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1、1序序 曲曲三角函数知多少三角函数知多少正弦函数作代表正弦函数作代表三角函数讲周期三角函数讲周期周期当中挑最小周期当中挑最小三角函数的周期性三角函数的周期性三角函数的周期性三角函数的周期性;.2三角函数的周期性三角函数的周期性一、正弦函数的周期一、正弦函数的周期二、复合函数的周期性二、复合函数的周期性三、周期函数的和函数三、周期函数的和函数四、周期函数在高考中四、周期函数在高考中五、高考史上的周期大难题五、高考史上的周期大难题六、高考史上的周期大错题六、高考史上的周期大错题三角函数的周期性三角函数的周期性三角函数的周期性三角函数的周期性;.一、正弦函数的周期一、正弦函数的周期三角函数，以正弦函
2、数三角函数，以正弦函数 y = sin x 为代表，是典型的周期函数为代表，是典型的周期函数.幂函数幂函数 y = x 无周期性，指数函数无周期性，指数函数 y = ax 无周期性，对数函数无周期性，对数函数 y =logax无周期，一次函数无周期，一次函数 y = kx+b、二次函数、二次函数 y = ax2+bx+c、三次函数、三次函数 y = ax3+bx2 + cx+d 也无周期性也无周期性.周期性是三角函数独有的特性周期性是三角函数独有的特性.三角函数的周期性三角函数的周期性三角函数的周期性三角函数的周期性31. 正弦函数正弦函数 y=sinx 的最小正周期的最小正周期在单位圆中，设
3、任意角在单位圆中，设任意角的正弦线为有向线段的正弦线为有向线段MP.正弦函数的周期性正弦函数的周期性正弦函数的周期性正弦函数的周期性动点动点P每旋转一周，正弦线每旋转一周，正弦线MP的即时位置和变化方向重现的即时位置和变化方向重现一次一次.同时还看到，当同时还看到，当P的旋转量不到一周时，正弦线的即时位置包的旋转量不到一周时，正弦线的即时位置包括变化方向不会重现括变化方向不会重现.因此，正弦函数因此，正弦函数 y =sinx的最小正周期的最小正周期 2.42. y=sin(x) 的最小正周期的最小正周期设设0，y =sin(x)的最小正周期设为的最小正周期设为L .正弦函数的周期性正弦函数的周
4、期性正弦函数的周期性正弦函数的周期性按定义按定义 y = sin (x+L) = sin(x+ L) = sin x .令令x = x 则有有 sin (x + L) = sin x因因为sinx最小正周期是最小正周期是2，所以有，所以有例如例如 sin 2x的最小正周期为的最小正周期为sin 的最小正周期为的最小正周期为53. 正弦函数正弦函数 y=sin(x+ ) 的周期性的周期性对正弦函数对正弦函数sinx的自变量作的自变量作“一次替代一次替代”后，成形式后，成形式正弦函数的周期性正弦函数的周期性正弦函数的周期性正弦函数的周期性 y = sin(x+ )如如 的最小周期与的最小周期与 y
5、 = sin(3x)相同，都是相同，都是它的最小正周期与它的最小正周期与 y = sin x 的最小正周期相同，都是的最小正周期相同，都是于是，余弦函数于是，余弦函数 的最小正周期与的最小正周期与sinx的最小正周期相同，都是的最小正周期相同，都是2.6二、复合函数的周期性二、复合函数的周期性将正弦函数将正弦函数 y = sin x 进行周期变换进行周期变换x x，sinx sinx三角函数的单调性三角函数的单调性三角函数的单调性三角函数的单调性而在以下的各种变换中，如而在以下的各种变换中，如后者周期变为后者周期变为(1)初相变换初相变换 sin x sin( x+)；(2)振幅变换振幅变换
6、sin( x +) Asin( x+)；(3)纵移变换纵移变换 Asin( x +) Asin( x+)+m；后者周期都不变，亦即后者周期都不变，亦即 Asin( x +) +m与与sin(x)的周期相同，都是的周期相同，都是而对复合函数而对复合函数 f (sinx)的周期性，由具体问题确定的周期性，由具体问题确定.71. 复合函数复合函数 f(sinx) 的周期性的周期性复合函数的周期性复合函数的周期性复合函数的周期性复合函数的周期性 【例题例题】 研究以下函数的周期性：研究以下函数的周期性：【解答解答】 (1) 2 sinx 的定义域为的定义域为R，值域为，值域为 ，作图可知，它是最小正周
7、期为，作图可知，它是最小正周期为2的周期函的周期函数数.(1) 2 sinx ； (2)(2) 的定义域为的定义域为2k，2k+，值域为，值域为0，1，作图可知，作图可知， 它是最小正周期为它是最小正周期为2的周期的周期函数函数. 【说明说明】 从基本函数的定义域，值域和单调性出发，通过作图，还可确定，从基本函数的定义域，值域和单调性出发，通过作图，还可确定，loga x，sinx， ，sin(sinx)都是最小正周期都是最小正周期2的周期函数的周期函数.82. y= sin3 x 的周期性的周期性复合函数的周期性复合函数的周期性复合函数的周期性复合函数的周期性对于对于y = sin3x =(
8、sinx)3，L=2肯定是它的周期，但它是否还有更小的周期呢？肯定是它的周期，但它是否还有更小的周期呢？我们可以通过作图判断，分别列表作图如下我们可以通过作图判断，分别列表作图如下.图上看到，图上看到，y = sin3x 没有比没有比2更小的周期，故最小正周期为更小的周期，故最小正周期为2.93. y= sin2 x 的周期性的周期性复合函数的周期性复合函数的周期性复合函数的周期性复合函数的周期性对于对于y = sin2x =(sinx)2，L=2肯定是它的周期，但它的最小正周期是否为肯定是它的周期，但它的最小正周期是否为2？可以通过作图判定，分别列表作图如下可以通过作图判定，分别列表作图如下
9、.图上看到，图上看到，y = sin2x 的最小正周期为的最小正周期为，不是，不是2 .104. sin2n x 和和sin2n-1 x 的周期性的周期性复合函数的周期性复合函数的周期性复合函数的周期性复合函数的周期性y = sin2x 的最小正周期为的最小正周期为，还可通过另外一种复合方式得到，还可通过另外一种复合方式得到.因为因为 cos2x 的周期是的周期是，故，故 sin2x 的周期也是的周期也是.因此，正弦函数因此，正弦函数 sinx 的幂复合函数的幂复合函数sin m x，当，当m=2n时，时，sin m x的最小正周期为的最小正周期为；m = 2n 1时，时，sin m x 的最
10、小正周期是的最小正周期是2 .sin2x 的周期，由的周期，由cosx 的的2变为变为sin2x的的.就是因为符号法就是因为符号法“负负得正负负得正”所致所致.115. 幂复合函数举例幂复合函数举例复合函数的周期性复合函数的周期性复合函数的周期性复合函数的周期性【例例1】 求求 y =| sinx |的最小正周期的最小正周期.【解答解答】 最小正周期为最小正周期为.【例例2】 求求 的最小正周期的最小正周期.【解答解答】 最小正周期为最小正周期为2.【例例2】 求求 的最小正周期的最小正周期.【解答解答】 最小正周期为最小正周期为.【说明说明】 正弦函数正弦函数sinx 的幂复合函数的幂复合函
11、数当当 q 为奇数时，周期为为奇数时，周期为2；q 为偶数时，周期为为偶数时，周期为.12三、周期函数的和函数三、周期函数的和函数两个周期函数，如两个周期函数，如 sin x 和和 cosx ，它们最小正周期相同，都是，它们最小正周期相同，都是 2. 那么它们的和函数，即那么它们的和函数，即 sinx + cos x的最小正周期如何？的最小正周期如何？和函数的周期与原有函数的周期保持不变和函数的周期与原有函数的周期保持不变. 这个结论符合一般情况这个结论符合一般情况.对于另一种情况，当相加的两个函数的最小正周期不相同，情况将会如何？对于另一种情况，当相加的两个函数的最小正周期不相同，情况将会如
12、何？三角函数的周期性三角函数的周期性三角函数的周期性三角函数的周期性131. 函数函数 sinx+sin2 x 的周期性的周期性周期函数的和函数周期函数的和函数周期函数的和函数周期函数的和函数sin x 的最小正周期为的最小正周期为2，sin2x的最小正周期是的最小正周期是，它们之间谁依赖谁，或依赖一个第三者？，它们之间谁依赖谁，或依赖一个第三者？列表如下列表如下.表上看到函数表上看到函数sinx+sin2x的最小正周期是的最小正周期是2.141. 函数函数 sinx+sin2 x 的周期性的周期性周期函数的和函数周期函数的和函数周期函数的和函数周期函数的和函数依据上表，作依据上表，作sinx
13、+sin2x 的图象如右的图象如右. 从图上看到，函数的最小正周期为从图上看到，函数的最小正周期为2. 由由sinx，sin2x 的最小正周期中的大者决定，因为前者是的最小正周期中的大者决定，因为前者是后者的后者的2倍倍. 从图上看到，从图上看到， sinx+sin2x 仍然是个仍然是个“振动函数振动函数”，但振幅已，但振幅已经不是常数了经不是常数了.152. 函数函数 sinx+sin x 的周期性的周期性周期函数的和函数周期函数的和函数周期函数的和函数周期函数的和函数sin x 的最小正周期为的最小正周期为2，sin x的最小正周期是的最小正周期是3. 它们之间的和它们之间的和sinx+s
14、in x的最小正周期也由的最小正周期也由“较大的较大的”决定吗？即决定吗？即“和函数和函数”的周期为的周期为3吗？吗？不妨按周期定义进行检验不妨按周期定义进行检验. 设设则则x0 +3=因此因此3不是不是sinx + sin x的最小正周期的最小正周期.通过作图、直观看到，通过作图、直观看到，sinx+sin x 的最小正周期为的最小正周期为6，即，即sin x和和 sin x最小正周期的最小倍数最小正周期的最小倍数.16四、周期函数在高考中四、周期函数在高考中三角函数是高考命题的重要板块之一，小题考，大题也考，比分约占高考总分的七分之一，与三角函数是高考命题的重要板块之一，小题考，大题也考，
15、比分约占高考总分的七分之一，与立体几何相当立体几何相当. 与立几不同的是，它还与函数、方程、不等式、数列、向量等内容综合与立几不同的是，它还与函数、方程、不等式、数列、向量等内容综合.正弦函数是三角函数的代表，而周期性又是正弦函数的特性正弦函数是三角函数的代表，而周期性又是正弦函数的特性.关系到正弦函数的试题，有关系到正弦函数的试题，有2种形式种形式.一、直接考，求正弦函数的最小正周期一、直接考，求正弦函数的最小正周期.二、间接考，考周期在正弦函数性质中的应用二、间接考，考周期在正弦函数性质中的应用. 求单调区间，求最值，简单方程的通解等求单调区间，求最值，简单方程的通解等.三角函数的周期性三
16、角函数的周期性三角函数的周期性三角函数的周期性171. 求正弦函数的周期求正弦函数的周期周期函数在高考中周期函数在高考中周期函数在高考中周期函数在高考中【例例1】 函数函数 y =| sin |的最小正周期为的最小正周期为（A） （B） （C）2 （D）4【解答解答】最小正周期是最小正周期是 最小正周期的一半，即最小正周期的一半，即2. 答案为（答案为（C）【说明说明】 图象法判定最简便，图象法判定最简便，|sin x|的图象是将的图象是将sinx的图象在的图象在 x 轴下方部分折到轴下方部分折到x轴上方去轴上方去.倍角法判定最麻烦倍角法判定最麻烦18【解答解答】 （1）y = 2cos2x
17、+ 1的最小正周期由的最小正周期由cos2x决定，决定，故答案为故答案为.【例例2】 （1） y =2cos2x+1的最小正周期为的最小正周期为（2） y =|sinx + cosx|的最小正周期为的最小正周期为1. 求正弦函数的周期求正弦函数的周期（2）【说明说明】 都可看作都可看作sinx的幂函数的复合函数的幂函数的复合函数.周期函数在高考中周期函数在高考中周期函数在高考中周期函数在高考中故答案为故答案为.19【解答解答】【例题例题】 f (x)是是R上的偶函数，且是最小正周期为上的偶函数，且是最小正周期为的周期函数的周期函数.2. 函数周期性应用于求值函数周期性应用于求值【说明说明】 周
18、期性应用于区域转化周期性应用于区域转化. 将将“无解析式无解析式”的区域函数转化到的区域函数转化到“有解析式有解析式”的区间上求的区间上求值值. 若若 时时 f (x) = sinx 试求试求 的值的值.周期函数在高考中周期函数在高考中周期函数在高考中周期函数在高考中20【解答解答】3. 函数周期性应用于求单调区间函数周期性应用于求单调区间【说明说明】 先求包含零点的增区间，再用最小正周期求单调增区间的集合先求包含零点的增区间，再用最小正周期求单调增区间的集合.【例题例题】 xR，求函数，求函数 y =sin2x + sinx cosx+2cos2x 的单调增区间的单调增区间.函数的最小正周期
19、为函数的最小正周期为.令令得得因为函数周期为因为函数周期为，故函数的单调增区间为，故函数的单调增区间为周期函数在高考中周期函数在高考中周期函数在高考中周期函数在高考中214. 周期性应用于求函数零点周期性应用于求函数零点【说明说明】 先求绝对值最小的解，再利用最小正周期求先求绝对值最小的解，再利用最小正周期求“通解通解”.【例题例题】 已知函数已知函数得得【解答解答】令令故交点横坐标的值的集合为故交点横坐标的值的集合为周期函数在高考中周期函数在高考中周期函数在高考中周期函数在高考中22五、高考史上的周期大难题五、高考史上的周期大难题高考史上第一次高考史上第一次“周期大难题周期大难题”出现在恢复
20、高考后的第出现在恢复高考后的第3年，即年，即1980年的理科数学卷上年的理科数学卷上.本题排在该卷的第六大题上本题排在该卷的第六大题上. 在有十个大题的试卷上，这是个中间位置，然而，从当年的得分在有十个大题的试卷上，这是个中间位置，然而，从当年的得分情况来看，本题的难度超过了包括压轴题和附加题在内的所有题目情况来看，本题的难度超过了包括压轴题和附加题在内的所有题目. 这点为命题人事先未能预这点为命题人事先未能预料料.后来分析，该题的难点有三后来分析，该题的难点有三 .一、函数抽象，导致周期中含有参数；二、求参数范围，与解不等式综合；三、求最小正整数一、函数抽象，导致周期中含有参数；二、求参数范
21、围，与解不等式综合；三、求最小正整数解，连命题人自拟的解，连命题人自拟的“标答标答”都含糊不清都含糊不清. 20多年来数学界质疑不断多年来数学界质疑不断.三角函数的周期性三角函数的周期性三角函数的周期性三角函数的周期性232006年的周期大难题年的周期大难题高考史上的周期大难题高考史上的周期大难题1写出写出 f (x)极大值极大值M、极小值、极小值m与最小正周期与最小正周期;2试求最小的正整数试求最小的正整数k，使得当自变量，使得当自变量x在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数 f (x)至少有一个值是至少有一个值是M与一个值是与一个值是m.【
22、考题考题】设三角函数设三角函数 ，其中，其中k0.【解答解答】 1. M=1，m = - -1， 2. f (x)在它的每一个周期中都恰好有一个值是在它的每一个周期中都恰好有一个值是M与一个值是与一个值是m .而任意两个整数间的距离都而任意两个整数间的距离都 1因此要使任意两个整数间函数因此要使任意两个整数间函数 f(x)至少有一个值是至少有一个值是M与一个值是与一个值是m，必须且只须使必须且只须使 f (x)的周期的周期1即：即： k=32就是这样的最小正整数就是这样的最小正整数. 24六、高考史上的周期大错题六、高考史上的周期大错题中学教材上的周期函数，一般都是简单和具体的函数中学教材上的
23、周期函数，一般都是简单和具体的函数. 关于最小正周期的求法，也是一些感性关于最小正周期的求法，也是一些感性的结果；没有系统和完整的结果；没有系统和完整“最小正周期最小正周期”的系统研究的系统研究.然而，随着然而，随着“抽象函数抽象函数”的不断升温，对周期函数周期的考点要求越来越高的不断升温，对周期函数周期的考点要求越来越高.2005年福建理数卷出现的年福建理数卷出现的“周期大错题周期大错题”正是这种盲目拔高的必然结果正是这种盲目拔高的必然结果.三角函数的周期性三角函数的周期性三角函数的周期性三角函数的周期性252005年的周期大错题年的周期大错题【考题考题】 f (x)是定义在是定义在R上的以
24、上的以3为周期的奇函数，且为周期的奇函数，且 f(2)=0，则方程，则方程 f (x) = 0在区间（在区间（0，6）内）内解的个数的最小值是解的个数的最小值是 A.2 B.3 C.4 D.5 高考史上的周期大错题高考史上的周期大错题【说明说明】 这是这是2005年福建卷（理）第年福建卷（理）第12题，命题组提供的答案是题，命题组提供的答案是D，即答案为，即答案为5. 答案答案D从何而来？从何而来？以下，就是以下，就是“D”的一种解法的一种解法. 【解答解答】 f (x)周期为周期为3，由，由 f (2)=0，得，得 f (5) = f (2)=0，得，得 f (-1)= f (2-3) =
25、f (2)=0，得，得 f (-4) = f (2-6) = f (2)=0 f (x)为奇函数，得为奇函数，得 f (1) = - f (-1) =0 f (4)= - f (-4)=0，得，得 f (-0)= - f (0)，得，得 f (0)=0 f (3)= f (3+0)= f (0)=0于是，求得于是，求得 f (x)=0的解为：的解为：1、2、3、4、5. 共共5个解，答案为个解，答案为D.26高考史上的周期大错题高考史上的周期大错题【讨论讨论】 除了上述解法得除了上述解法得 f (x)=0的的5个解外，还有如下的解个解外，还有如下的解. 根据方程根据方程 f (x)=0的定义，
26、的定义， x = 1.5 和和 x =4.5 也是方程的解，证明如下：也是方程的解，证明如下：由由 f (x)的周期性，知的周期性，知 f (-1.5)= f (1.5) （1）由由 f (x)的奇偶性，知的奇偶性，知 f (-1.5) = - f (1.5) （2）从而有从而有 f (1.5)=0，f (4.5) = f (1.5)=0.所以，所以，1.5和和4.5也是方程也是方程 f (x)=0的解的解.于是，方程的解共有于是，方程的解共有7个：即是个：即是1、1.5、2、3、4、4.5、5.【思考思考】 按上面讨论的结果，方程按上面讨论的结果，方程 f (x) = 0的解至少有的解至少有
27、7个个. 而原题的四个选项支中均没有这个答案而原题的四个选项支中均没有这个答案. 命题人给定的答案命题人给定的答案D是错的是错的. 27高考史上的周期大错题高考史上的周期大错题这这7个解即是个解即是1，1.5，2，3，4，4.5，5. 【实验检验实验检验】 f (x)同时满足同时满足4个条件：（个条件：（1）定义在）定义在R上；（上；（2）奇函数；（）奇函数；（3）周期为）周期为3；（；（4）f (2) =0. 据此，我们找到据此，我们找到 f (x)的一个具体例子：的一个具体例子：并在区间（并在区间（0，6）上找到）上找到 f (x)=0的的7个解，列表如下：个解，列表如下：28高考史上的周
28、期大错题高考史上的周期大错题【反思反思】 命题人的错误自然出在疏忽二字上命题人的错误自然出在疏忽二字上. . 实在地，本题实在地，本题较难，首先难倒了命题人自己较难，首先难倒了命题人自己. . 严格地讲，试题严格地讲，试题“超纲超纲”. . 对两个周期函数的和函数，其最对两个周期函数的和函数，其最小正周期是它们的小正周期是它们的“最小公倍数最小公倍数”这本身就没有进行过这本身就没有进行过证明，对某些具体函数可以具体分析，但对抽象函数来讲，证明，对某些具体函数可以具体分析，但对抽象函数来讲，却没有理论依据却没有理论依据. . 而本题，又恰恰是个抽象函数，而且是个而本题，又恰恰是个抽象函数，而且是个综合问题综合问题. . 命题出错似乎是必然的命题出错似乎是必然的. .函数函数 在一个周期在一个周期0，3上的图象如上的图象如右右. 图象与图象与 x 轴有轴有5个交点，故在个交点，故在0，6有有9个交点，从而个交点，从而在（在（0，6）上有）上有7个交点个交点.2930尾尾 声声正弦函数记周期正弦函数记周期其他函数有根基其他函数有根基复合函数作转化复合函数作转化抽象函数回具体抽象函数回具体三角函数的周期性三角函数的周期性三角函数的周期性三角函数的周期性;.
