自 己己 認認 為為 有有 挑挑 戰戰 性性 的的 題題 目目 。解解 決決 掉掉 後後 ， 我我 開開 始始 創創 造造 自自 己己 認認 為為 有有 挑挑 戰戰 性性 的的 題題 目目 。由由個個人人去去創創造造問問題題此此後後變變成成我我研研究究事事業業中中最最關關鍵鍵的的環環節節。學學由由個個人人去去創創造造問問題題此此後後變變成成我我研研究究事事業業中中最最關關鍵鍵的的環環節節。學學校校的的課課本本已已經經不不能能滿滿足足我我了了。我我跑跑到到圖圖書書館館、書書店店去去看看書書。校校的的課課本本已已經經不不能能滿滿足
22、足我我了了。我我跑跑到到圖圖書書館館、書書店店去去看看書書。我我花花了了許許多多時時間間打打書書釘釘，閱閱讀讀那那些些買買不不起起的的書書本本。我我讀讀了了華華我我花花了了許許多多時時間間打打書書釘釘，閱閱讀讀那那些些買買不不起起的的書書本本。我我讀讀了了華華羅羅庚庚先先生生寫寫的的很很多多參參考考書書，無無論論在在分分析析或或數數論論上上的的討討論論，都都羅羅庚庚先先生生寫寫的的很很多多參參考考書書，無無論論在在分分析析或或數數論論上上的的討討論論，都都漂漂亮亮極極了了。也也看看了了很很多多幫幫助助課課堂堂解解題題，例例如如陳陳明明哲哲寫寫的的一一些些漂漂亮亮極極了了。也也看看了了很很多多幫
23、幫助助課課堂堂解解題題，例例如如陳陳明明哲哲寫寫的的一一些些小小冊冊子子，一一般般來來說說，我我會會比比課課程程早早一一個個學學期期做做完完所所有有的的習習小小冊冊子子，一一般般來來說說，我我會會比比課課程程早早一一個個學學期期做做完完所所有有的的習習題，所以聽數學課是一程享受。題，所以聽數學課是一程享受。題，所以聽數學課是一程享受。題，所以聽數學課是一程享受。 23打從十五歲起，我開始替低年級學生當家打從十五歲起，我開始替低年級學生當家教，以幫補家計。我找到一些巧妙的方法，教，以幫補家計。我找到一些巧妙的方法，使成績低劣的孩子搖身變成優等生，為此我使成績低劣的孩子搖身變成優等生，為此我覺得有
24、點飄飄然。覺得有點飄飄然。我積累了教導年青人的經驗，同時也體會到我積累了教導年青人的經驗，同時也體會到教學相長的道理。教學相長的道理。24我我們們的的數數學學老老師師十十分分好好。他他教教授授的的內內容容，比比課課程程要要求求來來得得艱艱深深，但但我我覺覺得得絲絲毫毫不不費費氣氣力力。其其實實我我的的同同學學們們雖雖然然叫叫苦苦，但但是是總總的的來來說說，數數學學都都不不錯錯，這這叫叫做做取取法法乎乎其其上上，得得乎乎其中。其中。近近代代數數學學的的教教學學方方法法，恐恐怕怕適適得得其其反反，取取法法乎其中，得乎其下。乎其中，得乎其下。25當當時時我我們們的的物物理理老老師師不不太太行行，對對
25、此此不不無無失失望望。中中學學時時養養成成不不了了物物理理上上的的基基本本直直觀觀，至至今於心還有戚戚焉。今於心還有戚戚焉。國國文文老老師師卻卻是是無無懈懈可可擊擊。他他是是我我的的父父執執輩輩。他教導我們思想要不落俗套。他教導我們思想要不落俗套。 26國國 文文 教教 師師 說說 思思 惟惟 要要 自自 出出 機機 杼杼 ， 讀讀 好好 書書 之之 餘餘 ，國國 文文 教教 師師 說說 思思 惟惟 要要 自自 出出 機機 杼杼 ， 讀讀 好好 書書 之之 餘餘 ，爛爛 書書 也也 無無 妨妨 一一 讀讀 ， 以以 資資 比比 較較 。 因因 此此 我我 甚甚 麼麼 書書爛爛 書書 也也 無無
26、 妨妨 一一 讀讀 ， 以以 資資 比比 較較 。 因因 此此 我我 甚甚 麼麼 書書都都 啃啃 。 他他 這這 種種 觀觀 點點 ， 就就 是是 放放 諸諸 我我 日日 後後 的的 科科 學學都都 啃啃 。 他他 這這 種種 觀觀 點點 ， 就就 是是 放放 諸諸 我我 日日 後後 的的 科科 學學生涯中，也有其可取之處。生涯中，也有其可取之處。生涯中，也有其可取之處。生涯中，也有其可取之處。作文堂的一個典型題目作文堂的一個典型題目作文堂的一個典型題目作文堂的一個典型題目豬的哲學觀豬的哲學觀豬的哲學觀豬的哲學觀於是大伙兒興高采烈，自由發揮。於是大伙兒興高采烈，自由發揮。於是大伙兒興高采烈，自
27、由發揮。於是大伙兒興高采烈，自由發揮。在在班班裏裏我我並並非非名名列列前前茅茅，數數學學科科的的等等級級也也不不見見得得最最在在班班裏裏我我並並非非名名列列前前茅茅，數數學學科科的的等等級級也也不不見見得得最最高。但我比同班諸子想得更深，書也讀得更多。高。但我比同班諸子想得更深，書也讀得更多。高。但我比同班諸子想得更深，書也讀得更多。高。但我比同班諸子想得更深，書也讀得更多。27中學讀書，除數學外，真正對我前途有影響的是國中學讀書，除數學外，真正對我前途有影響的是國中學讀書，除數學外，真正對我前途有影響的是國中學讀書，除數學外，真正對我前途有影響的是國文和歷史。文和歷史。文和歷史。文和歷史。現
28、在來談談中學國文和歷史對我的影響。最重要的現在來談談中學國文和歷史對我的影響。最重要的現在來談談中學國文和歷史對我的影響。最重要的現在來談談中學國文和歷史對我的影響。最重要的是立志，覺得做學問是一輩子的志願。是立志，覺得做學問是一輩子的志願。是立志，覺得做學問是一輩子的志願。是立志，覺得做學問是一輩子的志願。典論典論典論典論 論文論文論文論文曹丕曹丕曹丕曹丕 蓋文章，經國之大業，不朽之盛事。年壽有時蓋文章，經國之大業，不朽之盛事。年壽有時蓋文章，經國之大業，不朽之盛事。年壽有時蓋文章，經國之大業，不朽之盛事。年壽有時而盡。榮樂止乎其身。二者必至之常期，夫若文章而盡。榮樂止乎其身。二者必至之常期
29、，夫若文章而盡。榮樂止乎其身。二者必至之常期，夫若文章而盡。榮樂止乎其身。二者必至之常期，夫若文章之無窮。是以古之作者，寄身於翰墨，見意於篇之無窮。是以古之作者，寄身於翰墨，見意於篇之無窮。是以古之作者，寄身於翰墨，見意於篇之無窮。是以古之作者，寄身於翰墨，見意於篇籍，不假良史之辭，不託飛馳之勢，而聲名自傳於籍，不假良史之辭，不託飛馳之勢，而聲名自傳於籍，不假良史之辭，不託飛馳之勢，而聲名自傳於籍，不假良史之辭，不託飛馳之勢，而聲名自傳於後。後。後。後。 28立志之後，必需培養興趣，而做習題和思考立志之後，必需培養興趣，而做習題和思考是不二法門是不二法門論語論語學而時習之，不亦樂乎。學而時習之
30、，不亦樂乎。學而不思則罔，思而不學則殆。學而不思則罔，思而不學則殆。楚辭楚辭路曼曼其修遠兮路曼曼其修遠兮吾將上下而求索吾將上下而求索29做學問要有興趣，才能深入，但追求學問的道路曲做學問要有興趣，才能深入，但追求學問的道路曲做學問要有興趣，才能深入，但追求學問的道路曲做學問要有興趣，才能深入，但追求學問的道路曲折有致，必須要有毅力，才能持久。折有致，必須要有毅力，才能持久。折有致，必須要有毅力，才能持久。折有致，必須要有毅力，才能持久。楚辭楚辭楚辭楚辭亦余心之所善兮亦余心之所善兮亦余心之所善兮亦余心之所善兮雖九死其猶未悔雖九死其猶未悔雖九死其猶未悔雖九死其猶未悔抽思抽思抽思抽思惟郢路之遼遠兮惟
31、郢路之遼遠兮惟郢路之遼遠兮惟郢路之遼遠兮魂一夕而九逝魂一夕而九逝魂一夕而九逝魂一夕而九逝30在中學和大學的教育中最重要的一環是在中學和大學的教育中最重要的一環是培養氣質培養氣質 孟子孟子我知言，我善養吾浩然之氣。我知言，我善養吾浩然之氣。 曹丕曹丕譬諸音樂，曲度雖均，節奏同檢，譬諸音樂，曲度雖均，節奏同檢，至於引氣不齊，巧拙有素，雖在父兄，不至於引氣不齊，巧拙有素，雖在父兄，不能以移子弟。能以移子弟。 岑參岑參性靈出萬象。性靈出萬象。31但是師友和讀書的環境卻足以轉變人的情懷但是師友和讀書的環境卻足以轉變人的情懷雅志。雅志。汪中汪中撫弦動曲，乃移我情。撫弦動曲，乃移我情。 32做做學學問問，無
32、無論論是是自自然然科科學學或或文文學學都都有有氣氣質質的的問問題題，從從文文章章中中，往往往往可可以以看看出出作作者者的的修修養養。古古代代注注重重音音樂樂，從從樂樂聲聲中中可可以以看看見見國國家家的的盛盛衰，也是同樣的道理。衰，也是同樣的道理。 33季札觀樂季札觀樂季札觀樂季札觀樂 左傳左傳左傳左傳 吳公子札來聘，請觀於同樂，使工為之歌周南召吳公子札來聘，請觀於同樂，使工為之歌周南召南。曰美哉，始基之矣。猶未也，然勤而不怨矣南。曰美哉，始基之矣。猶未也，然勤而不怨矣 為之歌鄭，曰美哉，其細已甚。民不堪也，是其先為之歌鄭，曰美哉，其細已甚。民不堪也，是其先亡乎。亡乎。 為之歌齊，曰美哉，泱泱乎
33、，大風也哉。表東海為之歌齊，曰美哉，泱泱乎，大風也哉。表東海者，其太公乎者，其太公乎 為之歌大雅，曰廣哉，熙熙乎，曲而有直體，其文為之歌大雅，曰廣哉，熙熙乎，曲而有直體，其文王之德乎。王之德乎。34在培養氣質上，師友的關係至為重要。在培養氣質上，師友的關係至為重要。韓愈韓愈師者，傳道授業解惑者也。師者，傳道授業解惑者也。論語論語三人行，必有我師焉。三人行，必有我師焉。35在與師友相交之際，言必及義，而最重要的善於發問。在與師友相交之際，言必及義，而最重要的善於發問。在與師友相交之際，言必及義，而最重要的善於發問。在與師友相交之際，言必及義，而最重要的善於發問。善問者如叩鐘，問之大者則大鳴，問之
34、小者則小鳴。善問者如叩鐘，問之大者則大鳴，問之小者則小鳴。善問者如叩鐘，問之大者則大鳴，問之小者則小鳴。善問者如叩鐘，問之大者則大鳴，問之小者則小鳴。中國科學家最欠缺的是發問的精神。歷史上最著名的是中國科學家最欠缺的是發問的精神。歷史上最著名的是中國科學家最欠缺的是發問的精神。歷史上最著名的是中國科學家最欠缺的是發問的精神。歷史上最著名的是屈原的天問篇屈原的天問篇屈原的天問篇屈原的天問篇遂古之初，誰傳道之，上下未形，遂古之初，誰傳道之，上下未形，遂古之初，誰傳道之，上下未形，遂古之初，誰傳道之，上下未形，何由考之何由考之何由考之何由考之。日月安屬，列星安陳。日月安屬，列星安陳。日月安屬，列星安
35、陳。日月安屬，列星安陳。以後的學者很少有這種精神，可能是科學不發達的一個以後的學者很少有這種精神，可能是科學不發達的一個以後的學者很少有這種精神，可能是科學不發達的一個以後的學者很少有這種精神，可能是科學不發達的一個原因。原因。原因。原因。 36善於發問後，才能尋找到自己志趣所在，才能夠擇善於發問後，才能尋找到自己志趣所在，才能夠擇善於發問後，才能尋找到自己志趣所在，才能夠擇善於發問後，才能尋找到自己志趣所在，才能夠擇善而固執之。善而固執之。善而固執之。善而固執之。楚辭楚辭楚辭楚辭民生各有所樂兮民生各有所樂兮民生各有所樂兮民生各有所樂兮余獨好修以為常余獨好修以為常余獨好修以為常余獨好修以為常雖
36、體解吾猶未變兮雖體解吾猶未變兮雖體解吾猶未變兮雖體解吾猶未變兮豈余心之可懲豈余心之可懲豈余心之可懲豈余心之可懲涉江涉江涉江涉江苟余心其端真兮苟余心其端真兮苟余心其端真兮苟余心其端真兮雖僻遠之何傷雖僻遠之何傷雖僻遠之何傷雖僻遠之何傷37很多同學開始時讀書讀得很好，以後就灰心了，不求上進，一方很多同學開始時讀書讀得很好，以後就灰心了，不求上進，一方很多同學開始時讀書讀得很好，以後就灰心了，不求上進，一方很多同學開始時讀書讀得很好，以後就灰心了，不求上進，一方面是基礎沒有打好，又不敢重新再學，一方面是跟師友之間的關面是基礎沒有打好，又不敢重新再學，一方面是跟師友之間的關面是基礎沒有打好，又不敢重新再
37、學，一方面是跟師友之間的關面是基礎沒有打好，又不敢重新再學，一方面是跟師友之間的關係沒有搞好，言不及義，得不到精神上的支持。有些則名利薰係沒有搞好，言不及義，得不到精神上的支持。有些則名利薰係沒有搞好，言不及義，得不到精神上的支持。有些則名利薰係沒有搞好，言不及義，得不到精神上的支持。有些則名利薰心，不求上進。我有些學生畢業時很踏實，受到表揚，就以為自心，不求上進。我有些學生畢業時很踏實，受到表揚，就以為自心，不求上進。我有些學生畢業時很踏實，受到表揚，就以為自心，不求上進。我有些學生畢業時很踏實，受到表揚，就以為自己了不起，事實上學問還沒有成熟就凋謝了。己了不起，事實上學問還沒有成熟就凋謝了
38、。己了不起，事實上學問還沒有成熟就凋謝了。己了不起，事實上學問還沒有成熟就凋謝了。離騷離騷離騷離騷何昔日之芳草兮，何昔日之芳草兮，何昔日之芳草兮，何昔日之芳草兮，今直為此蕭艾也。今直為此蕭艾也。今直為此蕭艾也。今直為此蕭艾也。豈其有他故兮，豈其有他故兮，豈其有他故兮，豈其有他故兮，莫好修之害也。莫好修之害也。莫好修之害也。莫好修之害也。38以下引韓愈作文的態度實在值得各人去參考以下引韓愈作文的態度實在值得各人去參考以下引韓愈作文的態度實在值得各人去參考以下引韓愈作文的態度實在值得各人去參考韓愈韓愈韓愈韓愈 答李翊書答李翊書答李翊書答李翊書 始者非三代兩漢之書不敢觀，非聖人之志不敢存，處始者非三
39、代兩漢之書不敢觀，非聖人之志不敢存，處始者非三代兩漢之書不敢觀，非聖人之志不敢存，處始者非三代兩漢之書不敢觀，非聖人之志不敢存，處若忘，行若遺，儼乎其若思，茫乎其若迷。當其取於心而注若忘，行若遺，儼乎其若思，茫乎其若迷。當其取於心而注若忘，行若遺，儼乎其若思，茫乎其若迷。當其取於心而注若忘，行若遺，儼乎其若思，茫乎其若迷。當其取於心而注於手也，惟陳言之務去，戛戛乎其難哉！於手也，惟陳言之務去，戛戛乎其難哉！於手也，惟陳言之務去，戛戛乎其難哉！於手也，惟陳言之務去，戛戛乎其難哉！ 其觀於人也，毀之則以為喜，譽之則以為憂，以其猶有其觀於人也，毀之則以為喜，譽之則以為憂，以其猶有其觀於人也，毀之則以
40、為喜，譽之則以為憂，以其猶有其觀於人也，毀之則以為喜，譽之則以為憂，以其猶有人之說者存也。如是者亦有年，然後浩乎其沛然矣。吾又惧人之說者存也。如是者亦有年，然後浩乎其沛然矣。吾又惧人之說者存也。如是者亦有年，然後浩乎其沛然矣。吾又惧人之說者存也。如是者亦有年，然後浩乎其沛然矣。吾又惧其雜也，迎而距之，平心而察之。其皆醇也，然後肆焉。雖其雜也，迎而距之，平心而察之。其皆醇也，然後肆焉。雖其雜也，迎而距之，平心而察之。其皆醇也，然後肆焉。雖其雜也，迎而距之，平心而察之。其皆醇也，然後肆焉。雖然，不可以不養也。行之乎仁義之途，遊之乎詩、書之源，然，不可以不養也。行之乎仁義之途，遊之乎詩、書之源，然，
41、不可以不養也。行之乎仁義之途，遊之乎詩、書之源，然，不可以不養也。行之乎仁義之途，遊之乎詩、書之源，無迷其途，無絕其源，終吾身而己矣。無迷其途，無絕其源，終吾身而己矣。無迷其途，無絕其源，終吾身而己矣。無迷其途，無絕其源，終吾身而己矣。 39一九六六年我進了中文大學。雖然對歷史抱一九六六年我進了中文大學。雖然對歷史抱著濃厚的興趣，我還是選擇了數學作為我的著濃厚的興趣，我還是選擇了數學作為我的事業。事業。 就在這時，中學時唸的高等數學漸漸消化，就在這時，中學時唸的高等數學漸漸消化，開始時還不大懂，但一下子全都懂了。我比開始時還不大懂，但一下子全都懂了。我比班中同輩高明不少。班中同輩高明不少。40
42、大學的數學使我大開眼界。連最基本的實數系統都大學的數學使我大開眼界。連最基本的實數系統都大學的數學使我大開眼界。連最基本的實數系統都大學的數學使我大開眼界。連最基本的實數系統都可以嚴格的建立起來，著實另人興奮萬分。當我了可以嚴格的建立起來，著實另人興奮萬分。當我了可以嚴格的建立起來，著實另人興奮萬分。當我了可以嚴格的建立起來，著實另人興奮萬分。當我了解數學是如此建構後，我寫信給教授，表達我的喜解數學是如此建構後，我寫信給教授，表達我的喜解數學是如此建構後，我寫信給教授，表達我的喜解數學是如此建構後，我寫信給教授，表達我的喜悅。這是本人賞析數學之始。悅。這是本人賞析數學之始。悅。這是本人賞析數學
43、之始。悅。這是本人賞析數學之始。一位剛從柏克萊畢業的博士來了香港，他名叫史提一位剛從柏克萊畢業的博士來了香港，他名叫史提一位剛從柏克萊畢業的博士來了香港，他名叫史提一位剛從柏克萊畢業的博士來了香港，他名叫史提芬沙拉夫芬沙拉夫芬沙拉夫芬沙拉夫 Stephen SalaffStephen Salaff 。他對我大為讚賞，。他對我大為讚賞，。他對我大為讚賞，。他對我大為讚賞，我們合寫了一本有關常微分方程的書。我們合寫了一本有關常微分方程的書。我們合寫了一本有關常微分方程的書。我們合寫了一本有關常微分方程的書。41另另 外外 一一 位位 老老 師師 布布 狄狄Brody來來 自自 普普 林林 斯斯頓頓
44、。他他有有一一套套獨獨特特的的教教學學法法。他他找找來來一一本本高高深深的的數數學學著著作作，然然後後要要求求學學生生在在書書中中找找尋尋錯錯誤，並提出改正的方法。誤，並提出改正的方法。這這是是讓讓我我們們不不要要盲盲目目依依賴賴書書本本的的良良方方。同同時時也也訓訓練練了了我我對對書書本本上上定定理理採採取取存存疑疑的的態態度度。我我有有時時將將某某些些定定理理推推廣廣了了，在在課課堂堂上上說說出出來，他聽了很高興。來，他聽了很高興。 42這些教導的重要性在於這些教導的重要性在於 培養成獨立思考的習慣培養成獨立思考的習慣 在人前表達數學同時在表達數學的時在人前表達數學同時在表達數學的時候，找
45、出自己的弱點，與同學和老師一同候，找出自己的弱點，與同學和老師一同切磋。切磋。這不論對自己或對自己日後的教學都十分要這不論對自己或對自己日後的教學都十分要緊。緊。43古人說學無常師，其實教亦無常法，有之，因人而古人說學無常師，其實教亦無常法，有之，因人而古人說學無常師，其實教亦無常法，有之，因人而古人說學無常師，其實教亦無常法，有之，因人而施教也。施教也。施教也。施教也。孔門弟子問仁，孔子對每個人有不同的回答方法，孔門弟子問仁，孔子對每個人有不同的回答方法，孔門弟子問仁，孔子對每個人有不同的回答方法，孔門弟子問仁，孔子對每個人有不同的回答方法，而孔門弟子因此各有所長。而孔門弟子因此各有所長。而
46、孔門弟子因此各有所長。而孔門弟子因此各有所長。孔子教學有禮樂射御書數。孔子教學有禮樂射御書數。孔子教學有禮樂射御書數。孔子教學有禮樂射御書數。西方西方西方西方PlatoPlato教學有幾何、數論、天文和音樂，合稱教學有幾何、數論、天文和音樂，合稱教學有幾何、數論、天文和音樂，合稱教學有幾何、數論、天文和音樂，合稱數學。數學。數學。數學。古今中外都以培養通材為訓練領袖的主要過程。古今中外都以培養通材為訓練領袖的主要過程。古今中外都以培養通材為訓練領袖的主要過程。古今中外都以培養通材為訓練領袖的主要過程。44現代社會需要政界和工商業的領袖，也需要大量的現代社會需要政界和工商業的領袖，也需要大量的現
47、代社會需要政界和工商業的領袖，也需要大量的現代社會需要政界和工商業的領袖，也需要大量的工人、會計師、律師等的白領階級和藍領階級，訓工人、會計師、律師等的白領階級和藍領階級，訓工人、會計師、律師等的白領階級和藍領階級，訓工人、會計師、律師等的白領階級和藍領階級，訓練他們可能有不同的層次。練他們可能有不同的層次。練他們可能有不同的層次。練他們可能有不同的層次。但是有一點很重要的但是有一點很重要的但是有一點很重要的但是有一點很重要的作為一個知識份子必需要具作為一個知識份子必需要具作為一個知識份子必需要具作為一個知識份子必需要具有推理的能力。有推理的能力。有推理的能力。有推理的能力。自古以來最要緊和最
48、富用途的就是三段論證方法。自古以來最要緊和最富用途的就是三段論證方法。自古以來最要緊和最富用途的就是三段論證方法。自古以來最要緊和最富用途的就是三段論證方法。在學校學習邏輯方法最好的莫過於平面幾何的公理在學校學習邏輯方法最好的莫過於平面幾何的公理在學校學習邏輯方法最好的莫過於平面幾何的公理在學校學習邏輯方法最好的莫過於平面幾何的公理系統。熟習證明使我們思考清晰。系統。熟習證明使我們思考清晰。系統。熟習證明使我們思考清晰。系統。熟習證明使我們思考清晰。45良好的中學教科書，必需要包含公理系統的良好的中學教科書，必需要包含公理系統的學習。平面幾何的本身可能沒有用途，但是學習。平面幾何的本身可能沒有
49、用途，但是它的方法卻是最重要的。它的方法卻是最重要的。正如朱自清寫的荷塘月色的內容可能不重要，正如朱自清寫的荷塘月色的內容可能不重要，但我們要學他的文字的應用，書寫流暢的做但我們要學他的文字的應用，書寫流暢的做法。法。學習需要融匯貫通，更需要博聞強記。學習需要融匯貫通，更需要博聞強記。 46有些人以為數學每一步都可推理，不宜強有些人以為數學每一步都可推理，不宜強記，這是極為可笑的說法，我還沒有親眼看記，這是極為可笑的說法，我還沒有親眼看過一個偉大的數學家有這種能力。即使在做過一個偉大的數學家有這種能力。即使在做研究的時候，我們不能不記憶前人或近人的研究的時候，我們不能不記憶前人或近人的工作，使
50、我們能夠向前作新的研究。工作，使我們能夠向前作新的研究。 47往往記熟某一門技巧後，我們會突然融匯貫往往記熟某一門技巧後，我們會突然融匯貫通，所以多做習題是很緊要的事，假如能夠通，所以多做習題是很緊要的事，假如能夠讓學生在課堂上有所表現，不單老師對他們讓學生在課堂上有所表現，不單老師對他們瞭解，他們也瞭解自己有甚麼不懂的地方。瞭解，他們也瞭解自己有甚麼不懂的地方。 48學生既要強記，亦要貫通，兩者能混而為一乃是絕學生既要強記，亦要貫通，兩者能混而為一乃是絕學生既要強記，亦要貫通，兩者能混而為一乃是絕學生既要強記，亦要貫通，兩者能混而為一乃是絕妙之處。妙之處。妙之處。妙之處。同一個問題，可能有超
51、過很多個不同的解法，學生同一個問題，可能有超過很多個不同的解法，學生同一個問題，可能有超過很多個不同的解法，學生同一個問題，可能有超過很多個不同的解法，學生能用不同的方法解題，值得鼓勵。譬如來說，畢氏能用不同的方法解題，值得鼓勵。譬如來說，畢氏能用不同的方法解題，值得鼓勵。譬如來說，畢氏能用不同的方法解題，值得鼓勵。譬如來說，畢氏定理是數學中最基本的定理，古往今來有無數的不定理是數學中最基本的定理，古往今來有無數的不定理是數學中最基本的定理，古往今來有無數的不定理是數學中最基本的定理，古往今來有無數的不同證明，能夠舉出一些不同的證明，會讓學生瞭解同證明，能夠舉出一些不同的證明，會讓學生瞭解同證
52、明，能夠舉出一些不同的證明，會讓學生瞭解同證明，能夠舉出一些不同的證明，會讓學生瞭解不同的看法可以達到同一的目標。近代數學的大發不同的看法可以達到同一的目標。近代數學的大發不同的看法可以達到同一的目標。近代數學的大發不同的看法可以達到同一的目標。近代數學的大發展，往往起源於用不同的手法解決同一的問題，所展，往往起源於用不同的手法解決同一的問題，所展，往往起源於用不同的手法解決同一的問題，所展，往往起源於用不同的手法解決同一的問題，所以不可少看這些不同的證明。以不可少看這些不同的證明。以不可少看這些不同的證明。以不可少看這些不同的證明。 49數學既可以實用，亦獨立為一至為美麗的學科，習數學既可以
53、實用，亦獨立為一至為美麗的學科，習數學既可以實用，亦獨立為一至為美麗的學科，習數學既可以實用，亦獨立為一至為美麗的學科，習題可以重視實用，但絕對要討論看來無用但美麗的題可以重視實用，但絕對要討論看來無用但美麗的題可以重視實用，但絕對要討論看來無用但美麗的題可以重視實用，但絕對要討論看來無用但美麗的工作，重要的數學的發展可以從實用而形成，也可工作，重要的數學的發展可以從實用而形成，也可工作，重要的數學的發展可以從實用而形成，也可工作，重要的數學的發展可以從實用而形成，也可以追求純美而成功，要注意的是以追求純美而成功，要注意的是以追求純美而成功，要注意的是以追求純美而成功，要注意的是所有重要的實用
54、所有重要的實用所有重要的實用所有重要的實用數學都建基在純美的數學上。數學都建基在純美的數學上。數學都建基在純美的數學上。數學都建基在純美的數學上。數學家和數學是分不開的，能夠多談數學歷史和數數學家和數學是分不開的，能夠多談數學歷史和數數學家和數學是分不開的，能夠多談數學歷史和數數學家和數學是分不開的，能夠多談數學歷史和數學家的經歷，會對培養學生的興趣有極大的幫助。學家的經歷，會對培養學生的興趣有極大的幫助。學家的經歷，會對培養學生的興趣有極大的幫助。學家的經歷，會對培養學生的興趣有極大的幫助。50一本數學教科書能夠引導學生的興趣是一本最成一本數學教科書能夠引導學生的興趣是一本最成一本數學教科書
55、能夠引導學生的興趣是一本最成一本數學教科書能夠引導學生的興趣是一本最成功的教科書，可以講故事功的教科書，可以講故事功的教科書，可以講故事功的教科書，可以講故事 數學家的故事、創造數學家的故事、創造數學家的故事、創造數學家的故事、創造這些命題的過程、中國數學、希臘數學、巴比倫這些命題的過程、中國數學、希臘數學、巴比倫這些命題的過程、中國數學、希臘數學、巴比倫這些命題的過程、中國數學、希臘數學、巴比倫的數學、阿拉伯的數學，都是有意思而影響著近的數學、阿拉伯的數學，都是有意思而影響著近的數學、阿拉伯的數學，都是有意思而影響著近的數學、阿拉伯的數學，都是有意思而影響著近代數學家思維的常識。代數學家思維
56、的常識。代數學家思維的常識。代數學家思維的常識。 ，可以跟其他學科如物，可以跟其他學科如物，可以跟其他學科如物，可以跟其他學科如物理、工程、經濟、音樂等等溝通的數學都值得討理、工程、經濟、音樂等等溝通的數學都值得討理、工程、經濟、音樂等等溝通的數學都值得討理、工程、經濟、音樂等等溝通的數學都值得討論。論。論。論。能使學生以學數學為樂乃是成功的教科書。能使學生以學數學為樂乃是成功的教科書。能使學生以學數學為樂乃是成功的教科書。能使學生以學數學為樂乃是成功的教科書。51雖然只讀了三年大學，已經完成了大學的課程。在沙拉雖然只讀了三年大學，已經完成了大學的課程。在沙拉雖然只讀了三年大學，已經完成了大學
57、的課程。在沙拉雖然只讀了三年大學，已經完成了大學的課程。在沙拉夫教授的幫助下，我進入了柏克萊的研究院。柏克萊的夫教授的幫助下，我進入了柏克萊的研究院。柏克萊的夫教授的幫助下，我進入了柏克萊的研究院。柏克萊的夫教授的幫助下，我進入了柏克萊的研究院。柏克萊的數學系當時在世界數一數二。我八月入校，便認識了陳數學系當時在世界數一數二。我八月入校，便認識了陳數學系當時在世界數一數二。我八月入校，便認識了陳數學系當時在世界數一數二。我八月入校，便認識了陳省身教授。他後來成為我的論文導師。省身教授。他後來成為我的論文導師。省身教授。他後來成為我的論文導師。省身教授。他後來成為我的論文導師。在香港時我醉心於極
58、度抽象的數學在香港時我醉心於極度抽象的數學在香港時我醉心於極度抽象的數學在香港時我醉心於極度抽象的數學 當然我的分析功夫當然我的分析功夫當然我的分析功夫當然我的分析功夫也很紮實也很紮實也很紮實也很紮實 ，覺得數學愈廣泛愈好。我打算唸泛函分，覺得數學愈廣泛愈好。我打算唸泛函分，覺得數學愈廣泛愈好。我打算唸泛函分，覺得數學愈廣泛愈好。我打算唸泛函分析，已經學了不少這方面的東西，包括丹福一史華滋有析，已經學了不少這方面的東西，包括丹福一史華滋有析，已經學了不少這方面的東西，包括丹福一史華滋有析，已經學了不少這方面的東西，包括丹福一史華滋有關的巨冊，還有不少有關算子代數的書。關的巨冊，還有不少有關算子
59、代數的書。關的巨冊，還有不少有關算子代數的書。關的巨冊，還有不少有關算子代數的書。到柏克萊後，認識不少卓越的學者，我的看法改變了。到柏克萊後，認識不少卓越的學者，我的看法改變了。到柏克萊後，認識不少卓越的學者，我的看法改變了。到柏克萊後，認識不少卓越的學者，我的看法改變了。52我我如如飢飢似似渴渴地地從從他他們們處處學學習習不不同同的的科科目目。從從早早上上八八我我如如飢飢似似渴渴地地從從他他們們處處學學習習不不同同的的科科目目。從從早早上上八八時時到到下下午午五五時時我我都都在在上上課課時時到到下下午午五五時時我我都都在在上上課課 有有時時在在班班上上吃吃午午飯飯有有時時在在班班上上吃吃午午
60、飯飯。這這些些學學科科包包括括拓拓樸樸、幾幾何何、微微分分方方程程、李李群群、數數這這些些學學科科包包括括拓拓樸樸、幾幾何何、微微分分方方程程、李李群群、數數論論、組組合合學學、概概率率及及動動力力系系統統。我我並並非非科科科科都都精精論論、組組合合學學、概概率率及及動動力力系系統統。我我並並非非科科科科都都精精通，但對某幾門學問格外留神。通，但對某幾門學問格外留神。通，但對某幾門學問格外留神。通，但對某幾門學問格外留神。學學拓拓樸樸時時，發發現現跟跟以以前前學學的的完完全全不不同同。班班上上五五十十學學拓拓樸樸時時，發發現現跟跟以以前前學學的的完完全全不不同同。班班上上五五十十人人，每每個個
61、人人看看來來都都醒醒目目在在行行，比比我我好好多多了了。他他們們表表人人，每每個個人人看看來來都都醒醒目目在在行行，比比我我好好多多了了。他他們們表表現出色，說話條理分明。現出色，說話條理分明。現出色，說話條理分明。現出色，說話條理分明。53於是我埋首做好功課，不久之後，我發現自己畢竟也不於是我埋首做好功課，不久之後，我發現自己畢竟也不於是我埋首做好功課，不久之後，我發現自己畢竟也不於是我埋首做好功課，不久之後，我發現自己畢竟也不賴。關鍵是做好所有棘手的題目，並把這些題目想通想賴。關鍵是做好所有棘手的題目，並把這些題目想通想賴。關鍵是做好所有棘手的題目，並把這些題目想通想賴。關鍵是做好所有棘手
62、的題目，並把這些題目想通想透。透。透。透。我讀了約翰米拿我讀了約翰米拿我讀了約翰米拿我讀了約翰米拿 John MilnorJohn Milnor 的一本書，對裏面的一本書，對裏面的一本書，對裏面的一本書，對裏面講到的曲率的概念深深著迷。米拿是位卓越的拓樸學講到的曲率的概念深深著迷。米拿是位卓越的拓樸學講到的曲率的概念深深著迷。米拿是位卓越的拓樸學講到的曲率的概念深深著迷。米拿是位卓越的拓樸學者。者。者。者。我開始思考與這書有關的問題，並大部分時間呆在圖書我開始思考與這書有關的問題，並大部分時間呆在圖書我開始思考與這書有關的問題，並大部分時間呆在圖書我開始思考與這書有關的問題，並大部分時間呆在圖
63、書館。當時研究生並沒有辦公室。柏克萊名牌教授不少，館。當時研究生並沒有辦公室。柏克萊名牌教授不少，館。當時研究生並沒有辦公室。柏克萊名牌教授不少，館。當時研究生並沒有辦公室。柏克萊名牌教授不少，然而不久之後，我對他們竟有英雄見慣的感覺。在圖書然而不久之後，我對他們竟有英雄見慣的感覺。在圖書然而不久之後，我對他們竟有英雄見慣的感覺。在圖書然而不久之後，我對他們竟有英雄見慣的感覺。在圖書館裏我讀了不少書藉和期刊。館裏我讀了不少書藉和期刊。館裏我讀了不少書藉和期刊。館裏我讀了不少書藉和期刊。54在柏克萊的第二個學期，我漸漸能證出一些在柏克萊的第二個學期，我漸漸能證出一些不簡單的定理。這些定理與群論有
64、關。在崇不簡單的定理。這些定理與群論有關。在崇基時，我跟老師聊天時曾談及有關的內容，基時，我跟老師聊天時曾談及有關的內容，我現在把它用到幾何上去。教授都為我的進我現在把它用到幾何上去。教授都為我的進展而驚訝不已，欣慰非常。其中一位教授開展而驚訝不已，欣慰非常。其中一位教授開始與我合作，寫了兩篇論文。陳省身教授其始與我合作，寫了兩篇論文。陳省身教授其時正在放年假。當他回來時，對我的表現甚時正在放年假。當他回來時，對我的表現甚為嘉許。為嘉許。 55縱然如此，對這些工作我倒不覺得怎樣。摩里教授縱然如此，對這些工作我倒不覺得怎樣。摩里教授縱然如此，對這些工作我倒不覺得怎樣。摩里教授縱然如此，對這些工作
65、我倒不覺得怎樣。摩里教授 Charles B. MorreyCharles B. Morrey 有關非線性偏微分方程的課，有關非線性偏微分方程的課，有關非線性偏微分方程的課，有關非線性偏微分方程的課，另人難忘。他教授的非線性技巧，當時並不流行。另人難忘。他教授的非線性技巧，當時並不流行。另人難忘。他教授的非線性技巧，當時並不流行。另人難忘。他教授的非線性技巧，當時並不流行。他的書也佶屈聱牙。但我隱隱感覺到他發展的技巧他的書也佶屈聱牙。但我隱隱感覺到他發展的技巧他的書也佶屈聱牙。但我隱隱感覺到他發展的技巧他的書也佶屈聱牙。但我隱隱感覺到他發展的技巧十分深奧，對未來幾何學的發展舉足輕重。我用心十分
66、深奧，對未來幾何學的發展舉足輕重。我用心十分深奧，對未來幾何學的發展舉足輕重。我用心十分深奧，對未來幾何學的發展舉足輕重。我用心地學習這些技巧。雖在盛名之下，聽他課的學生同地學習這些技巧。雖在盛名之下，聽他課的學生同地學習這些技巧。雖在盛名之下，聽他課的學生同地學習這些技巧。雖在盛名之下，聽他課的學生同事都不多。到學期終結時，我竟成為他班上唯一的事都不多。到學期終結時，我竟成為他班上唯一的事都不多。到學期終結時，我竟成為他班上唯一的事都不多。到學期終結時，我竟成為他班上唯一的學生。他索性就在辦公室裏授課了。這科目後來成學生。他索性就在辦公室裏授課了。這科目後來成學生。他索性就在辦公室裏授課了。
67、這科目後來成學生。他索性就在辦公室裏授課了。這科目後來成為我數學生涯的基石。為我數學生涯的基石。為我數學生涯的基石。為我數學生涯的基石。56完成幾篇文章後，陳教授到處說我是何的出完成幾篇文章後，陳教授到處說我是何的出色，雖然他對我的工作認識不深。我開始全色，雖然他對我的工作認識不深。我開始全盤地思考數學，尤其是幾何。我也試圖去研盤地思考數學，尤其是幾何。我也試圖去研究幾何學的其它問題，可是進度緩慢。究幾何學的其它問題，可是進度緩慢。這年夏天老友鄭紹遠從香港來了，我們在校這年夏天老友鄭紹遠從香港來了，我們在校園旁租了一所園旁租了一所柏文柏文，心情更加開朗了。，心情更加開朗了。 57就就在在這這個
68、個夏夏天天，我我請請求求陳陳教教授授當當我我的的論論文文導導師師，他他就就在在這這個個夏夏天天，我我請請求求陳陳教教授授當當我我的的論論文文導導師師，他他答答應應了了。約約一一個個月月後後，他他告告訴訴我我，我我在在一一年年級級時時的的答答應應了了。約約一一個個月月後後，他他告告訴訴我我，我我在在一一年年級級時時的的文文章章，已已夠夠格格作作為為畢畢業業論論文文。我我有有點點悶悶納納，心心想想這這文文章章，已已夠夠格格作作為為畢畢業業論論文文。我我有有點點悶悶納納，心心想想這這些工作還不夠好，而且我還希望多學點東西。些工作還不夠好，而且我還希望多學點東西。些工作還不夠好，而且我還希望多學點東西
69、。些工作還不夠好，而且我還希望多學點東西。就就這這樣樣，在在第第二二個個學學年年中中我我學學了了不不少少複複幾幾何何及及拓拓就就這這樣樣，在在第第二二個個學學年年中中我我學學了了不不少少複複幾幾何何及及拓拓樸樸。陳陳師師對對我我期期望望甚甚殷殷，他他提提議議考考慮慮黎黎曼曼猜猜想想。十十樸樸。陳陳師師對對我我期期望望甚甚殷殷，他他提提議議考考慮慮黎黎曼曼猜猜想想。十十分遺憾的是，到目前為止，我還沒有想過它。分遺憾的是，到目前為止，我還沒有想過它。分遺憾的是，到目前為止，我還沒有想過它。分遺憾的是，到目前為止，我還沒有想過它。 58代代而而之之者者，我我嘗嘗試試去去了了解解空空間間的的曲曲率率。
70、我我確確認認卡卡拉拉比比59我漸漸養成把分析作為工具引進幾何中的志我漸漸養成把分析作為工具引進幾何中的志趣。在此之前，曾有人把非線性理論用於三趣。在此之前，曾有人把非線性理論用於三維空間的曲面上。但我考慮的，卻是任意維維空間的曲面上。但我考慮的，卻是任意維數的抽象空間。數的抽象空間。由於摩里教授及陳師對極小曲面的興趣，我由於摩里教授及陳師對極小曲面的興趣，我亦對這項目深深著迷。對調和映照尤其情有亦對這項目深深著迷。對調和映照尤其情有獨鍾，並因此鑽研了變分法。獨鍾，並因此鑽研了變分法。60我對幾何中的所有分析內容都感興趣。簡而我對幾何中的所有分析內容都感興趣。簡而言之，就是要把非線性微分方程和幾
71、何融匯言之，就是要把非線性微分方程和幾何融匯成一體。要了解非線性方程，就必須先了解成一體。要了解非線性方程，就必須先了解線性方程。因此我建立了在流形上調和函數線性方程。因此我建立了在流形上調和函數的主要定理。在我的影響下，鄭紹遠研究了的主要定理。在我的影響下，鄭紹遠研究了有關的特徵值及特徵函數等問題。我們合作有關的特徵值及特徵函數等問題。我們合作寫了幾篇重要文章，到而今還是這項目的基寫了幾篇重要文章，到而今還是這項目的基礎。礎。61畢業時我得到幾份聘書。陳師提議我到高等研畢業時我得到幾份聘書。陳師提議我到高等研究所，那兒的薪水不及哈佛提供的一半。但我究所，那兒的薪水不及哈佛提供的一半。但我還是
72、到那兒去了。在高等研究所我認識了其它還是到那兒去了。在高等研究所我認識了其它科目出色的數學家。同時提升了對拓樸，尤其科目出色的數學家。同時提升了對拓樸，尤其是空間對稱理論的鑑賞力。事實上，利用分析是空間對稱理論的鑑賞力。事實上，利用分析的想法的想法在流形上的群作用在流形上的群作用，我解決了這科，我解決了這科目的一些重要課題。目的一些重要課題。 62由於簽証的問題，我到了紐約石溪分校。當時石溪由於簽証的問題，我到了紐約石溪分校。當時石溪由於簽証的問題，我到了紐約石溪分校。當時石溪由於簽証的問題，我到了紐約石溪分校。當時石溪是尺度幾何的重鎮，事實上那兒真的不錯，聚集了是尺度幾何的重鎮，事實上那兒真
73、的不錯，聚集了是尺度幾何的重鎮，事實上那兒真的不錯，聚集了是尺度幾何的重鎮，事實上那兒真的不錯，聚集了一批朝氣勃勃的幾何學家。我學習他們的技巧，但一批朝氣勃勃的幾何學家。我學習他們的技巧，但一批朝氣勃勃的幾何學家。我學習他們的技巧，但一批朝氣勃勃的幾何學家。我學習他們的技巧，但並不認為那是幾何的正確方向。並不認為那是幾何的正確方向。並不認為那是幾何的正確方向。並不認為那是幾何的正確方向。一年後我到了史丹福，當時那裏並沒有幾何學者。一年後我到了史丹福，當時那裏並沒有幾何學者。一年後我到了史丹福，當時那裏並沒有幾何學者。一年後我到了史丹福，當時那裏並沒有幾何學者。史丹福環境安寧，非線性偏微分方程很
74、出色。在那史丹福環境安寧，非線性偏微分方程很出色。在那史丹福環境安寧，非線性偏微分方程很出色。在那史丹福環境安寧，非線性偏微分方程很出色。在那裏我碰見好友李安西門及共同的弟子孫理察。我們裏我碰見好友李安西門及共同的弟子孫理察。我們裏我碰見好友李安西門及共同的弟子孫理察。我們裏我碰見好友李安西門及共同的弟子孫理察。我們一起拓展了在幾何上的非線性分析。一起拓展了在幾何上的非線性分析。一起拓展了在幾何上的非線性分析。一起拓展了在幾何上的非線性分析。 63晉晉 陶淵明陶淵明久在樊籠裏，復得返自然。久在樊籠裏，復得返自然。64我剛到史丹福時，一個幾何大會正在舉行。我剛到史丹福時，一個幾何大會正在舉行。有
75、位物理學家應邀就廣義相對論發言。有位物理學家應邀就廣義相對論發言。當時我對物理還不算在行。但對他提及有關當時我對物理還不算在行。但對他提及有關相對論的一個幾何問題卻一見傾心。賦予空相對論的一個幾何問題卻一見傾心。賦予空間的數學解釋，與空間物理導出數學問題，間的數學解釋，與空間物理導出數學問題，兩者皆令人神往。兩者皆令人神往。65這問題當時對我而言，還是遙遠不可及。但這問題當時對我而言，還是遙遠不可及。但我對它念念不忘。我對它念念不忘。在會議期中，我找到了一個辦法，去反證卡在會議期中，我找到了一個辦法，去反證卡拉比的提議。我發表了我的想法，反應似乎拉比的提議。我發表了我的想法，反應似乎不錯，沒人
76、提出異議。人們都鬆了口氣，畢不錯，沒人提出異議。人們都鬆了口氣，畢竟大家都猜對了，卡拉比猜想是不對的。竟大家都猜對了，卡拉比猜想是不對的。66兩個月後，卡拉比教授寫信給我，釐清了我兩個月後，卡拉比教授寫信給我，釐清了我的一些想法。的一些想法。我在推理中找到一個嚴重的決口。在我的研我在推理中找到一個嚴重的決口。在我的研究生涯中，這可說是最痛苦的經歷了。我輾究生涯中，這可說是最痛苦的經歷了。我輾轉反側，不能成眠。轉反側，不能成眠。 67差不多兩個星期都失眠，眼見名譽因犯錯差不多兩個星期都失眠，眼見名譽因犯錯 雖然我沒把想法成文發表雖然我沒把想法成文發表而毀於一旦。而毀於一旦。經過反覆仔細審閱每個步
77、驟後，我相信問題經過反覆仔細審閱每個步驟後，我相信問題反過來才對。為卡拉比猜想舉出反例，其論反過來才對。為卡拉比猜想舉出反例，其論據是先假設它是對的，然後考慮其後果。數據是先假設它是對的，然後考慮其後果。數年後，當我解答了這個猜想，很多有關的自年後，當我解答了這個猜想，很多有關的自然推論就水到渠成了。然推論就水到渠成了。68意識到卡拉比猜想是對的後，我便朝著正確的方意識到卡拉比猜想是對的後，我便朝著正確的方向邁進。在準備最後的證明前，需要大量的準備向邁進。在準備最後的證明前，需要大量的準備工作。我和鄭紹遠合作研究蒙奇工作。我和鄭紹遠合作研究蒙奇安培方程、仿安培方程、仿射幾何、極大曲面等相關問題
78、。與孫理察合作搞射幾何、極大曲面等相關問題。與孫理察合作搞調和影照，與孫理察和李安西門搞極小曲面。在調和影照，與孫理察和李安西門搞極小曲面。在短短兩年裏，我們於與幾何有關的非線性分析，短短兩年裏，我們於與幾何有關的非線性分析，碩果纍纍。這是幾何學的黃金時代。碩果纍纍。這是幾何學的黃金時代。 69屈原屈原固余心之所善兮，固余心之所善兮，雖九死而猶未悔。雖九死而猶未悔。70新婚伊始，我找到完成卡拉比猜想的正確想法。新婚伊始，我找到完成卡拉比猜想的正確想法。我終於掌握了凱勒我終於掌握了凱勒Kahler幾何中的曲率了。幾何中的曲率了。一些老大難的代數幾何問題，都因卡拉比猜想的一些老大難的代數幾何問題，
79、都因卡拉比猜想的證明而解決掉。證明而解決掉。當時我認為我首先瞭解到當時我認為我首先瞭解到Kahler幾何的曲率結構幾何的曲率結構後，有物我相融的感覺後，有物我相融的感覺落花人獨立落花人獨立微雨燕雙飛微雨燕雙飛71紐約時報紐約時報紐約時報紐約時報20032003年年年年9 9月月月月2 2日日日日宇宙一懸案宇宙一懸案宇宙一懸案宇宙一懸案 眾人答案殊眾人答案殊眾人答案殊眾人答案殊弦弦理理論論中中的的一一個個困困難難在在於於它它要要用用十十維維的的時時空空來來描描述述，弦弦理理論論中中的的一一個個困困難難在在於於它它要要用用十十維維的的時時空空來來描描述述，而而 我我 們們 生生 存存 的的 空空
80、間間 只只 有有 四四 維維 而而 已已 。 史史 創創 敏敏 格格而而 我我 們們 生生 存存 的的 空空 間間 只只 有有 四四 維維 而而 已已 。 史史 創創 敏敏 格格72完完 成成 卡卡 拉拉 比比 猜猜 想想 的的 證證 明明 後後 ， 我我 看看 出出 自自 己己 建建 立立完完 成成 卡卡 拉拉 比比 猜猜 想想 的的 證證 明明 後後 ， 我我 看看 出出 自自 己己 建建 立立了了 融融 合合 兩兩 門門 重重 要要 科科 目目了了 融融 合合 兩兩 門門 重重 要要 科科 目目 非非 線線 性性 偏偏 微微 分分 方方 程程非非 線線 性性 偏偏 微微 分分 方方 程程
81、和幾何和幾何和幾何和幾何的架構。的架構。的架構。的架構。一一 九九 七七 六六 年年 我我 在在一一 九九 七七 六六 年年 我我 在在U C L AU C L A碰碰 見見 老老 友友 麥麥 克克 斯斯碰碰 見見 老老 友友 麥麥 克克 斯斯73結結果果成成績績斐斐然然。我我們們解解決決在在這這兩兩門門科科目目中中的的兩個經典難題兩個經典難題1.當當一一塊塊肥肥皂皂膜膜的的邊邊界界是是凸凸時時，膜膜面面不不能能自自相相交。交。2.史史 密密 斯斯 猜猜 想想 的的 證證 明明 ， 這這 是是 與與 霍霍 斯斯 頓頓 Thurston工作結合的成果。工作結合的成果。一一旦旦把把方方向向校校正正
82、了了，很很多多古古典典問問題題便便能能迎迎刃刃而解。而解。 74次年，我回到柏克萊訪問，並組織了次年，我回到柏克萊訪問，並組織了“幾何幾何上上非線性問題非線性問題”的研討班。孫理察和鄭紹遠都的研討班。孫理察和鄭紹遠都在在那兒。和理察一起，我們終於解決了那個使那兒。和理察一起，我們終於解決了那個使我念念不忘的有關廣義相對論的難題。我念念不忘的有關廣義相對論的難題。這道難題叫做正質量猜想，它在廣義相對論這道難題叫做正質量猜想，它在廣義相對論中佔基本的地位。中佔基本的地位。只有當質量為正時，時只有當質量為正時，時空才能穩定。空才能穩定。 75一一九九七七八八年年我我又又回回到到史史丹丹福福。和和蕭蕭
83、蔭蔭棠棠一一起起，我我們們利利用用極極小小曲曲面面作作為為工工具具，解解決決了了複複幾幾何何上上有有名名的的法法恩恩科科76一九七九年我們在高等研究所舉辦微分幾何一九七九年我們在高等研究所舉辦微分幾何年。差不多所有幾何學家都來了。我們為幾年。差不多所有幾何學家都來了。我們為幾何學釐定了發展的方向。我提出一百條在幾何學釐定了發展的方向。我提出一百條在幾何裏的有趣問題。到目前為止，有的已經解何裏的有趣問題。到目前為止，有的已經解掉了，但有的還是迄立不動。掉了，但有的還是迄立不動。七十年代確是幾何學的豐收期。七十年代確是幾何學的豐收期。77到了七十年末期，我在數學界可說是略有名到了七十年末期，我在數
84、學界可說是略有名望。對於我解決的難題，媒體也有廣泛報導。望。對於我解決的難題，媒體也有廣泛報導。然而，認為我的奮鬥目標是獎項，是成名成然而，認為我的奮鬥目標是獎項，是成名成家，那就不對了。這些都不是本人研究的首要家，那就不對了。這些都不是本人研究的首要目標。目標。我對數學的興趣，源於人類智能足以參悟自然我對數學的興趣，源於人類智能足以參悟自然的欣喜。從幾何上看，大自然的美是永恒不朽的欣喜。從幾何上看，大自然的美是永恒不朽的。的。 78與朋輩如孫理察、西門、鄭紹遠、麥克斯79當當幾幾個個重重要要領領域域幾幾何何、非非線線性性分分析析、代代數數幾幾何何、數數學學物物理理自自然然地地融融合合在在一一
85、起起後後，經經典典的的老老大大難難題題便便會會迎迎刃刃而而解解。解解決決難難題可以視為人們理解大自然的路燈柱。題可以視為人們理解大自然的路燈柱。80但是幾何學實在超越了科學家的想象，它日新月但是幾何學實在超越了科學家的想象，它日新月異，觀念層出不窮，偉大的數學家高斯曾說異，觀念層出不窮，偉大的數學家高斯曾說C. F. C. F. 高斯高斯高斯高斯 (1817)(1817)“ “竊意以為幾何之本，其真偽實非人類心智所能證竊意以為幾何之本，其真偽實非人類心智所能證明，亦非人類心智所能理解者，余意於此，日久邇明，亦非人類心智所能理解者，余意於此，日久邇堅。此等空間之屬性，莫測高深，後之來者，或有堅。
86、此等空間之屬性，莫測高深，後之來者，或有灼見，得窺堂奧。惟今之世，吾輩宜視幾何學與純灼見，得窺堂奧。惟今之世，吾輩宜視幾何學與純先驗之算術為殊途，宜彼與力學並列也。先驗之算術為殊途，宜彼與力學並列也。” ”81在過去十年間，我和合作伙伴正在致力研究在過去十年間，我和合作伙伴正在致力研究基本物理在幾何中的作用。為了從物理中掌基本物理在幾何中的作用。為了從物理中掌握動機後面的直觀，我花了不少時間參加物握動機後面的直觀，我花了不少時間參加物理系辦的研討班。在與理論物理學家的交往理系辦的研討班。在與理論物理學家的交往中，我們獲得了一些數學上深刻的定理。中，我們獲得了一些數學上深刻的定理。其中重要的概念
87、是所謂對偶性。其中重要的概念是所謂對偶性。 82對偶性這概念，優美典雅。它指出在某理論對偶性這概念，優美典雅。它指出在某理論中的強作用等同於另一理論中的弱作用。中的強作用等同於另一理論中的弱作用。這與中國道家或陰陽有不少共通之處。但對這與中國道家或陰陽有不少共通之處。但對偶性嚴格得多，同時它是定量的。利用它我偶性嚴格得多，同時它是定量的。利用它我們可以算出某些數學量。如果用其它方法來們可以算出某些數學量。如果用其它方法來進行，那是極度困難的。進行，那是極度困難的。 83為數學而數學，實屬顯然，何須三思。為數學而數學，實屬顯然，何須三思。於無用諸物理學之種種數學理論，均需於無用諸物理學之種種數學
88、理論，均需一視同仁，與其它理論無分軒輊。一視同仁，與其它理論無分軒輊。 - 彭加箂彭加箂84使余復稚年，童蒙初習，則願從柏拉圖使余復稚年，童蒙初習，則願從柏拉圖之教晦，自數學始。之教晦，自數學始。 - 伽里略伽里略85關於香港數學課程的評論，在上述個人關於香港數學課程的評論，在上述個人的經歷中，我已經指出我在香港受到良的經歷中，我已經指出我在香港受到良好的數學教育，但是由我接觸到的香港好的數學教育，但是由我接觸到的香港學生和教育工作同事的談論中，我發覺學生和教育工作同事的談論中，我發覺香港的數學教育質素，與當年的名校相香港的數學教育質素，與當年的名校相比，質素有明顥的下降。比，質素有明顥的下降
89、。86一一 方方 面面 注注 重重 普普 及及 教教 育育 ， 在在 有有 意意 和和 無無 意意 間間 ， 將將一一 方方 面面 注注 重重 普普 及及 教教 育育 ， 在在 有有 意意 和和 無無 意意 間間 ， 將將有有興興趣趣和和有有意意義義的的數數學學教教育育忽忽略略。即即使使學學生生質質素素良良有有興興趣趣和和有有意意義義的的數數學學教教育育忽忽略略。即即使使學學生生質質素素良良好好，只只是是學學習習淺淺易易的的課課題題，既既無無挑挑戰戰性性又又無無興興趣趣，好好，只只是是學學習習淺淺易易的的課課題題，既既無無挑挑戰戰性性又又無無興興趣趣，慢慢慢慢就就喪喪失失學學習習的的目目標標，
90、而而自自暴暴自自棄棄。在在九九零零年年慢慢慢慢就就喪喪失失學學習習的的目目標標，而而自自暴暴自自棄棄。在在九九零零年年代代，香香港港很很多多好好的的中中學學生生高高中中到到外外國國留留學學實實在在不不代代，香香港港很很多多好好的的中中學學生生高高中中到到外外國國留留學學實實在在不不少少，但但是是即即使使留留學學的的中中學學生生，大大多多不不想想念念研研究究院院，少少，但但是是即即使使留留學學的的中中學學生生，大大多多不不想想念念研研究究院院，與與五五零零年年代代到到八八零零年年代代中中葉葉大大不不相相同同，留留在在香香港港讀讀與與五五零零年年代代到到八八零零年年代代中中葉葉大大不不相相同同，留
91、留在在香香港港讀讀大學的學生，對基本科學的興趣也極為缺乏。大學的學生，對基本科學的興趣也極為缺乏。大學的學生，對基本科學的興趣也極為缺乏。大學的學生，對基本科學的興趣也極為缺乏。87但是這三年來香港學生開始對學問又重但是這三年來香港學生開始對學問又重新拾起興趣，但是太過注重普及教育，新拾起興趣，但是太過注重普及教育，而不教育美麗而能夠幫助訓練學生邏輯而不教育美麗而能夠幫助訓練學生邏輯的幾何學，是一個很大的錯誤。的幾何學，是一個很大的錯誤。88數學裏面種種的分枝，如概率論、線性數學裏面種種的分枝，如概率論、線性方程組、微積分、代數和它們在物理方程組、微積分、代數和它們在物理學、工程學和經濟學上的應用都應當使學、工程學和經濟學上的應用都應當使學生有所接觸，更重要的是要求他們做學生有所接觸，更重要的是要求他們做習題，融會貫通的唯一方法是多學多思習題，融會貫通的唯一方法是多學多思考多討論，並多接觸課外書。考多討論，並多接觸課外書。89Thank you all!90
