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1、高等几何多媒体课件高等几何多媒体课件教师授课助手 学生自修向导课 程 概 论一、高等几何的内容一、高等几何的内容高等几何数学与应用数学专业主干课程之一前三高数学分析高等代数高等几何后三高实变函数近世代数点集拓扑高等几何射影几何几何基础本课程主要介绍平面射影几何知识(教材前五章)综合大学：空间解几仿射几何、射影几何, 一个学期课 程 概 论一、高等几何的内容一、高等几何的内容什么是射影几何？直观描述欧氏几何仿射几何射影几何十九世纪名言一切几何学都是射影几何鸟瞰下列几何学欧氏几何(初等几何)研究图形在“搬动”之下保持不变的性质和数保持不变的性质和数量量搬动正交变换对图形作有限次的平移、旋转、轴反射
2、的结果欧氏几何研究图形的正交变换不变性的科学(统称不变性不变性，如距离、角度、面积、体积等)仿射几何平行射影仿射变换仿射几何研究图形的仿射变换不变性的科学透视仿射变换有限次平行射影的结果仿射不变性比如平行性、两平行线段的比等等射影几何中心射影射影变换射影几何研究图形的射影变换不变性的科学透视变换有限次中心射影的结果射影不变性比如几条直线共点、几个点共线等等射影变换将彻底改变我们原有的几何射影变换将彻底改变我们原有的几何空间观念！空间观念！课 程 概 论一、高等几何的内容一、高等几何的内容二、高等几何的方法二、高等几何的方法综合法给定公理系统(一套相互独立、无矛盾、完备的命题系统)，演绎出全部内
3、容解析法形、数结合，利用代数、分析的方法研究问题本课程以解析法为主，兼用综合法课 程 概 论一、高等几何的内容一、高等几何的内容二、高等几何的方法二、高等几何的方法三、开课目的三、开课目的 学习射影几何，拓展几何空间概念，引入几何变换知识，接受变换群思想 训练理性思维、抽象思维、逻辑推理能力，增强数学审美意识，提高数学修养 新颖性，趣味性，技巧性，反馈于初等几何和其他学科，提高观点，加深理解，举一反三四、几何的发展历史线索四、几何的发展历史线索射影几何学是一切的几何学射影几何学是一切的几何学 英英 CayleyCayley经验几何经验几何（远古（远古元前元前600600年年）论证几何论证几何（
4、欧氏几何）（欧氏几何）演绎化演绎化（元前元前600600年年 400400年年）积累了丰富的积累了丰富的经验，但未上经验，但未上升成系统理论升成系统理论埃及几何跟希腊逻辑埃及几何跟希腊逻辑方法相结合，以抽象方法相结合，以抽象化、逻辑化为特点化、逻辑化为特点非欧几何非欧几何第第公设研究公设研究几何基础几何基础（公理几何）（公理几何）对古典公理体系的完善对古典公理体系的完善解析几何解析几何射影几何射影几何微分几何微分几何研究方法改变研究方法改变拓扑学拓扑学哥德堡七桥问题哥德堡七桥问题画法几何画法几何解析几何解析几何(17(17世纪世纪) )仿射几何仿射几何（坐标法）（坐标法）代数几何代数几何代数法
5、代数法代数曲线代数曲线代数曲面代数曲面代数族代数族域上多胞形域上多胞形微分几何微分几何(19(19世纪世纪) )（分析方法）（分析方法）张量分析张量分析微分流形、黎曼流形、复流形微分流形、黎曼流形、复流形大范围微分几何大范围微分几何射影几何射影几何(19(19世纪世纪) )（综合法、爱尔（综合法、爱尔兰根纲领代数法）兰根纲领代数法）特例特例应用应用四、几何的发展历史线索四、几何的发展历史线索非欧几何非欧几何罗氏几何罗氏几何黎曼几何黎曼几何（1919世纪）世纪）四、几何的发展历史线索四、几何的发展历史线索拓扑学拓扑学（几何与代数、（几何与代数、分析相结合，分析相结合，多样化发展）多样化发展）点集
6、拓扑点集拓扑代数拓扑代数拓扑解析拓扑解析拓扑分形几何分形几何微分拓扑微分拓扑微分流形微分流形纤维丛纤维丛 周周学时学时2，一个学期，学习第一章第五章，一个学期，学习第一章第五章五、五、课程简介课程简介 主要参考书：主要参考书：梅向明、门淑惠等编梅向明、门淑惠等编高等几何高等几何, ,高等教育出版社出版，高等教育出版社出版，20082008年年; ; 朱德祥、朱维宗等编朱德祥、朱维宗等编高等几何高等几何（第二版）（第二版）, ,高等教育高等教育出版社出版，出版社出版，20102010年年; ;罗崇善编罗崇善编高等几何高等几何, ,高等教育出版社出版高等教育出版社出版,1999,1999年年6 6
7、月；月； 朱德祥、李忠映、徐学钰等编朱德祥、李忠映、徐学钰等编高等几何习题解答高等几何习题解答。周兴和编周兴和编高等几何高等几何，科学出版社，科学出版社，20102010年年第一章 仿射坐标与仿射变换本章地位学习射影几何的基础本章内容阐明仿射变换的概念，研究仿射变换的不变量与不变性质。学习注意仿射变换在初等几何中的应用1.1 透视仿射对应一、概念 与b交于1、同一平面内两直线a到b间的透视对应， 设L为平面上另外一直线,a与 b不平行。过a上的点 作与L平行的直线即得a到b的一个一一映射，称为透视仿射对应。注：透视仿射对应与L的方向无关。若a与b相交，交点称为自对应点。第一章、仿射坐标与仿射变
8、换第一章、仿射坐标与仿射变换两条直线间的透视仿射对应两条直线间的透视仿射对应LaboABCA/B/C/特征：对应点的连线互相平行特征：对应点的连线互相平行两个平面间的透视仿射对应两个平面间的透视仿射对应MABCA1B1C1L特征：对应点的连线互相平行特征：对应点的连线互相平行2、单比1)设为共线三点 P1P2P为共线三点 的单比，叫基点叫分点。是有向线段的数量 第一章、仿射坐标与仿射变换第一章、仿射坐标与仿射变换称2). 符号(P1P2P)表示一个数, 是有向线段P1P与P2P的比值, 与解几中的定比分点反号. 3）单比与定比的区别 1 透视仿射对应二、性质 1、保同素性和结合性2、保单比不变
9、 3、保平行性1.2 仿射对应与仿射变换仿射对应与仿射变换 一、概念 设同一平面内有n条直线，如下图是 的透视仿射对应经过这一串对应，得到的透视仿射对应，这个对应称为的仿射对应。记作：如图所示：如图所示：直线间的仿射对应直线间的仿射对应平面间的仿射对应平面间的仿射对应二、性质二、性质为什么？（1）保持同素性和结合性；（2）保持共线三点的单比不变；（3）保持直线的平行性不变。注：仿射对应下，对应点的连线不一定平行。定义定义2.2 若两个平面间的一个点对应（变换）保持同素性、结合性和共线三点的单比不变，则这个点对应（变换）称为仿射对应（变换）例、平行四边形经仿射（对应）变换仍变为平行四边形例、两平
10、行线段之比经仿射对应不变例、仿射对应保持平形性不变1.3 仿射坐标系仿射坐标系、定义笛卡尔坐标系在仿射对应下的像叫做仿射坐标系，叫点的仿射坐标记为的仿射坐标为、设共线三点则单比为3、仿射变换的坐标表示已知仿射坐标：仿射变换为:T 变换将 ： 且 平行四边形 变为平行四边形 ，且保持单比不变，故 在坐标系 中的坐标为 (x,y) o o/ p p/ px py px/ py/ x y y/ x/一方面 ：,另一方面：所以例1 已知三点 求仿射变换T使顺次变为 .练习：1、求使直线 分别变为 的仿射变换。 2、已知仿射变换求点的像点，及直线 的像直线。4、特殊的仿射变换、特殊的仿射变换 正交变换
11、位似变换相似变换压缩变换1.4 仿射性质仿射性质一、定义：图形经过任何仿射变换后都不变的性质（量），称为图形的仿射性质（量）同素性，结合性，平行性是仿射性质。单比是仿射不变量。证明：两平行直线经过仿射变换后仍变为平行直线 证明：设变换为：T:例1二、重要结论：1、两相交直线经仿射变换后仍为相交直线。2、共点直线仍变为共点直线3、两平行线段之比是仿射不变量。4、两三角形面积之比是仿射不变量（证明见课本）5、两个多边形面积之比是仿射不变量6、两封闭图形面积之比是仿射不变量设在笛卡尔直角坐标系下椭圆方程为例2、求椭圆的面积ABCODyx第二章 射影平面本章地位学习平面射影几何的基础本章内容定义射影平
12、面，引入齐次坐标，学习对偶原则附带一个重要定理Desargues透视定理学习注意认真思考，牢固掌握基本概念，排除传统习惯干扰 2.1 射影平面一、中心射影一、中心射影1、平面上两直线间的中心射影定义定义1因此 ，1: l l是 l 到 l 的中心射影OP 投射线P l 上的点P在l上的像P l 上的点P在l上的像OV/l, 与l不相交， V为l上的影消点影消点影消点的存在，导致两直线间的中心射影不是一个一一对应一一对应!X=ll 自对应点OU/l, 与l不相交， U为l上的影消点影消点三个特殊点：三个特殊点： 2.1 射影平面一、中心射影一、中心射影2、平面到平面的中心射影定义定义2 OP 投
13、射线P 上的点P 在上的像P 上的点P在上的像因此 ，是到的中心射影 自对应直线(不变直线)三条特殊的线：三条特殊的线： ， u为由影消点影消点构成的影消线影消线 ， v为由影消点影消点构成的影消线影消线影消线的存在导致两平面间的中心射影不是一个一一对应 2.1 射影平面一、中心射影一、中心射影1、平面上两直线间的中心射影定义12、平面到平面的中心射影定义2 均不是一一对应中心射影不是双射的原因：存在影消点、影消线 存在影消点、影消线的原因：平行的直线没有交点如何使得中心射影成为一一对应？给给平行线添加交点！平行线添加交点！一、中心射影一、中心射影二、无穷远元素二、无穷远元素目标：改造空间，使
14、得中心射影成为双射途径：给平行直线添加交点要求：不破坏下列两个基本关系两条相异直线确定惟一一个点(交点)两个相异点确定惟一一条直线(连线)点与点与直线的关联关系直线的关联关系 2.1 射影平面 2.1 射影平面二、无穷远元素二、无穷远元素 约定约定1.1 (1) 在每一条直线上添加惟一一个点，此点不是该直线上原有的点. 称为无穷远点无穷远点(理想点理想点)，记作P (2) 相互平行的直线上添加的无穷远点相同, 不平行的直线上添加的无穷远点不同.区别起见，称平面上原有的点为有穷远点(通常点)，记作P 约定约定1.1 (3) 按约定(1), (2)添加无穷远点之后，平面上全体无穷远点构成一条直线，
15、称为无穷远直线无穷远直线(理想直线理想直线)，记作l区别起见，称平面上原有的直线为有穷远直线(通常直线)，l 总结：总结：在平面上添加无穷远元素之后，没有破坏点与直线的关联关系，同时使得中心射影成为一一对应. 2.1 射影平面理解约定理解约定1.1(1), (2)1、对应平面上每一方向，有惟一无穷远点. 平行的直线交于同一无穷远点；交于同一无穷远点的直线相互平行.2、每一条通常直线上有且仅有一个无穷远点.3、平面上添加的无穷远点个数过一个通常点的直线数.4、不平行的直线上的无穷远点不同. 因而，对于通常直线：两直线平 行不平行交于惟一无穷远点有穷远点平面上任二直线总相交5、空间中每一组平行直线
16、交于惟一无穷远点.6、任一直线与其平行平面交于惟一无穷远点. 2.1 射影平面理解约定理解约定1.1(3)1、无穷远直线为无穷远点的轨迹. 无穷远直线上的点均为无穷远点；平面上任何无穷远点均在无穷远直线上.2、每一条通常直线与无穷远直线有且仅有一个交点为该直线上的无穷远点.3、每一平面上有且仅有一条无穷远直线.4、每一组平行平面有且仅有一条交线为无穷远直线；过同一条无穷远直线的平面相互平行. 因而，对于通常平面：两平面平 行不平行交于惟一无穷远直线有穷远直线空间中任二平面必相交于唯一直线 2.1 射影平面三、射影平面三、射影平面 仿射直线：向两方前进最终都到达同一个无穷远点四、区别四、区别（1
17、）欧氏直线：向两个方向无限伸展 欧氏直线 仿射直线 射影直线 欧氏平面 仿射平面 射影平面 2.1 射影平面仿射直线的拓扑模型 2.1 射影平面(2) 射影直线上点的分离关系欧氏直线：一点区分直线为两个部分。欧氏直线：一点区分直线为两个部分。射影直线：一点不能区分直线为两个部分。射影直线：一点不能区分直线为两个部分。欧氏直线：两点确定直线上的一条线段。欧氏直线：两点确定直线上的一条线段。射影直线：两点不能确定直线上的一条线段。射影直线：两点不能确定直线上的一条线段。点偶A,B分离分离点偶C,D点偶A,B不分离不分离点偶C,D 2.1 射影平面(i) 任一直线划分欧氏平面为两个不同的区域任一直线
18、不能不能划分射影平面为两个不同的区域(ii) 两条相交直线划分欧氏平面为四个四个不同的区域两条相交直线划分射影平面为两个两个不同的区域(3) 射影平面的封闭性(从两个方面理解) 1.4 Desargues透视定理一、一、Desargues透视定理透视定理一个古老、美丽、实用的重要定理！1、两个三点形的对应关系 若两个三点形对应顶点的连线共点，则称这对对应三点形具有透视中心透视中心，透视中心也称为Desargues 点点. 若两个三点形对应边的交点共线，则称这对对应三点形具有透视轴透视轴，透视轴也称为Desargues 线线.问题请问你是怎样画出这两个图的？画图过程演示一、一、Desargues
19、透视定理透视定理1、两个三点形的对应关系2、Desargues透视定理定理(Desargues透视定理及其逆) 注1、满足Desargues定理的一对三点形称为透视的透视的三点形. 1.4 Desargues透视定理证明Desargues定理画图过程演示一、一、Desargues透视定理透视定理2、Desargues透视定理 注注2、关于Desargues构图. 左图表示了一对透视的三点形ABC, ABC. 左图中共有10个点、10条直线，过每个点有三条直线；在每条直线上有三个点. 这10点, 10线地位平等，此图称为Desargues构图构图. 1.4 Desargues透视定理 分析分析：
20、为证X, Y, Z三点共线, 试在图中找出一对对应三点形, 具有透视中心，且对应边的交点恰为X, Y, Z.二、应用举例二、应用举例1、证明共线点与共点线问题 由题给, X, Y, Z分别为三对直线的交点, 此三直线涉及到六个字母, 试 例1 在欧氏平面上, 设ABC的高线分别为AD, BE, CF. 而BCEF=X, CA FD=Y, ABDE=Z. 求证：X, Y, Z三点共线.所以, 由三点形ABCDEF的对应即得结论. 1.4 Desargues透视定理二、应用举例二、应用举例1、证明共线点与共点线问题 分析分析：因为R是动点，作R的另一个位置R. 得到P, Q, 设PQ, PQ交于C
21、.只要证明A, B, C三点共线. 由OX, OY, OZ共点于O, 只要找到一对对应三点形，其三对对应顶点分别在OX, OY, OZ上, 且三双对应边交点恰为A, B, C即可. 如图，PQR, PQR正是所需. 例2 设OX, OY, OZ为三条定直线, A, B为定点, 其连线经过O. R为OZ上的动点, 直线RA, RB分别与OX, OY交于P, Q. 求证：PQ经过AB上的一个定点. 1.4 Desargues透视定理二、应用举例二、应用举例1、证明共线点与共点线问题 证明证明：考察三点形PQR与ABC，它们有透视中心S，从而它们有透视轴，即A1, B1, C1三点共线. 引申引申：
22、同理可证 例3 已知完全四点形PQRS, 其对边三点形为ABC. 设A1=BC RQ, B1=AC RP, C1=AB PQ. 求证：A1, B1, C1三点共线. 1.4 Desargues透视定理二、应用举例二、应用举例1、证明共线点与共点线问题 证明：设动点P的另一个位置为P, 依题意作图, 得交点X, Y. 考察三点形AXX与BYY, 因为其对应边的交点P, C, P共线，所以其对应顶点的连线AB, XY, XY共点, 此点为AB上的定点. 例4 设A, B, C为不共线三点, P是过C的定直线上的动点, AP BC=X, AC BP=Y. 求证：XY经过定点.思考：考察三点形PXY与
23、PXY进行证明.思考：本题实际上与例2为同一个题目！ 1.4 Desargues透视定理二、应用举例二、应用举例1、证明共线点与共点线问题 证明：考察三点形ZBC和YLM, 有透视轴A, X, D. 即得结论.2、不可及点的作图问题注：从现在开始，凡作图问题，均指仅用无刻度直尺作图注：从现在开始，凡作图问题，均指仅用无刻度直尺作图. 例5 设XYZ为完全四点形ABCD的对边三点形, XZ分别交AC, BD于L, M. 求证：YZ, BL, CM共点. 思考：还能有其他方法吗？ 1.4 Desargues透视定理二、应用举例二、应用举例2、不可及点的作图问题 例6. 已知平面上二直线a, b,
24、P为不在a, b上的一点. 不作出a, b的交点a b, 过P求作直线c, 使c经过a b.解. 作法： (1). 在a, b外取异于P的一点O.过O作三直线l1, l2, l3.设l1, l2, 分别交a, b于A1, A2; B1, B2. (2). 连PA1, PB1分别交l3于A3, B3. (3). 连A2A3, B2B3交于Q. (4). PQ=c为所求直线. 证明：由作法，三点形A1A2A3, B1B2B3有透视中心O. 故其对应边的交点P=A1A3 B1B3, Q=A2A3 B2B3以及a b三点共线，即c=PQ经过a, b的交点. 注：解作图题必须包括作法作法、画图画图、证明
25、证明三部分！ 1.4 Desargues透视定理引入目的 2 齐次坐标实现数、形结合，用解析法研究射影几何基本要求既能刻画有穷远点，也能刻画无穷远点基本途径从笛氏坐标出发，对通常点与笛氏坐标不矛盾主要困难来自传统笛氏坐标的干扰必须注意齐次坐标与笛氏坐标的根本区别在于齐次性齐次性，因此，学习诀窍是在齐次性的前提下灵活运用线性代数知识。尽管针对拓广平面, 但是今后通用齐次性问题几乎无处不在的非零比例常数和比例关系二、齐次点坐标二、齐次点坐标定义定义2.1有穷远点无穷远点非齐次齐次坐标关系注注对一维齐次点坐标定义的进一步理解 2 齐次坐标1. 一维齐次点坐标(x1, x2) (x20)xx= x1
26、/ x2(x1, 0) (x10)(1).都有齐次坐标反之，都对应唯一一点(0, 0)不是任何点的齐次坐标.(2).与是同一点的齐次坐标. 因此，直线上每个点都有无穷多个齐次坐标，同一点的任意两个齐次坐标之间相差一个非零比例常数.(3).原点：(0, x2), 特别地，(0, 1).无穷远点：(x1, 0), 特别地，(1, 0).二、齐次点坐标二、齐次点坐标2 齐次坐标1. 一维齐次点坐标 注：定义2.1没有解决无穷远直线的问题.引入引入可视为P为通常点无穷远点设 li: Ai x+Bi y+Ci=0 (i=1, 2). 记 |AB| 表示(1). P为通常点，设 P(x, y). 则令|B
27、C|=x1, |CA|=x2, |AB|=x3. 则 从而 x : y : 1=x1 : x2 : x3. 于是, 可以把与(x, y, 1)成比例的任何有序实数组(x1, x2, x3)作为点P的齐次坐标.2. 二维齐次点坐标 2 齐次坐标同样有|BC|, |CA|.引入引入(2). P=P, l1 / l2. 即P为l1, l2方向上的无穷远点.目标：目标：构造P的齐次坐标，使之仅与l1, l2的方向(斜率)有关. 因l1 / l2. 故前述x3=0.考虑取(x1, x2, 0)为P的齐次坐标. 只要证明x1, x2仅与li的方向(斜率)有关.当li不平行于y轴时，即x10. 不难证明其中
28、为li的斜率, 即(x1, x2, 0)表示方向为的无穷远点. 特别地, 若x2=0, 则表示x轴上的无穷远点. 当li平行于y轴时， =. 可合理地取(0, x2, 0) (x20)为y轴上无穷远点的齐次坐标.引出定义引出定义2. 二维齐次点坐标2 齐次坐标定义定义2.2有穷远点 方向为 =x2/x1的无穷远点非齐次齐次坐标关系注注对二维齐次点坐标定义的进一步理解 y轴上的无穷远点2. 二维齐次点坐标 2 齐次坐标(x, y)x = x1 / x3, y = x2 / x3(x1, x2, x3) (x30)(x1, x2, 0) (x10)(=x2/x1)(0, x2, 0) (x20)无
29、穷远点 (1). 对任意的P, 都有齐次坐标(x1, x2, x3). 对于通常点x30；对于无穷远点x3=0, 但x12+x220. 反之, 任给(x1, x2, x3) (x12+x22+x320), 都对应惟一一点P. (0, 0, 0)不是任何点的齐次坐标. (2). 对任意的0R, (x1, x2, x3)与(x1,x2,x3)是同一点的齐次坐标. 因此, 平面上每个点都有无穷多个齐次坐标, 同一点的任意两个齐次坐标之间相差一个非零比例常数. (3). 原点：(0, 0, x3), 特别地(0, 0, 1); 无穷远点(x1, x2, 0), 若x10, 则可表为(1, , 0),
30、其中为该无穷远点的方向. 特别地, x轴上的无穷远点为(1, 0, 0), y轴上的无穷远点为(0, 1, 0).2. 二维齐次点坐标 2 齐次坐标二、二维齐次点坐标二、二维齐次点坐标例例 1 求下列各点的齐次坐标.(1).齐次坐标(一般形式)特定一组(2).求直线上的无穷远点.斜率代入所求无穷远点为也就是(4, 3, 0).上的无穷远点为 2 齐次坐标三、直线的齐次坐标方程三、直线的齐次坐标方程定理定理 2.1在齐次坐标下，直线的方程为(1.14)反之，(1.14)表示直线. 称(1.14)为直线的齐次方程直线的齐次方程.注：注：定理2.1不仅给出了拓广平面上直线的齐次方程，还对通常直线提供
31、了齐次、非齐次方程互化的方法. 2 齐次坐标推论推论过原点的直线的齐次方程为u1x1+u2x2=0.特别地, x轴: x2=0, y轴: x1=0, l: x3=0.改变一下你的几何学观点点直线曲线坐标方程点的轨迹点几何学线几何学方程坐标直线族的包络四、齐次线坐标四、齐次线坐标 2 齐次坐标 线几何学线几何学：以直线为基本几何元素去表达其他几何对象调整你的思维天平！四、齐次线坐标四、齐次线坐标1. 定义定义将直线l：中的系数称为l的齐次线坐标齐次线坐标，记作注注1齐次线坐标与齐次点坐标有完全相同的代数结构和性质.注注2y轴：x轴：过原点的直线： 思考思考：注2中这些直线的齐次坐标分别与哪些点的
32、齐次坐标相同(忽略括号差别)？注注3由定义, 方程系数坐标 实现互化, 故由诱导. 2齐次坐标 定理2.3 在齐次线坐标下，点x在直线u上 2. 点的齐次方程点的齐次方程 2 齐次坐标 定义2.5 在齐次线坐标下，若方程 f(u1,u2,u3)=0 能且仅能被过点P的直线的齐次坐标所满足，则称 f=0 为点 P 的齐次方程齐次方程.2. 点的齐次方程点的齐次方程 2 齐次坐标四、齐次线坐标四、齐次线坐标注注对(1.4)的新理解.(1.4) 变 (流动)不变(常数)直线u的方程几何意义动点x在定直线u上；定直线u为动点x的轨迹点几何观点线几何观点不变(常数) 变 (流动)点x的 方程动直线u过定
33、点x；定点x为动直线u的包络 因此，一般地，称(1.4)为点与直线的齐次关联关系齐次关联关系. 点、直线统称为几何元素几何元素.给定齐次方程四、齐次线坐标四、齐次线坐标2. 点的齐次方程点的齐次方程例例 2求下列各点的齐次方程.(1). x轴上的无穷远点(2). y轴上的无穷远点(3). 原点(4). 点(1,2,2)(5). 方向为的无穷远点(6). 无穷远直线上的点 思考思考：本例中这些点的齐次方程分别与哪些直线的齐次方程形式上相同？ 2 齐次坐标(3,1,0) 3 对偶原理一、平面对偶原则一、平面对偶原则重要原理！重要原理！ 贯穿全书！贯穿全书！1. 基本概念(1). 对偶元对偶元素素点
34、直线(2). 对偶运对偶运算算过一点作一直线在一直线上取一点(4). 对偶图对偶图形形在射影平面上，设已知由点、直线及其关联关系构成的图形，若对作对偶变换，则得到另一个图形. 称、 为一对对偶图形对偶图形.图形图形作对偶变换互为对偶图形(3). 对偶变对偶变换换互换对偶元素地位、作对偶运算一、平面对偶原则一、平面对偶原则2. 基本对偶图形举例(1) 点(1) 直线(2) 点列(共线点集)(2) 线束(共点线集)(3) 点场(共面点集)(3) 线场(共面线集)(4) 简单n点形：n个点(其中无三点共线)及其两两顺次顺次连线构成的图形.(4) 简单n线形：n条直线(其中无三线共点)及其两两顺次顺次
35、相交的交点构成的图形.顶点：n个；边：n条.边：n条；顶点：n个.下面分别考察n=3和n=4的情形 3 对偶原理简单n点(线)形：n=3简单三点形简单三线形简单n点(线)形：n=4简单四点形简单四线形显然，简单n点(线)形与其顶点(边)的顺序有关 3 对偶原理(5) 完全n点形：n个点(其中无三点共线)及其每两点连线构成的图形.(5) 完全n线形：n条直线(其中无三线共点)及其每两直线交点构成的图形.顶点：n个；边：n条；完全n点(线)形：n=3完全三点形ABC完全三线形abc一对自对偶图形. 将不加区分, 简称三点形或三线形. 3 对偶原理完全n点(线)形：n=4完全四点形ABCD完全四线形
36、abcd射影几何中最重要的一对图形 3 对偶原理完全四点形ABCD完全四线形abcd顶点顶点4个边边6条对边对边(没有公共顶点的边)3组对边点对边点(对边的交点)3个对边三点形对边三点形 XYZ边边4条顶点顶点6个对顶对顶(不在同一边上的顶点)3组对顶线对顶线(对顶的连线)3条对顶三线形对顶三线形 xyz请课后画图，熟悉图形及名称. 今后将专门研究其重要性质例 1作下列图形的对偶图形点点2个直线直线5条关联关系关联关系(1) P,Q在l上；(2) a,b,l共点于P; c,d,l共点于Q直线直线2条点点5个关联关系关联关系(1) p,q过点L；(2) A,B,L共线于p; C,D,L共线于q一
37、、平面对偶原则一、平面对偶原则2、对偶图形举例1、基本概念3、作一图形的对偶图形翻译翻译 3 对偶原理一、平面对偶原则一、平面对偶原则2. 基本对偶图形举例1. 基本概念3. 作一图形的对偶图形4. 平面对偶原则(1) 射影命题 在射影平面上，若命题P仅与点和直线的关联、顺序关系有关，则称P为一个射影命题射影命题.(2) 对偶命题射影命题P射影命题P*作对偶变换互为对偶命题(3) 平面对偶原则定理(平面对偶原则)在射影平面上，射影命题P成立射影命题P*成立 3 对偶原理一、平面对偶原则一、平面对偶原则2. 基本对偶图形举例1. 基本概念3. 作一图形的对偶图形4. 平面对偶原则例例 2 对偶命
38、题举例 (1) P 过相异二点有且仅有一条直线. (1) P* 两相异直线有且仅有一个交点. (2) P 如果两个三点形的对应顶点连线共点，则其对应边的交点必定共线. (2) P* 如果两个三点形的对应边交点共线，则其对应顶点的连线必定共点.注注1 只有射影命题才有对偶命题.注注2对偶原则是一个双射F：点几何线几何 因此, 对偶原则可以使得点几何问题与线几何问题相互转化, 可以起到事半功倍的作用. 3 对偶原理二、有关齐次坐标的基本结论二、有关齐次坐标的基本结论(1). 两点a, b重合(1). 两直线a, b重合3 对偶原理(2). 相异两点a, b连线方程为(2). 相异两直线a, b交点
39、方程为坐标为坐标为(3). 相异三点a,b,c共线(3). 相异三直线a,b,c共点 (4). 点c在相异两点a,b连线上点c的齐次坐标可表示为la+mb(l,m不全为零). 3 对偶原理 (4). 直线c经过相异两直线a,b交点直线c的齐次坐标可表示为la+mb(l,m不全为零).二、有关齐次坐标的基本结论二、有关齐次坐标的基本结论 注：若三点(直线)a, b, c不共线(点), 则上述矩阵满秩. (5). 相异三点a,b,c共线存在p,q,r(pqr0)使得即可适当选取a,b,c的齐次坐标使得 3 对偶原理二、有关齐次坐标的基本结论二、有关齐次坐标的基本结论 (5). 相异三直线a,b,c
40、共点存在p,q,r(pqr0)使得即可适当选取a,b,c的齐次坐标使得a+b+c=0, 或 c=a+b.a+b+c=0, 或 c=a+b.例例 3已知共线三点 a=(3,1,1), b=(7,5,1), c=(6,4,1), 求, 使得解解令其中为非零比例常数.可解得=3.于是，可适当选取 a, b, c 的齐次坐标，使得 c=a+3b. 3 对偶原理二、有关齐次坐标的基本结论二、有关齐次坐标的基本结论 2.4 复元素一、二维空间的复元素一、二维空间的复元素实欧氏平面实仿射平面实射影平面复射影平面 本课程不讨论复射影平面. 我们将实射影平面嵌入到复射影平面中进行讨论，即讨论带有虚元素的实射影平
41、面实-复射影平面 2.4 复元素一、一、二维空间的复元素二维空间的复元素复点：设有一对有序复数如果都是实数，则为一普通点即实点，若或为复数或均为复数，则规定一个新点称为复点，仍以为其坐标。复点的齐次坐标：实点规定为复点的齐次坐标。与三个不全为零的实数成比例 2.4 复元素一、一、二维空间的复元素二维空间的复元素同样的，对于，当表示普通点；表示无穷远复点.复直线的引入与此类似：齐次复数线坐标实直线复直线与复点坐标的引入相似定义 2.4 复元素二、几点说明二、几点说明比如，(i, i, i)为实点.3、显然，实直线上可以有虚点，虚直线上可以有实点；过实点可以有虚直线，过虚点可以有实直线.复点、复直
42、线统称复元素复元素.2. 4复元素三、共轭复元素三、共轭复元素定义1：若为一元素（点或直线）的齐次坐标时，为另一同类元素（点或直线）的齐次坐标，则此二元素叫做共轭复元素。两个元素可能在相差一个非零比例常数的前提下共轭。注意：两个非无穷远共轭复元素，非齐次坐标必为共轭复数；但齐次坐标不一定为共轭复数。 2.4 复元素四、几个结论四、几个结论(3)、实直线上的点或为实点或为成对出现的共轭虚点.(3)、过实点的直线或为实直线或为成对出现的共轭虚直线.(4)、两共轭复点连线为实直线.(4)、两共轭复直线交点为实点.(5)、过一复点有且仅有一条实直线.(5)、在一条复直线上有且仅有一个实点. 2.4 复
43、元素五、例题：五、例题：求：(1)过点的实直线；(2)直线上的实点.解：(1)因为过点的实直线必过其共轭复点所以所求直线为：即： 2.4 复元素(2)直线上的实点为此直线与其共轭复直线的交点，由方程：解得实点为：第三章 射影变换本章地位平面射影几何的核心内容之一本章内容在一维、二维射影空间以及齐次坐标的基础上，系统学习一维、二维射影变换及其一些特殊情形，对一些射影不变量和不变性作初步地研究。 2.1 交比与调和比一、点列中四点的交比一、点列中四点的交比1、定义交比 最根本的射影不变量 定义3.1. 设P1,P2,P3,P4为共线四点，(P1P2,P3P4)表示这四点(3.1)称P1,P2为基点
44、偶基点偶， P3,P4为分点分点偶偶.构成的一个交比（或交叉比，复比）交比（或交叉比，复比）. 定义为： 2.1 交比与调和比注：注：(1)若点偶不分离点偶记作(2)若点偶分离点偶记作(3)当重合时，当重合时，一、点列中四点的交比一、点列中四点的交比1.定义 2.1 交比与调和比 显然，共线四点的交比值与这四点在交比记号中的次序有关. 改变次序一般会改变交比值. 因此，根据次序不同，共线四点可以构成 设(P1P2,P3P4 )=r. 我们来探讨这24个交比的规律. 2.交比的组合性质 性质1 设(P1P2,P3P4 )=r. 当改变这四点在交比符号中的次序时，交比值变化规律如下：4!=24 个
45、交比. 2.1 交比与调和比一、点列中四点的交比一、点列中四点的交比 推论 由性质1，相异的共线四点构成的24个交比只有6个不同的值： 不必背诵，但是要熟练掌握变化规律！ 2.1 交比与调和比一、点列中四点的交比一、点列中四点的交比1、定义2、性质3、特殊情况 性质1中共线四点的交比值出现0, 1, 三者之一这四点中有某二点相同.性质2 一直线上的无穷远点分其上任何两点的单比等于1. 3.1 交比与调和比 定理2. 设点列l(P)中四点Pi的齐次坐标为a+ib(i=1,2,3,4). 则3、特殊情况一、点列中四点的交比一、点列中四点的交比1、定义2、性质4、交比的代数表示 定理1. 设P1,P
46、2,P3,P4共线四点，其齐次坐标依次为a，b，a+1b，a+ 2b. 则：引理：已知两不同的普通点，为直线AB上一点，且 ,则 3.1 交比与调和比 证明定理2. 以P1,P2,为基点，参数表示P3,P4. 设a+1b=a, a+2b=b. 从中解出a,b, 得于是， P1,P2,P3,P4的坐标可表示为即由定理1，有注注：定理1可以作为交比的一般定义. 3.1 交比与调和比定理3 若四个不同的共线点中的三点及其交比值为已知，则第四点必惟一确定。在共线四点的交比中，交比值为-1的情况在射影几何中十分重要，称之为调和比。3、特殊情况一、点列中四点的交比一、点列中四点的交比1、定义2、性质4、交
47、比的代数表示5、调和比定义 若(P1P2,P3P4 )= 1, 则称推论1 若(P1P2,P3P4 )= 1, 则此四点互异.推论2 相异四点P1,P2,P3,P4可按某次序构成调和比这四点的6个交比值只有3个： 3.1 交比与调和比调和比是最重要的交比！ 3.1 交比与调和比一、点列中四点的交比一、点列中四点的交比1、定义2、性质3、特殊情况4、调和比 对于(P1P2,P3P4 )= 1, 由定义可得：此时, 若则可合理地认为于是这表示P3为P1P2的中点，从而有 推论3 设P1,P2, P为共线的通常点. P为此直线上的无穷远点.则P为P1P2的中点注：本推论建立了线段的中点、调和比的联系
48、一、点列中四点的交比一、点列中四点的交比 3.1 交比 例1. 设1,2,3,4,5,6是6个不同的共线点. 证明：若(12,34)=(14,32), 则(13,24)=-1.由题设已知四点相异 3.1 交比与调和比一、点列中四点的交比一、点列中四点的交比1、定义 2、性质 3、特殊情况4、调和比5、交比的计算(1). 由坐标求交比 例2 已知P1(3,1,1), P2(7,5,1), Q1(6,4,1), Q2(9,7,1). 求(P1 P2, Q1 Q2). 解 第一步. 验证四点共线. 第二步. 以P1, P2为基点, 用参数表示Q1, Q2. 令i=1,2.同理, 对于i=2, 可求得
49、于是，代入坐标, 可以得到 3.1 交比与调和比一、点列中四点的交比一、点列中四点的交比1、定义 2、性质 3、特殊情况4、调和比5、交比的计算 (1). 由坐标求交比(2). 由交比求坐标 例3 已知(P1P2,P3P4 )=2, P1, P2, P4的坐标依次为(1,1,1), (1,1,1), (1,0,1). 求P3的坐标. 解：设则显然由可得从而P3的坐标为(3,1,3).一、点列中四点的交比一、点列中四点的交比1、定义 2、性质 3、特殊情况4、调和比5、交比的计算 (1). 由坐标求交比(2). 由交比求坐标 例4 已知P1, P2分别是x轴、y轴上的无穷远点, P3是斜率为1的
50、方向上的无穷远点, 且(P1P2,P3P4)=r. 求P4的坐标. 解：由题设知P1, P2, P3的坐标分别为(1,0,0), (0,1,0), (1,1,0). 设则显然由可得从而P4的坐标为(r,1,0). 3.1 交比与调合比 注：若要求P1, 或P2的坐标, 则需先据交比性质交换点的位置, 使得交换后第1,2位置为已知点, 再计算. 3.1 交比与调和比一、点列中四点的交比一、点列中四点的交比二、线束中四直线的交比二、线束中四直线的交比1、直线的交角 设a, b为线束S中取定的相异二直线. 在线束中任取一条不与a, b重合的直线u，直线u的那一个角度，记作(a, b).a bu注：若
51、a, b边的顺序与逆时针方向一致，则 规定(a,b)为正值，反之则为负值。S则定义a, b的交角为不含 3.1 交比与调和比二、线束中四直线的交比二、线束中四直线的交比2、线束中三直线的单比 设a, b,c为线束S中的三直线. 则a bu叫做a, b,c三直线的单比， a, b叫基线，c叫做分线。c注：如果直线c不在(a,b)中，则(a,b,c)0； 如果直线c在(a,b)中，则(a,b,c)”. 显然.“”. 显然.“” 设点列l(P)与l(P)透视对应, S为透视中心, l l=X. 由于直线SX交l, l于同一点X, 所以X自对应. “”. 见教材, 略. “” f 为对合=f 为射影变
52、换, 将对合条件(AA=E(0)代入=a11=a22; “=” 直接验证符合对合定义即可. (2). 2、坐标形式 定理3.7 不重合的两对对应元素确定唯一一个对合. 推论 三对对应元素Pi, Pi属于同一对合其参数pi, pi满足 证明 Pi, Pi属于同一对合apipi+b(pi+pi)+d=0此方程组对a, b, d有非零解|pipi pi+pi 1|=0, 即(2.16)成立. 推论 已知不重合的两对对应元素的参数pi, pi (i=1,2), 则由此决定的对合方程为3、确定对合的代数条件4、对合不变元素、对合不变元素由对合方程可得其不变元素方程不变元素方程为对于上述方程总有0, 从而
53、任一对合总有两个相异的不变元素. 定理 任一对合必有两个相异的不变元素, 即任一对合不是双曲型即是椭圆型, 不存在抛物型对合. 定理3.8 一维射影变换f 成为对合f 有两个相异的不变元素, 且任一对相异的对应元素被两个不变元素调和分离. 即假设f : 为对合, 且E, F为其两个不变元素. 则对f 的任意一对对应元P, P(PP), 均有(PP, EF)=1. 例1 设 证明. 由题设, 有所以,由对合的几何条件, E, F为由AC; BD所决定的对合的不变元素.求证：E, F为由AC; BD所决定的对合的不变元素.同理,由本例可见, 几何条件中, 也可以包含不变元素！ 例2 设P, P;
54、Q, Q为对合的两对对应元素, 点偶A, B满足 证明. 因为所以,根据对合的几何条件, 结论成立.求证：A, B也是此对合的对应点偶.5、Desargues对合定理对合定理 定理 (Desargues对合定理)不过顶点的任一直线截完全四点形的三双对边于同一对合的三对对应点.如图, P, P; Q, Q; R, R属于同一对合. 注：由于对合的特性, 图中在同一组对边上带“ ”和不带“ ”的字母可以任意标注. 证明. 利用几何条件, 只要证(PP, QR) = (PP, QR)(P, P, Q, R)(B)(X, P, D, C)(A)(P, P, R, Q)(P, P, Q, R)(P, P
55、, R, Q)(PP, QR) = (PP, RQ) = (PP, QR)lCDl5、Desargues对合定理对合定理 定理 (Desargues对合定理)不过顶点的任一直线截完全四点形的三双对边于同一对合的三对对应点.如图, P, P; Q, Q; R, R属于同一对合. 注：由于对合的特性, 图中在同一组对边上带“ ”和不带“ ”的字母可以任意标注. 注：请写出本定理的对偶命题.5、Desargues对合定理对合定理 例4 如图, 已知P, P; Q, Q为点列l(P)上对合的两对相异的对应点, R为l(P)上的另外一点. 求作R在此对合下的对应点R. 解：作图步骤思考过程(共需作6条直
56、线, 设计次序确定R). 注1：已知点列l(P)上对合的两个不变点X, Y. 求作任一点R的对应点R. 即求作第四调和元素. 注2：若未指定R, 则当A在平面上变动时, 可得到l(P)上以X, Y为不变元素的任意多的对应点偶. 定理2.25是完全四点形调和性的推广, 且可以由完全四点形给对合综合定义. 例5 设A, B, C, D是点列l(P)上四点, 且(AB, DP)=(AB, PC). 求证：在l(P)上有相异二点P, P满足条件, 且(AB, PP)=1. 证法一. 因为所以, P为AB; CD所确定的对合中的不变点. 设此对合的另一个不变点为P, 则P也满足条件(AB, DP)=(A
57、B, PC). 于是, 在l(P)上有相异的P, P为AB; CD所确定的对合中的不变点. 满足(AB, PP)=1. 证法二. 设A, B, C, D的齐次坐标依次为P的齐次坐标为a+b.因为所以所以, 在l(P)上有相异二点满足条件, 而且 例5 设A, B, C, D是点列l(P)上四点, 且(AB, DP)=(AB, PC). 求证：在l(P)上有相异二点P, P满足条件, 且(AB, PP)=1. 3.4 二维射影变换一、二维射影对应一、二维射影对应1、透视对应两点场间使得对应点连线共点的一一对应中心射影2、射影对应Steiner定义设, 为两个点场. 若： 满足(i) 为双射,(i
58、i) 使共线点变为共线点,(iii) 保持共线四点的交比不变则称为点场到的一个二维射影对应二维射影对应.注1. 显然, 透视对应是特殊的射影对应. 注2. 显然, 二维射影对应使得点对应于点; 直线对应于直线. 注：若两个平面重合，则射影对应叫射影变换 3.4 二维射影变换二、二维射影坐标1 、二维射影坐标系 平面上三点形 与不在三边上的点 确定一个二维射影坐标系，用 表示。四个点成为基点， 叫坐标三点形， 叫原点， 叫单位点。OYEX 3.4 二维射影变换2、点P的坐标对平面上任一点P在坐标系下连交 于，连交为P点的非齐次射影坐标OE1P1E2P2YEPx 3.4 二维射影变换注：即E点坐标
59、为 E（1，1）直线XY上的点无非齐次射影坐（相当于无穷远点）即原 点坐标为O(0,0)3、齐次坐标 设P点非齐次坐标 若有 满足 3.4 二维射影变换在齐次坐标系下 ;原点O(0,0,1) 单位点E(1,1,1)X点 (1,0,0) Y点（0,1,0)则称为P点的齐次射影坐标注：表示同一点（0,0,0)不表示任何点， 4 二维射影变换三、二维射影对应三、二维射影对应Steiner定义设 , 为两个点场. 若 ： 满足(i) 为一一对应,(ii) 使共线点变为共线点,(iii) 保持共线四点的交比不变,则称 为点场 到 的一个二维射影对应二维射影对应.代数定义 设在点场 , 上各取定齐次射影坐
60、标系. 称由所决定的对应为 到 的一个二维射影对应二维射影对应, 其中(x1, x2, x3)与 (x1, x2, x3)为对应点的齐次坐标, A称为射影对应的矩阵.注：显然, (2.22)式为非奇异线性对应. 4 二维射影变换三、二维射影对应三、二维射影对应定理 Steiner定义代数定义.为方便计, 在不同的使用场合经常取(2.21)式的不同写法. 如： 注1. 由于齐次性, 对任意的0, A与A表示同一射影对应的矩阵. 因此A中9个元素只有8个独立, 只要确定A中9个元素的比值即可确定A.证明 (略). 4 二维射影变换三、二维射影对应三、二维射影对应 注2. 因为A是非奇异方阵, 故可
61、求出射影对应(2.22)的逆对应.其中 =|A|/, Aji为aji的代数余子式. 即(Aji)=A*亦为非异方阵, 从而射影对应的逆对应仍然为射影对应. 设直线u=u1, u2, u3, 即u1x1+u2x2+u3x3=0. 将(1)代入, 有这是 上的一条直线, 其坐标为其中(Aji)=(Aij)T=(A*)T为非异方阵. 这表示线场 与 之间由(2.22)诱导的射影对应. 从而我们有以上四个式子. 4 二维射影变换三、二维射影对应三、二维射影对应 推论 任一二维射影对应可由已知四对对应点(每一方四点中无三点共线)唯一确定. 即：设PiPi(i=1,2,3,4), 且双方均为无三点共线的四
62、点组. 则由此可唯一确定 ： , 使得(Pi)=Pi, i=1,2,3,4. 注: 已知四对对应元素的坐标, 求射影对应式, 类似于一维情况.四、二维射影变换四、二维射影变换 对于二维射影对应 : , 若 = , 则称为二维射影变二维射影变换换. 注 射影变换是特殊的射影对应, 此时(x1, x2, x3)与(x1, x2, x3)为相对于 上同一个射影坐标系的对应点坐标. 4 二维射影变换五、二维射影变换的不变元素五、二维射影变换的不变元素不变元素不变点不变直线二维射影变换的重要内容之一. 4 二维射影变换五、二维射影变换的不变元素五、二维射影变换的不变元素1、不变点P(yi)为射影变换的不
63、变点 y1:y2:y3=y1:y2:y3 存在0, 使得yi= yi 令= 存在, 使 4 二维射影变换五、二维射影变换的不变元素五、二维射影变换的不变元素1、不变点 定理 射影变换 有不变点 的矩阵A有特征根. 推论 平面上任一射影变换至少有一个不变点. 思考：若以平面上一个非恒同的射影变换的不变点构成无三点共线的n点组, n的最大值为多少？答案：n=3. 4 二维射影变换五、二维射影变换的不变元素五、二维射影变换的不变元素2、不变直线lvi为射影变换的不变直线 v1:v2:v3=v1:v2:v3 存在 0, 使得vi=vi 令 = 存在 , 使 4 二维射影变换五、二维射影变换的不变元素五
64、、二维射影变换的不变元素2、不变直线 定理2.32 射影变换 有不变直线 的矩阵A有特征根. 推论2.13 平面上任一射影变换至少有一条不变直线. 思考：若以平面上一个非恒同的射影变换的不变直线构成无三线共点的n线组, n的最大值为多少？答案：n=3.3、求不变元素的实例 4 二维射影变换五、二维射影变换的不变元素五、二维射影变换的不变元素例 已知射影变换 :求 的不变元素.解 第一步. 列出特征方程, 并求特征根.从而, 特征根为1=1, 2= 1, 3=2. 4 二维射影变换五、二维射影变换的不变元素五、二维射影变换的不变元素第二步. 求不变点射影变换(1)的不变点方程组为 4 二维射影变
65、换五、二维射影变换的不变元素五、二维射影变换的不变元素第二步. 求不变点射影变换(1)的不变点方程组为将1=1代入(I), 得解出相应的不变点坐标为(3,2,1).特征根：1=1, 2= 1, 3=2. 4 二维射影变换五、二维射影变换的不变元素五、二维射影变换的不变元素第二步. 求不变点射影变换(1)的不变点方程组为将 2= 1代入(I), 得解出相应的不变点坐标为(1,0,1).特征根：1=1, 2= 1, 3=2. 4 二维射影变换五、二维射影变换的不变元素五、二维射影变换的不变元素第二步. 求不变点射影变换(1)的不变点方程组为将 3=2代入(I), 得解出相应的不变点坐标为(1,3,
66、1).特征根：1=1, 2= 1, 3=2. 4 二维射影变换五、二维射影变换的不变元素五、二维射影变换的不变元素第三步. 求不变直线射影变换(1)的不变直线方程组为 4 二维射影变换五、二维射影变换的不变元素五、二维射影变换的不变元素第三步. 求不变直线射影变换(1)的不变直线方程组为将 1=1代入(I), 得解出相应的不变直线坐标为1,0,1.特征根：1=1, 2= 1, 3=2. 4 二维射影变换五、二维射影变换的不变元素五、二维射影变换的不变元素第三步. 求不变直线射影变换(1)的不变直线方程组为将 2= 1代入(I), 得解出相应的不变直线坐标为1,2,7.特征根：1=1, 2= 1
67、, 3=2. 4 二维射影变换五、二维射影变换的不变元素五、二维射影变换的不变元素第三步. 求不变直线射影变换(1)的不变直线方程组为将 3=2代入(I), 得解出相应的不变直线坐标为1, 1,1.特征根：1=1, 2= 1, 3=2.第四章 变换群与几何学一、群与变换群一、群与变换群 定义 (代数运算代数运算)设A, B, C为集合, 为AB到C的一个对应. 则称为AB到C的一个代数运算代数运算. 特别地, 若B=C=A, 则称为集合A上的一个代数运算. 注：代数运算可以满足结合律, 交换律, 分配律中的某一个或者全部. 以下这些概念都将在近世代数课程中学习, 我们仅承认并应用. 定义了代数
68、运算的集合称为代数系代数系统, 代数学就是研究代数系统的科学.第四章 变换群与几何学一、群与变换群一、群与变换群 定义 (群群)设G为非空集合. 在G上定义一个代数运算, 称为乘法. 如果满足下述4条公理, 则称G对于这个乘法构成一个群群, 记作G. 注1 定义中的运算是称称为乘法, 未必是通常的乘法. 注2 群中的乘法不一定满足交换律. 若满足交换律, 可以将这种乘法称称为加法, 这样的群称为交交换群群或加法群加法群或Abel群群.第四章 变换群与几何学一、群与变换群一、群与变换群 例1 设Q*表示全体非零有理数的集合, 则Q*对于数的乘法构成群. 例2 设M表示实数域上全体n阶可逆方阵的集
69、合, 则M对于矩阵的乘法构成群. 定义 (群群)设G为非空集合. 在G上定义一个代数运算, 称为乘法. 如果满足下述4条公理, 则称G对于这个乘法构成一个群群, 记作G.第四章 变换群与几何学二、二、Klein变换群观点变换群观点 定义3.11 设S为一个非空集合, G为S上的一个变换群.称S为空间空间, S的元素称为点点, S的子集称为图形图形, G称为空间S的主变换主变换群群. 研究空间S中图形所决定的在G的每一个元素的作用下保持不变的性质(不变性不变性)和数量(不变量不变量)的科学称为一门几何学几何学(S,G). S的子集(图形)在G下被分成若干等价类, 属于同一等价类的图形具有相同的G
70、性质(G给S赋予空间结构)注：显然, 在S上给定不同的变换群G, 则得到不同的几何学.几何学(S, G)第四章 变换群与几何学三、几种几何学的比较三、几种几何学的比较1、射影几何学空间射影平面P主变换群射影变换群K研究内容图形在射影变换下的不变性质和数量同素性, 关联性交比其余所有射影不变性在射影平面上做演绎推理、对偶变换基本射影不变性第四章 变换群与几何学三、几种几何学的比较三、几种几何学的比较2、仿射几何学空间仿射平面PA主变换群仿射变换群A研究内容图形在仿射变换下的不变性质和数量仿射几何学绝对形无穷远直线 仿射几何仿射几何射影几何射影几何的以射影仿射几何为伴随子几何的相对子几何学相对子几
71、何学. 仿射几何首先包括射影几何的所有研究内容.不可用不可用对偶原偶原则第四章 变换群与几何学三、几种几何学的比较三、几种几何学的比较2、仿射几何学注：单比是最基本的仿射不变量.定理 单比是仿射不变量.仿射不变性平行性单比平行线段的比, 两三角形面积之比, 线段的中点, 三角形的重心, 梯形, 平行四边形, 定理 仿射变换保持平行性不变.注：平行性是最基本的仿射不变性.第四章 变换群与几何学三、几种几何学的比较三、几种几何学的比较3、相似几何学注：初等几何的研究内容基本属于相似几何. 定理 相似变换保持平面上任意两线段的比值、两直线的夹角不变.4、欧氏几何学 欧氏几何相似几何的子几何. 欧氏几
72、何首先包括相似几何的所有研究内容.定理 正交变换保持平面上两点间的距离不变. 注：距离是最基本的正交不变性. 由此, 一切刚体性质都是欧氏几何的研究对象.第四章 变换群与几何学三、几种几何学的比较三、几种几何学的比较 结论：在同一个几何学系列中(即, 在前述几何学系列的同一个横行上), 子几何学的研究内容比原几何学丰富. 但是原几何学的内容比子几何学更具纲领性.4、判定一个几何性质(量)是某种几何学的研究对象 检验其是否可以由该几何学的基本不变性在这个几何空间中检验其是否可以由该几何学的基本不变性在这个几何空间中经过演绎推理得到经过演绎推理得到(即能够证明其仅与某几何学的基本不变性有即能够证明
73、其仅与某几何学的基本不变性有关关).第五章 二次曲线理论本章是平面射影几何的精华, 也是最精彩的部分之一本章主要内容二次曲线的定义Pascal定理Brianchon定理配极变换射影分类每一部分都有丰富的内容、深刻的内涵和重要的应用.仿射理论仿射分类一、二次曲线的代数定义一、二次曲线的代数定义 5.1 二次曲线的射影定义 定义1.1 坐标满足的所有点(x1, x2, x3)的集合称为一条二阶曲线二阶曲线. 其中(aij)为三阶实对称阵, 秩(aij)1. 定义1.1 坐标满足的所有直线u1, u2, u3的集合称为一条二级曲线二级曲线. 其中(bij)为三阶实对称阵, 秩(bij)1. 注1.
74、S, T 均为高等代数中的实三元二次型. 从代数上看, S=0, T=0为相同的代数对象；从几何上看, 是对同一几何对象的不同描述. 统称为二次曲线二次曲线. 注2. 在需要时，S=0, T=0均可写为矩阵格式. 比如一、二次曲线的代数定义一、二次曲线的代数定义 5.1 二次曲线的射影定义 定义1.2 如果S可以(不可以)分解为两个一次因式的乘积, 则称S=0为退化退化(非退化非退化)二阶曲线.命题 S=0退化|aij|=0； T=0退化|bij|=0. 注3. 由对偶原则, 我们一般仅讨论二阶曲线, 其结论均可对偶地适用于二级曲线. 对偶地，定义退化退化(非退化非退化)二级曲线.二、二次曲线
75、的几何结构二、二次曲线的几何结构 5.1 二次曲线的射影定义 定理1.1 不同心的两个射影线束的对应直线交点的全体构成一条经过此二线束束心的二阶曲线. 证明 设O(p), O(p)为平面上两个射影线束, 并取定射影坐标系.在O(p)中取定相异两直线l1: A=0, l2: B=0, 即设两个射影线束的对应式为设则对应直线的交点为P(x1,x2,x3), 则P的坐标满足注 对偶地, 有定理1.1.则O(p)可以表示为A+B=0. 同理O(p)可以表为A+B=0.消去, , 得到交点P的坐标所满足的齐次方程为二、二次曲线的几何结构二、二次曲线的几何结构 5.1 二次曲线的射影定义即：O(p) O(
76、p)若A+BA+B：则方程显然, 这是关于(x1,x2,x3)的二次齐次方程, 为一个二阶曲线, 且两个束心O, O的坐标满足(4.2). 定理证毕. 5.1 二次曲线的射影定义 注：由本定理, 一旦二阶曲线由两个射影线束生成, 则其上点的地位平等,任意取定上相异二点为束心与上的点连线则得到两个也生成此的射影线束. 定理1.2 设二阶曲线由射影线束O(P)与O(P)生成. 则在上任意取定相异二点A,B, 与上的动点M连线可得两个射影线束二、二次曲线的几何结构二、二次曲线的几何结构二、二次曲线的几何结构二、二次曲线的几何结构 5.1 二次曲线的射影定义 定理1.2 设二阶曲线由射影线束O(P)与
77、O(P)生成. 则在上任意取定相异二点A,B, 与上的动点M连线可得两个射影线束 证明. 设由O(P) O(P)生成.设只要证设分别以AM, BM截, 得注意到从而对应点的连线共点, 即AA, BB, KK共点于S.但是为定点, 故当M变动时, KK经过定点S. 即二、二次曲线的几何结构二、二次曲线的几何结构 5.1 二次曲线的射影定义 定理1.2 设二阶曲线由射影线束O(P)与O(P)生成. 则在上任意取定相异二点A,B, 与上的动点M连线可得两个射影线束 推论1 平面上五点(其中无三点共线)唯一确定一条非退化二阶曲线. 推论1 平面上五直线(其中无三线共点)唯一确定一条非退化二级曲线. 推
78、论2 任一二阶曲线可由两个射影线束生成. 推论2 任一二级曲线可由两个射影点列生成. 推论3 二阶曲线上四个定点与其上任意一点连线所得四直线的交比为定值. 推论3 二级曲线上四条定直线被其上任意一条直线所截得四点的交比为定值. 注：推论3对于解析几何中的各种二次曲线都适用. 5.1 二次曲线的射影定义三、二次曲线的射影定义三、二次曲线的射影定义 由上述的两个定理及其推论, 我们有：二次曲线的射影定义二次曲线的射影定义 定义1.2 在射影平面上, 称两个射影线束对应直线交点的集合为一条二阶曲线. 定义1.2 在射影平面上, 称两个射影点列对应点连线的集合为一条二级曲线. 思考：试研究本定义是如何
79、包含退化二次曲线的.提示：考虑透视对应情况. 5.1 二次曲线的射影定义四、二阶曲线束四、二阶曲线束 定理 平面上两条相异的二阶曲线一般有四个交点. 证明. 设1：f aijxixj=0, 2： gbijxixj=0, 则联立即为1与2的交点, 显然, 在复数范围内一般有四个解. 定义 设f =0, g=0为平面上两条相异的二阶曲线. 则称由所决定的二阶曲线的全体为以f =0, g=0的四个交点为基点基点的二阶二阶曲线束曲线束. 若f =0, g=0的四个交点相异, 则称为二阶曲线的四点形四点形束束. 定理 经过平面上任一点P(非基点), 必有一条二阶曲线属于已知束f +g=0. 证明. 因为
80、P不是f =0与g=0的交点, 故fpp与gpp不同时为零. 不妨设gpp0. 令则f + 0g=0为过P且属于 f + g=0的二阶曲线. 5.1 二次曲线的射影定义七、二阶曲线束七、二阶曲线束 定理 平面上任一二阶曲线束中必有三条退化的二阶曲线, 它们是以四个基点为顶点的完全四点形的三双对边. 注：对定理4.6的直观理解.如图, 三条相异的退化二阶曲线为：实用性很强的两种极限形式如下：只有两条相异.只有两条相异. 5.1 二次曲线的射影定义四、二阶曲线束四、二阶曲线束例3 (体会如何应用二阶曲线束解题). 例4 已知二阶曲线过点A(1,0,1), C(0,0,1), E(3,2,1), 并
81、与直线l1: x13x2 x3=0, l2: 2x1x2=0相切. 求的方程. 解 易见Al1, Cl2. 于是分别与l1, l2相切于点A, C. 第一步.于是, 过A, B, C, D四点的二阶曲线束的方程为：即第二步. 将E(3,2,1)代入, 得=2. 故的方程为令A=B, C=D. 则 5.1 二次曲线的射影定义五、二阶曲线的切线五、二阶曲线的切线1、切线的方程问题：已知二阶曲线求过定点P(pi)的的切线方程. 设Q(qi)为平面上任一点. 则直线PQ上任一点可表为xi=pi+qi. PQ为的切线Q为的过P的切线上的点 PQ交于两个重合的点将xi=pi+qi代入 ：S=0后只有一个解
82、. 代入得即即 5.1 二次曲线的射影定义五、二阶曲线的切线五、二阶曲线的切线1、切线的方程为简便计, 引入记号以上述记号代入，(2)式可写为 5.1 二次曲线的射影定义五、二阶曲线的切线五、二阶曲线的切线1、切线的方程从而, Q(qi)在过P(pi)的切线上(3)对有二重根=0(4)式即为Q(qi)是过P(pi)的切线上的点的充要条件. 习惯地, 将其中的流动坐标qi换为xi , 得到二阶曲线过点P(pi)的切线方程为(5)式为一个二次方程, 故经过平面上一点P一般有两条切线. 如果P在上, 则Spp=0, 从而, 二阶曲线上一点P处的切线方程为 5.1 二次曲线的射影定义五、二阶曲线的切线
83、五、二阶曲线的切线1、切线的方程注：关于Sp=0常用的等价写法在S中, 将xj(ji)视为常数, 对xi求导数, 称为S对xi的偏导数偏导数.S对xi的偏导函数在点P(p1,p2,p3)处的取值, 即把P的坐标代入. 5.1 二次曲线的射影定义 例1 如果两个三点形ABC与ABC同时内接于一条二次曲线, 求证它们也同时外切于一条二次曲线.证. 设交点D, E; D, E如图. 因为A, B, C, A, B, C在同一条二次曲线上, 据二阶曲线的射影定义, 有又 由二级曲线的射影定义, 这两个射影点列的对应点连线以及点列的底共六条直线属于同一条二级曲线, 这六条直线恰好是已知两个三点形的六条边
84、. 结论成立. 5.1 二次曲线的射影定义 例1 如果两个三点形ABC与ABC同时内接于一条二次曲线, 求证它们也同时外切于一条二次曲线. 注：假设P.107, Ex. 5已经证明. 则有：两个三点形ABC与ABC同时内接于一条二次曲线它们也同时外切于一条二次曲线. 注：若已知两条二次曲线与以及内接于并外切于 的一个三点形. 试讨论是否存在其他三点形也满足此条件? 若存在, 有多少? 答：存在, 有无穷多. (依据：P.107, Ex. 5, 6; 推论1, 1.) 5.1 二次曲线的射影定义六、二阶曲线与二级曲线的统一六、二阶曲线与二级曲线的统一 定理1.3 一条非退化非退化二阶曲线的全体切
85、线构成一条非退化二级曲线. 定理1.3 一条非退化非退化二级曲线的全体切点构成一条非退化二阶曲线.证明：设则u=u1,u2,u3为上P(pi)处的切线u与Sp=0为同一直线展开, 得 5.1 二次曲线的射影定义六、二阶曲线与二级曲线的统一六、二阶曲线与二级曲线的统一 定理1.3 一条非退化非退化二阶曲线的全体切线构成一条非退化二级曲线. 定理1.3 一条非退化非退化二级曲线的全体切点构成一条非退化二阶曲线.证明：对偶地, 可证明定理1.3. 注：本定理提供了二次曲线的点坐标、线坐标方程互化方法. 利用(1.3), 可将非退化二次曲线的点坐标方程写为线坐标方程; 利用(1.3)的对偶, 可将非退
86、化二次曲线的线坐标方程写为点坐标方程; 推论 若bij=Aij(0), 则S=0与T=0表示同一条二次曲线. 5.1 二次曲线的射影定义六、二阶曲线与二级曲线的统一六、二阶曲线与二级曲线的统一 例2 求证：x1x3x22=0与4u1u3u22=0表示同一条二次曲线. 证明. 第一步. 验证已知两条二次曲线为非退化.第二步. 将aij, u1, u2, u3代入(4.13)式, 展开即得4u1u3u22=0. 5.2 Pascal定理与Brianchon定理 两个古老而美丽的定理. 内容包括两个定理及其逆定理, 以及它们的各种极限、退化形式. 有着重要的应用意义！ 核心是熟练掌握关于二次曲线内接
87、简单六点形的对边、外切简单六线形的对顶的规律.简单六点形简记为：123456三双对边12, 45；23, 56；34, 61(间隔(n2)/2条边)简单六线形简记为：123456三双对顶12, 45；23, 56；34, 61(间隔(n2)/2个顶点) 牢记对边、对顶的规律, 对于掌握两个定理十分重要！ 5.2 Pascal定理与Brianchon定理一、一、Pascal定理与定理与Brianchon定理定理 定理 (Pascal) 定理(Brianchon) 定理2.1(Pascal逆定理) 定理2.1(Brianchon逆定理) 注：利用Pascal逆定理, 引出很多作图题. 比如：教材,
88、 例2, 注：Pascal定理的证明见教材, 当退化为两相交直线时, Pascal定理即为Pappus定理(2.3, 例2.10), 比较这两个定理的证明过程, 异曲同工！Pascal线Brianchon点 5.2 Pascal定理与Brianchon定理一、一、Pascal定理与定理与Brianchon定理定理 例1. 已知平面上五个点A, B, C, D, E(其中无三点共线). 求作由此五点所确定的二阶曲线上任一点F. 解. 作法： (1) 连结AD, BE交于L. (2) 过L任作不经过已知点的直线p. (3) 连结CD交p于点M. (4) 连结CE交p于点N. (5) 连结AN, B
89、M交于点F为所求. 证明： 考察简单六点形ADCEBF, 因为其三双对边的交点L, M, N共线于p, 由Pascal定理的逆定理知, 该六点形内接于一条二次曲线, 因A, B, C, D, E中无三点共线, 故非退化. 变动直线p, 可得到上其他点. 5.2 Pascal定理与Brianchon定理二、二、Pascal定理的极限形式定理的极限形式 极限形式：指简单六点形有某些相邻顶点重合, 此时, 连结重合的相邻顶点的边成为切线, 将切线作为边, 套用Pascal定理即可.1. 一对相邻顶点重合六点形五点形 定理2.2 内接于非退化二阶曲线的简单五点形某点处的切线与其对边的交点必在其余两对不
90、相邻边的交点连线上. 注：图中画线的次序实际上是给出了根据定理2.2, 已知非退化二阶曲线上相异五点, 求作其中一点处的切线的作法. 二、二、Pascal定理的极限形式定理的极限形式1. 一对相邻顶点重合六点形五点形2. 两对相邻顶点重合六点形四点形(1). 将四点形的一对对顶视为重合顶点定理2.3 请对照教材, 图5-8标字母. (2). 将四点形的一对相邻顶点视为重合顶点定理2.4 请对照教材, 图5-9标字母. 5.2 Pascal定理与Brianchon定理二、二、Pascal定理的极限形式定理的极限形式1. 一对相邻顶点重合六点形五点形2. 两对相邻顶点重合六点形四点形3. 三对相邻
91、顶点重合六点形三点形每个顶点皆为两个重合点定理2.5三、应用三、应用1. 作图题作二阶曲线上的点作切线 5.2 Pascal定理与Brianchon定理三、应用三、应用1. 作图题2. 证明题证明共线点, 共点线问题 关键：如何找出合用的内接六点形？技巧类似于Desargues定理. 请自我体会、总结. 例2. 如图，已知非退化二阶曲线上相异五点A,B,C,D,E以及过点C的直线c，求作与直线c的另一个交点F.解. 作法(1). 连结BC,ED交于M;(2). 连结AD与c交于N.(3). 连结MN, AB交于L.(4). 连结EL交c于F为所求. 证明. 由简单六点形ABCFED, 利用Pa
92、scal定理的逆定理.(请自己补全) 5.2 Pascal定理与Brianchon定理 5.3 配极变换一、极点与极线一、极点与极线 在二次曲线理论中十分重要, 二次曲线的大部分重要性质均与配极有关. 只讨论二阶曲线, 总假定：非退化总假定：非退化.设1. 引入定义3.1 两点P, Q关于共轭. (如图) 定理3.2 点P关于的共轭点的轨迹为一条直线Sp=0. 证明 设P(pi), Q(qi). 则PQ与 : S=0的交点M(pi+qi)满足设其两根为1, 2. 则交点为Mj( pi+ jqi), (j=1,2). 于是(PQ,M1M2)=1 1/ 2=1 1+ 2=0将qi改为流动坐标xi,
93、 得P关于的共轭点的轨迹为直线Sp=0. 5.3 配极变换一、极点与极线一、极点与极线1. 引入定理3.2 点P关于的共轭点的轨迹为一条直线Sp=0.推论3.1 两点P, Q关于共轭Spq=0. 即注2. P在上, 则Spp=0, 由推论3.1, 规定规定：上的点关于自共轭自共轭.注1. 验证两点P, Q关于共轭, 只要验证上式.2. 极点与极线定义3.2 对于点P, 若则称P关于的共轭点轨迹p切线p为P关于的极线极线, 方程为Sp=0. 反之, 称P为直线p关于的极点极点. 5.3 配极变换一、极点与极线一、极点与极线 定理3.3 平面上任一点P关于的极线存在唯一, 方程为Sp=0. 反之,
94、 平面上任一直线p关于的极点存在唯一. 证明 只要证后半. 设直线u: u1x1+u2x2+u3x3=0, 求u关于的极点.设P(pi)为其一个极点, 由于P(pi)的极线唯一存在为Sp=0, 从而u与Sp=0为同一直线, 即2. 极点与极线即 5.3 配极变换一、极点与极线一、极点与极线 推论 平面上任一点P关于的极线存在唯一, 方程为Sp=0. 反之, 平面上任一直线p关于的极点存在唯一. 展开上式, 得因为|aij|0, 故(4.17)对于(p1,p2,p3)有唯一解, 即u的极点P唯一存在.(4.17)表示直线u与它的极点P之间的关系, 称为极点方程组极点方程组.2. 极点与极线 5.
95、3 配极变换二、配极变换二、配极变换1. 配极变换定义4.9 称由决定的同底点场与线场之间的变换为关于非退化二阶曲线 : S=0的配极变换配极变换.注2. 任一非退化二阶曲线都决定了平面上的一个配极变换.注3. 配极变换是异素变换, 是一个双射. 注1. (4.18)表示点x与直线u是关于 : S=0的极点极线关系. 另一种写法为. 5.3 配极变换二、配极变换二、配极变换1. 配极变换 注. 本定理给出了配极变换的最基本的几何性质. 定理3.4(配极原则)点P关于的极线p通过点Q点Q关于的极线q通过点P. 定理3.4(配极原则) 直线p关于的极点P在直线q上直线q关于的极点Q在直线p上. 证
96、明. (左边)设 : S=0, P(pi), Q(qi). 则P的极线Sp= 0 过点Q Spq= 0 Sqp= 0 Q的极线Sq过点P. 对偶地, 可得右边. 5.3 配极变换二、配极变换二、配极变换1. 配极变换 推论1 两点连线的极点为此二点极线的交点；两直线交点的极线为此二直线极点的连线. 推论2 共线点的极线必共点；共点线的极点必共线. 推论3设PA，PB为二阶曲线的切线，若其中A，B为切点，则AB为P点的极线。 5.3 配极变换二、配极变换二、配极变换2. 自极三点形(应用性极强的重要概念应用性极强的重要概念) 定义3.3 若一个三点形关于每个顶点是其对边的极点(即每边是其对顶的极
97、线), 则称此三点形为关于的一个自极三点形自极三点形. 例1 内接于非退化二阶曲线的完全四点形的对边三点形是关于的一个自极三点形. 证明：如图, 设完全四点形ABCD内接于非退化二阶曲线, PQR为其对边三点形. 设QR交一组对边AD, BC于点E, F. 则由完全四点形的调和性有于是点E, F均为点P关于共轭点, 即QR为P关于的极线. 同理, RP, PQ为Q, R关于的极线. 所以, PQR为关于的一个自极三点形. 5.3 配极变换二、配极变换二、配极变换2. 自极三点形(应用性极强的重要概念应用性极强的重要概念) 定义3.3 若一个三点形关于每个顶点是其对边的极点(即每边是其对顶的极线
98、), 则称此三点形为关于的一个自极三点形自极三点形.结论：内接于非退化二阶曲线的完全四点形的对边三点形是关于的一个自极三点形. 注1. 自极三点形的任一顶点不在上. 注2. 自极三点形恰有一个顶点在的“内部”. 注3. 自极三点形任意两顶点相互共轭;任意两边相互共轭. 例2. 给定不在上的一点P(pi), 任求的一个自极三点形PQR. 解. (i) 求P(pi)的极线p： Sp=0. (ii) 在p上任取不属于的一点Q(qi), 求Q的极线q： Sq=0. (iii) 求p与q的交点R(ri), 则PQR必为的一个自极三点形. 5.3 配极变换3. 配极变换的基本应用(1). 几何证明题灵活运用配极原则以及自极三点形等概念(2). 极点极线作图 例3. 已知非退化二阶曲线及不在上一点P, 求作P关于的极线p. 例4. 已知非退化二阶曲线以及一直线p, 求作p关于的极点P. 作法. 在p上任取不在上两相异点Q,R, 利用上例, 作Q,R关于的极线q,r. 则qr=P. 例5. 已知非退化二阶曲线及外一点P, 过P求作的两切线. 作法一. 利用例3, 设p交于E,F, 连PE, PF即可. 作法二. 如图. 过P任作三割线, 可得切线.一、极点与极线一、极点与极线二、配极变换二、配极变换1. 配极变换2. 自极三点形
