第二章,投影法基本知识

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1、2-1 2-1 投影法基本知识投影法基本知识一、概述一、概述 投投影影法法就就是是投投影影中中心心发发出出的的投投射射线线通通过过物物体体，向向选选定定的的面面投投射射，并并在在该该面面上上得得到到图图形形的的方方法法。根根据据投投影影法法得得到到的的图图形形称称为为投投影影，得得到到投投影影的的面面称称为为投投影面。影面。投影面投影面投射中心投射中心投影体投影体ACB投影投影abc投射线投射线投影三个要素：投影三个要素：投射线、投影面、物体投射线、投影面、物体。 二、投影法分类二、投影法分类 根根据据投投射射线线之之间间的的相相对对位位置置不不同同，投投影影法法分分为为中中心投影法心投影法和

2、和平行投影法平行投影法两类。两类。1、中中心心投投影影法法：投投射射线线均均从从一一点点发发出出的的投投影影法法称称为为中中心心投投影影法法。发发出出投投射射线线的的点点即即是是投投射中心。射中心。中心投影法中心投影法的投影特性的投影特性：立立体体感感强强在在建建筑筑设设计计领领域域通通常常用用中中心心投投影影法法绘绘制制建建筑物的透视图。筑物的透视图。度量性差度量性差投影的大小随着物体位置的改变而变化。投影的大小随着物体位置的改变而变化。CAB投影面投影面abc物体位置改变，物体位置改变，投影大小也改变投影大小也改变 2、平平行行投投影影法法：投投射射线线相相互互平平行行的的投投影影法法称称

3、为为平平行行投投影法。影法。 根根据据投投射射线线与与投投影影面面是是否否垂垂直直，平平行行投投影影法法又又分分为为斜斜投投影法影法和和正投影法正投影法。斜投影法斜投影法：投射线倾斜于投影面的平行投射线倾斜于投影面的平行投影法投影法。 斜斜投投影影法法在在机机械械工工程程方面用于绘制立体图。方面用于绘制立体图。投影体投影体ACB投影面投影面abc斜投影斜投影投射线倾斜投射线倾斜于投影面于投影面正投影法正投影法：投射线垂直于投影面的平行投影法。投射线垂直于投影面的平行投影法。 正正投投影影法法能能够够准准确确表表达达空空间间物物体体的的形形状状和和大大小小，度度量量性性好好，作作图图简简便便，因

4、因而而在在工工程程上上得得到到广泛的应用广泛的应用。投影体投影体ACB投影面投影面abc正投影正投影投射线垂直投射线垂直于投影面于投影面 机械图样主要是用正投机械图样主要是用正投影法绘制，如三视图。影法绘制，如三视图。三、三、正投影的基本性质正投影的基本性质 真实性真实性：当一线段与投影面平行时，其正投影反映该当一线段与投影面平行时，其正投影反映该 线段的实际长度线段的实际长度；当一平面图形与投影面平行时，其当一平面图形与投影面平行时，其 正投影反映该平面图形的实际形状正投影反映该平面图形的实际形状。真真 实实 性性 积聚性积聚性：当一线段与投影面垂直时，其正投影积聚为一当一线段与投影面垂直时

5、，其正投影积聚为一 点点；当一平面图形与投影面垂直时当一平面图形与投影面垂直时，其正投影积聚为其正投影积聚为 一一直线直线。积积 聚聚 性性 类似性类似性：当一线段与投影面倾斜时，其正投影当一线段与投影面倾斜时，其正投影为为缩短缩短 的线段；的线段； 当一平面图形与投影面倾斜时，其正投影当一平面图形与投影面倾斜时，其正投影 为缩小的类似图形为缩小的类似图形。类类 似似 性性根根据据国国标标规规定定，用用正正投投影影法法绘绘制制出出物物体体的的图图形形称称为为视视图图。下下图图表表示示的的是是三三个个不不同同形形体体，在在一一个个投投影影面面上上的的视视图图却却是是完完全全相同的相同的。工工程程

6、上上为为了了准准确确表表达达物物体体的的空空间间形形状状，采采用用的的是是多多面面正正投投影图影图，三视图三视图则是准确表达形体的一种基本方法则是准确表达形体的一种基本方法。2-2 2-2 三视图的形成及其对应关系三视图的形成及其对应关系2-2 2-2 三视图的形成及其对应关系三视图的形成及其对应关系一一、三视图的形成、三视图的形成Q三投影面体系三投影面体系的建立的建立三投影面体系是由三个互相垂直的投影面所组成。三投影面体系是由三个互相垂直的投影面所组成。1 1、正立投影面正立投影面简称正立面，简称正立面， 用用V V表示。表示。2 2、水平投影面水平投影面简称水平面，简称水平面， 用用H H

7、表示。表示。3 3、侧立投影面侧立投影面简称侧立面，简称侧立面， 用用WW表示。表示。三投影面体系三投影面体系 三个投影面的交线称为投影轴，分别用三个投影面的交线称为投影轴，分别用OXOX、OYOY、OZOZ表示，也可简称为表示，也可简称为X X、Y Y、Z Z轴。轴。 三根投影轴相互垂直相交，交点称为原点。三根投影轴相互垂直相交，交点称为原点。2-2 2-2 三视图的形成及其对应关系三视图的形成及其对应关系Q物体在三投影面体系中的投影：物体在三投影面体系中的投影：将将物物体体置置于于三三投投影影面面体体系系内内，并并使使其其处处于于观观察察者者与与投投影影面面之之间间，用用正正投投影影法法分

8、分别别向向三三个个投投影影面面投投射射，即即可可得得到到物物体体的的三视图成。三视图成。1 1、主视图主视图从前向后投射从前向后投射，在，在V V面上所得的视图。面上所得的视图。2 2、俯视图俯视图从上向下投射从上向下投射，在，在H H面上所得的视图。面上所得的视图。3 3、左视图左视图从左向右投射从左向右投射，在，在WW面上所得的视图。面上所得的视图。三视图的形成三视图的形成Q三三投影面投影面的的展开展开V V面面保保持持不不动动，H H面面绕绕OXOX轴轴向向下下旋旋转转9090，WW面面绕绕OZOZ轴轴向向右右旋旋转转9090，这这样样V V、H H和和WW三三个个投投影影面面就就摊摊平

9、在了同一平面上。平在了同一平面上。水水平平投投影影面面和和侧侧立立投投影影面面旋旋转转后后，O OY Y轴轴被被分分成成两两条条，分别用分别用O OY Yh h和和O OY Yw w表示表示。三投影面的展开三投影面的展开 三视图之间的三视图之间的投影规律投影规律由由于于三三视视图图反反映映的的是是同同一一物物体体，所所以以相相邻邻两两个个视视图图同一方向的尺寸必定相等，由此可以得出：同一方向的尺寸必定相等，由此可以得出：1. 1.主、俯视图主、俯视图长对正长对正两者都反映了物体的长度尺寸两者都反映了物体的长度尺寸2. 2.主、左视图主、左视图高平齐高平齐两者都反映了物体的高度尺寸两者都反映了物

10、体的高度尺寸3. 3.俯、左视图俯、左视图宽相等宽相等两者都反映了物体的宽度尺寸两者都反映了物体的宽度尺寸 三视图之间存在的三视图之间存在的“长对正长对正、高平齐高平齐、宽相等宽相等”的的“三等三等”规律，对于任何物体，不论规律，对于任何物体，不论是整体还是局部，这个投影对应关系都保持不变。是整体还是局部，这个投影对应关系都保持不变。z 三视图与物体方位的对应关系三视图与物体方位的对应关系物体有上、下、左、右、前、后物体有上、下、左、右、前、后六个方位，六个方位，当物体的主视图投射方当物体的主视图投射方向确定后，其六个方位也随之确定。向确定后，其六个方位也随之确定。各视图反映的方位如图所示：各

11、视图反映的方位如图所示：主视图能反映物体的主视图能反映物体的上下上下和和左右左右方位方位俯视图能反映物体的俯视图能反映物体的左右左右和和前后前后方位方位左视图能反映物体的左视图能反映物体的上下上下和和前后前后方位方位 以主视图为基准，俯、左视图中以主视图为基准，俯、左视图中靠近主视图的一边是物体的后面，靠近主视图的一边是物体的后面，远离主视图的一边是物体的前面。远离主视图的一边是物体的前面。三、画物体三视图的步骤三、画物体三视图的步骤作作图图之之前前，首首先先选选择择反反映映物物体体形形状状特特征征最最明明显显的的方方向向作作为为主主视视图图的的投投射射方方向向，并并将将物物体体在在三三投投影

12、影面面体体系系中中放放正正，然然后后按按正投影法正投影法分别向各投影面投射。分别向各投影面投射。点点是是最最基基本本的的几几何何元元素素，为为了了正正确确表表达达物物体体，首首先先应应掌握掌握点的投影规律点的投影规律。2-3 2-3 点点 的的 投投 影影点击播放动画一、点的三面投影一、点的三面投影 在在三三投投影影面面体体系系中中有有一一点点A，过过点点A分分别别向向三三个个投投影影面面作作垂垂线线，其其垂垂足足a、a、a即即为为点点A在在三三个个投投影影面面上上的投影。的投影。 空间点用空间点用大写字母大写字母表示，水平投影用表示，水平投影用相应的相应的小写字母小写字母标记，正面投影用相应

13、标记，正面投影用相应的的小写字母加一撇小写字母加一撇标记，侧面投影用相标记，侧面投影用相应的应的小写字母加两撇小写字母加两撇标记。如图中的标记。如图中的 a a、aa、aa。点击播放动画 将将三三投投影影面面展展开开，去去掉掉投投影影面面的的边边框框线线，便便得得到到点点的的三三面面投投影影图图，如如图图所所示示。aX、aYH、aYW、aZ分分别别为为点的投影连线与投影轴点的投影连线与投影轴OX、OYH、OYW、OZ的交点。的交点。点投影立体图点投影立体图A点投影展开图点投影展开图1、点点的的正正面面投投影影和和水水平平投投影影 的的 连连 线线 垂垂 直直 于于 OX轴轴（aaOXaaOX）

14、。2、点点的的正正面面投投影影和和侧侧面面投投影影 的的 连连 线线 垂垂 直直 于于 OZ轴轴（aaOZOZ）。3、点点的的水水平平投投影影到到OXOX的的距距离离等等于于侧侧面面投投影影到到OZ轴轴的的距离距离（a aX=a aZ ）。 点的三面投影规律点的三面投影规律从点的三面投影图的形成过程，可得出点的三面投影规律：从点的三面投影图的形成过程，可得出点的三面投影规律：点的每个投影能反映点的两个坐标点的每个投影能反映点的两个坐标T点的正面投影点的正面投影a a反映出反映出x x、z z坐标坐标T点的水平投影点的水平投影a a反映出反映出x x、y y坐标坐标T点的侧面投影点的侧面投影a

15、a反映出反映出y y、z z坐标坐标三、三、点到投影面的距离点到投影面的距离用用点的坐标表示。点的坐标表示。 点点A A到到WW面的距离面的距离等于点的等于点的X X坐标，坐标，X XA A= =aaaayhyh= =a aa az z 点点A A到到V V面的距离面的距离等于点的等于点的Y Y坐标，坐标，Y YA A= =aaaax x= =a aa az z 点点A A到到H H面的距离面的距离等于点的等于点的Z Z坐标，坐标，Z ZA A= =a aa ax x= =a aa aywyw例例：已知点已知点A A（3030、1515、2525）求作）求作A A点的三面投影。点的三面投影。1

16、. 1.分别在分别在X X、Y Y、Z Z轴上量取轴上量取A A点的坐点的坐标标3030、1515、2525，得，得a ax x、a aYHYH、aYWYW和和a aZ Z点点2. 2.过过a ax x、a aYHYH、a aYWYW和和a aZ Z点作所在投影点作所在投影轴的垂线轴的垂线3. 3.各垂线的交点各垂线的交点即为所求即为所求A A点的点的三面投影三面投影作图步骤：作图步骤：例例：如如图图所所示示，已已知知B B点点的的正正面面投投影影和和侧侧面面投投影影，补出补出B B点的点的水平水平投影。投影。 作作图图分分析析：由由于于点点的的任任两两投投影影都都能能反反映映该该点点的的三三

17、个个坐坐标标，因因此此便便可可按按点点的的投投影影规规律律作作出出点点的的第第三三投投影。影。作图步骤作图步骤：1.按点的投影规律作点的投影按点的投影规律作点的投影连线连线；2.投影连线的交点即为投影连线的交点即为B点的点的水平投影。水平投影。例：已知点例：已知点A（40、15、30）求作）求作A点的直观图。点的直观图。 1、首先画出三投影面的直观图。、首先画出三投影面的直观图。 2、在三坐标轴上分别量取该点的三个坐标在三坐标轴上分别量取该点的三个坐标， 得得ax、ay和和az点点。 3、过、过ax、ay和和az点作相应投影轴的平行线，点作相应投影轴的平行线， 各线的交点为点的投影。各线的交点

18、为点的投影。 4、分分别别过过a、a、a作作三三坐坐标标轴轴的的平平行行线线。 三条线的交点为空间三条线的交点为空间A点点 三投影面体系直观图三投影面体系直观图作图步骤：作图步骤：四、点的直观图画法四、点的直观图画法例例：已知已知B B（4040、3030、0 0）作出）作出B B点的三面投影。点的三面投影。因因B B点点的的坐坐标标（4040、3030、0 0）中中Z Z坐坐标标为为0 0，故故B B点点位位于于H H面面上。上。思考：思考：当当点点位位于于投投影影轴轴上上及及原原点点时时，其三其三个投影的位置个投影的位置。若点在若点在投影面上投影面上，则该点的，则该点的三个坐标中有一个为三

19、个坐标中有一个为0 0点在点在V面上面上Y坐标为坐标为0 在在H面上面上Z坐标为坐标为0 在在W面上面上X坐标为坐标为0投影轴上的点的三个坐标中有两个为投影轴上的点的三个坐标中有两个为0 0点在点在X X轴上轴上Y Y、Z Z坐标为坐标为0 0 在在Y Y轴上轴上X X、Z Z坐标为坐标为0 0 在在Z Z轴上轴上X X、Y Y坐标为坐标为0 0原点上的点原点上的点 原原点点上上的的点点，三三个个坐坐标标均均为为0 0，三三个个投投影影均均与与原原点点重合。重合。五五、空间空间两点的相对位置两点的相对位置两两点点间间的的相相对对位位置置是是指指空空间间两两点点之之间间的的上上下下、左左右右和和

20、前前后后的位置关系。的位置关系。试判别图中试判别图中A A、B B两点两点的相对位置。的相对位置。根据两点的坐标判断相对位置根据两点的坐标判断相对位置。两点中，两点中，X X坐标大点在左；坐标大点在左； Y Y坐标大坐标大，点在前；点在前； Z Z坐标大坐标大，点在上。点在上。例：例：试判试判断断图中图中A A、B B两点的相对位置。两点的相对位置。B B点点X X坐标大：坐标大： B B点在点在A A点点左方左方B B点点Y Y坐标大：坐标大： B B点在点在A A点点前方前方B B点点Z Z坐标小：坐标小： B B点在点在A A点点下下方方六六、重影点及其可见性、重影点及其可见性重影点：若

21、两个点在某一投影面上的投影重合成重影点：若两个点在某一投影面上的投影重合成一点，一点，则则 称为重影点，如图所示称为重影点，如图所示： d d与与c c，a a与与b b为重影为重影 点。点。 从图中可看出从图中可看出：A A、B B两点的两点的X X、Y Y坐标相等；坐标相等； C C、D D两点的两点的X X、Z Z坐标相等。坐标相等。 分分析析A A、B B两两点点哪哪两两个个坐坐标标相相等等，C C、D D两两点点哪哪两两个个坐坐标标相相等？等？重影点的坐标中有两个相等。重影点的坐标中有两个相等。当当两两点点的的投投影影重重合合时时就就会会有有一一个个点点的的投投影影被被挡挡住住，作作

22、图图时时要要判判断断出出被被挡挡住住的的点点，即即判判别别重重影影点点的的可可见见性性，可可通通过过两两重重影影点点的的不不相相等等的的坐坐标标来来判判别别。一一定定是是坐坐标标大大的的点点挡挡住住坐坐标标小的点。小的点。注意：判别后注意：判别后，要将不可见投影用括号括住。要将不可见投影用括号括住。 1 1. .从从图图中中可可看看出出A A、B B在在H H面面上上的的投投影影重重合合，为为水水平平重重影影点点。由由于于A A点点的的Z Z坐坐标标比比B B点点的的Z Z坐坐标标大大，故故B B点的水平投影不可见。点的水平投影不可见。 2.C2.C、D D两两点点在在V V面面重重影影，因因

23、D D点点的的Y Y坐坐标标小小，故故D D点点的的正正面面投投影不可见。影不可见。点点的的投投影影是是学学习习直直线线投投影影的的基基础础。实实际上也是学习后面其他内容的基础。际上也是学习后面其他内容的基础。一、直线的投影一、直线的投影直直线线的的投投影影一一般般仍仍为为直直线线，特特殊情况为一点。殊情况为一点。由由于于两两点点可可以以确确定定一一条条直直线线。因因此此作作直直线线的的投投影影可可以以归归结结为为作作直线直线上上两端点的投影两端点的投影。点击播放动画2-4 直线的投影直线的投影作图步骤：作图步骤：例：根据例：根据AB直线的两面投影直线的两面投影 补出第三面投影。补出第三面投影

24、。 2.投投影影连连线线的的交交点点为为A、B两两端端点点的的侧侧面面投投影影,连连接接A、B的的侧面投影完成作图。侧面投影完成作图。1.按按点点的的投投影影规规律律分分别别作作A、B两点投影的连线两点投影的连线;注意：注意：要细心，不要把点对错了。要细心，不要把点对错了。2-4 直线的投影直线的投影二、各种位置直线的投影二、各种位置直线的投影根根据据直直线线在在三三投投影影面面体体系系中中对对投投影影面面的的相相对对位位置置不不同同，将将直线分为：直线分为：Q 投影面平行线投影面平行线Q 投影面垂直线投影面垂直线Q 投影面倾斜线投影面倾斜线 1、一般位置直线一般位置直线 定义：与三个投影面均

25、成倾斜的直线定义：与三个投影面均成倾斜的直线特殊位置直线特殊位置直线一般位置直线一般位置直线 直线与直线与 H H、V V、WW投影面的倾角分别用投影面的倾角分别用 、 、 表示，见图表示，见图中的标注。中的标注。一般位置直线投影特点：一般位置直线投影特点：三个投影与投影三个投影与投影轴都轴都倾斜倾斜，且，且都都是是缩短缩短的直线；的直线；三三个个投投影影与与投投影影轴轴的的夹夹角角，均均不不能能反反映映、和和 角实际角实际的的大小大小。2-4 直线的投影直线的投影 2、投影面平行线投影面平行线 定定义义：平平行行于于某某一一投投影影面面，倾斜于另两投影面的直线。倾斜于另两投影面的直线。投影面

26、平行线投影面平行线分为分为三种三种： 正正平平线线平平行行V面面，而而与与H面、面、W面成倾斜面成倾斜 水水平平线线平平行行于于H面面，与与V、W面成倾斜面成倾斜 侧侧平平线线平平行行于于W面面，与与V、H面倾斜面倾斜2-4 直线的投影直线的投影投影面平行线的投影特点：投影面平行线的投影特点： 投影面的平行投影面的平行线线在其所平行的投影面上的在其所平行的投影面上的投影投影为倾斜的为倾斜的 直线，并直线，并反映实长反映实长。（正投影的真实性）（正投影的真实性）另外两个投影分别另外两个投影分别平行平行于相应的于相应的投影轴。投影轴。真真实实性性投投影影即即倾倾斜斜的的直直线线与与投投影影轴轴的的

27、夹夹角角反反映映空空间间直直线线对对投影面倾投影面倾角的实际大小角的实际大小。2-4 直线的投影直线的投影 3、投影面垂直线投影面垂直线定定义义：垂垂直直于于某某一一投投影影面面的直线（与另两投影面平行）。的直线（与另两投影面平行）。投影面投影面的的垂直线垂直线分为分为三种三种：u 正正垂垂线线垂垂直直于于V面面，而与而与H面、面、W面平行面平行u 铅铅垂垂线线垂垂直直于于H面面，与与V、W面平行面平行u 侧侧垂垂线线垂垂直直于于W面面，与与V、H面平行面平行2-4 直线的投影直线的投影投影面垂直线的投影特点：投影面垂直线的投影特点：v 投影面的投影面的垂垂直直线线在其所垂直的投影面上在其所垂

28、直的投影面上的投影的投影积聚积聚 为一点为一点。v 另外两个另外两个投影投影垂直于相应的投影轴，并垂直于相应的投影轴，并反映实长反映实长。2-4 直线的投影直线的投影 例：判断图中各直线的空间位置例：判断图中各直线的空间位置。2-4 直线的投影直线的投影AB是是 线线 ； CD是是 线线 ；EF是是 线线 ； GH是是 线线 ；KL是是 线线 ； MN是是 线线 ；ST是是 线线 。 二、各种位置直线的投影二、各种位置直线的投影 例：试分析立体表面上各线段的空间位置例：试分析立体表面上各线段的空间位置。2-4 直线的投影直线的投影图中：图中：AB是是 线；线；AC是是 线；线；DB是是 线；线

29、；CE是是 线；线；EF是是 线。线。三、点与直线三、点与直线1.点点在在直线直线上上点点在在直直线线上上，则则点点的的各各个个投投影影必必在在直线的各同面投影。直线的各同面投影。反反之之，若若点点的的各各个个投投影影从从属属于于直直线线的的同同面面投投影影，则则该该点点必必定定从从属属于于此直线。此直线。从从属属于于直直线线的的点点分分割割线线段段的的长长度度之之比比等等于于其其投投影影分分割割线段投影长度之比。即直线上点的定比性。线段投影长度之比。即直线上点的定比性。即即 ac:cb=ac:cb=ac:cb=k2-4 直线的投影直线的投影点击播放动画 例例: 判断图中点判断图中点是否在是否

30、在直线直线上上。作图分析作图分析：由由于于AB直直线线为为一一般般位位置置。而而给给出出的的C点点的的两两投投影影分分别别在在AB线线的的同同面面投投影上，故可认定影上，故可认定C点从属于点从属于AB直线。直线。判别方法判别方法1：补出：补出k点与点与EF线的侧面投影。线的侧面投影。判别方法判别方法2：由定比性作图判别。：由定比性作图判别。EF线为一侧平线，虽线为一侧平线，虽然然k点的两投影在点的两投影在EF线的线的同面投影上，但由于同面投影上，但由于AB直线位置的特殊性，仍需直线位置的特殊性，仍需要通过作图认定。要通过作图认定。四四、两直线的相对位置、两直线的相对位置 空间两直线的相对位置有

31、三种情况空间两直线的相对位置有三种情况， 即相交、平行和交叉即相交、平行和交叉。 平行、相交的两直线属于共面直线，平行、相交的两直线属于共面直线，交叉的两条直线为异面直线。交叉的两条直线为异面直线。1、两直线平行两直线平行空间平行的两直线，其同面投空间平行的两直线，其同面投影必定平行。反之，若两直线的影必定平行。反之，若两直线的各个投影都平行则该两直线在空各个投影都平行则该两直线在空间必定平行。间必定平行。2-4 直线的投影直线的投影 2、两直线相交两直线相交图图中中AB、CD两两直直线线在在空空间间相相交交，可可以以看看到到两两直直线线的的各各同面投影均相交。其投影的交点即为两直线交点的投影

32、。同面投影均相交。其投影的交点即为两直线交点的投影。空空间间相相交交的的两两直直线线，其其同同面面投投影影必必定定相相交交，交交点点为为两两直直线所共有，且交点的投影应符合点的投影规律。线所共有，且交点的投影应符合点的投影规律。2-4 直线的投影直线的投影例：例：1、过过S点任作一直线与点任作一直线与AB线相交线相交 2、过过S点作一水平线点作一水平线ST与与AB线相交。线相交。作作图图分分析析1:题题目目没没有有其其他他要要求求，即即只只要要作作出出的的图图形形符符合合相相交交的的结结论论就就可可。最最简简单单的的方方法法是是将将S点点直直接接与与AB线线的的任任一一端端点点相相连连接。接。

33、作图步骤如作图步骤如右右图所示。图所示。作作图图分分析析2:按按题题目目要要求求，ST线线既既要要符符合合两两直直线线相相交交的的结结论论，同时又要同时又要具有具有水水平线的投影特点平线的投影特点。 作作图图步步骤骤如如右图所示。右图所示。 交交叉叉的的两两直直线线，投投影影可可能能相相交交，但但的的交点实际上是直线上重影点的投影。交点实际上是直线上重影点的投影。 如如下下图图所所示示：投投影影的的交交点点是是AB线线上上的的E点和点和CD线上的线上的F点的重影。点的重影。3、两直线交叉两直线交叉重影点可见性的判别方法？重影点可见性的判别方法？ 交交叉叉两两直直线线的的投投影影可可能能平平行行

34、，但但不不会会三三个个投投影影都都平行。平行。 特特殊殊位位置置直直线线中中，如如果果反反映映实实长长的的投投影影平平行行，则则两直线平行，否则为交叉。两直线平行，否则为交叉。3、两直线交叉两直线交叉2- 5 平面的投影平面的投影 物物体体是是由由各各种种不不同同形形状状的的表表面面围围成成的的，点点、线线、面面是是构成物体的基本几何元素。构成物体的基本几何元素。 平平面面的的投投影影仍仍然然是是以以点点的的投投影影为为基基础础，只只要要作作出出平平面面上上的的点点的的投投影影，即即可可求得平面的投影求得平面的投影。 在在求求作作平平面面上上点点的的投投影影时时要要格格外外细细心心，在在学学习

35、习中中逐逐渐渐养养成成认认真真、严严谨谨的的良良好作风。好作风。一、平面的表示法一、平面的表示法1、用几何元素表示用几何元素表示投影图中可用五种形式表示平面投影图中可用五种形式表示平面 不在同一直线上的三点不在同一直线上的三点 一直线和线外一点。一直线和线外一点。 相交两直线相交两直线 平行两直线平行两直线 平面图形平面图形2- 5 平面的投影平面的投影2、用迹线表示用迹线表示 由于用迹线表示平面不够形象，故较少采用由于用迹线表示平面不够形象，故较少采用。 迹线迹线：平面与投影面的交线平面与投影面的交线平面与平面与V面、面、H面、面、W面的交线分别称为正面迹线面的交线分别称为正面迹线PV、水平

36、迹线水平迹线PH、侧面迹线、侧面迹线PW。2- 5 平面的投影平面的投影根根据据平平面面在在三三投投影影面面体体系系中中对对投投影影面面的的相相对对位位置置不不同，将平面分为：同，将平面分为：二、各种位置平面的投影二、各种位置平面的投影定义：定义：与三个投影面均成倾斜的平面与三个投影面均成倾斜的平面。1、投影面平行面投影面平行面2、投影面垂直面投影面垂直面3、投影面倾斜面投影面倾斜面 1 1、一般位置平面一般位置平面特殊位置平面特殊位置平面一般位置平面一般位置平面平面与平面与H H、V V、WW投影面的倾角分别用投影面的倾角分别用 、 、 表示。表示。2- 5 平面的投影平面的投影二、各种位置

37、平面的投影二、各种位置平面的投影一般位置平面投影特点：一般位置平面投影特点：T 由于与三个投影面成倾由于与三个投影面成倾 斜，故三个投影都缩小斜，故三个投影都缩小 的类似形。的类似形。T 三个投影都不能反映三个投影都不能反映 、实际大小。实际大小。2- 5 平面的投影平面的投影1 1、一般位置平面一般位置平面2、投影面投影面的的垂直面垂直面定义：垂直于某一投影面，定义：垂直于某一投影面，而与另两投影面倾斜的平面。而与另两投影面倾斜的平面。 投影面的垂直面有三种投影面的垂直面有三种： 正垂面正垂面：垂直于垂直于V面，与面，与 H、W面倾斜面倾斜 铅垂面：垂直于铅垂面：垂直于H面，与面，与 V、W

38、面倾斜面倾斜 侧垂面：垂直于侧垂面：垂直于W面，与面，与 V、H面倾斜面倾斜2- 5 平面的投影平面的投影投影面垂直面的投影特点投影面垂直面的投影特点： 1、投投影影面面的的垂垂直直面面在在其其所所垂垂直直的的投投影影面面上上的的投投影影为为一一倾倾斜斜的的直直线线（积积聚聚性性），与与投投影影轴轴的的夹夹角角反反映映空空间间平平面面对对投影面的投影面的实际实际倾角；倾角；2、另外两个、另外两个投影投影为为类似形类似形。2- 5 平面的投影平面的投影3、投投影影面面平平行行面面：平平行行于于某某一一投投影影面面，垂垂直直于于另另两两投投影影面的平面。面的平面。投影面投影面平行平行面有三种面有三

39、种：z 正平面正平面：平行平行V面与面与H 面、面、W面垂直面垂直z 水平面水平面：平行于：平行于H面面 与与V、W面垂直面垂直z 侧平面侧平面：平行于：平行于W面面 与与V、H面垂直面垂直2- 5 平面的投影平面的投影投影面平行面的投影特点：投影面平行面的投影特点： 1、投投影影面面的的平平行行面面在在其其所所平平行行的的投投影影面面上上的的投投影影反反映实形映实形（正投影的真实性正投影的真实性） 2、另外两个、另外两个投影投影积聚为平行于相应投影积聚为平行于相应投影轴轴的直线。的直线。熟悉各种位置平面的投影特点，能正确画出平面的投熟悉各种位置平面的投影特点，能正确画出平面的投影，并能从给出

40、的投影图中判断平面的空间位置。影，并能从给出的投影图中判断平面的空间位置。例：判断立体图中各平面的空间位置。例：判断立体图中各平面的空间位置。图中：图中：A平面为平面为 面；面；B平面为平面为 面；面；C平面为平面为 面；面；D平面为平面为 面；面；E平面为平面为 面。面。例：根据给出的平面的两面投影补画第三面投影。例：根据给出的平面的两面投影补画第三面投影。 作图分析：作图分析： 补画平面投影依据的是找点的方法，补画平面投影依据的是找点的方法，即按点的投影规律求出平面上各点的即按点的投影规律求出平面上各点的投影，再连接各点。投影，再连接各点。 因要找的点较多，为避免出错可将因要找的点较多，为

41、避免出错可将各点标上数字或字母。各点标上数字或字母。2-6 平面上的直线和点平面上的直线和点一、平面一、平面上上的点的点点在平面内的几何条件：点在平面内的几何条件：若若点点从从属属于于给给定定平平面面内内的的任任一一直直线线，则则该该点点从从属属于此平面于此平面。如图中的如图中的K点。点。根据点在平面内的几何条件可以解决两类作图问题：根据点在平面内的几何条件可以解决两类作图问题：1、在投影图中作给定平面内的点、在投影图中作给定平面内的点2、判别给定的点是否从属于已知平面、判别给定的点是否从属于已知平面二二、平面内的直线、平面内的直线直线在平面内的几何条件：直线在平面内的几何条件：1、直直线线通

42、通过过属属于于平平面面的的两两点点，如如右右图所示。图所示。2、直直线线通通过过平平面面内内的的一一个个点点且平行于该平面内的一直线。且平行于该平面内的一直线。利用直线在平面内的几何条件可以作：利用直线在平面内的几何条件可以作： 1）在投影图中作给定平面内的直线在投影图中作给定平面内的直线 2）判别给定的直线是否属于已知平面。判别给定的直线是否属于已知平面。在平面内作点和直线的相互关系：在平面内作点和直线的相互关系：在平面内作点，要利用平面内的直线。在平面内作直线，要在平面内作点，要利用平面内的直线。在平面内作直线，要借助于平面上的点。借助于平面上的点。平面内点和直线的作图是相辅相成的。平面内

43、点和直线的作图是相辅相成的。2-6 平面上的直线和点平面上的直线和点例：判断点例：判断点D是否在平面是否在平面ABC内。内。作图分析：作图分析：根根据据点点在在平平面面内内的的几几何何条条件件，若若D点点位位于于ABC平平面面内内的的一一条条直直线线上上，则则D点点就就在在该该平平面面内内，反反之之就就不不在在ABC平面内。平面内。作图步骤：作图步骤：2-6 平面上的直线和点平面上的直线和点结论：结论： 点点 D 在在 平平 面面 内内三三、平面内的投影面平行线、平面内的投影面平行线平平面面内内的的投投影影面面平平行行线线指指属属于于平平面面且且又又平平行行于于某某一一投影面的直线。投影面的直

44、线。平面内的投影面平行线应满足两方面的条件：平面内的投影面平行线应满足两方面的条件：1、该直线应满足直线从属于平面的几何条件该直线应满足直线从属于平面的几何条件2、该直线的投影应满足投影面平行线的投影特点该直线的投影应满足投影面平行线的投影特点例：作一从属于平面例：作一从属于平面ABC的水平线。的水平线。 作图分析：作图分析： 1、由于水平线的正面投影平、由于水平线的正面投影平行行X轴，因此可先在轴，因此可先在V面投影图面投影图中任作一中任作一X轴的平行线。轴的平行线。 2、使该线交于使该线交于ABC平面上的平面上的两点。再按点的投影规律将此两两点。再按点的投影规律将此两点对应到点对应到H面投

45、影图中相应的线面投影图中相应的线上。连接此两点即为所求。上。连接此两点即为所求。例例：已已知知四四边边形形ABCD的的两两面面投投影影，在在其其上上取取一一K点点，使使点点K在在H面之上面之上10mm，在，在V面之前面之前15mm。作作图图分分析析：可可在在四四边边形形ABCD内内作作位位于于H面面之之上上10mm的的水平线水平线EF，再在，再在EF上取位于上取位于V面之前面之前15mm的点的点K。作图步骤：作图步骤：一、换面法的基本概念一、换面法的基本概念变变换换投投影影面面即即“换换面面法法”。根根据据正正投投影影的的“真真实实性性” ，当当空空间间的的直直线线或或平平面面与与投投影影面面

46、平平行行时时，其其投投影影能能够够反反映映直直线线的的实实长长和和平平面面的的真真实实的的形形状状。根根据据正正投投影影的的“积积聚聚性性” ，当当空空间间的的直直线线或或平平面面与与投投影影面面垂垂直直时时，其其投投影影积聚成点或直线积聚成点或直线。变变换换投投影影面面的的基基本本原原理理是是：设设置置新新的的投投影影面面来来代代替替原原来来的的某某一一投投影影面面，并并使使新新投投影影面面与与空空间间几几何何元元素素处处于于平平行行或或垂垂直直的的特特殊殊位位置置。且且使使新新投投影影面面与与原原未未被被替替换换的的投投影面垂直。影面垂直。2 - 7 变换投影面变换投影面1、为为求求AB实

47、实长长可可设设一一V1投投影影面面，V1面面与与AB平平行行并并垂垂直直于于H投投影影面面。将将AB线线向向V1面面作作正正投投影影，则则AB线线在在V1面面上上的的投投影影便便可可反反映实长。映实长。2、直直线线的的新新投投影影还还可可反映反映角的实际大小。角的实际大小。2 - 7 变换投影面变换投影面换面法应用一：换面法应用一： 在在V、H两投影面体系中，两投影面体系中，AB为一般位置直线，其两面为一般位置直线，其两面投影均不能反映实长。投影均不能反映实长。图图中中ABCABC平平面面为为一一铅铅垂垂面面，其其水水平平投投影影积积聚聚为为一一直直线线，正正面面投投影影为缩小的类似形。为缩小

48、的类似形。为为求求得得ABCABC平平面面的的真真实实形形状状，可可设设一一新新投投影影面面V V1 1，V V1 1面面与与ABCABC平平面面平平行行并并垂垂直直于于H H投投影影面。面。2 - 7 变换投影面变换投影面换面法应用二：换面法应用二：1、旧旧投投影影面面：指指图图中中的的V、H面；面；2、旧旧投投影影：指指几几何何元元素素在在V、H面上的投影；面上的投影；3、被替换的投影面：图中、被替换的投影面：图中的新面的新面V1与与H面垂直，替换了面垂直，替换了旧投影面旧投影面V，因此，因此V面为被替换面为被替换的投影面的投影面,V面上的投影称为被面上的投影称为被替换的投影；替换的投影；

49、2 - 7 变换投影面变换投影面二、换面法的术语：二、换面法的术语： 4、不变的投影面及不变投影：指图中的、不变的投影面及不变投影：指图中的H面以及几何要面以及几何要 素在素在H面上的投影。面上的投影。 换面法的投影面转换过程如图所示。换面法的投影面转换过程如图所示。点击演示动画点击演示动画 二、换面法的术语：二、换面法的术语： 5、新投影面：指图中的、新投影面：指图中的V1面，如果需要也可设面，如果需要也可设H1面面 6、新投影轴：新投影面与不变投影面的交线，如图中的、新投影轴：新投影面与不变投影面的交线，如图中的O1X1 7、新投影：指几何要素在新投影面上的投影、新投影：指几何要素在新投影

50、面上的投影,如如a1b1换面法的投影规律：换面法的投影规律：在对几何要素进行投影变换在对几何要素进行投影变换时，仍旧遵循着时，仍旧遵循着正投影的基本正投影的基本规律以及投影面的展开方法规律以及投影面的展开方法。2 - 7 变换投影面变换投影面V、H面上的投影；面上的投影；三三、点的投影变换、点的投影变换1、点的一次变换点的一次变换V、H两投影面体系中有一两投影面体系中有一A点，现在适当位置设一点，现在适当位置设一V1面，面， V1和和H面构成新的两投影面体系。面构成新的两投影面体系。A点在点在V1面上的正投影记做面上的正投影记做a1。a1与与a的连线和的连线和O1X1轴的轴的交点记做交点记做a

51、x1。 将将V1与与H面展开。面展开。 点击演示动画点击演示动画2 - 7 变换投影面变换投影面1、点的一次变换点的一次变换问题问题1：点的新投影：点的新投影a1与不变投影与不变投影a的连线的连线？ 垂直于新轴垂直于新轴O1X1。（点的变换规律点的变换规律1）问题问题2：点的新投影：点的新投影a1到新轴到新轴O1X1（ax1)的距离的距离？ 等于被替换的投影等于被替换的投影a到旧轴（到旧轴（ax）的距离。）的距离。（点的变（点的变换规律换规律2）根据上述分析，便可得出点的变换投影：（变根据上述分析，便可得出点的变换投影：（变换换H1面与变换面与变换V1面的规律是一样的）面的规律是一样的）n 点

52、的新投影与不变投影的连线垂直于新轴；点的新投影与不变投影的连线垂直于新轴；n 点的新投影到新轴的距离等于被替换的投影到点的新投影到新轴的距离等于被替换的投影到 旧轴的距离。旧轴的距离。需要注意的是：谁是点的不变投影、被替换的投影。需要注意的是：谁是点的不变投影、被替换的投影。1、点的一次变换点的一次变换作图分析：作图分析：从从图图中中标标注注可可知知变变换换的的是是V V1 1投投影影面面，a a为为被被替替换换的的投投影影，a a为为不不变变投投影影。按按照照点点的的变变换换规规律律即即可可作作出出A A点点的新投影。的新投影。作图步骤：作图步骤：例：如下图，已例：如下图，已知知A点的两面投

53、点的两面投影影a、a，试作出，试作出给定位置的给定位置的A点点新投影。新投影。1、点的一次变换点的一次变换作图分析：作图分析：变换变换H H1 1面与变换面与变换V V1 1面的作图分析和作图步骤相同。面的作图分析和作图步骤相同。本题的投影变换作图为本题的投影变换作图为点点A的两个一次变换。的两个一次变换。例：已知例：已知A点的两面投影点的两面投影a、a，试作出给定位置的，试作出给定位置的A点新点新投影。又：作出投影。又：作出A点在点在H1面上的投影。面上的投影。在用投影变换的方法求解一些实际问题时，需要变换两在用投影变换的方法求解一些实际问题时，需要变换两次投影面，这样的变换方法称为二次变换

54、。次投影面，这样的变换方法称为二次变换。二二次次变变换换实实际际上上就就是是连连续续作作出出的的两两个个一一次次变变换换。其其变变换换的原则和变换的规律与一次变换方法完全相同。的原则和变换的规律与一次变换方法完全相同。不不过过在在作作二二次次变变换换时时要要正正确确判判断断出出不不变变投投影影、被被替替换换的的投影、新轴和旧轴，准确定出点的新投影的位置。投影、新轴和旧轴，准确定出点的新投影的位置。图图中中先先变变换换的的是是V1面面，接接着着作作第第二二次次变变换换。此此时时的的H1面面与与V1面面垂垂直直，被被替替换换是是H面面，而而V1面面为为不不变变投投影影面面。O2X2为为新新的的投投

55、影影轴轴，O1X1则则成成了旧投影轴。了旧投影轴。点击演示动画点击演示动画2、点的二次变换、点的二次变换例例：如如右右图图，作作出出A点点的的二二次变换投影图。次变换投影图。 作作图图分分析析：两两次次变变换换的的规规律律是是一一样样的的，要要注注意意的的是是在在作作第第二二次次变换时，定准点的新投影的位置。变换时，定准点的新投影的位置。作图过程如图所示。作图过程如图所示。四四、直线的投影变换、直线的投影变换直线的变换主要解决以下两个方面问题直线的变换主要解决以下两个方面问题： 求直线的实际长度或倾角求直线的实际长度或倾角 求直线的积聚性投影求直线的积聚性投影2 - 7 变换投影面变换投影面

56、变换直线可归结于变换直变换直线可归结于变换直线上的两端点的作图。只是线上的两端点的作图。只是要根据解决的实际问题确定要根据解决的实际问题确定变换的新投影面的位置。变换的新投影面的位置。 1、将一般位置直线变换为投影面平行线将一般位置直线变换为投影面平行线通通过过一一次次变变换换可可将将一一般般位位置置直直线线变变换换为为投投影影面面平平行行线线，求得直线的实际长度以及直线对投影面的夹角。求得直线的实际长度以及直线对投影面的夹角。为求得为求得ABAB线的实长，所设置的新投影面线的实长，所设置的新投影面V V1 1应与应与ABAB平行。平行。从从直直观观图图上上可可看看出出，体体现现新新面面位位置

57、置的的新新轴轴就就应应平平行行于于ABAB线的线的水平投影水平投影 abab。1、将一般位置直线变换为投影面平行线将一般位置直线变换为投影面平行线例：求出例：求出AB直线的实长以及对直线的实长以及对H面倾角面倾角。作图分析：在水平投影图的适当位置作一作图分析：在水平投影图的适当位置作一平行于平行于ab的新轴的新轴 O1X1，然后按照点的变换规律作出，然后按照点的变换规律作出AB线的新投影。线的新投影。作图步骤如图示：作图步骤如图示：2、将将投影面的平行线投影面的平行线变换为投影面变换为投影面垂直垂直线线通通过过一一次次变变换换使使得得直直线线在在新新投投影影面面上上的的投投影影积积聚聚为为一一

58、点点。因因此此所所设设置置的的新投影面应与直线成垂直。新投影面应与直线成垂直。例：将例：将AB直线变换为一投影面垂直线。直线变换为一投影面垂直线。注意：应在反映直线实长的投影图中进行变换。注意：应在反映直线实长的投影图中进行变换。作图分析：作图分析： 所设的新投影面应所设的新投影面应垂直于垂直于ABAB线的正面线的正面投影。体现新面位投影。体现新面位置的新轴置的新轴O O1 1X X1 1应垂应垂直于直于a ab b。3、将一般位置直线变换为投影面垂直线将一般位置直线变换为投影面垂直线 要要将将一一般般位位置置直直线线变变换换为为投投影影面面垂垂直直线线则则需需要要作作两两次次换换面面。从从下

59、下图图可可看看出出，第第一一次次换换面面将将直直线线变变换换为为投投影影面面平平行行线线。再再将将投投影影面面平平行行线线变变换换成成投投影影面面垂垂直直线线，使使变变换后直线的新投影积聚为一点。换后直线的新投影积聚为一点。 例：试将例：试将AB直线变换为一投影面垂直线。直线变换为一投影面垂直线。作图分析：作图分析： 第一次设置一与第一次设置一与 AB平行平行的的V1面，将面，将AB直线变换为投直线变换为投影面平行线。再设置垂直于影面平行线。再设置垂直于AB线的线的H1面，则面，则AB的新投影的新投影积聚为一点。积聚为一点。3、将一般位置直线变换为投影面垂直线将一般位置直线变换为投影面垂直线作

60、图过程如图示：作图过程如图示：1）作新轴）作新轴O1平行于平行于ab(ab也也 可可)，作出第一次变换的新投影，作出第一次变换的新投影 a1b1；2）作新轴）作新轴O2垂直于垂直于a1b1，按，按 投影规律作出第二次变换的新投影规律作出第二次变换的新 投影投影a2b2。五五、平面的投影变换、平面的投影变换通过平面的变换主要解决两方面的问题：通过平面的变换主要解决两方面的问题：u 将平面变换为投影面平行面，求得平面的实际形状将平面变换为投影面平行面，求得平面的实际形状u 将平面变换为投影面垂直面，求得平面与投影面的夹角将平面变换为投影面垂直面，求得平面与投影面的夹角点击演示动画点击演示动画2 -

61、 7 变换投影面变换投影面 变换平面的方法同变换点、直变换平面的方法同变换点、直线相同，只是由于要找的点比较线相同，只是由于要找的点比较多，在作图时更要细心。多，在作图时更要细心。五五、平面的投影变换、平面的投影变换1、将投影面垂直面变换为投影面平行面将投影面垂直面变换为投影面平行面作图分析：作图分析： 新投影面应平行于空间新投影面应平行于空间平面，所以新投影轴就应平面，所以新投影轴就应平行于空间平面的积聚性平行于空间平面的积聚性投影。即投影。即O1X1abc。 投影面的空间转换关系投影面的空间转换关系如图所示。如图所示。2 - 7 变换投影面变换投影面例：用换面法求出例：用换面法求出ABC平

62、面的实际形状。平面的实际形状。 作图分析：作图分析：由于由于ABC平面为一平面为一铅垂面铅垂面 ，则，则O1X1轴应平行于平面的轴应平行于平面的积聚性投影。积聚性投影。作作图图过过程程如如图图所所示：示：2 2、将一般位置平面变换为投影面垂直面将一般位置平面变换为投影面垂直面将一般位置平面变换为投影面垂直面的作图步骤如下：将一般位置平面变换为投影面垂直面的作图步骤如下：l 在空间平面内作一投影面平行线（下图中作了一条水在空间平面内作一投影面平行线（下图中作了一条水 平线）平线）l 设置与投影面平行线成垂直的新设置与投影面平行线成垂直的新 投影面（如下图中设置的投影面（如下图中设置的V1面）面）

63、作图分析：作图分析： 在作图时首先要考虑的是如何确定新投影面的位置。在作图时首先要考虑的是如何确定新投影面的位置。要注意要注意：新投影面垂直于空间平面内的一新投影面垂直于空间平面内的一条线，也就垂直于空间平面。条线，也就垂直于空间平面。作图步骤如图示：作图步骤如图示：例：将例：将ABCABC平面变换为投影面垂直面。平面变换为投影面垂直面。3 3、将一般位置平面变换为投影面平行面将一般位置平面变换为投影面平行面上上述述的的分分析析步步骤骤实实际际上上就就是是将将前前面面所所介介绍绍的的两两种种变变换换平面的方法综合加以应用。平面的方法综合加以应用。 作图分析：作图分析： 将一般位置平面变换成投影

64、面平行面要作将一般位置平面变换成投影面平行面要作两次变换。即先变换成投影面垂直面，使平面的新投影两次变换。即先变换成投影面垂直面，使平面的新投影产生积聚，再将其变换为投影面平行面。产生积聚，再将其变换为投影面平行面。例：求出上一例题中的例：求出上一例题中的ABC平面的实形。平面的实形。 前一例的作图已将平面变前一例的作图已将平面变换为投影面垂直面，现只需换为投影面垂直面，现只需接着作后一次变换。接着作后一次变换。3 3、将一般位置平面变换为投影面平行面将一般位置平面变换为投影面平行面作图步骤如下：作图步骤如下： 前一例的作图已将前一例的作图已将平面变换为投影面平面变换为投影面垂直面，现只需接垂直面，现只需接着作后一次变换。着作后一次变换。