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1、第六章 数列高考文数高考文数6.1数列的概念及其表示数列的概念及其表示知识清单考点一数列的概念与通项公式考点一数列的概念与通项公式1.数列的概念按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的简单表示法:列表法、图象法、通项公式法(解析式法).2.数列的分类(1)根据数列的项数可以将数列分为两类:有穷数列项数有限的数列;无穷数列项数无限的数列.(2)按照数列的每一项随序号变化的情况分类:递增数列从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列;递减数列从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列;常数列各项相等的数列;摆动数列从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项
2、的数列.3.数列与函数的关系从函数观点看,数列可以看成以N*(或它的有限子集)为定义域的函数an=f(n),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值.反之,对于函数y=f(x),如果f(i)(i=1,2,3,)有意义,那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3),f(n),.4.数列的通项公式如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.考点二递推公式考点二递推公式如果已知数列an的首项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式叫做数列的
3、递推公式.考点三数列前考点三数列前n项和项和Sn与通项与通项an的关系的关系已知Sn,则an=数列an中,若an最大,则若an最小,则根据数列的前几项求数列通项公式的方法根据数列的前几项求数列通项公式的方法1.对用图形表示的数列,归纳其通项公式时要抓住以下两点:(1)前后两个图形的数量关系(即递推关系);(2)由递推关系求通项公式(或先求前几项,再归纳出通项公式).2.对由数组成的数列,归纳其通项公式时要抓住以下几点:(1)将前几项化为相同的结构;(2)利用常见正整数组成的数列推测出项的各部分与项数n的关系;(3)确定项的符号特征;(4)适时运用“因数分解”“1”的技巧.例1(2017河南郑州
4、、平顶山、濮阳二模,7)已知数列an满足an+1=an-an-1(n2),a1=m,a2=n,Sn为数列an的前n项和,则S2017的值为(C)方法技巧方法1A.2017n-mB.n-2017mC.mD.n解题导引利用递推公式求出a1,a2,a8,得an为周期数列结论解析an+1=an-an-1(n2),a1=m,a2=n,a3=n-m,a4=-m,a5=-n,a6=m-n,a7=m,a8=n,an+6=an(nN*).则S2017=S3366+1=336(a1+a2+a6)+a1=3360+m=m,故选C.已知数列的递推公式求通项公式已知数列的递推公式求通项公式1.已知数列的递推公式求通项公
5、式,可把每相邻两项的关系列出来,抓住它们的特点进行适当处理(如拆分、取倒数等),转化为等差数列或等比数列的通项问题.2.(1)由形如an+1=an+f(n)的递推公式求通项公式,只要f(n)可求和,便可利用叠加的方法.若an满足an+1-an=f(n)(nN*),a2-a1=f(1);a3-a2=f(2);an-an-1=f(n-1)(n2),方法2an-a1=f(1)+f(2)+f(n-1).an=a1+f(1)+f(2)+f(n-1).(2)由形如=f(n)的递推公式求通项公式,只要f(n)可求积,便可利用累乘的方法或迭代的方法.若an满足=f(n)(nN*),=f(1);=f(2);=f
6、(n-1)(n2),=f(1)f(2)f(n-1),an=a1f(1)f(2)f(n-1).(3)由形如an+1=Aan+B(A0且A1)的递推公式求通项公式时,可用构造等比数列法.对符合an+1=Aan+B(A0且A1)的数列an,求an,可采用以下方法:an+1-=A,是以A为公比,a1-为首项的等比数列.an-=An-1.an=An-1+.例2(2016河南洛阳期中模拟,10)设数列an满足a1+2a2+22a3+2n-1an=(nN*),则数列an的通项公式是(C)A.an=B.an=C.an=D.an=解题导引构造新数列an2n-1设数列2n-1an的前n项和为Tn2n-1an=Tn
7、-Tn-1(n2)得an(n2)验证n=1是否符合结论解析设数列2n-1an的前n项和为Tn,数列an满足a1+2a2+22a3+2n-1an=(nN*),Tn=,2n-1an=Tn-Tn-1=-=(n2),an=(n2),经验证,当n=1时上式也成立,故an=.已知数列已知数列anan的前的前n n项和项和SnSn求求anan1.由Sn求an时,要分n=1和n1两种情况讨论,然后验证两种情况可否用统一的解析式表示,若不能,则用分段函数的形式表示为an=2.利用an和Sn的关系,可以消去Sn得到关于an与an-1的关系,也可以消去an得到Sn与Sn-1之间的关系,前者可直接求出an,后者可求出
8、Sn,然后再利用Sn与an的关系求an.例3(2015课标,16)设Sn是数列an的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=.方法3解题导引将an+1=Sn+1-Sn代入-=1可求Sn解析an+1=Sn+1-Sn,Sn+1-Sn=Sn+1Sn,又由a1=-1,知Sn0,-=1,是等差数列,且公差为-1,而=-1,=-1+(n-1)(-1)=-n,Sn=-.答案-例4(2016甘肃白银会宁一中月考,14)已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,an+1=3Sn,则an=.解析由an+1=3Sn,得an=3Sn-1(n2),两式相减可得an+1-an=3Sn-3Sn-1=3an(n2),an+1=4an(n2),a1=1,a2=3S1=34a1,数列an从第二项开始是等比数列,an=a2qn-2=34n-2(n2).故an=答案
