《高中数学第二章平面向量2.6平面向量数量积的坐标表示课件2北师大版必修》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第二章平面向量2.6平面向量数量积的坐标表示课件2北师大版必修（55页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.62.6平面向量数量积的坐标表示平面向量数量积的坐标表示【知知识提提炼】1.1.平面向量的数量积、模、夹角、垂直的坐标表示平面向量的数量积、模、夹角、垂直的坐标表示(1)(1)数量积的坐标表示数量积的坐标表示. .设向量设向量a=(x=(x1 1,y,y1 1) )，b=(x=(x2 2,y,y2 2) )，则，则ab=_.=_.x x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2(2)(2)模、夹角、垂直的坐标表示模、夹角、垂直的坐标表示. .x x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2=0=02.2.直线的方向向量直线的方向向量(1)(1)定义：与直线定义：与直线l_的非零向量的非
2、零向量m称为直线称为直线l的方向向量的方向向量. .(2)(2)性质：给定斜率为性质：给定斜率为k k的直线的直线l的一个方向向量为的一个方向向量为m= _.m= _.共线共线(1(1，k)k)【即即时小小测】1.1.思考下列思考下列问题(1)(1)向量数量向量数量积的坐的坐标公式适用于任何两个向量公式适用于任何两个向量吗? ?提示提示: :适用适用, ,无论是零向量无论是零向量, ,还是非零向量还是非零向量, ,均可使用向量数量积的坐标均可使用向量数量积的坐标公式公式. .(2)(2)若直若直线l1 1, ,l2 2的方向向量相等的方向向量相等, ,那么那么l1 1, ,l2 2有什么关系有
3、什么关系? ?提示提示: :l1 1l2 2或或l1 1与与l2 2重合重合. .2.2.已知已知a=(-3,4),=(-3,4),b=(5,2),=(5,2),则ab的的值是是( () )A.23A.23B.7B.7C.-23C.-23D.-7D.-7【解析解析】选选D.D.由向量数量积的计算公式由向量数量积的计算公式. .ab=(-3,4)=(-3,4)(5,2)=(5,2)=-3-35+45+42=-7.2=-7.3.3.已知平面向量已知平面向量a=(3,1),=(3,1),b=(x,-3),=(x,-3),且且ab,则x x等于等于( () )A.3A.3B.1B.1C.-1C.-1D
4、.-3D.-3【解析解析】选选B.B.因为因为ab, ,ab=0,=0,即即3x+13x+1(-3)=0,(-3)=0,解得解得x=1.x=1.4.4.已知已知a=(3,-1),=(3,-1),b=(1,-2),=(1,-2),则向量向量a与与b的的夹角角为( () ) 【解析解析】选选B.B.设设a, ,b的夹角为的夹角为, ,则则 因为因为0,0,所以所以= .= .5.5.过点点A(-2,1)A(-2,1)且与向量且与向量a=(3,1)=(3,1)平行的直平行的直线方程方程为_._.【解析解析】设设P(x,yP(x,y) )是所求直线上任一点是所求直线上任一点, , =(x+2,y-1)
5、, =(x+2,y-1),因为因为 a, ,所以所以(x+2)(x+2)1-3(y-1)=0,1-3(y-1)=0,所以所求直线方程为所以所求直线方程为x-3y+5=0.x-3y+5=0.答案答案: :x-3y+5=0x-3y+5=0【知知识探究探究】知知识点点1 1 数量数量积、模、模、夹角、垂直的坐角、垂直的坐标表示表示观察如察如图所示内容所示内容, ,回答下列回答下列问题: :问题1:1:平面向量的数量平面向量的数量积坐坐标表示的特点是什么表示的特点是什么? ?问题2:2:平平面面向向量量的的模模、夹角角、垂垂直直的的坐坐标表表示示各各有有何何特特征征? ?分分别有有什什么作用么作用?
6、?【总结提升提升】1.1.数量数量积的坐的坐标表示的表示的实质与特点与特点(1)(1)实质: :是将向量运算是将向量运算转化化为代数运算代数运算, ,它使得数量它使得数量积的的计算更算更为方方便便, ,简单. .(2)(2)特点特点: :等于两个向量相等于两个向量相应坐坐标乘乘积的和的和. .2.2.向量模的坐向量模的坐标运算的运算的实质a=(=(x,yx,y),),则在平面直角坐在平面直角坐标系中系中, ,一定存在点一定存在点A(x,yA(x,y),),使得使得 = =a =(=(x,yx,y),),所以所以 即即| |a| |为点点A A到原点的距离到原点的距离. .3.3.向量的向量的夹
7、角的坐角的坐标表示表示(1)(1)来源来源: :数量数量积公式的一个公式的一个变形形. .(2)(2)适用范适用范围: :由向量坐由向量坐标计算算夹角的一个公式角的一个公式, ,仅适用于两个非零适用于两个非零向量向量. .(3)(3)夹角的取角的取值范范围的确定的确定: :由由x x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2的取的取值符号确定符号确定角的取角的取值范范围, ,其中当其中当x x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 200时, , 0 ;0 ;当当x x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 200时, , 0,=(2,3),0,则则 =(2,3),=(2,3),又因为又
8、因为 所以所以(2)(2)2 2+(3)+(3)2 2=(2)=(2)2 2, ,所以所以2 2=4,=4,解得解得=2,=2,所以所以 =(4,6),=(4,6),又因为点又因为点A A的坐标为的坐标为(1,-2),(1,-2),设设O O为坐标原点为坐标原点, ,所以所以 =(1,-2)+(4,6)=(5,4), =(1,-2)+(4,6)=(5,4),所以点所以点B B的坐标为的坐标为(5,4).(5,4).类型二型二 向量的向量的夹角与垂直角与垂直问题【典例典例】1.(20151.(2015长春高一春高一检测) )已知三个点已知三个点A,B,CA,B,C的坐的坐标分分别为(3,-4),
9、(6,-3),(5-m,-3-m),(3,-4),(6,-3),(5-m,-3-m),若若ABCABC为直角三角形直角三角形, ,且且A A为直角直角, ,则实数数m m的的值为_._.2.2.已知已知a=(1,2),=(1,2),b= = 求求a与与b的的夹角角. .【解解题探究探究】1.1.典例典例1 1中由中由A A为直角得出什么直角得出什么样的的结论? ?提示提示: :由由A A为直角为直角, ,得出得出 2.2.典例典例2 2中求向量中求向量a与与b的的夹角需求哪些量角需求哪些量? ?提示提示: :根据向量的夹角公式需求根据向量的夹角公式需求| |a|,|,|b| |以及以及ab.
10、.【解析解析】1.1.由已知由已知, ,得得 因为因为ABCABC为直角三角形为直角三角形, ,且且A A为直角为直角, ,所以所以 解得解得m= .m= .答案答案: :2.2.因为因为a ab b=(1,2)=(1,2) =1 =11-21-2 =0. =0.所以所以a a与与b b垂直垂直, ,即即a a与与b b的夹角为的夹角为9090. .【延伸探究延伸探究】1.(1.(变换条件条件) )本例本例2 2中条件中条件“b= ”= ”改改为“b=(1,)”.=(1,)”.其他条其他条件不件不变, ,求求a与与b的的夹角角为锐角角时,的取的取值范范围. .【解析解析】设设a a与与b b的
11、夹角为的夹角为,因为因为a与与b的夹角为锐角的夹角为锐角, ,所以所以coscos0,0,且且cos1,cos1,即即ab00且且a与与b不同向不同向. .因此因此1+20,1+20,即即- .- .又因为又因为a与与b共线且同向时共线且同向时,=2.,=2.所以所以a与与b的夹角为锐角时的夹角为锐角时, ,的取值范围为的取值范围为 (2,+).(2,+).2.(2.(改改变问法法) )探究探究1 1中的条件不中的条件不变, ,求求a与与b的的夹角角为钝角角时,的取的取值取取围. .【解析解析】设设a与与b的夹角为的夹角为, ,因为因为a与与b的夹角的夹角为钝角为钝角, ,所以所以coscos
12、00且且cos-1.cos-1.所以所以ab00且且a与与b不反向不反向, ,由由ab00得得1+20,1+20,故故- ,- ,由由a与与b共线得共线得=2,=2,故故a与与b不可能反向不可能反向, ,所以所以的取值范围为的取值范围为(-,- ).(-,- ).【方法技巧方法技巧】利用数量利用数量积求两向量求两向量夹角的步角的步骤类型三型三 向量平行和垂直的坐向量平行和垂直的坐标的的应用用【典例典例】1.1.在四在四边形形ABCDABCD中中, ,若若 则该四四边形形的面的面积为( () )A.A. B.2B.2C.5C.5D.10D.102.2.已知三个点已知三个点A(2,1),B(3,2
13、),D(-1,4).A(2,1),B(3,2),D(-1,4).(1)(1)求求证:ABAD.:ABAD.(2)(2)要要使使四四边形形ABCDABCD为矩矩形形, ,求求点点C C的的坐坐标, ,并并求求矩矩形形ABCDABCD两两对角角线所所夹的的锐角的余弦角的余弦值. .【解解题探究探究】1.1.向量向量 垂直垂直吗? ?提示提示: :因为因为 2.ABAD2.ABAD的等价条件是什么的等价条件是什么? ?四四边形形ABCDABCD为矩形的矩形的实质是什么是什么? ?提示提示: :ABABADAD的等价条件是的等价条件是 四边形四边形ABCDABCD为矩形的实质是为矩形的实质是 【解析解
14、析】1.1.选选C.C.因为因为 所以所以AC,BDAC,BD是互相垂直的对角线是互相垂直的对角线, ,所以所以 2.(1)2.(1)因为因为A(2,1),B(3,2),D(-1,4),A(2,1),B(3,2),D(-1,4),所以所以 又因为又因为 =1 =1(-3)+1(-3)+13=0.3=0.所以所以 即即ABAD.ABAD.(2)(2)如图如图, ,由四边形由四边形ABCDABCD为矩形为矩形, ,知知 设设C(x,yC(x,y),),则则(x+1,y-4)=(1,1),(x+1,y-4)=(1,1),即即 所以所以C(0,5).C(0,5).所以所以 所以所以 =2 =24+(-
15、4)4+(-4)(-2)=16,(-2)=16, 所以所以 所以矩形所以矩形ABCDABCD两对角线所夹的锐角的余弦值为两对角线所夹的锐角的余弦值为 . .设设 的夹角为的夹角为【延伸探究延伸探究】本例本例2 2的条件的条件变为“A(3,4),B(0,0),C(c,0)”,A(3,4),B(0,0),C(c,0)”,(1)(1)若若c=5,c=5,求求sinAsinA的的值. .(2)(2)若若A A是是钝角角, ,求求c c的取的取值范范围. .【解析解析】(1) (1) 当当c=5c=5时时, =(2,-4), =(2,-4),所以所以cosAcosA 所以所以sinAsinA= = (2
16、)(2)若若A A为钝角为钝角, ,则则 =-3(c-3)+160 =-3(c-3)+16 .c .显然此时显然此时 不共线不共线. .故当故当A A为钝角时为钝角时,c,c的取值范围为的取值范围为 【方法技巧方法技巧】三角形或四三角形或四边形形状的判定形形状的判定(1)(1)可先求各可先求各边对应的向量及模的向量及模, ,看各看各边长度关系度关系. .(2)(2)再再求求它它们两两两两的的数数量量积, ,从从而而判判定定其其内内角角是是否否为锐角角( (直直角角、钝角角).).四四边形形还可以从可以从对角角线对应的向量入手的向量入手. .【变式式训练】如如图, ,四四边形形OABCOABC是
17、平行四是平行四边形形,A(4,0),C(1, ),A(4,0),C(1, ),点点M M是是OAOA的中点的中点, ,点点P P在在线段段BCBC上运上运动( (包括端点包括端点).).(1)(1)求求 的最大的最大值. .(2)(2)是否存在是否存在实数数,使使 若存在若存在, ,求出求出的取的取值范范围; ;若不存在若不存在, ,请说明理由明理由. .【解析解析】(1)(1)设点设点P(xP(x0 0, ), ),则则1 1x x0 05,5,M(2,0), M(2,0), 故故 所以当所以当x x0 0=5=5时时,t,t的值最大的值最大, ,最大值为最大值为t=2.t=2.(2) (2
18、) 因为因为 所以有所以有4-x4-x0 0+3=0,+3=0,又因为又因为1x1x0 05,5,所以所以14+35,14+35,得得 故当故当 时时, ,满足满足 【补偿训练】已已知知在在ABCABC中中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),求求过点点C C与与ABAB平行的直平行的直线方程方程. .【解解析析】由由题题意意, ,设设所所求求直直线线方方程程为为y=y=kx+bkx+b, ,则则该该直直线线的的一一个个方方向向向向量量a=(=(1,k),k),因为直线与因为直线与ABAB平行平行, ,所以所以a与与 共线共线. .又
19、又 =(3,2)-(2,-1)=(1,3),=(3,2)-(2,-1)=(1,3),所以所以k=3.k=3.所以直线方程为所以直线方程为y=3x+b,y=3x+b,又直线过点又直线过点C(-3,-1),C(-3,-1),所以所以3 3(-3)+b=-1,(-3)+b=-1,即即b=8.b=8.所以直线方程为所以直线方程为y=3x+8,y=3x+8,即即3x-y+8=0.3x-y+8=0.规范解答范解答 向量数量向量数量积坐坐标运算的运算的综合合应用用【典例典例】(12(12分分) )已知在已知在ABCABC中中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),AD,A(2,-1),B(3,2)
20、,C(-3,-1),AD为BCBC边上的高上的高, ,求求| | |与点与点D D的坐的坐标. .【审题指指导】(1)(1)要求要求| |,| |,需先求点需先求点D D的坐的坐标, ,可可设D D点坐点坐标为( (x,yx,y).).(2)(2)注意到注意到ADBC,ADBC,点点D D在在BCBC上上, ,可得可得 共共线, ,进而可构而可构造关于造关于x,yx,y的方程的方程组, ,解之可得点解之可得点D D的坐的坐标. .(3)(3)点点D D的坐的坐标求出求出, ,可得可得 的坐的坐标, ,则可求可求| |.| |.【规范解答规范解答】设设D D点坐标为点坐标为( (x,yx,y),
21、 ), 【题后悟道后悟道】1.1.注意注意隐含条件的挖掘含条件的挖掘解解题时要仔要仔细分析分析题目中的条件目中的条件, ,挖掘一些挖掘一些隐含条件含条件, ,如本例如本例, ,由由“ADAD为BCBC边上的高上的高”隐含了含了“ADBC,ADBC,点点D D在在BCBC上上”即即“共共线”, ,挖掘出挖掘出这两个条件是解两个条件是解题的关的关键. .2.2.方程思想在解方程思想在解题中的中的应用用解解题时, ,正正确确利利用用方方程程思思想想是是应该养养成成的的一一个个习惯, ,如如本本例例, ,要要求求点点D D的的坐坐标, ,需需构构造造关关于于其其横横纵坐坐标的的两两个个方方程程, ,而而这就就需需要要两两个个等等价价条条件件, ,自然能自然能够挖掘出两个挖掘出两个隐含条件含条件. .
