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1、三垂三垂线定理及其逆定理定理及其逆定理- -人教版人教版 原原创 pO 自一点向平面引垂自一点向平面引垂线，线，垂足垂足垂足垂足叫做这点在这叫做这点在这个平面上的个平面上的射影射影射影射影； 这个点与垂足间的线段叫做这点到这个平这个点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的面的垂线段垂线段垂线段垂线段。Q(1)(1)射影射影 一条直线和一个平面一条直线和一个平面相交相交，但，但不和这个平面垂不和这个平面垂直直，这条直线叫做这个平，这条直线叫做这个平面的面的斜线斜线斜线斜线，斜线和平面的，斜线和平面的交点叫做交点叫做斜足斜足斜足斜足。 斜线上一点与斜足间斜线上一点与斜足间的线段叫做这点到这个平的线段叫
2、做这点到这个平面的面的斜线段斜线段斜线段斜线段。ACB 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影斜线在这个平面上的射影斜线在这个平面上的射影斜线在这个平面上的射影； 垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段斜线段斜线段斜线段在这个平面上的射影在这个平面上的射影在这个平面上的射影在这个平面上的射影。 斜线上任意一点斜线上任意一点在平面上的射影，一在平面上的射影，一定在斜线的射影上。定在斜线的射影上。ACBO 定理定理 从平面外从平面外一一点点向这个平面所引的向这个平
3、面所引的垂线段和斜线段中，垂线段和斜线段中，（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长长的斜线段也较长（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长线段的射影也较长（3）垂线段比任何一条斜线段都短垂线段比任何一条斜线段都短AaOP 已知 PA、PO分别是平面的垂线、斜线，AO是PO在平面上的射影。a ，aAO。求证： aPO在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。三垂线定理AaOP证明：aPOPA a AOa， AO与PA相交a平面PAOPO平面PAOPA aPCBA例
4、例1 已知已知P 是平面是平面ABC 外一点，外一点， PA平面平面ABC ，AC BC， 求证：求证： PC BC证明：证明：PA平面平面ABC PC是平面是平面ABC的斜线的斜线 AC是是PC在平面在平面ABC上的射影上的射影 BC 平面平面ABC 且且AC BC 由三垂线定理得由三垂线定理得 PC BC例2 直接利用三垂线定理证明下列各题：(1) PA正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点求证：POBD，PCBD(3) 在正方体AC1中，求证：A1CB1D1，A1CBC1(2) 已知：PA平面PBC，PB=PC，M是BC的中点，求证：BCAMA D C B A1D1B1C1(1)(
5、2)BPMCA(3)POABCDPMCABPAOaA1 C1 C B B1OAaP 我们要学会从纷繁的已知条件中找出或者创造出符合三垂线定理的条件解解题题回回顾顾，怎么找？三垂线定理解题的关键：找三垂！怎么找？一找直线和平面垂直二找平面的斜线在平面 内的射影和平面内的 一条直线垂直注意：由一垂、二垂直接得出第三垂 并不是三垂都作为已知条件解解题题回回顾顾PAOaPAOabcde三垂线定理是平面的一条斜线与平面内的直线垂直的判定定理，这两条直线可以是：相交直线相交直线异面直线异面直线使用三垂线定理还应注意些什么？解解题题回回顾顾直线a 在一定要在平面内，如果 a 不在平面内，定理就不一定成立。P
6、AOa例如：当 b 时， bOA注意：如果将定理中“在平面内”的条件去掉，结论仍然成立吗？b但但 b不垂直于OP 解解题题回回顾顾PAOa三垂线定理包含几种垂直关系？三垂线定理包含几种垂直关系？线射垂直PAOa线面垂直线斜垂直PAOa直 线 和平面垂直平面内的直线和平面一条斜线的射影垂直平面内的直线和平面的一条斜线垂直线射垂直线射垂直线斜垂直线斜垂直PAOaPAOa平面内的一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直三垂线定理的逆定理？ 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。PAOa 已知：PA，PO分别是平面 的垂
7、线和斜线，AO是PO在平面 的射影,a ,a PO求证：a AO三垂线定理的逆定理三垂线定理的逆定理三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。三垂线定理三垂线定理： 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。线射垂直线射垂直线斜垂直线斜垂直定理逆定理线射垂直线射垂直 线斜垂直线斜垂直 定 理逆定理例3 在四面体ABCD中，已知ABCD，ACBD求证：ADBCDOBC，于是ADBC.证明：作AO平面BCD于点O，连接BO，CO，DO，则BO，CO，DO分别为AB，AC，AD在平面BCD上的射影。OADCBABCD，BOCD，同理COBD，于是O是BCD的垂心，1.已知 PA、PB、PC两两垂直，求证：P在平面ABC内的射影是ABC的垂心。CBPAH2.经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线和这个角两边的夹角相等，那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在的直线。练习：结束结束
