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1、5.3 频域稳定判据和系统的相对稳定性 引言映射定理（幅角定理）Nyquist稳定判据虚轴上有开环极点的Nyquist稳定判据对数频率稳定判据系统的相对稳定性和稳定裕度1引言控制系统的闭环稳定性是系统分析和设计所需要解决的首要问题。两种常用的频域稳定判据：Nyquist稳定判据（简称乃氏判据）和对数频率稳定判据。 Nyquist判据根据开环幅相曲线判别闭环系统稳定性；对数频率稳定判据根据开环对数频率特性曲线判断闭环系统稳定性；两种频率稳定判据没有本质区别。频域稳定判据的特点：根据开环系统频率特性曲线判定闭环系统的稳定性，并能确定系统的相对稳定性。2Nyquist稳定判据的定判据的优点点图解法、
2、几几何何判判据据，简单、直观、计算量小（劳斯/赫尔维茨判据是代数判据）。可以不必知道系统的微分方程和传递函数，而只依靠解析法或实验法获得的开环频率特性便可应用。有助于建立相对稳定性的概念。Nyquist判判据据的的数数学学基基础：复变函数论中的映映射射定定理理，又称幅角定理幅角定理。 3一、映射定理（幅角定理）一、映射定理（幅角定理） 1. s平面和F(s)平面 之间的映射关系 设有一复变函数 s为复变量，以s复平面上的s=+j表示。F(s) 为复变函数，记F(s)U + jV 。假设s平面上除了有限奇点之外的任一点s，复变函数F(s)为解析函数，那么，对于s 平面上的每一解析点，在F(s)
3、平面上必定有一个对应的映射点（s平面和F(s)平面 之间的对应关系）。 4因此，如果在s平面画一条封闭曲线s，并使其不通过F(s) 的任一奇点，则在F(s) 平面上必有一条对应的映射曲线F，如下图所示 s 平面与F(s) 平面的映射关系s=+j F(s)U + jV 。5两点说明：若在s平面上的封闭曲线s是沿着顺时针方向运动的，则在F(s) 平面上的映映射射曲曲线线F的的运运动动方方向向可能是顺时针的，也可能是逆时针的，这取取决决于于F(s) 函数的特性函数的特性; 我们感兴趣的不是映射曲线F的形状，而是它包包围围坐坐标标原原点点的的次次数数和和运运动动方方向向，因为这两者与系统的稳定性密切相
4、关（都与F(s) 的相角变化有关系）。 62.复变函数F(s)的相角表示及其变化 复变函数F(s)的相角可表示为假定在s 平面上的封闭曲线s包围了F(s) 的一个零点z1，而其他零极点都位于封闭曲线之外；当s沿着s平面上的封闭曲线s顺时针方向移动一周时，向量(sz1)的相角变化2 弧度，而其他各相量的相角变化为零；这意味着在F(s)平面上的映射曲线F沿顺时针方向围绕着原点旋转一周，也就是向量F(s)的相角变化了2 弧度。 7封闭曲线包围z1时的映射情况8若s平面上的封闭曲线s包围着F(s) 的Z个零点，则在F(s)平面上的映射曲线F将按顺时针方向围绕着坐标原点旋转Z周； 用类似分析方法可以推论
5、，若s平面上的封闭曲线s包围了F(s) 的P个极点，则当s沿着s顺时针移动一周时，在F(s) 平面上的映射曲线F将按逆时针方向围绕着原点旋转P周。 93. 映射定理映映射射定定理理：设s平面上的封闭曲线s包围了复变函数F(s)的P个个极极点点和和Z个个零零点点，并且此曲线不经过F(s)的任一零点和极点，则当复变量s沿封闭曲线s顺时针方向移动一周时，在F(s)平面上的映射曲线F按逆逆时时针方向包围坐标原点针方向包围坐标原点PZ周。周。可见，F平平面面上上曲曲线线绕绕原原点点的的周周数数和和方方向向与与s平平面面上上封闭曲线包围封闭曲线包围F(s)的零极点数目有关。的零极点数目有关。 10二、二、
6、Nyquist稳定性判据稳定性判据 1. 辅助函数 设系统的开环传递函数 称如下F(s)为辅助函数11辅助函数特点：辅助助函函数数是是闭环与与开开环特特征征多多项式式之之比比。F(s)的的零零点点为系统特征方程的根（闭环极极点点）s1、s2、sn，而F(s) 的的极极点点则为系统的开开环极极点p1、p2、pn。 F(s) 的零点和极点个数相同的零点和极点个数相同。 F(s) 与开与开环传函只差函只差1。p闭环系统稳定的充分和必要条件是，特特征征方方程程的的根，即根，即F(s) 的零点的零点，都位于s 平面的左半部。 122. 奈氏回线为了判断闭环系统的稳定性，需要检验F(s)是否有位于s平面右
7、半部的零点。Nyquist回回线(简称乃乃氏氏回回线)：一条包围整个s 平面右半部的按顺时针方向运动的封闭曲线。13乃氏回乃氏回线由两部分由两部分组成：成：一部分是沿着虚轴由下向上移动的直线段Cl，在此线段上sj， 由变到。另一部分是半径为无穷大的半圆C2。p如此定义的封闭曲线肯定包围了F(s)的位于s平面右半部的所有零点和极点。 143. Nyquist稳定判据设复变函数F(s) 在s平面的右半部有Z个零点和P个极点。根据映射定理，当s 沿着s平面上的乃氏回线移动一周时，在F(s) 平面上的映射曲线CF将按逆时针方向围绕坐标原点旋转R = PZ周。由于闭环系统稳定的充要条件是，F(s) 在s
8、 平面右半部无零点，即Z0。因此可得以下的稳定判据: 15Nyquist稳定定判判据据（第第一一种种表表述述方方法法）: 如果在s平面上，s沿着乃氏回线顺时针方向移动一周时，在F(s)平面上的映射曲线CF 围绕坐标原点按逆时针方向旋转R = P周周，则系系统是是稳定定的（P为不稳定开环极点的数目）。 如如果果RP，说明明闭环系系统不不稳定定。闭环系统分布在右半s平面的极点数ZP-R。如如果果开开环稳定定，即即P=0，则闭环系统稳定的条件是：映射曲线CF 围绕坐标原点的圈数为R=0。16根据系统闭环特征方程有pF(s)的映射曲线CF围绕原点运动情况，相当于G(s)H(s)的封闭曲线CGH围绕(1
9、，j0)点的运动情况。 乃氏曲线映射在F(s) 平面和G(s)H(s) 平面上17绘制映射曲线CGH 的方法是：对应于C1的映射曲线：令sj代入G(s)H(s)，得到开开环频率率特特性性 G(j)H(j)，画出乃氏图，再画出其对称于实轴的、 从0变到的那部分曲线。对应于 的映射曲线：由于在实际系统中nm， 当 n m时 G(s)H(s) 趋 近 于 零 ， nm时G(s)H(s)为实常数。p因此，绘制制出出从从变化化到到的的开开环频率率特特性性，就构成了完整的映射曲就构成了完整的映射曲线CGH 。18Nyquist稳定定判判据据（第第二二种种表表述述方方法法）：闭环控制系统稳定的充分和必要条件
10、是，当 从变化到时，系统的开环频率特性G(j)H(j)按逆时针方向包围(1, j0)点RP周，P为位于s 平面右半部的开环极点数目。如果RP，说明闭环系统不稳定。闭环系统分布在右半s平面的极点数ZP-R。如果开环稳定，即P=0，则闭环系统稳定的条件是：映射曲线CGH围绕(1, j0)的圈数为R=0。 19例5-9 已知开环传递函数为 试绘制(1) K=5，(2) K=15时的乃氏图，并判断系统的稳定性。2021例5-9的乃氏图MATLAB绘制例5-9的乃氏图22三、虚轴上有开环极点的Nyquist稳定判据虚轴上有开环极点的情况通常出现在系统中有串串联积分分环节的时候，即在s平面的坐坐标原原点点
11、有有开开环极极点。点。这时不能直接应用前面给出的乃氏回线。（因为映射定理要求此回线不经过F(s)的奇点！）为了在这种情况下应用乃氏判据，可以选择新的乃氏回线。23虚轴上有开环极点虚轴上有开环极点的乃氏回线的乃氏回线 虚轴上无开环极点的虚轴上无开环极点的乃氏回线乃氏回线24两种乃氏回线的区别仅在于：虚轴上有开环极点的乃氏回线经过以坐标原点为圆心，以无穷小量为半径的，在s 平面右右半半部部的小半圆，绕过了开环极点所在的原点。当0时，此小半圆的面积也趋近于零。因此，F(s)的位于s平面右半部的零点和极点均被新乃氏回线包围在内。而将位于坐标原点处的开环极点划到了复平面的左半部。这样处理满足了乃氏判据的
12、要求（应用乃氏判据时必须首先明确位于s平面右半部和左半部的开环极点的数目）。 25半径无穷小半圆对应的G(s)H(s)曲线 当s沿着上述小半圆移动时，有 当从0- 沿小半圆变到0+ 时，s按逆时针方向旋转了180。 G(s)H(s)在其平面上的映射为 为为开开环环系系统统中串中串联联的的积积分分环节环节数目。数目。 26可见，当s沿着小半圆从=0-变化到=0+时，角角从从90经0变化化到到90，这时在G(s)H(s)平面上的映射曲线将沿着半径为无穷大的圆弧按顺时针方向从90经过0转到到90。即 ：0-0+； ：90090； () ：90 090 27例5-10 绘制开环传递函数为 的Nyqui
13、st图，并判断闭环系统的稳定性。 解解 开环幅频特性和相频特性分别 起点在第起点在第象限，在第象限，在第 象限象限趋趋向向终终点点(0, (0, j j0) 0) 28 因为相角范围从90到270，所以必有与负实轴的交点。由()=180得 即= 1.414，此时A()=1.67。因此乃氏图与实轴的交点为(1.67，j0)系统开环传递函数有一极点在s 平面的原点处，因此乃氏回线中半径为无穷小量 的半圆弧对应的映射曲线是一个半径为无穷大的圆弧： ：0-0+；：90090； () ：90 090 29因为s 平面右半部开环极点数P0，且乃氏曲线顺时针包围(1, j0)点2次，即R=2，则ZPR=2，
14、所以系统不稳定，有两个闭环极点在s平面右半部 。例5-10的乃氏图30例5-11 绘制开环传递函数为 的乃氏图，并判断系统的稳定性。 解 开环幅频特性和相频特性分别 故故乃乃氏氏图图起起点点在在第第 象象限限；在在第第 象象限限趋趋向向终终点点(0(0，j j0) 0) 。31系统开环传递函数有2个极点在s平面的原点处，因此乃氏回线中半径为无穷小量的半圆弧对应的映射曲线是一个半径为无穷大的圆弧 ：0-0+；：90090； () ：180 0180 开环系统Nyquist图如下所示：32因为s 平面右半部的开环极点数P0，且乃氏曲线顺时针包围(1，j0)点2次，即R = 2，则ZPR=2，所以系
15、统不稳定，有两个闭环极点在s 平面右半部。 例5-10的乃氏图33奈奎斯特奈奎斯特稳定判据定判据p189 闭环系系统位于于位于于S平面的右半平面的极点个数为：平面的右半平面的极点个数为： Z=P-R=P-2NZ: 闭环系统位于于闭环系统位于于S平面的右半平面的极点个数；平面的右半平面的极点个数；P: 开开环传递函数函数G(s)H(s)位于位于S平面的右半平面平面的右半平面的极点个数；的极点个数；N: 当当w由由0 +时，系统开环幅相曲线包围（时，系统开环幅相曲线包围（-1,j0）点的圈数，点的圈数，逆时针包围为正，顺时针包围为负。逆时针包围为正，顺时针包围为负。 G(s)H(s)R(s)C(s
16、)34为计算圈数方便，可通过开环幅相曲线在（为计算圈数方便，可通过开环幅相曲线在（ -1,j0 ）左侧穿越左侧穿越的次数来获取的次数来获取N ：负穿越（负穿越（ N- ）：）：开环幅相曲线顺时针穿越（开环幅相曲线顺时针穿越（ -1,j0 ）左侧的负左侧的负 实轴，记一次负穿越；实轴，记一次负穿越；正穿越（正穿越（ N+ ）：）：开环幅相曲线逆时针穿越（开环幅相曲线逆时针穿越（ -1,j0 ）左侧的负左侧的负 实轴，记一次正穿越；实轴，记一次正穿越； N=N+-N-对照图如下：正穿越负穿越相角方向为正 增加时，相角增大135大多数情况系统的开环是稳定的，即大多数情况系统的开环是稳定的，即p=0,
17、此时系统闭环稳定的条件此时系统闭环稳定的条件是幅相图是幅相图G(j)H(j)绕绕(1，j0)点的转角为点的转角为零零只要开环幅相曲线不包围（只要开环幅相曲线不包围（1，j0）即可）即可 Z=P-R=P-2N36p稳定性分析定性分析1 开开环传函不含函不含积分分环节2开开环传函含函含积分分环节（P187最后一段最后一段话） 此时需对开环幅相曲线作修正：此时需对开环幅相曲线作修正： 从从w=0+处，逆时针补画处，逆时针补画v90o、半径为无穷大半径为无穷大的圆弧。的圆弧。37ReIm)()(wwjHjGk1P=0,且且G(j)H(j)曲线不包围（曲线不包围（1，0j）点，所以）点，所以绕该点的转角
18、为零。该系统闭环后稳定。绕该点的转角为零。该系统闭环后稳定。开环极点都在虚轴左开环极点都在虚轴左边边1 开开环传函不含函不含积分分环节38ReIm)()(wwjHjGk与实轴交点为：与实轴交点为：P0，闭环系统稳定与否，取决于参数值，闭环系统稳定与否，取决于参数值391P0闭环系统是稳定的闭环系统是稳定的401P0闭环系统是不稳定的闭环系统是不稳定的411P0闭环系统是临界稳定的闭环系统是临界稳定的42例题用奈氏判据判断系统闭环状态的稳定性用奈氏判据判断系统闭环状态的稳定性开环极点全部位于虚轴的左侧，开环极点全部位于虚轴的左侧，P=0画开环幅相特性图如下，并求出与实轴的交点画开环幅相特性图如下
19、，并求出与实轴的交点4311.7闭环系统是不稳定的闭环系统是不稳定的又因又因P=0442、特殊情况：开环传递函数含有积分环节时、特殊情况：开环传递函数含有积分环节时这种情况下，系统的开环频率特性的幅相曲线的起点是无穷远处，这种情况下，系统的开环频率特性的幅相曲线的起点是无穷远处，为了使用奈氏判据，需要从起点处逆时针作半径为为穷大为了使用奈氏判据，需要从起点处逆时针作半径为为穷大的辅助圆弧，再据此判断绕（的辅助圆弧，再据此判断绕（1，0j）的转角情况。）的转角情况。如图如图,已知系统的开环幅相曲线如下，假设系统的已知系统的开环幅相曲线如下，假设系统的开环极点都在虚轴左侧，试判断系统闭环结构的开环
20、极点都在虚轴左侧，试判断系统闭环结构的稳定性稳定性45假设假设P0，即开环极点在，即开环极点在S右半平面个数为右半平面个数为0.包围包围-1，闭环系统是不稳定的，闭环系统是不稳定的不包围不包围-1，闭环系统是稳定的，闭环系统是稳定的11 由由图可知可知开开环传函含一个函含一个积分分环节，是是1型系统型系统 此时需对开环幅相曲线作修正：此时需对开环幅相曲线作修正： 从从w=0+处，逆时针补画处，逆时针补画v90o、半径为无穷大的圆弧。半径为无穷大的圆弧。46不包围不包围-1，闭环系统是稳定的，闭环系统是稳定的不包围不包围-1，闭环系统是稳定的，闭环系统是稳定的11假设假设P0，即开环极点在，即开
21、环极点在S右半平面个数为右半平面个数为0. 由由图可知可知开开环传函含函含2个个积分分环节，是是2型系统型系统 此时需对开环幅相曲线作修正：此时需对开环幅相曲线作修正： 从从w=0+处，逆时针补画处，逆时针补画v90o、半径为无穷大的圆弧。半径为无穷大的圆弧。471试确定该闭环系统的稳定性试确定该闭环系统的稳定性。非最小相位闭系统的开环传递函数非最小相位闭系统的开环传递函数：在右半在右半s s平面内有一个极点平面内有一个极点()，因此因此顺时针包围（顺时针包围（1，0j）一次）一次即转角为即转角为360度度闭闭环环系系统统是是不不稳稳定定的的逆时针补画逆时针补画v90o、半径为无穷大的圆弧。半
22、径为无穷大的圆弧。48 例题：利用奈奎斯特稳定判据，求开环增益的取值范围。例题：利用奈奎斯特稳定判据，求开环增益的取值范围。不包围不包围-1，闭环系统是稳定的，闭环系统是稳定的-1493、利用开环对数频率特性判断闭环系统的稳定性、利用开环对数频率特性判断闭环系统的稳定性 p191-193由前面分析可知当由前面分析可知当0时，幅相频率曲线起始于时，幅相频率曲线起始于正实轴上。因此正实轴上。因此G(j)H(j)绕绕(1，j0)点的转角点的转角与幅相特性曲线在（与幅相特性曲线在（1）区段得穿越次数）区段得穿越次数有关。有关。以下图为例：以下图为例：501G(j)H(j)包不包围包不包围(1，j0)点
23、关键在于曲线点关键在于曲线穿越（穿越（1）区段负实轴的情况。）区段负实轴的情况。51正穿越：正穿越： G(j)H(j)曲线由上向下穿过（曲线由上向下穿过（1）区段负实轴。区段负实轴。负穿越：负穿越： G(j)H(j)曲线由下向上穿过（曲线由下向上穿过（1）区段负实轴。区段负实轴。1定义定义52奈氏判据还可以表述为奈氏判据还可以表述为:系统稳定的充要条件是系统稳定的充要条件是:当当由零变化到无穷大时，开环幅由零变化到无穷大时，开环幅相频率特性相频率特性G(j)H(j)正负穿越（正负穿越（1）区段负实）区段负实轴的次数之差为轴的次数之差为p/2。这里。这里p同样指开环传递函数的虚轴右同样指开环传递
24、函数的虚轴右侧极点数。侧极点数。1 Z=P-R=P-2N=p-2(N+-N-) Z=0N+-N=1/2 P 稳定稳定53如果系统开环稳定（也叫最小相位系统）如果系统开环稳定（也叫最小相位系统）p=0,那么那么G(j)H(j)正负穿越（正负穿越（1）区段的次数相同，闭）区段的次数相同，闭环系统才稳定。环系统才稳定。比如上图，如果比如上图，如果p=0，闭环系统就是稳定的。，闭环系统就是稳定的。这和原来的判断结论是一致的。这和原来的判断结论是一致的。1 Z=P-R=P-2N=p-2(N+-N-)54那么要用开环对数频率特性（波德图）来判断那么要用开环对数频率特性（波德图）来判断闭环系统的稳定性呢？闭
25、环系统的稳定性呢？必须先来了解一下必须先来了解一下开环对数频率特性图开环对数频率特性图和和开环开环幅相频率特性图幅相频率特性图之间的对应关系。之间的对应关系。就可以推导出在开环对数频率特性图中就可以推导出在开环对数频率特性图中用穿越的概念判断系统稳定性的方法。用穿越的概念判断系统稳定性的方法。55线性系统的频域分析法线性系统的频域分析法频率域稳定判据频率域稳定判据对照图如下：正穿越负穿越正穿越负穿越相角方向为正 增加时，相角增大561 L() dB()1.奈氏图中（奈氏图中（1）区段区段对应于幅频图中对应于幅频图中0dB线以上的线以上的区域；区域；2.奈氏图中负实轴对应于相频图奈氏图中负实轴对
26、应于相频图中中180度线。度线。57得出对数频率特性图上的奈氏判据：得出对数频率特性图上的奈氏判据：闭环系统稳定的充要条件是：在开环对数幅频特性闭环系统稳定的充要条件是：在开环对数幅频特性L() 大于大于0dB的所有频段内，对数相频特性的所有频段内，对数相频特性()与与180度线的正负穿越次数之差为度线的正负穿越次数之差为p/2.这里这里p为开为开环传递函数中处于虚轴右侧的极点数目。环传递函数中处于虚轴右侧的极点数目。当当p=0（开环稳定系统），上述正负穿越次数之差（开环稳定系统），上述正负穿越次数之差为零。为零。下面请看例子下面请看例子581()gcL() dB-20-40205150100
27、10p=0（开环稳定系统），（开环稳定系统），L(）0的频率范围内，的频率范围内，()负穿越一次，而无负穿越一次，而无正穿越。正穿越。系统闭环后不稳定。系统闭环后不稳定。画对数频率特性图判断稳画对数频率特性图判断稳定性定性 Z=P-R=P-2N=p-2(N+-N-)N-=1, N+=0,Z=2594最小相位条件稳定系统605.4 稳定裕度稳定裕度然而只要求系统的稳定还不够，还有一个稳定程度问题然而只要求系统的稳定还不够，还有一个稳定程度问题这就是这就是稳定裕度。稳定裕度。一个系统要正常工作，基本前提是稳定。一个系统要正常工作，基本前提是稳定。对于一个开环稳定系统（开环极点都在虚轴左侧对于一个开
28、环稳定系统（开环极点都在虚轴左侧p=0）若开环幅相频率特性若开环幅相频率特性G(j)H(j)不包围（不包围（1，j0）点）点（即对该点的转角为零），则闭环系统稳定。（即对该点的转角为零），则闭环系统稳定。如下图所示如下图所示61闭环系统是条件稳定的闭环系统是条件稳定的开环增益开环增益K和其他参数的取和其他参数的取值决定了闭环系统是否稳定值决定了闭环系统是否稳定62闭环系统是稳定的闭环系统是稳定的同样是稳定状态，当同样是稳定状态，当G(j)H(j)幅相特性曲线幅相特性曲线离（离（1，j0）点越远则）点越远则闭环系统稳定。闭环系统稳定。这种情况下，这种情况下，G(j)H(j)幅相特性曲线离（幅相特
29、性曲线离（1，j0）点的远近，体现了该闭环点的远近，体现了该闭环系统的稳定程度。系统的稳定程度。开环幅相频率特性曲线开环幅相频率特性曲线下面来介绍两种评价系统稳定程度的指标下面来介绍两种评价系统稳定程度的指标-1631、增益裕量、增益裕量h（幅值裕量）（幅值裕量） (Gain Margin)-1G如图如图 ，G点为点为G(j)H(j)幅相幅相曲线与负实轴的交点，称为相曲线与负实轴的交点，称为相位交界点，位交界点，x是交点处的角频是交点处的角频率，称为率，称为相位穿越频率相位穿越频率（相位（相位为为180度时的角频率）。度时的角频率）。|G(jx)H(jx)|表示当表示当x时时的的G(j)H(j
30、)的幅值。的幅值。设设G点的坐标为点的坐标为|G(jx)H(jx)|则增益裕量为则增益裕量为h，含义是，对于闭环稳定系统，含义是，对于闭环稳定系统，如果系统的幅频特性再增大如果系统的幅频特性再增大h倍，则系统将处于倍，则系统将处于临界稳定状态。临界稳定状态。64-1G|G(jx)H(jx)|通常我们习惯于在对数坐标下用分贝定义幅值裕度，即通常我们习惯于在对数坐标下用分贝定义幅值裕度，即G点的坐标为点的坐标为系统的幅频特性再增大系统的幅频特性再增大h倍，则系统就开始倍，则系统就开始不稳定了。不稳定了。（584）（583）65-1|G(jx)H(jx)|从图中可知，如果从图中可知，如果G(j)H(
31、j)幅相曲线幅相曲线正好穿过（正好穿过（1，j0）点则）点则h=0，表明幅值，表明幅值裕量是裕量是0分贝，意味着开环增益不能再增加分贝，意味着开环增益不能再增加了，系统已经处于不稳定的边缘了。了，系统已经处于不稳定的边缘了。-1|G(jx)H(jx)|对于开环稳定系统（对于开环稳定系统（p=0时），可以得出以下结论时），可以得出以下结论661对于开环稳定系统（对于开环稳定系统（p=0时），可以得出以下结论时），可以得出以下结论1而如图所示，而如图所示，如果如果G(j)H(j)幅相曲线幅相曲线根本不和负实轴相交，幅值裕量是根本不和负实轴相交，幅值裕量是无穷大无穷大，意味着闭环系统是无条件稳定的，
32、理论上意味着闭环系统是无条件稳定的，理论上无论开环增益怎样增大，系统也稳定。无论开环增益怎样增大，系统也稳定。67应用：应用： 对于最小相位系统对于最小相位系统 当当|G(jx)H(jx)|1或或 20lg |G(jx)H(jx)|1或或 20lg| G(jx)H(jx)|0时，闭环系统不稳定时，闭环系统不稳定 当当|G(jx)H(jx)|=1或或20lg |G(jx)H(jx)|=0时，系统处于临界状态时，系统处于临界状态 h068对于开环不稳定系统（对于开环不稳定系统（p 0时），由奈氏稳定时），由奈氏稳定判据可知：开环幅相频率特性判据可知：开环幅相频率特性G(j)H(j)必须必须包围（包
33、围（1，j0）点（对该点包围）点（对该点包围P圈），则闭圈），则闭环系统稳定。环系统稳定。所以对于开环不稳定系统（所以对于开环不稳定系统（p 0时）时），幅幅值裕量应该是负值值裕量应该是负值Z=P-R69注意：注意：幅值裕量是指系统稳定的程度。幅值裕量是指系统稳定的程度。所以在实践中，应该先判断系统的稳所以在实践中，应该先判断系统的稳定性，只有稳定的系统才有必要求幅定性，只有稳定的系统才有必要求幅值裕量。值裕量。702、相位裕度、相角裕度相位裕度、相角裕度 (Phase Margin)幅值裕量不是唯一评价系统稳定程度的幅值裕量不是唯一评价系统稳定程度的指标，幅值裕量并不能说明所有的系统指标，幅
34、值裕量并不能说明所有的系统的相对稳定性。所以必须用相角裕度来的相对稳定性。所以必须用相角裕度来表明系统的相对稳定性。表明系统的相对稳定性。如下图如下图71-1BAA、B两条两条G(j)H(j)特性曲线分别代表两个系统，特性曲线分别代表两个系统，由由上述知识可知，两系统显然稳定，并且幅值裕量上述知识可知，两系统显然稳定，并且幅值裕量相同，相同，可是两系统的稳定程度其实是不相同的可是两系统的稳定程度其实是不相同的:A系系统应该比统应该比B系统更稳定些。系统更稳定些。这是因为除了开环增益外，任意改变系统的其他参数时，这是因为除了开环增益外，任意改变系统的其他参数时，曲线曲线B更容易包围（更容易包围（
35、1，j0）点。）点。72-1cc如图如图 ，c点为点为G(j)H(j)幅相曲幅相曲线与单位圆的交点，称为增益交线与单位圆的交点，称为增益交界点，界点，c是交点处的角频率，称是交点处的角频率，称为为增益截止频率增益截止频率（幅值为（幅值为1时的角时的角频率）。频率）。G(jc)H(jc) 表示当表示当c时时的的G(j)H(j)的相角的相角73-1c由图中可知，由图中可知，G(j)H(j)的幅值不变的情况下，如果的幅值不变的情况下，如果它的相位再旋转它的相位再旋转 度，系统度，系统将处于临界稳定状态。将处于临界稳定状态。相相角裕度角裕度 的含义是，对于稳定的系统，如果的含义是，对于稳定的系统，如果
36、系统开环幅相特性再滞后系统开环幅相特性再滞后度，则系统将处于度，则系统将处于临界稳定状态。临界稳定状态。相角裕度相角裕度74-1c相角裕度相角裕度 必须是正值，必须是正值， 越大，裕度越大，稳定程度越好越大，裕度越大，稳定程度越好75应用：应用： 相角裕量相角裕量 为截止频率为截止频率c处相角处相角 与与 -180线线之距离之距离 对于最小相位系统对于最小相位系统 当当0时，闭环系统稳定时，闭环系统稳定 当当0时，闭环系统不稳定时，闭环系统不稳定 增益裕度和相角裕度通常作为设计和分析控制增益裕度和相角裕度通常作为设计和分析控制系统的频域指标，如果仅用其中之一都不足以系统的频域指标，如果仅用其中
37、之一都不足以说明系统的相对稳定性说明系统的相对稳定性 76对于广泛应用的开环稳定的反馈系统来说，对于广泛应用的开环稳定的反馈系统来说，由此引起的幅值的增大和相位的滞后才不会影响系由此引起的幅值的增大和相位的滞后才不会影响系统的稳定性。统的稳定性。要使它的幅相特性曲线不包围（要使它的幅相特性曲线不包围（1，j0）点以求得闭环稳定，）点以求得闭环稳定，则必须使其幅值裕量则必须使其幅值裕量h和相角裕量和相角裕量均为正值，均为正值，而且两者应留有一定的裕度。而且两者应留有一定的裕度。这样，系统的参数在一定的范围内变化时，这样，系统的参数在一定的范围内变化时，幅值裕量：幅值裕量：h=1020分贝分贝相角
38、裕量：相角裕量：=40 60度度一般的一般的77相位裕度、相角裕度(Phase Margin)设系统的截止频率设系统的截止频率(Gain cross-over frequency)为为定义相角裕度为定义相角裕度为当当 时，相位裕量为正值；时，相位裕度为负值。当增益裕度、幅值裕度(Gain Margin)设系统的相位穿越频率设系统的相位穿越频率(Phase cross-over frequency)定义幅值裕度为若以分贝表示，则有若以分贝表示，则有581584解得解得c解得解得x78稳定裕度概念使用时的局限性：1、在高阶系统中，奈氏图中幅值为1的点或相角为-180度的点可能不止一个，这时使用幅值
39、和相位稳定裕度可能会出现歧义；2、非最小相位系统不能使用该定义；3、有时幅值和相位稳定裕度都满足，但仍有部分曲线很靠近(-1,j0)点，这时闭环系统的稳定性依然不好。见下图：793、计算系统的增益裕量、相角裕量计算系统的增益裕量、相角裕量为增益截止频率为增益截止频率令令|G(j)H(j)|1，解得，解得c584581令令，解得，解得x为相位穿越频率为相位穿越频率分别代入式分别代入式584、581，便可求出稳定裕量，便可求出稳定裕量80例一单位反馈系统的开环传递函数为K=1时系统的相位裕度和增益裕度。要求通过增益K的调整，使系统的增益裕度h=20dB，相位裕度即 解：相位穿越频率增益裕度 在处的
40、开环对数幅值为81根据K=1时的开环传递函数 相位裕度增益穿越频率截止频率 8283 由题意知 验证是否满足相位裕度的要求。根据的要求，则得： 不难看出，就能同时满足相位裕度和增益裕度的要求。 84四、四、从波德图上确定增益裕量、相角裕量从波德图上确定增益裕量、相角裕量找出波德图与奈氏图对应的关系找出波德图与奈氏图对应的关系c相角裕度相角裕度1 x0L() dB()cx相角裕度相角裕度幅值裕量幅值裕量hG(j)H(j)L()=20lg |G(jx)H(jx)|h(dB)= -20lg |G(jx)H(jx)|85例题例题试从波德图上确定系统德稳定裕量试从波德图上确定系统德稳定裕量转折频率为转折
41、频率为1 5 ,对应斜率改变对应斜率改变20dB/dec 2 50，对应斜率改变，对应斜率改变20dB/dec图见下页图见下页T1=0.2, T2=0.02对数相频图为四个环节的相频相加对数相频图为四个环节的相频相加()0（90）(arctg 0.2 ）（）（arctg 0.02 ）对数幅频图低频段一定经过（对数幅频图低频段一定经过（1，20）点）点861()xc相角裕度相角裕度幅值裕量幅值裕量hL() dB-20-4020515010010c 7(rad/s）x 16（rad/s）由图知由图知=15dB=25度度87判断（最小相位）系统稳定的又一方法881()xc相角裕度相角裕度幅值裕量幅值
42、裕量hL() dB-20-4020515010010c 7(rad/s）x 16（rad/s）由图知由图知=15dB=25度度扩扩展展加加深深：如如果果开开环环增增益益变变大大，图图形形怎怎样样变变化化，性性能能有有何何影影响响？89线性系统的频域分析法线性系统的频域分析法稳定裕度例设控制系统如下图所示k=10和k=100时，试求系统的相位稳定裕度和幅值裕度。-解：相位稳定裕度和幅值裕度可以很容易地从波德图中求得。90线性系统的频域分析法线性系统的频域分析法稳定裕度当k=10时，开环系统波德图如右所示。这时系统的相位稳定裕度和幅值裕度大约是8dB和21度。因此系统在不稳定之前，增益可以增加8d
43、B.91线性系统的频域分析法线性系统的频域分析法稳定裕度相位裕度和幅值裕度的计算： 相位裕度：先求截止频率在截止频率处， ，所以 ，解此方程较困难，可采用近似解法。由于 较小（小于2），所以：截止频率处的相角为：相角裕度为：92线性系统的频域分析法线性系统的频域分析法稳定裕度 幅值裕度：先求相角穿越频率相角穿越频率处 的相角为：由三角函数关系得：所以，幅值裕度为：93线性系统的频域分析法线性系统的频域分析法稳定裕度这时系统的相位稳定裕度和幅值裕度分别是这时系统的相位稳定裕度和幅值裕度分别是-12dB和和-30度。因此度。因此系统在系统在k=10时是稳定的，在时是稳定的，在k=100时是不稳定的
44、。时是不稳定的。当增益从当增益从k=10增大到增大到k=100时，幅值特性曲线上移时，幅值特性曲线上移20dB，相位特性曲线不变相位特性曲线不变94线性系统的频域分析法线性系统的频域分析法稳定裕度例某系统结构图如下所示。试确定当k=10时闭环系统的稳定性及其使相位稳定裕度为30度时的开环放大系数k。-解：当k=10时，开环传递函数为：手工绘制波德图步骤：1、确定转折频率：10、40，在(1,20log200)点画斜率为-20的斜线至 ；2、在 之间画斜率为-40的斜线；3、 后画斜率为-60的斜线。95上图蓝线为原始波德图。 ，显然 闭环系统是不稳定的。为了使相位稳定裕度达到为了使相位稳定裕度
45、达到30度，可将幅频曲线向下平移。度，可将幅频曲线向下平移。即将开环放大系数减小，这时相频特性不变。截止频率左移至 ，移到哪里？ 96线性系统的频域分析法线性系统的频域分析法稳定裕度 ，从图中看出： 。所以原始幅频曲线向下移动的分贝数为:所以当开环放大系数下降到15时，闭环系统的相位稳定裕度是30度，这时的幅频稳定裕度为：由图中看出 ，所以设新的开环放大系数为 ，原始的开环放大系数为k=200，则有 （讨论 时较明显）。解得：97线性系统的频域分析法线性系统的频域分析法稳定裕度带有延迟环节系统的相位裕度的求法：设系统的开环传递函数为： ，我们知道增加了延迟环节后系统的幅值特性不变，相角特性滞后
46、了 。表现在奈氏图和波德图上的情况如下（假设Gk(s)）为最小相位系统。左图中，红色曲线为Gk(s)频率特性，兰色曲线为增加了延迟环节后的频率特性。其幅值和相角穿越频率分别为 和 ，相角裕度分别为 。98线性系统的频域分析法线性系统的频域分析法稳定裕度显然增加了延迟环节后，系统的稳定性下降了。若要确保稳定性，其相位裕度必须大于零。即：99一、一、闭环闭环频率特性主要性能指标频率特性主要性能指标R(s)C(s)_闭环系统幅频特性和相频特性为：闭环系统幅频特性和相频特性为：闭环系统幅频特性表示稳态时输入输出的幅值比。闭环系统幅频特性表示稳态时输入输出的幅值比。5-5 闭环闭环频率特性与时域性能指标
47、频率特性与时域性能指标100：带宽频率：带宽频率：峰值频率：峰值频率：谐振峰值：谐振峰值：零频值：零频值M Mr r是是系统相对稳定性的一种常用指标。101二、一阶、二阶系统二、一阶、二阶系统闭环闭环频率指标与时域指标频率指标与时域指标1、一阶系统、一阶系统R(s)C(s)_闭环频域指标：闭环频域指标：闭环阶跃响应闭环阶跃响应时域指标：时域指标：1022、二阶系统、二阶系统R(s)C(s)_103闭环频域指标：闭环频域指标：闭环阶跃响应闭环阶跃响应时域指标：时域指标：104 因此，若知道频域指标中的任两个，就可解算出因此，若知道频域指标中的任两个，就可解算出 ，从而求出时域指标。反之，给出时域
48、指标的任两个，就可确定从而求出时域指标。反之，给出时域指标的任两个，就可确定闭环频域指标。闭环频域指标。1053*、高阶系统、高阶系统1065-5 开环对数频率特性与时域指标开环对数频率特性与时域指标一、开环对数幅频特性一、开环对数幅频特性“三频段三频段”1、低频段：、低频段： 开环对数幅频特性的第一个转折频率以前的区段。该段取开环对数幅频特性的第一个转折频率以前的区段。该段取决于系统开环增益和开环积分环节的数目。低频段决定了系统决于系统开环增益和开环积分环节的数目。低频段决定了系统稳态精度稳态精度2、中频段：、中频段： 附近。附近。 反映系统的动态特性。中频段应以反映系统的动态特性。中频段应以-20dB/dec穿越穿越wc，且，且应当有较大的宽度。应当有较大的宽度。 3、高频段：、高频段： 主要决定闭环系统的抗干扰性。故高频段幅值越低，系统主要决定闭环系统的抗干扰性。故高频段幅值越低，系统抗干扰能力越强。抗干扰能力越强。107二、期望开环对数幅频特性的确定二、期望开环对数幅频特性的确定-20-40或-60-20-40wL(w)-60期望开环对数幅频特性期望开环对数幅频特性低频中频高频108三、二阶系统最佳参考模型三、二阶系统最佳参考模型R(s)C(s)_时的二阶系统称为二阶最佳开环幅频特性时的二阶系统称为二阶最佳开环幅频特性模型。模型。此时：此时：109
