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1、第八节函数与方程总纲目录教材研读1.函数零点的定义考点突破2.函数零点的判定（零点存在性定理）3.二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与零点的关系考点二判断函数零点的个数考点二判断函数零点的个数考点一函数零点所在区间的判断4.用二分法求函数f（x）零点近似值的步骤考点三函数零点的应用考点三函数零点的应用1.函数零点的定义函数零点的定义(1)对于函数y=f(x),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.(2)方程f(x)=0有实根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点.教材研读教材研读2.函数零点的判定函数零点的判定(零点存在性定理零点存在性定理)一般地,如果
2、函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)f(b)0)的图象与零点的关系的图象与零点的关系0=00)的图象与x轴的交点(x1,0),(x2,0)(x1,0)无交点零点个数两个一个无4.用二分法求函数用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤零点近似值的步骤第一步,确定区间a,b,验证f(a)f(b)0,给定精确度.第二步,求区间(a,b)的中点x1.第三步,计算f(x1):(i)若f(x1)=0,则x1就是函数的零点;(ii)若f(a)f(x1)0,则令b=x1(此时零点x0(a,x1);(iii)若f(x1)f(b)0,则令a=x1(此时零点x0(x1,b).第四步
3、,判断是否达到精确度:若|a-b|0)与y=lnx图象交点的个数.作出两函数在同一坐标系下的图象,如图:由图象知它们只有一个交点,故选B.B3.(2014北京,6,5分)已知函数f(x)=-log2x.在下列区间中,包含f(x)零点的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4,+)答案答案Cf(1)=6-log21=60,f(2)=3-log22=20,f(3)=2-log230,f(4)=-log24=-20,包含f(x)零点的区间是(2,4),故选C.C4.(2017北京朝阳一模)已知函数f(x)=2x-a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是.答案答案(0,
4、3)解析解析易知该零点为变号零点,f(1)f(2)0,即-a(3-a)0,解得0a.故k的取值范围是.考点一函数零点所在区间的判断考点一函数零点所在区间的判断考点突破考点突破典例典例1(1)在下列区间中,函数f(x)=3x-x2有零点的区间是()A.0,1B.1,2C.-2,-1D.-1,0(2)(2017北京东城二模)已知函数f(x)=lnx+2x-6的零点在区间(kZ)内,那么k=.答案答案(1)D(2)5解析解析(1)f(0)=1,f(1)=2,f(0)f(1)0,f(2)=5,f(1)=2,f(2)f(1)0,f(-2)=-4,f(-1)=-1,f(-2)f(-1)0,f(0)=1,f
5、(-1)=-1,f(0)f(-1)0,f(x)在(0,+)上单调递增.又f(3)=ln30,f=ln-10,ff(3)0.由零点存在性定理,知f(x)的零点在内,k=5.方法技巧方法技巧判断函数在某个区间上是否存在零点的方法(1)解方程,当对应方程易解时,可通过解方程看方程是否有根落在给定区间上进行判断;(2)利用零点存在性定理进行判断;(3)画出函数图象,通过观察图象与x轴在给定区间内是否有交点来判断.1-1函数f(x)=+ln的零点所在的大致区间为()A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(1,2)与(2,3)答案答案Bf(x)=+ln=-ln(x-1),其在定义域(1,+)上是减
6、函数.当1x2时,ln(x-1)0,即f(x)0,故函数在(1,2)上没有零点.f(2)=-ln1=10,f(3)=-ln2=,因为=22.828,所以e,故lneln,即1ln8,所以2ln8,即f(3)0在(0,+)上恒成立,B所以函数f(x)=log2x+x-2在(0,+)上单调递增,因为f(1)=-10,所以函数f(x)=log2x+x-2的零点所在的区间为(1,2).故选B.典例典例2(1)已知函数f(x)=则函数g(x)=f(1-x)-1的零点个数为()A.1B.2C.3D.4(2)(2016北京海淀二模)函数f(x)=2x-2x的零点个数是()A.1B.2C.3D.4考点二判断函
7、数零点的个数考点二判断函数零点的个数答案答案(1)C(2)B解析解析(1)g(x)=f(1-x)-1=g(x)=当x1时,函数g(x)有1个零点;当x1时,函数g(x)有2个零点,所以函数g(x)的零点个数为3,故选C.(2)易知f(x)的一个零点为x=1,作出y=2x与y=2x的图象(如图),可知两函数图象还有另一个交点.故f(x)有2个零点.方法技巧方法技巧1.判断零点个数的方法:直接求零点:令f(x)=0,求解方程,有几个解就有几个零点;利用零点存在性定理:利用定理不仅要求函数图象在a,b上是连续的曲线,且f(a)f(b)0,还必须结合函数的图象和性质才能确定函数有几个零点;画两个相应函
8、数的图象,有几个交点,就有几个零点.2.函数的零点、方程的根、函数图象与x轴的交点的横坐标,实质是同一个问题的三种不同表达形式,方程根的个数就是函数零点的个数,即该函数的图象与x轴的交点的个数.2-1(2015北京朝阳二模)函数f(x)=的零点个数是()A.0B.1C.2D.3答案答案C当-1x1时,令f(x)=0,得x=-1;当x1时,令f(x)=0,得x=1,所以函数f(x)的零点个数为2.故选C.C考点三函数零点的应用考点三函数零点的应用命题角度一利用函数的零点比较大小命题角度一利用函数的零点比较大小典例典例3设函数f(x)=ex+x-2,g(x)=lnx+x2-3.若实数a,b满足f(
9、a)=0,g(b)=0,则()A.g(a)0f(b)B.f(b)0g(a)C.0g(a)f(b)D.f(b)g(a)0,则f(x)在R上为增函数,又f(0)=e0-20,且f(a)=0,0a0,g(x)在(0,+)上为增函数,又g(1)=ln1-2=-20,且g(b)=0,1b2,ab,故选A.命题角度二利用函数的零点求参数命题角度二利用函数的零点求参数(或范围或范围)典例典例4(1)(2016北京房山一模)已知定义在R上的函数f(x)的图象的对称轴为直线x=-5,且当x-5时,f(x)=2x-3.若函数f(x)在区间(k,k+1)(kZ)上有零点,则k的值为()A.2或-11B.2或-12C
10、.1或-12D.1或-11(2)(2016北京海淀期中)已知函数f(x)=函数g(x)=ax2-x+1(a0).若函数y=f(x)-g(x)恰好有2个不同的零点,则实数a的取值范围是()A.(0,+)B.(-,0)(2,+)C.(1,+)D.(-,0)(0,1)答案答案(1)C(2)D解析解析(1)由2x-3=0,得x=log23,1log232,k=1.f(x)的图象关于直线x=-5对称,另一个零点在区间(-12,-11)内.此时k=-12.综上,k=1或-12.故选C.(2)令f(x)-g(x)=0,则f(x)+x-1=ax2,而f(x)+x-1=在同一平面直角坐标系中作出y=f(x)+x
11、-1和y=ax2的图象,如图.由图象可知,当a0时,y=f(x)-g(x)恰有两个不同的零点;当0a1时,y=f(x)-g(x)没有零点.综上,实数a的取值范围是(-,0)(0,1).方法技巧方法技巧已知函数有零点(或方程有根),求参数取值范围的常用方法(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;(3)数形结合法:先对函数解析式(或方程)变形,在同一平面直角坐标系中画出两个相应函数的图象,然后数形结合求解.3-1(2018北京海淀期末)函数f(x)=的最大值为;若函数f(x)的图象与直线y=k(x-1)有且只有一个公共点,则实数k的取值范围是.
