《3.1序列的Z变换》由会员分享，可在线阅读，更多相关《3.1序列的Z变换（88页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析3.1 序列的序列的Z变换变换3.1.1Z变换的定义序列x(n)的Z变换定义为(1)式中z是一个复变量，它所在的复平面称为z平面。注意在定义中，对n求和是在之间求和，可以称为双边Z变换。还有一种称为单边Z变换的定义，如下式(2)第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析使(3)式成立，Z变量取值的域称为收敛域。一般收敛域用环状域表示这种单边Z变换的求和限是从零到无限大，因此对于因果序列，用两种Z变换定义计算出的结果是一样的。本书中如不另外说明，均用双边Z变换对信号进行分析和变换。(1)式Z变换存在的条
2、件是等号右边级数收敛，要求级数绝对可和，即(3)第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析图1Z变换的收敛域第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析常用的Z变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示分子多项式P(z)的根是X(z)的零点，分母多项式Q(z)的根是X(z)的极点。在极点处Z变换不存在，因此收敛域中没有极点，收敛域总是用极点限定其边界。对比序列的傅里叶变换定义(1)式，很容易得到FT和ZT之间的关系，用下式表示：(4)第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析式中z=ej表示在z平面上r=1的圆，该圆称为
3、单位圆。(4)式表明单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换。如果已知序列的Z变换，可用(4)式，很方便的求出序列的FT，条件是收敛域中包含单位圆。例1x(n)=u(n)，求其Z变换。解：X(z)存在的条件是|z-1|1，|z|1第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析由x(z)表达式表明，极点是z=1，单位圆上的Z变换不存在，或者说收敛域不包含单位圆。因此其傅里叶变换不存在，更不能用(4)式求FT。该序列的FT不存在，但如果引进奇异函数()，其傅里叶变换可以表示出来(见表2)。该例同时说明一个序列的傅里叶变换不存在，在一定收敛域内Z变换是存在的。第第2章章 时域离散信
4、号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析3.1.2序列特性对收敛域的影响序列的特性决定其Z变换收敛域，了解序列特性与收敛的一些一般关系，对使用Z变换是很有帮助的。1.有限长序列如序列x(n)满足下式：x(n)n1nn2x(n)=0其它第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析即序列x(n)从n1到n2序列值不全为零，此范围之外序列值为零，这样的序列称为有限长序列。其Z变换为设x(n)为有界序列，由于是有限项求和，除0与丙点是否收敛与n1、n2取值情况有关外，整个z平面均收敛。如果n10，则收敛域不包括z=0点；如果是因果序列，收敛域包括z=点。具体有限长序列的收
5、敛域表示如下：第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析n10，n20时，0zn10时，00时，0z例3.1.2求x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域解：第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析这是一个因果的有限长序列， 因此收敛域为0z。但由结果的分母可以看出似乎z=1是X(z)的极点，但同时分子多项式在z=1时也有一个零点，极零点对消，X(z)在单位圆上仍存在，求RN(n)的FT，可将z=ej代入X(z)得到，其结果和例题1中的结果(5)公式是相同的。2.右序列右序列是在nn1时，序列值不全为零，而其它nn1，序列值全为零。第第2章章
6、 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析第一项为有限长序列，设n1-1，其收敛域为0|z|。第二项为因果序列，其收敛域为Rx-|z|，Rx-是第二项最小的收敛半径。将两收敛域相与，其收敛域为Rx-|z|。如果是因果序列，收敛域定为Rx-|z|。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析例3.1.3求x(n)=anu(n)的Z变换及其收敛域解：在收敛域中必须满足|az-1|a|。3.左序列左序列是在nn2时，序列值不全为零，而在nn1，序列值全为零的序列。左序列的Z变换表示为第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析如果n20
7、,z=0点收敛，z=点不收敛，其收敛域是在某一圆(半径为Rx+)的圆内，收敛域为0|z|0，则收敛域为0|z|Rx+。例2.5.4求x(n)=-anu(-n-1)的Z变换及其收敛域。X(z)存在要求|a-1z|1，即收敛域为|z|Rx-，其收敛域为Rx-|z|Rx+，这是一个环状域，如果Rx+Rx-，两个收敛域没有公共区域，X(z)没有收敛域，因此X(z)不存在。例3.1.5x(n)=a|n|，a为实数，求x(n)的Z变换及其收敛域。解：第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析第一部分收敛域为|az|1，得|z|a|-1，第二部分收敛域为|az-1|a|。如果|a|
8、1，两部分的公共收敛域为|a|z|a|-1，其Z变换如下式：|a|z|a|-1如果|a|1，则无公共收敛域，因此X(z)不存在。当0aa，求其逆Z变换x(n)。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析为了用留数定理求解，先找出F(z)的极点，极点有：z=a;当n0时z=0共二个极点，其中z=0极点和n的取值有关。n0时，n=0不是极点。n0时，z=0是一个n阶极点。因此分成n0和n0两种情况求x(n)。n0时，第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析n0时，增加z=0的n阶极点，不易求留数，采用留数辅助定理求解，检查(2.5.10)式是否
9、满足，此处n0，(2.5.10)式就满足。图2.5.4例2.5.6中n|a-1|，对应的x(n)是右序列；(2)|a|z|z-1|，对应的x(n)是双边序列；(3)|z|a-1|种收敛域是因果的右序列，无须求n0时的x(n)。当n0时，围线积分c内有二个极点z=a和z=a-1，因此第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析最后表示成：x(n)=(an-a-n)u(n)。(2)收敛域|z|a|这种情况原序列是左序列，无须计算n0情况，当n0时，围线积分c内没有极点，因此x(n)=0。n0时，c内只有一个极点z=0，且是n阶极点，改求c外极点留数之和第第2章章 时域离散信
10、号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析最后将x(n)表示成x(n)=(a-n-an)u(-n-1)(3)收敛域|a|z|a-1|这种情况对应的x(n)是双边序列。根据被积函数F(z)，按n0和n0两情况分别求x(n)。n0时，c内极点z=ax(n)=ResF(z),a=an第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析n0时，c内极点有二个，其中z=0是n阶极点，改求c外极点留数，c外极点只有z=a-1，因此x(n)=-ResF(z),a-1=a-n最后将x(n)表示为ann0x(n)=x(n)=a|n|a-nn0第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信
11、号和系统的频域分析2.幂级数法(长除法)按照Z变换定义(2.5.1)式，可以用长除法将X(z)写成幂级数形式，级数的系数就是序列x(n)。要说明的是，如果x(n)是右序列，级数应是负幂级数；如x(n)是左序列，级数则是正幂级数。例2.5.8已知用长除法求其逆Z变换x(n)。解由收敛域判定这是一个右序列，用长除法将其展成负幂级数第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析1-az-1第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析例2.5.9已知求其逆Z变换x(n)。解：由收敛域判定，x(n)是左序列，用长除法将X(z)展成正幂级数第第2章章 时域离散
12、信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析3.部分分式展开法对于大多数单阶极点的序列，常常用这种部分分式展开法求逆Z变换。设x(n)的Z变换X(z)是有理函数，分母多项式是N阶，分子多项式是M阶，将X(z)展成一些简单的常用的部分分式之和，通过查表(参考表2.5.1)求得各部分的逆变换，再相加即得到原序列x(n)。设X(z)只有N个一阶极点，可展成正式第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析观察上式，X(z)/z在z=0的极点留数就是系数A0，在z=zm的极点留数就是系数Am。(2.5.11)(2.5.12)(2.5.13)(2.5.14)求出Am系数(m=0
13、,1,2,N)后，很容易示求得x(n)序列。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析例2.5.10已知，求逆Z变换。解第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析因为收敛域为2|z|2。第二部分极点z=-3，收敛域应取|z|3。查表2.5.1得到x(n)=anu(n)+(-3)nu(-n-1)一些常见的序列的Z变换可参考表2.5.1。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析表2.5.1常见序列Z变换第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信
14、号和系统的频域分析2.5.4Z变换的性质和定理Z变换有许多重要的性质和定理，下面进行介绍。1.线性设X(z)=ZTx(n),Rx-|z|Rx+Y(z)=ZTy(n),Ry-|z|Ry+则M(z)=ZTm(n)=aX(z)+bY(z),Rm-|z|Rx-Ry+Ry-时，则M(z)不存在。2.序列的移位设X(z)=ZTx(n),Rx-|z|Rx+则 ZT x(n-n0) =z-n0X(z), Rx-|z|Rx+ (2.5.16)第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析3.乘以指数序列设X(z)=ZTx(n),Rx-|z|Rx+y(n)=anx(n),a为常数则Y(z)=
15、ZTanx(n)=X(a-1z)|a|Rx-|z|a|Rx+(2.5.17)证明因为Rx-|a-1z|Rx+，得到|a|Rx-|z|a|Rx+。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析4.序列乘以n设则(2.5.18)证明第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析5.复序列的共轭设则证明(2.5.19)第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析6.初值定理设x(n)是因果序列，X(z)=ZTx(n)(2.5.20)证明因此7.终值定理若x(n)是因果序列，其Z变换的极点，除可以有一个一阶极点在z=1上，其它极点均在
16、单位圆内，则(2.5.21)第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析证明因为x(n)是因果序列，因为(z-1)X(z)在单位圆上无极点，上式两端对z=1取极限第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析终值定理也可用X(z)在z=1点的留数，因为(2.5.22)因此如果单位圆上，X(z)无极点，则x()=0。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析8.序列卷积设则第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析证明W(z)的收敛域就是X(z)和Y(z)的公共收敛域。第第2章章 时域离散信号和系统
17、的频域分析时域离散信号和系统的频域分析例2.5.11已知网络的单位取样响应h(n)=anu(n),|a|1，网络输入序列x(n)=u(n)，求网络的输出序列y(n)。解：y(n)=h(n)*x(n)求y(n)可用二种方法，一种直接求解线性卷积，另一种是用Z变换法。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析由收敛域判定y(n)=0,n0。n0y(n)=ResY(z)zn-1,1+ResY(z)zn-1,a第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析将y(n)表示为9.复卷积定理如果ZTx(n)=X(z)，Rx-|z|Rx+ZTy(n)=Y(z),
18、Ry-|z|Ry+w(n)=x(n)y(n)则第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析W(z)的收敛域(2.5.24)式中v平面上，被积函数的收敛域为(2.5.24)(2.5.25)(2.5.26)第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析证明由X(z)收敛域和Y(z)的收敛域，得到第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析例2.5.12已知x(n)=u(n),y(n)=a|n|，若w(n)=x(n)y(n)，求W(z)=ZTw(n)解：因此第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析W(z
19、)收敛域为|a|z|；被积函数v平面上收敛域为max(|a|,0)|v|min(|a-1|,|z|)，v平面上极点：a、a-1和z,c内极点z=a。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析10.帕斯维尔(Parseval)定理利用复卷积定理可以证明重要的怕斯维尔定理。那么v平面上，c所在的收敛域为第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析证明令w(n)=x(n)y*(n)按照(2.5.24)式，得到按照(2.5.25)式，Rx-Ry-|z|Rx+Ry+，按照假设，z=1在收敛域中，令z=1代入W(z)中。第第2章章 时域离散信号和系统的频域
20、分析时域离散信号和系统的频域分析如果x(n)和y(n)都满足绝对可和，即单位圆上收敛，在上式中令v=ej，得到(2.5.29)令x(n)=y(n)得到上面得到的公式和在傅里叶变换中所讲的帕期维尔定理(2.2.34)式是相同的。(2.5.28)式还可以表示成下式：第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2.5.5利用Z变换解差分方程在第一章中介绍了差分方程的递推解法，下面介绍Z变换解法。这种方法将差分方程变成了代数方程，使求解过程简单。设N阶线性常系数差方程为(2.5.30)1.求稳态解如果输入序列x(n)是在n=0以前时加上的，n时刻的y(n)是稳态解，对(2.5.
21、30)式求Z变换，得到第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析式中(2.5.31)(2.5.32)第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2.求暂态解对于N阶差分方程，求暂态解必须已知N个初始条件。设x(n)是因果序列，即x(n)=0,nmax(|a|,|b|)，式中第一项为零输入解，第二项为零状态解。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2.6 利用利用Z变换分析信号和系统变换分析信号和系统的频域特性的频域特性 2.6.1传输函数与系统函数设系统初始状态为零，输出端对输入为单位脉冲序列(n)的响应，称为系统
22、的单位脉中响应h(n)，对h(n)进行傅里叶变换得到H(ej)(2.6.1)一般称H(ej)为系统的传输函数，它表征系统的频率特性。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析设h(n)进行Z变换，得到H(z)，一般称H(z)为系统的系统函数，它表征了系统的复频域特性。对N阶差分方程(1.4.2)式，进行Z变换，得到系统函数的一般表示式(2.6.2)如果H(z)的收敛域包含单位圆|z|=1，H(ej)与H(z)之间关系如下式：(2.6.3)第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2.6.2用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性因果(可实
23、现)系统其单位脉响应h(n)一定满足当n0时，h(n)=0，那么其系统函数H(z)的收敛域一定包含点，即点不是极点，极点分布在某个圆的圆内，收敛域在某个圆外。系统稳定要求，对照Z变换定义，系统稳定要求收敛域包含单位圆。如果系统因果且稳定，收敛域包含点和单位圆，那么收敛域可表示为r|z|，0r1第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析例2.6.1已知分析其因果性和稳定性.解：H(z)的极点为z=a，z=a-1，如图2.5.5所示。(1)收敛域a-1|z|，对应的系统是因果系统，但由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。单位脉冲响应h(n)=(an-a-n)u(n)(
24、参考例题2.5.7)，这是一个因果序列，但不收敛。(2)收敛域0|z|a,对应的系统是非因果且不稳定系统。其单位脉冲响应h(n)=(a-n-an)u(-n-1)(参考例题2.5.7)，这是一个非因果且不收敛的序列。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析(3)收敛域a|z|a-1，对应的系统是一个非因果系统，但由于收敛域包含单位圆，因此是稳定系统。其单位脉冲响应h(n)=a|n|，这是一个收敛的双边序列，如图2.6.1(a)所示。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析图2.6.1例2.6.1图示第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时
25、域离散信号和系统的频域分析2.6.3利用系统的极零点分布分析系统的频率特性将(2.6.2)式因式分解，得到(2.6.4)式中A=b0/a0，上式中cr是H(z)的零点，dr是其极点。A参数影响传输函数的幅度大小，影响系统特性的是零点cr和极点d的分布。下面我们采用几何方法研究系统零极点分布对系统频率特性的影响。将(2.6.4)式分子分母同乘以zN+M，得到第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析设系统稳定，将z=ej，得到传输函数(2.6.5)(2.6.6)设N=M，由(2.6.6)式得到(2.6.7)第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域
26、分析在z平面上，ej-cr用一根由零点cr指向单位圆上ej点B的向量表示，同样ej-dr用内极点指向ej点B的向量表示，如图2.6.2所示。和分别称为零点矢量和极点矢量，将它们用极坐标表将和表示式代入(2.6.7)式，得到第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析(2.6.8)(2.6.9)第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析系统的传输特性或者信号的频率特性由(2.6.8)式和(2.6.9)式确定。当频率从零变化到2时，这些向量的终点B沿单位圆逆时针旋转一周，按照(2.6.8)式(2.6.9)式，分别估算出系统的幅度特性和相位特性。例如
27、图2.6.2表示了具有一个零点和二个极点的频率特性。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析图2.6.2频响的几何表示法第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2.6.2已知H(z)=z-1，分析其频率特性解：由H(z)=z-1，极点为z=0，幅度特性|H(ej)|=1,相位特性()=-，频响如图2.6.3所示。用几何方法也容易确定，当=0转到=2时，极点矢量的长度始终为1。由该例可以得到结论，处于原点处的零点或极点，由于零点矢量长度或者是极点矢量长度始终为1，因此原点处的零极点不影响系统的频率特性。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分
28、析时域离散信号和系统的频域分析图2.6.3H(z)=z-1的频响第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2.6.3设一阶系统的差分方程为y(n)=by(n-1)+x(n)用几何法分析其幅度特性。解：由系统差分方程得到系统函数为系统极点z=b，零点z=0，当B点从=0逆时旋转时，在=0点由于极点矢量长度最短，形成波峰。在=时形成波谷。z=0处零点不影响频响。极零点分布及幅度特性如图2.6.4所示。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析图2.6.4例2.6.3插图第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2.6.4
29、已知H(z)=1-z-N，试定性画出系统的幅频特性。解：H(z)的极点为z=0，这是一个N阶极点，它不影响系统的频响。零点有N个，由分子多项式的根决定第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析N个零点等间隔分布在单位圆上，设N=8，极零点分布如图2.6.5所示。当从零变化到2时，每遇到一个零点，幅度为零，在两个零点的中间幅度最大，形成峰值。幅度谷值点频率为：k=(2/N)k,k=0,1,2,(N-1)。一般将具有如图2.6.5所示的幅度特性的滤波器称为梳状滤波器。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析图2.6.5梳状滤波器的极零点分布及幅度特性第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2.6.5利用几何法分析矩形序列的幅频特性。解：零点：极点：设N=8，z=1处的极点零点相互抵消。这样极零点分布及其幅频特性如图2.6.6所示。阶零点第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析图2.6.6N=8矩形序列极零点分布及幅度特性
