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1、第五讲第五讲 函数的定义域与值域函数的定义域与值域回回归课本本1.函数的定函数的定义域域函数的定函数的定义域是指使函数有意域是指使函数有意义的的自自变量量的取的取值范范围.注意注意:(1)确定函数定确定函数定义域的原域的原则:当函数当函数y=f(x)用表格用表格给出出时,函数的定函数的定义域是指表格中域是指表格中实数数x的集合的集合;当函数当函数y=f(x)用用图象象给出出时,函数的定函数的定义域是指域是指图象在象在x轴上投影所覆盖的上投影所覆盖的实数的集合数的集合;当函数当函数y=f(x)用解析式用解析式给出出时,函数的定函数的定义域是指使解析域是指使解析式有意式有意义的的实数的集合数的集合
2、;当函数当函数y=f(x)由由实际问题给出出时,函数的定函数的定义域由域由实际问题的意的意义确定确定.(2)定定义域可分域可分为自然定自然定义域与限定定域与限定定义域两域两类:如果只如果只给函数解析式函数解析式(不注明定不注明定义域域),其定其定义域域应为使解使解析式有意析式有意义的自的自变量的取量的取值范范围,称称为自然定自然定义域域;如果函数受如果函数受应用条件或附加条件制用条件或附加条件制约,其定其定义域称域称为限定限定定定义域域.(3)复合函数定复合函数定义域的求法域的求法:若已知函数若已知函数f(x)的定的定义域域为a,b,其复合函数其复合函数fg(x)的定的定义域域应由不等式由不等
3、式ag(x)b解出解出.2.函数的函数的值域域在函数在函数y=f(x)中中,与自与自变量量x的的值相相对应的的y的的值叫函数叫函数值,函函数数值的集合叫做函数的的集合叫做函数的值域域.注意注意:确定函数的确定函数的值域的原域的原则当函数当函数y=f(x)用表格用表格给出出时,函数的函数的值域是指表格中域是指表格中实数数y的集合的集合;当函数当函数y=f(x)用用图象象给出出时,函数的函数的值域是指域是指图象在象在y轴上上的投影所覆盖的的投影所覆盖的实数数y的集合的集合;当函数当函数y=f(x)用解析式用解析式给出出时,函数的函数的值域由函数的定域由函数的定义域及其域及其对应关系唯一确定关系唯一
4、确定;当函数由当函数由实际问题给出出时,函数的函数的值域由域由问题的的实际意意义确定确定.考点陪考点陪练答案答案:A答案答案:C3.函数函数y=x2-2x的定的定义域域为0,1,2,3,那么其那么其值域域为( )A.-1,0,3 B.0,1,2,3C.y|-1y3 D.y|0y3答案答案:A答案答案:B5.函数函数y=f(x)的的值域是域是-2,2,定定义域是域是R,则函数函数y=f(x-2)的的值域是域是( )A.-2,2 B.-4,0C.0,4 D.-1,1答案答案:A类型一型一函数的定函数的定义域域解解题准准备:(1)已知解析式求定已知解析式求定义域的域的问题,应根据解析式中各根据解析式
5、中各部分的要求部分的要求,首先列出自首先列出自变量量应满足的不等式或不等式足的不等式或不等式组,然后解然后解这个不等式或不等式个不等式或不等式组,解答解答过程要注意考程要注意考虑全面全面,最后定最后定义域必域必须写成集合或区写成集合或区间的形式的形式. (2)确定函数的定确定函数的定义域域当当f(x)是整式是整式时,其定其定义域域为R.当当f(x)是分式是分式时,其定其定义域是使得分母不域是使得分母不为0的的实数的集合数的集合.当当f(x)是偶次根式是偶次根式时,其定其定义域是使得根号内的式子大于域是使得根号内的式子大于或等于或等于0的的实数的集合数的集合.对于于x0,x不能不能为0,因因为0
6、0无意无意义.f(x)=tanx的定的定义域域为f(x)=logax(a0且且a1)的定的定义域域为x|x0.由由实际问题确定的函数确定的函数,其定其定义域要受域要受实际问题的的约束束,要要具体具体问题具体分析具体分析.分段函数的定分段函数的定义域是各段中自域是各段中自变量取量取值范范围的并集的并集.抽象函数抽象函数f(2x+1)的定的定义域域为(0,1),是指是指x (0,1)而非而非02x+11;已知函数已知函数f(x)的定的定义域域为(0,1),求求f(2x+1)的定的定义域域时,应由由02x+11得出得出x的范的范围即即为所求所求. 分析分析 只需要使解析式有意义只需要使解析式有意义,
7、列不等式组求解列不等式组求解.类型二型二复合函数的定复合函数的定义域域解解题准准备:已知已知fg(x)的定的定义域域为x (a,b),求求f(x)的定的定义域域,其其方法是方法是:利用利用axb,求得求得g(x)的范的范围,此即此即为f(x)的定的定义域域.已知已知f(x)的定的定义域域为x (a,b),求求fg(x)的定的定义域域,其方法是其方法是:利利用用ag(x)b,求得求得x的范的范围,此即此即为fg(x)的定的定义域域.定定义域域经常作常作为基本条件出基本条件出现在在试题中中,具有一定的具有一定的隐蔽性蔽性.所以在解决函数所以在解决函数问题时,必必须按照按照“定定义域域优先先”的原的
8、原则,通通过分析定分析定义域来帮助解决域来帮助解决问题.【典例典例2】 (1)已知函数已知函数f(x)的定的定义域域为0,1,求下列函数的求下列函数的定定义域域:f(x2); (2)已知函数已知函数flg(x+1)的定的定义域是域是0,9,则函数函数f(2x)的定的定义域域为_. 分析分析 根据复合函数定根据复合函数定义域的含域的含义求解求解.解析解析 (1) f(x)的定的定义域是域是0,1, 要使要使f(x2)有意有意义,则必有必有0x21,解得解得-1x1. f(x2)的定的定义域域为-1,1. 答案答案 1,4 (-,0类型三型三求函数的求函数的值域域解解题准准备:求函数求函数值域的域
9、的总原原则:由定由定义域域 对应法法则f在等价在等价条件下条件下,巧妙地巧妙地转化化为与与y有关的不等式有关的不等式.求求值域域问题技巧性技巧性强,要根据要根据题目特点确定合理的方法目特点确定合理的方法,因与函数的最因与函数的最值密切密切相关相关,常可常可转化化为求函数的最求函数的最值问题. 分析分析 本本题主要考主要考查函数函数值域域问题,考考查运算能力运算能力 数形数形转化的思想化的思想,对于于(1),利用利用换元法元法转化化为二次函数的二次函数的值域域问题;对于于(2),利用基本不等式或利用函数的利用基本不等式或利用函数的单调性求解性求解;对于于(3),由函数的有界性或由几何法求解由函数
10、的有界性或由几何法求解;对于于(4),用求用求导数法数法求解求解. 反思感悟反思感悟 第第(1)小小题利用利用换元法易忽元法易忽视t0的条件的条件,第第(2)小小题利用基本不等式利用基本不等式时易漏掉易漏掉对x0恒成立恒成立,所以函数的定所以函数的定义域域为R.由原式得由原式得(y-2)x2+(y+1)x+y-2=0,当当y-2=0,即即y=2时,方程方程为3x=0,所以所以x=0 R;当当y-20,即即y2时,因因为x R,所以方程所以方程(y-2)x2+(y+1)x+y-2=0恒有恒有实根根,=(y+1)2-4(y-2)(y-2)0,即即3y2-18y+150,解得解得1y5.所以函数的所以函数的值域域为1,5.
