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1、第六章第六章 向量代数与空间解向量代数与空间解析几何析几何( (二二) ) 典型例题典型例题主要内容主要内容堂上练习题堂上练习题小结小结1一、主要内容一、主要内容第第4 4节节 平面的方程平面的方程一、平面的点法式方程经过点法向量为的平面的点法式方程为:关键确定平面的法向量关键确定平面的法向量2一般地一般地,过不在同一直线上的三点过不在同一直线上的三点的平面方程为的平面方程为:-称为平面的三点式方程称为平面的三点式方程3平面的点法式方程平面的点法式方程 平面的一般方程平面的一般方程法向量法向量二、平面的一般式方程 任意一个形如上式任意一个形如上式的的x、y、z的三元一次的三元一次方程都是平面方
2、程方程都是平面方程.熟记平面的几种特殊位置熟记平面的几种特殊位置4平面一般方程的几种特殊情况平面一般方程的几种特殊情况平面一般方程的几种特殊情况平面一般方程的几种特殊情况平面通过坐标原点；平面通过坐标原点；平面通过平面通过 轴；轴；平面平行于平面平行于 轴；轴；平面平行于平面平行于xOy 坐标面；坐标面；类似地可讨论类似地可讨论类似地可讨论类似地可讨论轴轴轴轴xOz面面 yOz面面(由法向量可知由法向量可知) 平面的一般方程平面的一般方程缺谁缺谁/谁谁5 今后今后,由截距式方程作平面的图形特别方便由截距式方程作平面的图形特别方便! 当平面不与任何坐标面平行当平面不与任何坐标面平行,且不过原点且
3、不过原点时时,才有截距式方程才有截距式方程.并作图并作图.化为截距式方程化为截距式方程,平面的截距式方程平面的截距式方程6定义定义（通常取锐角）（通常取锐角）两平面法向量的夹角称为两平面法向量的夹角称为三、两平面的夹角两平面的夹角两平面的夹角. .7按照两向量夹角余弦公式有按照两向量夹角余弦公式有两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式两平面位置特征：两平面位置特征：/两平面垂直、平行的充要条件两平面垂直、平行的充要条件取锐角取锐角8点到平面的垂直距离点到平面的垂直距离外一点外一点,四、点到平面的距离四、点到平面的距离并作向量并作向量即即由于由于9的距离公式为的距离公式为10点到平面距离公式点到平
4、面距离公式结论:两平行平面之间的距离:11第第5 5节节 直线的方程直线的方程定义定义 空间直线可看成两平面的交线空间直线可看成两平面的交线.空间直线的一般方程空间直线的一般方程一、空间直线的一般式方程L注注(2) 直线直线L的一般方程形式不是唯一的的一般方程形式不是唯一的.12方向向量的定义方向向量的定义如果一非零向量平行于如果一非零向量平行于/二、空间直线的点向式方程与参数方程1.点向式方程点向式方程 一条直线一条直线可以有许多可以有许多方向向量方向向量. 求求此此直直线线的的方方程程一条已知直线一条已知直线, 这个向量称这个向量称为这条直线的为这条直线的方向向量方向向量. .方向数方向数
5、. .向量 的方向余弦称为直线的方向余弦.13直线的直线的对称式方程对称式方程令令直线的直线的参数方程参数方程因为因为故故/故故直线方程的几种形式可以互相转换直线方程的几种形式可以互相转换.( (点向式、标准式）点向式、标准式）14则直线的一个方向向量为则直线的一个方向向量为: 于是对称式于是对称式方程可写成方程可写成:一般一般, ,如直线过两点如直线过两点-直线的两点式方程直线的两点式方程152. 直线的一般方程化为对称式方程直线的一般方程化为对称式方程 怎样将直线的一般方程怎样将直线的一般方程(1) 用代数的用代数的消元法消元法化为比例式化为比例式; 有两种方法有两种方法(2) 在直线上找
6、一定点在直线上找一定点,再求出方向向量再求出方向向量, (重要重要)化为对称式方程化为对称式方程即写出对称式方程即写出对称式方程.163. 直线的参数方程直线的参数方程上式何时有用上式何时有用 如求如求直线的参数方程直线的参数方程故故答答: :直线与平面的交点直线与平面的交点.17定义定义直线直线直线直线两直线的两直线的方向向量的夹角方向向量的夹角称之称之.两直线的夹角公式两直线的夹角公式三、两直线的夹角（锐角）（锐角）18两直线的位置关系两直线的位置关系:/直线直线直线直线例例(两直线垂直、平行的条件两直线垂直、平行的条件)19直线和它在平面上的投影直线的直线和它在平面上的投影直线的定义定义
7、四、直线与平面的夹角夹角夹角 称之称之.20直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式直线与平面的直线与平面的/(直线与平面垂直、平行的充要条件直线与平面垂直、平行的充要条件)位置关系：位置关系：21设有两块设有两块不平行不平行的平面的平面其中系数不互相其中系数不互相成比例成比例交成一条直线交成一条直线L过直线过直线L的所求全体平面的所求全体平面 平面束平面束(3)表示过直线表示过直线L的平面的平面五、过直线的平面束22第第6 6节节 曲面及其方程曲面及其方程掌握几种特殊的曲面方程与图形1. 球面23柱面方程柱面方程（其他类推）（其他类推）直角坐标系中表示平行于直角坐标系中表示平行于z轴的柱面轴
8、的柱面,在空间在空间为为xOy面上的曲线面上的曲线C.其准线其准线2. 圆柱面24 曲线方程中与旋转轴相同的变量不动曲线方程中与旋转轴相同的变量不动, 总之总之,位于坐标面上的曲线位于坐标面上的曲线C,绕其上的绕其上的一个一个 坐标轴转动坐标轴转动,所成的旋转曲面方程可以所成的旋转曲面方程可以这样得到这样得到 :而用另两个的变量的平方和的平方根而用另两个的变量的平方和的平方根(加正、加正、负号负号)替代曲线方程中另一个变量即可替代曲线方程中另一个变量即可.旋转曲面方程25旋转曲面方程旋转曲面方程:旋转一周的旋转一周的如如绕绕z轴轴同理同理,绕绕y轴轴旋转一周的旋转一周的 旋转曲面方程旋转曲面方
9、程为为263. 圆锥面4. 旋转抛物面275. 椭球面椭球面6. 单叶双曲面7. 双叶双曲面288. 双曲抛物面双曲抛物面(马鞍面马鞍面)方程方程 z = xy表示表示什么曲面？什么曲面？马鞍面马鞍面29第第7 7节节 空间曲线及其方程空间曲线及其方程空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程空间曲线空间曲线C可看作可看作特点：特点：一、空间曲线的一般方程曲线上的点都满足方程曲线上的点都满足方程,满足方程的点都在曲线上满足方程的点都在曲线上,不在曲线上的点不能不在曲线上的点不能同时满足两个方程同时满足两个方程.空间两曲面的交线空间两曲面的交线.30空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程二、空间曲线的参
10、数方程随着参数的变化可得到曲线上的随着参数的变化可得到曲线上的就得到曲线上的一个点就得到曲线上的一个点全部点全部点.31消去变量消去变量z后得：后得：曲线关于曲线关于xOy的的设空间曲线设空间曲线C的一般方程：的一般方程：投影柱面的投影柱面的特征：特征：三、空间曲线在坐标面上的投影 此柱面必包含曲线此柱面必包含曲线C,以曲线以曲线C为准线、为准线、 C投影柱面投影柱面. .母线垂直于所投影的坐标面母线垂直于所投影的坐标面.32类似地类似地:可定义空间曲线在其它坐标可定义空间曲线在其它坐标面上的投影面上的投影. yOz面面上的上的投影曲线投影曲线 xOz面上的面上的投影曲线投影曲线空间曲线在空间
11、曲线在xOy 面上的面上的投影曲线投影曲线(或称或称投影投影)(即为曲线关于即为曲线关于xOy面面的的投影柱面投影柱面)(即为即为xOy 面面) C(即为投影柱面与即为投影柱面与xOy 面的交线面的交线)33二、典型例题二、典型例题例例1 求平行于求平行于轴且过点轴且过点的平面方程的平面方程.解:设所求平面方程为:则解得于是所求平面方程为:问:能否设所求平面方程为?考虑: 求平行于轴且过点轴且过点的平面方程的平面方程.34例2 求过 轴且与平面的平面方程.提示:设所求平面方程为利用平面的夹角公式得到所求平面为35设所求平面为设所求平面为由所求平面与已知平面平行得由所求平面与已知平面平行得(向量
12、平行的充要条件向量平行的充要条件)解解例例3 所围成的四面体体积为一个单位的平面方程所围成的四面体体积为一个单位的平面方程. 求平行于平面求平行于平面而与三个坐标面而与三个坐标面36代入体积式代入体积式所求平面方程为所求平面方程为所围成的四面体体积为一个单位的平面方程所围成的四面体体积为一个单位的平面方程. 求平行于平面求平行于平面而与三个坐标面而与三个坐标面37解解例例4求这平面方程求这平面方程.设所求平面为设所求平面为在已知平面在已知平面上任取一点上任取一点或或故所求平面为故所求平面为或或38解解 先作一过点先作一过点M且与已知直线垂直的平面且与已知直线垂直的平面 再求已知直线与该平面的交
13、点再求已知直线与该平面的交点N,令令. M垂直相交垂直相交的直线方程的直线方程.例例539交点交点取所求直线的方向向量为取所求直线的方向向量为直线方程为直线方程为代入代入得得将将. M40解解 设所求直线的方向向量为设所求直线的方向向量为取取所求直线的方程所求直线的方程例例6的交线平行的直线方程的交线平行的直线方程. 过已知直线外一点作直线与已知直线平行过已知直线外一点作直线与已知直线平行41解解 设设平面束方程平面束方程由由即即由由例7.42例例8 求通过直线求通过直线L:且垂直于平面且垂直于平面的平面方程的平面方程,并求直线并求直线L在平面在平面上的投影直线的方程上的投影直线的方程.43方
14、程方程表示表示( )(A) 双曲柱面双曲柱面;(D) 锥面锥面.(C)双叶双曲面双叶双曲面;(B)旋转双曲面旋转双曲面;B椭圆抛物面椭圆抛物面 双曲抛物面双曲抛物面(马鞍面）马鞍面）填空填空 设有曲面方程设有曲面方程则方程表示的曲面为则方程表示的曲面为方程表示的曲面为方程表示的曲面为选择选择44 双叶双双叶双曲面曲面,它的对称轴在它的对称轴在 轴上轴上.y y椭圆锥椭圆锥45例9 求锥面与柱面所围成得立体在三个坐标面上的投影.解:交线为在xoy面上:在xoz面上:在yoz面上:包含46例10 将曲线化为参数方程解:消去z得令则于是所求参数方程为47 选择题选择题1.曲线曲线 在在xOy面面上的
15、上的投影柱面投影柱面方程是方程是( ).A三、堂上练习三、堂上练习48 2. 球面球面 与与 交线交线在在xOy面面上上投影曲线投影曲线方程是方程是()D49表示表示( ).(A) 双曲柱面与平面双曲柱面与平面x = 2交线交线;(B) 双曲柱面双曲柱面;(C) 双叶双曲面双叶双曲面; (D) 单叶双曲面单叶双曲面.A3.50 填空题填空题4.母线平行于母线平行于x轴且通过曲线轴且通过曲线的的柱面方程柱面方程是是 5.双曲抛物面双曲抛物面(马鞍面马鞍面) 与与xOy面的交线面的交线是是相交于原点的两条直线相交于原点的两条直线.51曲面方程和空间曲线方程的概念了解平面方程,直线方程掌握其求法平面与平面,平面与直线,直线与直线的夹角以及平行垂直的条件会求会利用平面,直线的关系解决问题点到平面和点到直线的距离会求球面,柱面,旋转曲面会求其方程常用的二次曲面方程及其图形了解空间曲线的参数方程和一般方程了解空间曲线在坐标面上的投影曲线方程了解并会求四、小结四、小结52
