《第四节 函数的连续性》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第四节 函数的连续性（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.4 函数的连续性函数的连续性1.4.1 函数的连续性函数的连续性定义定义1.7 (函数在一点的连续性函数在一点的连续性)设设 在在 x0 的某一邻域内有的某一邻域内有定义定义,时函数时函数 的极限存在的极限存在,如果当如果当且且则称函数则称函数 在点在点 连续连续,称为称为 的连续点的连续点.处处连续必须满足三个条件连续必须满足三个条件:说明说明:函数函数所以所以, 在点在点 连续连续等价于等价于:左连续左连续右连续右连续显然显然, 定义定义1.8 (函数在一点左右连续函数在一点左右连续)又右连续又右连续.处既左连续处既左连续, 或称函数在该区间上连续或称函数在该区间上连续. .在区间上每
2、一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数, 称该区间上的称该区间上的在开区间在开区间右连续右连续左端点左端点右端点右端点continuous左连续左连续连续函数连续函数,内连续内连续连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.定义定义1.9 (函数在区间连续函数在区间连续)例如例如, 多项式函数多项式函数内是连续的内是连续的. 因此因此, 有理分式函数在其定义域内的每一点有理分式函数在其定义域内的每一点都是连续的都是连续的.有理分式函数有理分式函数只要只要都有都有因此因此, 多项式多项式函数函数在在例例1 证明函数证明函数 内连续内连续. .证证所以所以证证
3、由由夹逼定理夹逼定理, 有有 因因例例2 证明函数证明函数 内连续内连续. .同理同理,定理定理1.14 (函数四则运算的连续性函数四则运算的连续性) 例如例如,故故 在其定义域内连续在其定义域内连续.定理定理1.15 (复合函数的连续性复合函数的连续性)定理定理1.16 设函数设函数 在区间在区间I 上单调而上单调而且连续且连续, 则其反函数也单调且连续则其反函数也单调且连续.由此由此, 反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续.即即三角函数及反三角函数在它们的定义域内是三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的连续的.可以证明可以证明:均在其定义域内连续均在其定义域内连续
4、.指数函数指数函数对数函数对数函数定理定理1.17 (初等函数的连续性初等函数的连续性) 初等函数在其初等函数在其定义区间定义区间内都是连续的内都是连续的.定义区间定义区间是指包含在定义域内的区间是指包含在定义域内的区间.注注 1. 初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续, 例如例如,在在 0 点的邻域内没有定义点的邻域内没有定义,注注 2. 初等函数的连续性提供了简单极限的求法初等函数的连续性提供了简单极限的求法.在其定义域内不一定连续在其定义域内不一定连续;例例3 求求例例4 求求解解解解例例5 (非初等函数的例子非初等函数的例子) 证明符号函数证明符号函数 是非初等函数
5、是非初等函数. 证证 因为因为矛盾矛盾, 1.4.2 函数的间断点函数的间断点的的间断点间断点.处处连续必须满足三个条件连续必须满足三个条件:函数函数如果上述如果上述三个条件中有一个不满足三个条件中有一个不满足,间断点分为两大类间断点分为两大类:第一类间断点第一类间断点:和和都存在的都存在的间断点间断点,若若则称为则称为可去间断点可去间断点;若若则称为则称为跳跃间断点跳跃间断点.其中其中称为称为第一类间断点第一类间断点.例例6 讨论讨论解解所以所以, 为函数的跳跃间断点为函数的跳跃间断点.例例7 讨论函数讨论函数解解所以所以, 为函数的可去间断点为函数的可去间断点.在在 处处的连续性的连续性.
6、如例如例7中中,注意注意: 可去间断点只要可去间断点只要改变改变或者或者补充补充间断处函间断处函 数的定义数的定义, 则可使其变为连续点则可使其变为连续点.则则在在 处处连续连续.第二类间断点第二类间断点:和和中至少一个不中至少一个不若若其中有一个为其中有一个为称为称为无穷间断点无穷间断点. .称为称为第二类间断点第二类间断点.存在的存在的间断点间断点,例例8 讨论函数讨论函数解解所以所以, 为函数的无穷间断点为函数的无穷间断点.狄利克雷函数狄利克雷函数定义域内每一点都是第二类间断点定义域内每一点都是第二类间断点.注意注意: 不要以为函数的间断点只是个别的几个点不要以为函数的间断点只是个别的几
7、个点.仅在仅在 处连续处连续, 其余各点处处间断其余各点处处间断.初等函数无定义的孤立点是间断点初等函数无定义的孤立点是间断点.分段函数的分段点可能是间断点分段函数的分段点可能是间断点, 也可能是连续点也可能是连续点,需要判定需要判定.求函数的间断点的方法求函数的间断点的方法的的间断点间断点.例例如如,求求解解是间断点是间断点.解解例例9 求函数求函数 的间断点的间断点, 并判断其类型并判断其类型. 是间断点是间断点.所以所以, x = 0为第二类无穷为第二类无穷间断点间断点.内连续内连续. 由初等函数的连续性由初等函数的连续性, 函数函数 在其定义区间在其定义区间所以所以, x = 1为第一
8、类为第一类跳跃间断点跳跃间断点.1.4.3 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质设设 在区间在区间I 有定义有定义, 则称则称 是函数是函数 在区间在区间I 的最大值的最大值(最小值最小值).定理定理1.18 (最大最小值定理最大最小值定理)设设 在在a, b上连续上连续, 则则 在在a, b上有上有最大值最小值最大值最小值.有有注意注意: 1. 若区间是开区间若区间是开区间, 定理不一定成立定理不一定成立;推论推论1.5 (有界性定理有界性定理)2. 若区间内有间断点若区间内有间断点, 定理不一定成立定理不一定成立.设设 在在a, b上连续上连续, 则则 在在a, b上上有界有界.有
9、有若若 显然显然, 函数的最大、最小值分别是它的一个函数的最大、最小值分别是它的一个上界和一个下界上界和一个下界.定理定理1.19 (零点定理零点定理) 设函数设函数 在闭区间在闭区间 a, b上连续，上连续，使得使得则至少有一点则至少有一点如果如果 的一个的一个零点零点.几何解释几何解释:定理定理1.20 (介值定理介值定理) 设函数设函数 在闭区间在闭区间 上连续上连续, 若若则至少有一点则至少有一点使得使得两个端点位于两个端点位于x 轴的两侧轴的两侧,则曲线弧与则曲线弧与x 轴至少有一交点轴至少有一交点.连续曲线弧连续曲线弧 的的MBCAmab证证由由零点定理零点定理,故故推论推论1.6 闭区间上连续的函数闭区间上连续的函数, 必取得介于最必取得介于最大值大值M 与最小值与最小值m 之间的任何值之间的任何值.例例10 证明方程证明方程证证由由零点定理零点定理,一根一根.所以所以,方程方程使得使得例例11 设函数设函数证证由由零点定理零点定理,使得使得即即例例12 设设证证由由最大最小值定理最大最小值定理,该函数闭区间上必取得最大值该函数闭区间上必取得最大值 M 与最小值与最小值 m.由由介值定理介值定理,使得使得于是于是证明证明使得使得
