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1、习题课离散型随机变量的均值与方差的应用一二一、常用分布的均值与方差1.二项分布的均值与方差在n次独立重复试验中,若XB(n,p),则EX=np,DX=np(1-p).2.超几何分布的均值若离散型随机变量X服从参数为N,M,n的超几何分布,则一二二、均值与方差的性质若Y=aX+b,其中a,b是常数,X是随机变量,则Y也是随机变量,且有E(aX+b)=aEX+b,D(aX+b)=a2DX.【做一做1】有一批产品,其中有12件正品和4件次品,有放回地任取3件,若取到一件次品得2分,用Y表示得分数,则DY=.一二探究一探究二探究三思维辨析【例1】已知的分布列为(1)求方差;(2)设Y=2-E,求DY.
2、分析(1)利用方差公式求解,首先求出均值E,然后利用D的定义求方差;(2)因为E是一个常数,所以DY=D(2-E)=22D.探究一探究二探究三思维辨析(2)Y=2-E,DY=D(2-E)=22D=4384=1 536.反思感悟 对于aX+b型的随机变量的均值,可以利用E(aX+b)=aEX+b求解,也可以先求出aX+b的分布列,再用定义求解,对于方差也是如此.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析反思感悟反思感悟 与二项分布有关的均值、方差的求法(1)求随机变量的均值与方差时,可首先分析是否服从二项分布,如果B(n,p),那么用
3、公式E=np,D=np(1-p)求解,可大大减少计算量.(2)有些随机变量虽不服从二项分布,但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布,这时,可以综合应用E(a+b)=aE+b以及E=np求出E(a+b),同样还可求出D(a+b).探究一探究二探究三思维辨析 变式训练2某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛,每场均决出胜负,设这支篮球队与其他篮球队比赛胜场的事件是独立的,并且胜场的概率是(1)求这支篮球队首次胜场前已经负了两场的概率.(2)求这支篮球队在6场比赛中恰好胜了3场的概率.(3)求这支篮球队在6场比赛中胜场数的均值和方差.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一
4、探究二探究三思维辨析第三种方案:李师傅的妻子认为:投资股市、基金均有风险,应该将10万元全部存入银行一年,现在存款年利率为4%,存款利息税率为5%.针对以上三种投资方案,请你为李师傅家选择一种合理的理财方案,并说明理由.分析在解决此类决策问题时,一般先分析题意,明确题目要求的是均值还是方差,在此基础上,将题中的数量指标用随机变量表示,把实际问题转化为随机变量的均值与方差求解.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析 反思感悟反思感悟 利用随机变量的均值与方差可以帮助我们作出科学的决策,其中随机变量X的均值的意义在于描述随机变量的平均水平,而方差则描述随机变量稳定与波动或集中与分散的
5、状况.品种的优劣、预报的准确与否、机器性能的好坏等很多指标都与这两个特征量有关.探究一探究二探究三思维辨析(1)若我们希望实际的平均水平较理想,则先求随机变量X1,X2的均值,当EX1=EX2时,不应误认为它们一样好,需要用DX1,DX2来比较这两个随机变量的偏离程度,稳定者就更好.(2)若我们希望比较稳定,应先考虑方差,再考虑均值是否相等或者接近.(3)若没有对平均水平或者稳定性有明确要求,一般先计算均值,若相等,则由方差来确定哪一个更好.若EX1与EX2比较接近,且均值较大者(此时均值表示较好的方面,如利润、产量)的方差较小,显然该变量更好;若EX1与EX2比较接近且方差相差不大,应根据不
6、同选择给出不同的结论,即是选择较理想的平均水平还是选择稳定性较好的.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析因混淆二项分布而致误【典例】 甲、乙两支排球队进行比赛,采用七局四胜制,即两队中有一队胜利四场时,整个比赛结束,若甲、乙两个队获胜的概率相等,记比赛的场数为X,求X的均值.易错分析对于题目而言,对其题意的理解至关重要,如果单纯的向一些固定模型上去靠,就会容易出错.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析纠错纠错心得心得 把问题看成一个二项分布问题是不正确的,由于无论甲还是乙,只要有一个队胜利四场,比赛即结束,故知
7、比赛的场数可能为4,5,6,7,而在二项分布 中X的取值为0,1,2,3,4,5,6,7共8个值,因而不是一个二项分布问题.探究一探究二探究三思维辨析变式训练根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X(单位:mm)对工期的影响如下表:历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9,求:(1)工程延误天数Y的均值与方差;(2)在降水量X至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率.探究一探究二探究三思维辨析解(1)由条件和概率的加法有:P(X300)=0.3,P(300X700)=P(X700)-P(X300)=0.7-0.3=0.4,P(7
8、00X900)=P(X900)-P(X700)=0.9-0.7=0.2,P(X900)=1-P(X900)=1-0.9=0.1.所以Y的分布列为 于是,EY=00.3+20.4+60.2+100.1=3,DY=(0-3)20.3+(2-3)20.4+(6-3)20.2+(10-3)20.1=9.8.故工期延误天数Y的均值为3,方差为9.8.探究一探究二探究三思维辨析12345123452.已知随机变量X+=8,若XB(10,0.6),则E,D分别是()A.6和2.4B.2和2.4C.2和5.6D.6和5.6解析若两个随机变量,X满足一次关系式=aX+b(a,b为常数),当已知EX,DX时,则有E=aEX+b,D=a2DX.由已知随机变量X+=8,所以有=8-X.因此,求得E=8-EX=8-100.6=2,D=(-1)2DX=100.60.4=2.4.答案B123453.某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1 000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数记为X,则X的均值为()A.100B.200 C.300D.400解析记不发芽的种子数为,则B(1 000,0.1),所以E=1 0000.1=100.又X=2,所以EX=E(2)=2E=200.答案B123451234512345
