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1、第一章第一章 解三角形解三角形1.11.1正弦定理正弦定理创设情境创设情境ABCABC如图，现要在河岸两侧如图，现要在河岸两侧A，B两点间建一座两点间建一座桥，需要知道桥，需要知道A，B间的距离由于环境因素不间的距离由于环境因素不能直接测量能直接测量A，B间的距离你有办法间接测量间的距离你有办法间接测量A，B两点间的距离吗？两点间的距离吗？若已知桥与一侧河岸成若已知桥与一侧河岸成75角，在这侧河岸上角，在这侧河岸上取一点取一点C，测得，测得C60，AC100m如何求出如何求出A，B两点间的距离？两点间的距离？ABC7560100ABC中，已知中，已知A75，C60，AC100，求，求ABabc
2、思考：在直角三角形中，思考：在直角三角形中，“边边”与与“角角”的关系的关系 Rt 中中思考：对于一般三角形，上述结论是否成立思考：对于一般三角形，上述结论是否成立 在锐角三角形中，在锐角三角形中，在钝角三角形中，在钝角三角形中，由以上三种情况的讨论可得：由以上三种情况的讨论可得：正弦定理：正弦定理：思考：用思考：用“向量向量”的方法如何证明的方法如何证明“正弦定理正弦定理” 在一个三角形中，各边的长和在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即它所对角的正弦的比相等，即思考：用思考：用“三角形面积公式三角形面积公式”如何证明如何证明“正弦定理正弦定理” BACDabc而同理ha在一个
3、三角形中在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等各边和它所对角的正弦的比相等,即即变式变式: :例例1:1:已知在已知在 中中, , 求求 n例例2:2:已知在已知在 中中, , , 求求 和和点评点评: :正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题和一角的问题. .点评点评: :正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角, ,求求其他边和角的问题其他边和角的问题. .5.9 正弦定理、余弦定理正弦定理、余弦定理例题讲解例题讲解 例例3 在在 中，中， ，求，求 的面积的面积S hABC三角形面积公
4、式三角形面积公式解：解：由正弦定理得由正弦定理得 （2R为为ABC外接圆直径）外接圆直径）证明：证明：OC/cbaCBA5.9 正弦定理、余弦定理正弦定理、余弦定理练习：练习：（1）在）在 中，一定成立的等式是（中，一定成立的等式是（ ） C（2）在）在 中，若中，若 ，则，则 是是( ) A等腰三角形等腰三角形 B等腰直角三角形等腰直角三角形 C直角三角形直角三角形 D等边三有形等边三有形D 在例 2 中，将已知条件改为以下几种情况，结果如何？（1） b20，A60，a203 ;（2） b20，A60，a103 ;（3） b20，A60，a15.60ABCb（1） b20，A60，a203s
5、inB ，b sinA a12B30或150， 15060 180， B150应舍去.6020203ABC（2） b20，A60，a103sinB 1 ，b sinA aB90.B60AC20（3） b20，A60，a15.sinB ，b sinA a233233 1， 无解.6020AC 思考： 当b20，A60，a？时， 有1解、2解、无解.已知两边和其中一边的对角已知两边和其中一边的对角,求其求其他边和角时他边和角时,三角形三角形什么情况下有什么情况下有一解一解,二解二解,无解无解?思考思考若若A A为锐角时为锐角时: :n若若A A为直角或钝角时为直角或钝角时: :判断判断判断判断满满足下列的三角形的个数足下列的三角形的个数足下列的三角形的个数足下列的三角形的个数: : (1)b=11, a=20, B=30 (1)b=11, a=20, B=30o o (2)c=54, b=39, C=120 (2)c=54, b=39, C=120o o (3)b=26, c=15, C=30 (3)b=26, c=15, C=30o o (4)a=2,b=6,A=30 (4)a=2,b=6,A=30o o两解一解两解无解
