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1、材 料 力 学第九章第九章 应力与应变分析应力与应变分析Analysis of Stress & Strain7/25/2024材料力学导言导言 Introductionlaak 前面我们介绍了在拉(压)、剪切、扭转、弯曲四种基本变形下的强度计算和刚度计算,以及其相应的应力、变形计算公式。对图示梁上C截面上的k点(翼缘与腹板交点下侧),既有M(=Pa)引起的又有Q(=P)引起的,其强度条件应是什么形式?组合变形(拉弯、扭弯、)的截面如何确定最危险点及建立相应的强度条件？为解决这些问题,需要研究构件上一点的应力随截面方位的变化而改变的规律。即一点的应力状态。7/25/2024材料力学 我们可以用
2、三对相互垂直的平面,绕此点(M)取出一个微小的正六面体(如图,通常叫:微单元体单元体Element)。用此微元体三个相互垂直的平面上的应力来表征此点(M)的应力状态。并可将其用一个二阶张量张量(Tensor)来描述。9-1 9-1 应力状态的概念应力状态的概念 I. Stress state at a pointStress state at a pointM 因为两者表示同一点M的应力状态,其各分量间必然有一定的相互转换规律。这些规律的数学形式是什么？ 弹性理论已经证明,物体内任一点的应力存在三个主平面主平面(Principal planes,其上0),其上的应力(123)叫该点的主应力主应
3、力(Principal stresses)。且这三个主平面相互垂直,围成一个叫主单元体主单元体(Element of Principal Stresses)的微元体。 在1-7我们讲了某点的应力随所选截面方向改变而改变。过一点各方向过一点各方向截面上应力矢量的集合截面上应力矢量的集合称为该点的应力状态该点的应力状态。但怎样描述一点的应力情况一点的应力状态?当M点的微元体坐标Oxyz改变为Ox1y1z1时,有:7/25/2024材料力学9-1 9-1 应力状态的概念应力状态的概念 II. Principal Stress and Classification of Stresses State
4、根据一点的主应力大小,我们通常将一点的应力状态分为三类: 1.单向应力状态单向应力状态Uniaxial Stress State10,2=3=0(拉) or 1=2=0,30(压) 如轴向拉压杆上任一点。梁的上下边沿各点2.双向应力状态双向应力状态Biaxial Stress State(or 平面应力状态平面应力状态Plane Stress State):1,2,3中有,且只有一个为0。 如前面梁上AC段内上下边沿以外的各点。 3 .三向应力状态三向应力状态Triaxial Stress State(or 空间应力状空间应力状态态Spacial Stress State):123均不为0。
5、如:火车车轮与钢轨的接触应力。 其中1又叫简单应力状态简单应力状态Simple Stress State 2,3又叫复杂应力状态复杂应力状态Complex Stress State7/25/2024材料力学9-2 9-2 平面平面应力状态分析应力状态分析(I(I基本公式基本公式) ) Stress Analysis of Plane Stress State 如右图,我们由微三棱柱bef来求截面法线n与x轴夹a角的任意斜截面上的应力a,a与x,y,x(=-y),a的关系(其中a以由x轴正向到斜截面外法线为逆时针转为正,反之为负。 a以受拉为正,反之为负。 a(与x , y一样)以绕微元体内任一
6、点为顺时针转为正,反之为负。设ef面的面积为dA;则:eb面dAcos a fb面dAsin a 在杆件中,我们经常遇到的一点之应力状态为单向应力状态或平面应力状态。一般的空间应力状态在杆件中很少出现,通常在弹性力学中讨论。我们现在来研究平面应力状态下与零主应力平面垂直的任意斜截面上的应力。由 得:7/25/2024材料力学9-2 9-2 平面平面应力状态分析应力状态分析(I(I基本公式基本公式) ) Stress Analysis of Plane Stress State由 得:由剪应力互等定理知(|y|=|x|),注意到图中x方向为正,故|y|=x,利用化简上两式,得:如以 代入上两式,
7、易得与a斜面垂直的另一斜面上的正应力和剪应力。且有:7/25/2024材料力学9-2 9-2 平面平面应力状态分析应力状态分析( (II应力圆应力圆) ) Stress Analysis of Plane Stress State(Stress Circle)下面介绍应力圆的作法:由基本公式易得: 将此两式分别平方,然后对应相加,可得: 此式表示一圆的方程,如图所示。 此圆叫相应单元体的应力圆(or摩尔圆Mohrs Circle)。在O坐标系中,其圆心在轴上。圆心与坐标原点O的距离为:其半径为:7/25/2024材料力学9-2 9-2 平面平面应力状态分析应力状态分析( (II应力圆应力圆)
8、) Stress Analysis of Plane Stress State(Stress Circle) 对图a所示平面应力状态微元体(已知:x,y,x时),作应力圆如下:O *MPaxyCD1D2s sIs sIIA1A2xy7/25/2024材料力学9-2 9-2 平面平面应力状态分析应力状态分析( (II应力园应力园) ) Stress Analysis of Plane Stress State(Stress Circle)作好应力圆后,可用极点法在图上求解出此微元体上与x轴夹角为a的任意斜截面上的a,a如下:O *MPaxyCD1D2xy If x/s 作D1P/dc,P为与D1
9、P应力圆的交点。叫极点极点。P(极点极点pole)E(a,aa a2a a 应力圆上E点的坐标,即为a,a7/25/2024材料力学9-2 9-2 平面平面应力状态分析应力状态分析( (II应力园应力园) ) Stress Analysis of Plane Stress State(Stress Circle)下面证明前述图解法的正确性:如图,应有:7/25/2024材料力学9-2 9-2 平面平面应力状态分析应力状态分析( (II应力园应力园) ) Stress Analysis of Plane Stress State(Stress Circle) 从以上作图及证明可以看出,应力圆上的
10、点与单元体上的面之间存在一一对应关系:单元体某一面上的应力单元体某一面上的应力, ,必对应于应必对应于应力圆上其一点的坐标力圆上其一点的坐标; ;单元体上任意单元体上任意A A、B B两个面的外法线之间两个面的外法线之间的夹角若为的夹角若为b b, ,则在应力圆上代表该两个面上应力的两点之间的则在应力圆上代表该两个面上应力的两点之间的圆弧段所对的圆心角必为圆弧段所对的圆心角必为2 2b b, ,且两者的转向一致且两者的转向一致(如图)。 实质上,这种对应关系是应力圆的参数表达式(9l)和(92)以两倍方位角为参变量的必然结果。根据这种对应关系,只要由单元体的x平面和y平面上已知的应力x、x和y
11、、y(=-x)作出应为圆,就可很容易地从应力圆确定任一a截面上的应力a、a。 应力圆直观地反映了一点处应力状态的特征,在实际应用中,并不一定把应力圆看作为纯粹的图解法,可可以利用应力圆来理解有关一以利用应力圆来理解有关一点处应力状态的一些特征点处应力状态的一些特征,或从图上的几何关系来分析一点处的应力状态。7/25/2024材料力学9-29-2 平面平面应力状态分析应力状态分析( (III主应力与主平面主应力与主平面Principal Stress and Principal Plane) )图解法图解法(Graphical Method) 因为主平面上=0,故应力圆与轴的两个交点A1,A2即
12、为相应单元体上的主应力;对应方向即主方向。O *MPaxyCD1D2s sIs sIIA1A2xyP(极点极点pole)s sIs sII 由应力圆易得:主主应应力力是是单单元元体体上上之之最大和最小正应力最大和最小正应力;两主平面互相垂直两主平面互相垂直。7/25/2024材料力学(例题例题9-1,9-1,例题例题9-29-2:自学)9-29-2 平面平面应力状态分析应力状态分析( (III主应力与主平面主应力与主平面Principal Stress and Principal Plane) )s sIs sII作业作业:9-2,9-9(c),9-10(g)解析法解析法(Analytic M
13、ethod) 因为主平面上=0,若已知微元体在x轴和y轴上的应力x、x和y、y(=-x),则x轴和主方向的夹角ao应满足: 与用转轴公式推导惯性主轴和主矩类似,易得: 结合z轴为主应力为零的一个已知主方向,且三个相互垂直的主应力必须满足可进一步确定1,2,3的数值和方向。7/25/2024材料力学9-39-3 梁的主应力梁的主应力主应力迹线的概念主应力迹线的概念Principal Stress in Beam Principal Stress Trajectories 对横力弯曲梁,其任一横截面上的应力为: 且在纵截面上: 故其沿梁高的应力变化情况如图所示。其上一般点的主应力为: 可见,梁上任
14、一点一般有一主拉应力和一主压应力。 梁的主应力迹线主应力迹线是是指这样一一簇曲线簇曲线,其上的其上的每一点之切线方切线方向向均与该点的主应力方向重合与该点的主应力方向重合。7/25/2024材料力学9-39-3 梁的主应力梁的主应力主应力迹线的概念主应力迹线的概念Principal Stress in Beam Principal Stress Trajectories作业作业:9-13 因此,梁上存在两组相互正交的主应力迹线簇梁上存在两组相互正交的主应力迹线簇主拉应力迹主拉应力迹线和主压应力迹线线和主压应力迹线。 显然,主应力迹线的形状与梁上荷载情况及其支承条件有关。 在设计钢筋混凝土构件时
15、,其上的主拉应力迹线可指导构件的配筋。 在光弹实验中常用到主应力迹线的概念。7/25/2024材料力学9-49-4 空间应力状态的研究空间应力状态的研究Introduction to Analysis of Triaxial Stress State 如图所示,一般的空间应力状态是一个二阶张量。它可用一33的矩阵来表示。 通常,在剪应力ij的两个下标中,第一个下标i表示剪应力所在的平面,第二个下标j表示剪应力的方向。7/25/2024材料力学例题例题9-49-4:自学。9-49-4 空间应力状态的研究空间应力状态的研究Introduction to Analysis of Triaxial S
16、tress StateI. 三向应力圆(Three-Dimensional Stress Circle)可见:7/25/2024材料力学解解:该单元体有一个已知的主应力z=20MPa。因此,与该主平面正交的各截面上的应力与主应力z无关,于是,可依据x截面和y截面上的应力画出应力圆(图b)。从图上可量得两个主应力值为46MPa和-26MPa。将该单元体的三个主应力按其代数值的大小顺序排列为: 1=46MPa， 2=20MPa， 3=-26MPa9-49-4 空间应力状态的研究空间应力状态的研究Introduction to Analysis of Triaxial Stress State 例题
17、例题9 93 3 单元体各面上的应力如图a所示。作应力圆,并求出主应力和最大剪应力值及其作用面方位。7/25/2024材料力学9-49-4 空间应力状态的研究空间应力状态的研究Introduction to Analysis of Triaxial Stress State 根据上述三个主应力值,便可作出三个应力圆如图b所示。在三个应力圆中的最大应力圆上,B点的纵坐标(该圆的半径)即为该单元体的最大剪应力，按比例尺量出为 max=BC=36MPa从图b的应力图上量得2ao=34o, 据此便可确定1所在的主平面方位和主单元体各面间的相互位置。其中最大剪应力所在截面与2平行,与1和3所在的主平面各
18、成45o 夹角,如图c所示。7/25/2024材料力学9-49-4 空间应力状态的研究空间应力状态的研究Introduction to Analysis of Triaxial Stress State作业作业:9-17(a) 例题例题9 93 3 单元体各面上的应力如图a所示。求主应力和最大剪应力值及其作用面方位。解解:该单元体有一个已知的主应力z=20MPa。因此,与该主平面正交的各截面上的应力与主应力z无关,于是,可依据x截面和y截面上的应力求出另两个主应力值为:将该单元体的三个主应力按其代数值的大小顺序排列为:1=46MPa， 2=20MPa， 3=-26MPa1所在的主平面方位:7/
19、25/2024材料力学9-59-5 平面应力状态下的应变研究平面应力状态下的应变研究Two - Dimensional Strain Analysisyxxya a 一点的应力状态是由该点领域的变形情况决定的。此点的应变状态即为该点邻域的变形(应变)情况的描述。弹性理论已证明:任一点的应变状态也存在三个相互垂直的主方向,在此方向上的剪应变g0;且对各向同性材料且对各向同性材料, ,应变主方向与应力主平应变主方向与应力主平面的法线方向重合面的法线方向重合。 我们现在来研究已知z轴为一主方向时(gxz= gyz0),并已知x,y,gxy时求任意与x方向夹角为a的x方向(及y方向x轴)的a,ga:可
20、以证明: 可见,若将x,y,-gxy/2,a,-ga /2代换x,y,x,(y),a,a。则前面关于平面应力状态的结论均可相对应地应用于平面变形状态的应变研究中。7/25/2024材料力学9-69-6 应力与应变间的关系应力与应变间的关系Generalized Hookes Law of Isotropical Materials Volumetric StrainI,I,各向同性材料的广义胡克定律各向同性材料的广义胡克定律: : 一点的主应变为沿剪应变0的方向上之线应变。应用弹性理论可以证明:对各向同性材料,主应变方向与主应力方向重合。故1方向的主应变1为:同理,得:对平面应力状态,不妨设3
21、=0,则有: 可见,在3=0的平面应力状态下,30。各向同性材料的三个弹性常数,存在以下关系:7/25/2024材料力学9-69-6 应力与应变间的关系应力与应变间的关系Generalized Hookes Law of Isotropical Materials Volumetric Strain I,I,各向同性材料的广义胡克定律各向同性材料的广义胡克定律: : 对非主单元体,在线弹性,小变形,各向同性的条件下,弹性理论已证明:沿坐标轴方向,正应力正应力只引起只引起线应变线应变,而剪应力剪应力只引起同一只引起同一平面内平面内的剪应变的剪应变。故有: 对z=0,xz=yz=0的平面应力平面应
22、力状态状态, ,有:7/25/2024材料力学9-69-6 应力与应变间的关系应力与应变间的关系Generalized Hookes Law of Isotropical Materials Volumetric Strain 对构件上z=0,gxz=gyz=0的点,叫平面应变状态平面应变状态点,其上的广义胡克定律为: IIII, ,各向异性材料各向异性材料的的广义胡克定律广义胡克定律: :( (P31-33,P31-33,自学自学) )III, ,各向同性材料的各向同性材料的体积应变体积应变( (Volumetric Strain):): 微元体单位体积的体积变化,叫体积应变体积应变。设微元
23、三边长dx, dy, dz,对应之正应力为x ,y ,z 。因小变形时对各向同性材料xy ,yz ,zx,所引起之线应变x, y, z与正应力引起之x ,y ,z 相比为高阶微量,可忽略不计。故: V0 = dxdydzV1= dxdydz = 1xdx 1ydy 1zdzV01xyzo 故,体积应变 : = V1V0V0 = xyz7/25/2024材料力学9-69-6 应力与应变间的关系应力与应变间的关系( (III, ,各向同性材料的各向同性材料的体积应变体积应变Volumetric Strain)将广义胡克定律代入上式,得: 此式即线弹性小变形条件下的广义体积胡克定律(Volumetr
24、ic Hookes Law) 上式表明:任一点处的体积应变与该点处的三个任一点处的体积应变与该点处的三个主应力之和成正比主应力之和成正比。 对于平面纯剪切应力状态,1=-3=xy,2=0,由上式可见,材料的体积应变等于零。即在小变形条件下在小变形条件下, ,剪应力不引起各向同性材料的体积改变剪应力不引起各向同性材料的体积改变。 例题例题97 边长a=0.1m的铜立方块,无间隙地放入体积较大、变形可略去不计的钢凹槽中,如图a所示。已知铜的弹性模量E=100GPa,泊松比m=0.34。当受到P=300kN的均布压力作用时,求该铜块的主应力、体积应变以及最大剪应力。 分析分析: 铜块受到轴向压缩将产
25、生膨胀,但是又受到刚性凹槽壁的阻碍,使得铜块在x、z方向的应变等于零。于是,在铜块与槽壁接触面间将产生均匀的压应力x和z，如图b所示。 解解:(参见教材PP34-35)7/25/2024材料力学9-69-6 应力与应变间的关系应力与应变间的关系( (III, ,各向同性材料的各向同性材料的体积应变体积应变Volumetric Strain)作业作业:9-23,9-24,9-327/25/2024材料力学例题例题98 壁厚t=10mm、外径D=60mm的薄壁圆筒,在表面上k点处与其轴线成45o和135 o角(即x、y两方向)分别贴上应变片,然后在圆筒两端作用矩为m的扭转力偶,如图a所示。已知圆筒
26、材料的弹性常数为E=200GPa和m=0.3。若该圆筒的变形在弹性范围内,且max=80MPa,试求圆筒k点处的线应变x和y以及变形后的筒壁厚度。解解:此薄壁圆筒上k点处的微元体的应力状态为纯剪应力状态(如图b),9-79-7 应力与应变间的关系应力与应变间的关系( (III, ,各向同性材料的各向同性材料的体积应变体积应变Volumetric Strain)故筒壁厚度不变,仍为t=10mm故有:7/25/2024材料力学 在比例加载比例加载的情况下,对应于每一主应力,其比能等于该主应力乘以与之相应的主应变之半,而与其它主应变无关。因此,在三个主应力同时存在时,单元体的比能应为:9-7 9-7
27、 空间应力状态下的比能空间应力状态下的比能Strain Energy Intensity of Triaxial Stress State 物体受外力作用而产生弹性变形时,在物体内部将积蓄有应变应变能能,每单位体积物体内所积蓄的应变能每单位体积物体内所积蓄的应变能称为比能比能。在单轴应力状态下,物体内所积蓄的比能为: 在纯剪应力状态下,物体内所积蓄的比能为: 对于在线弹性范围内、小变形条件下受力的对于在线弹性范围内、小变形条件下受力的物体物体, ,所积蓄的应变能只取决于外力的最后数值所积蓄的应变能只取决于外力的最后数值, ,而与加力顺序无关而与加力顺序无关。(因为 i与i呈线性关系) 将用主应
28、力表达主应变的广义胡克定律式(916a)代入上式,经整理简化后得:下面以另一加载方式来验证之:7/25/2024材料力学9-7 9-7 空间应力状态下的比能空间应力状态下的比能Strain Energy Intensity of Triaxial Stress State(1从0 1o11从0 o, 1 = 1o不变11从0 o, 1 = 1o & = o不变11如下各图,设构件上某点在加载过程中,相应微元体应力变化过程为:弹性体总比能的一般表达式为: 由此可知:弹性比能只与点的应力(1,)(or应变1 ,2 ,3)有关而与加载方式(次序)无关。7/25/2024材料力学mmmmmm9-7 9
29、-7 空间应力状态下的比能空间应力状态下的比能Strain Energy Intensity of Triaxial Stress State1111233=+作业作业:9-33 下面研究微元体总比能的分解: 一点之单元体的总比能可分解为两部分之和,一部分是由于微元体体积改变产生(or储备)的比能uV(叫:体积改变比能体积改变比能Volumetric Strain Energy Intensity),另一部分是由于微元体形状改变产生(or储备)的比能uD(叫:形状改变比能形状改变比能Distortional Strain Energy Intensity)。故有:其中:7/25/2024材料力学
