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1、数学物理方程chStillwatersrundeep.流静水深流静水深,人静心深人静心深Wherethereislife,thereishope。有生命必有希望。有生命必有希望 Ch1 Ch1 绪绪 论论1 基本概念一、基本概念与定义一、基本概念与定义偏微分方程：偏微分方程：指含有未知函数以及未知函数的某些指含有未知函数以及未知函数的某些偏导数的等式偏导数的等式(描述自变量、未知函数及其偏导数之描述自变量、未知函数及其偏导数之间的关系间的关系)；PDF的阶：的阶：出现在出现在PDF中的最高阶偏导数的阶数；中的最高阶偏导数的阶数；一般形式为一般形式为 。 注：注：F可以不显含自变量和未知函数，但
2、必须含有未可以不显含自变量和未知函数，但必须含有未知函数的某个偏导数。知函数的某个偏导数。微分方程的分类：微分方程的分类： 1、如果方程关于未知函数及其各阶偏导数是线性、如果方程关于未知函数及其各阶偏导数是线性 的，则称此方程为的，则称此方程为线性方程线性方程，反之称为，反之称为非线性方程；非线性方程； 2、如非线性方程对未知函数的、如非线性方程对未知函数的所有最高阶偏导数总所有最高阶偏导数总 体体来说是线性的，则称它为来说是线性的，则称它为拟线性方程拟线性方程； 3、如非线性方程中方程对未知函数的最高阶偏导、如非线性方程中方程对未知函数的最高阶偏导 数不是线性的，则称它为数不是线性的，则称它
3、为完全非线性方程完全非线性方程； 4、对线性偏微分方程而言，将方程中不含未知函数、对线性偏微分方程而言，将方程中不含未知函数及其偏导数的项称为及其偏导数的项称为自由项自由项。当自由项为零时，该方。当自由项为零时，该方程称为程称为齐次方程，齐次方程，否则称为否则称为非齐次方程。非齐次方程。例1 判断下列方程类型： 一阶线性一阶线性一阶拟线性一阶拟线性三阶拟线性三阶拟线性一阶非线性一阶非线性二阶拟线性二阶拟线性微分方程的解：微分方程的解： 形式解形式解：未经过验证的解为形式解。：未经过验证的解为形式解。特解特解：通过定解条件确定了解中的任意常数后得到的：通过定解条件确定了解中的任意常数后得到的解。
4、解。通解通解：解中含有相互独立的和偏微分方程阶数相同的：解中含有相互独立的和偏微分方程阶数相同的任意常数的解。任意常数的解。古典解古典解：如果将某个函数：如果将某个函数 u 代入偏微分方程中，能使代入偏微分方程中，能使方程成为恒等式，则这个函数就是该偏微分方程的解。方程成为恒等式，则这个函数就是该偏微分方程的解。例2 验证是方程是方程的解，其中的解，其中f,g是任意两个二阶是任意两个二阶连续可微函数，连续可微函数，a为正常数。为正常数。解：解：故故移项即证。移项即证。 2 三类典型方程的导出一、一、弦振动方程 十八世纪达朗贝尔十八世纪达朗贝尔(DAlembert)(DAlembert)等人首先
5、讨论了等人首先讨论了如下的弹性弦的振动问题。如下的弹性弦的振动问题。 设有一根均匀柔软的细弦，平衡时沿直线拉紧，设有一根均匀柔软的细弦，平衡时沿直线拉紧，而后以某种方法激发，使弦在铅直平面内作微小振而后以某种方法激发，使弦在铅直平面内作微小振动。求弦上各点的运动规律。动。求弦上各点的运动规律。 将实际问题归结为数学模型时，必须作一些理想化将实际问题归结为数学模型时，必须作一些理想化的假设，以便抓住问题最本质的特征。在考察弦振动的假设，以便抓住问题最本质的特征。在考察弦振动问题时的基本假设为问题时的基本假设为: : 1.均匀细弦理解为弦的直径与弦的长度相比可以忽均匀细弦理解为弦的直径与弦的长度相
6、比可以忽略，以至可以将弦视为一条曲线，它的线密度略，以至可以将弦视为一条曲线，它的线密度为常为常数。数。 2.2.弦在一平面内作微小横振动，即弦的位置始终在一弦在一平面内作微小横振动，即弦的位置始终在一平面内的一条直线段附近，且弦振动的幅度及弦在平面内的一条直线段附近，且弦振动的幅度及弦在任意位置处的切线的倾角都很小。任意位置处的切线的倾角都很小。 3.3.柔软的弦可以假设为弦在形变时不抵抗弯曲，弦上柔软的弦可以假设为弦在形变时不抵抗弯曲，弦上各质点间的张力方向与弦的切线方向一致，而弦的各质点间的张力方向与弦的切线方向一致，而弦的伸长形变与张力的关系服从胡克伸长形变与张力的关系服从胡克(Hoo
7、ke)(Hooke)定律定律. . 我们取弦的平衡位置为我们取弦的平衡位置为x x轴，建立如图所示的坐标系。轴，建立如图所示的坐标系。设设 u(x,t)u(x,t)是坐标为是坐标为x x的弦上一点在的弦上一点在t t时刻的时刻的( (横向横向) )位移，在弦上任取一位移，在弦上任取一小段小段x,x+xx,x+x，这一段的弧长为：，这一段的弧长为： 由假设由假设2 2可知，可知， 很小，于是很小，于是 与与1 1相比可以忽略相比可以忽略不计，不计，从而从而弧段弧段NMNM在在x轴方向的受力的总和为轴方向的受力的总和为 。 由于弦只作横向振动，因此由于弦只作横向振动，因此 。由于弦作微小振动，根据
8、假设由于弦作微小振动，根据假设2 2知知 都很小，从而都很小，从而 因此可以近似地得到因此可以近似地得到 。 弧段弧段NMNM在在u u轴方向的受力总和为轴方向的受力总和为 注意到注意到 都很小，因此都很小，因此 且弧段且弧段NMNM在在u方向时刻方向时刻t的运动加速度为的运动加速度为 ，小弧，小弧段的质量为段的质量为 ，所以所以即即也就是也就是当当 时取极限，得时取极限，得 即即 一般说来，张力较大时弦振动速度变化较快，即一般说来，张力较大时弦振动速度变化较快，即 要比要比 g大得多，所以又可以把大得多，所以又可以把g略去。经过这样逐略去。经过这样逐步略去一些次要的量，抓住主要的量。最后得到
9、步略去一些次要的量，抓住主要的量。最后得到 u(x,t)应近似地满足的方程应近似地满足的方程 这里这里 。 (1)式称为一维波动方程式称为一维波动方程 如果弦还在横向如果弦还在横向(位移位移 u的方向的方向)受到外力的作用。受到外力的作用。设在时刻设在时刻 t弦上弦上 x点处的外力密度为点处的外力密度为 F(x,t)。仿照前面。仿照前面的推导，有的推导，有 这里这里 。 方程方程(2)与与(1)的差别在于的差别在于(2)的右端多了一个与未知的右端多了一个与未知函数函数u(x,t)无关的项，这个项称为自由项。我们把含无关的项，这个项称为自由项。我们把含有自由项的方程称为非齐次方程。自由项恒等于有
10、自由项的方程称为非齐次方程。自由项恒等于0的的方程称为齐次方程。方程称为齐次方程。(1)为齐次一维波动方程，为齐次一维波动方程，(2)为为非齐次一维波动方程。非齐次一维波动方程。 类似地，可以推出均匀薄膜的横振动满足二维波动类似地，可以推出均匀薄膜的横振动满足二维波动方程方程其中其中 是薄膜在时刻是薄膜在时刻t和和 处的位移；处的位移；,T为张力，为张力， 为薄膜的面密度；为薄膜的面密度；表示表示t时刻、单位质量膜在时刻、单位质量膜在处所受垂直处所受垂直为为Oxy平面平面上的有界区域。的有界区域。方向的外力；方向的外力； 根据电磁场理论中的麦克斯韦方程，可以推出电场根据电磁场理论中的麦克斯韦方
11、程，可以推出电场E和磁场和磁场H满足的三维波动方程满足的三维波动方程 其中其中c是光速。是光速。二、热传导方程二、热传导方程 当一个物体内部各点的温度分布不均匀时，热量当一个物体内部各点的温度分布不均匀时，热量会从温度高的地方向温度低的地方流动，这种现象称会从温度高的地方向温度低的地方流动，这种现象称为热传导。由于热传导过程总是表现为温度随时间和为热传导。由于热传导过程总是表现为温度随时间和未知的变量而变化，所以解决热传导问题，归结为求未知的变量而变化，所以解决热传导问题，归结为求物体内温度的分布问题。物体内温度的分布问题。 在物体在物体中任取一小区域为中任取一小区域为V，它的外，它的外表曲面
12、为表曲面为 ，如图所示。，如图所示。热场热场 假设区域假设区域V内点内点M(x,y,z)处在时刻处在时刻 t 的温度为的温度为 u(x,y,z,t), n为曲面元素为曲面元素dS的单位外法向量。由热传导学中的的单位外法向量。由热传导学中的Fourier实验定律知：物体在无穷小时间实验定律知：物体在无穷小时间dt内流过一个内流过一个无穷小面积元无穷小面积元dS的热量的热量dQ与时间与时间dt，热流通过的面积，热流通过的面积dS及及u沿沿dS的法向的方向导数的法向的方向导数 成正比，即成正比，即 其中其中k=k(x,y,z)称为物体在点称为物体在点M(x,y,z) 处的热传导系数处的热传导系数，取
13、正值。上式的负号表示热流流向是温度梯度的相，取正值。上式的负号表示热流流向是温度梯度的相反方向。反方向。 当物体均匀且各向同性时，可令热传导系数当物体均匀且各向同性时，可令热传导系数k, ,物物体的密度体的密度，比热，比热c都为常数。利用上面的关系，在时都为常数。利用上面的关系，在时间段间段 内，通过曲面内，通过曲面 流入区域流入区域V V 的全部热量为：的全部热量为： 根据散度定理得，根据散度定理得， 如果物体内有热源，设在单位时间内单位体积如果物体内有热源，设在单位时间内单位体积所产生的热量为所产生的热量为F(x,y,z,t), ), 则在则在 内热源放出的内热源放出的热量为：热量为： 流
14、入的热量和物理内部热源产生的热量使流入的热量和物理内部热源产生的热量使V内温度内温度发生变化。区域发生变化。区域V在时间间隔在时间间隔 内各点温度从内各点温度从 变化到变化到 。于是在。于是在 内内V内温度升内温度升高所需的热量为：高所需的热量为： 由能量守恒定律，有由能量守恒定律，有 ，即，即 由于时间间隔由于时间间隔 及区域及区域V都是任意的都是任意的，并且被积，并且被积函数都是连续的，因此函数都是连续的，因此 令令 ， 得得称（称（6）为三维热传导方程。如果物体内部没有热源）为三维热传导方程。如果物体内部没有热源，即，即 f 0,则得齐次热传导方程则得齐次热传导方程 注注1 1：在前面所
15、讨论的热传导问题中，作为特例，如在前面所讨论的热传导问题中，作为特例，如果所考虑的物体是一根细杆或一块薄板，或者即使不果所考虑的物体是一根细杆或一块薄板，或者即使不是细杆或薄板，而其中的温度是细杆或薄板，而其中的温度u只与只与x和和t，或只与，或只与x,y和和t有关，则方程（有关，则方程（7 7）就变成一维热传导方程）就变成一维热传导方程 或二维热传导方程或二维热传导方程注注2：虽然我们习惯上称式（虽然我们习惯上称式（7）为热传导方程，但在）为热传导方程，但在生产实际中还有很多现象都可以用这种方程来描述。生产实际中还有很多现象都可以用这种方程来描述。例如在电学中，海底电缆的电压例如在电学中，海
16、底电缆的电压 e 也满足方程也满足方程 其中其中 k=RC，R为电阻，为电阻，C为电容。又如导电线圈在为电容。又如导电线圈在所围柱体内的磁场所围柱体内的磁场H满足方程满足方程 其中其中 ，c为光速，为光速，为磁导率，为磁导率，为电容率。为电容率。 在研究物质在液体中的扩散现象时，扩散物质的在研究物质在液体中的扩散现象时，扩散物质的浓度浓度N( (单位体积中扩散物质的含量单位体积中扩散物质的含量) )也满足方程也满足方程 其中其中D D是扩散系数，所以也称热传导方程为扩散方程。是扩散系数，所以也称热传导方程为扩散方程。 三、三、Laplace方程方程 在上面研究的温度分布问题中，如果经过相当长的
17、时间后，区域内各点的温度随时间的改变所发生的变化已不显著，在数学上可近似看作 ，这时我们说温度分布趋于定常，则此时热传导方这时我们说温度分布趋于定常，则此时热传导方程变为程变为上式称为三维上式称为三维Laplace方程。方程。若记若记Hamilton算子为算子为 波动方程，热传导方程和波动方程，热传导方程和Laplace方程是我们今后方程是我们今后着重研究的三类方程，许多物理现象可归结为这三类着重研究的三类方程，许多物理现象可归结为这三类典型的方程。典型的方程。称称 为为Laplace算符，则上式变为算符，则上式变为记记称方程 为三维泊松方程。在电学中，该方程为电位满足的方程，其中在电学中，该
18、方程为电位满足的方程，其中 ， 为电荷密度。为电荷密度。 3 定解条件与定解问题 其中其中 为已知函数。我们称（为已知函数。我们称（1 1）为）为 应满足的初始条件。应满足的初始条件。一、弦振动问题的定解条件一、弦振动问题的定解条件1 1、初始条件、初始条件 方程（方程（1 1）或（）或（2 2）描述了弦振动的一般规律，但）描述了弦振动的一般规律，但是弦振动的具体情况还与弦两端的约束情况以及弦上是弦振动的具体情况还与弦两端的约束情况以及弦上各点在初始时刻的位移和速度有关，即还需附加边界各点在初始时刻的位移和速度有关，即还需附加边界条件和初始条件。条件和初始条件。 设弦在开始时刻位于点设弦在开始
19、时刻位于点x x的位移为的位移为 ，初速度为，初速度为 。即。即 一般地，一个方程如果其关于时间的导数的最高一般地，一个方程如果其关于时间的导数的最高阶导数为阶导数为n n，则对应的初始条件需要给出未知函数关，则对应的初始条件需要给出未知函数关于时间直到于时间直到n-1n-1阶导数的所有初始时刻的值。阶导数的所有初始时刻的值。2 2、边界条件、边界条件 （1 1）为了确定弦的运动还需给出边界条件。最简为了确定弦的运动还需给出边界条件。最简单的边界条件为已知端点的位移规律，即单的边界条件为已知端点的位移规律，即 其中其中 为两个已知函数。这种边界条件被称为两个已知函数。这种边界条件被称为狄利克雷
20、为狄利克雷( (Dirichlet) )边界条件（也称为第一类边边界条件（也称为第一类边值条件）。值条件）。 特别地，如果在整个振动过程中弦的两端保持固定特别地，如果在整个振动过程中弦的两端保持固定，即，即 都恒为都恒为0 0时，称为第一类齐次边值条件时，称为第一类齐次边值条件。也就是。也就是 （2）在前面所讨论的弦振动问题中，若弦的一段在前面所讨论的弦振动问题中，若弦的一段（例如（例如x=0）在）在u轴方向上自由滑动，且不受垂直方轴方向上自由滑动，且不受垂直方向的外力。这种边界称为自由边界。由于在向的外力。这种边界称为自由边界。由于在 x=0处的处的张力的分量为张力的分量为 ，于是，于是 若
21、边界张力沿若边界张力沿u方向的分量是关于时间方向的分量是关于时间t的一个已的一个已知函数知函数w(t)，则相应的，则相应的 边界条件为边界条件为 这种类型的边界条件称为诺伊曼（这种类型的边界条件称为诺伊曼（Neumann）边）边界条件，也称为第二类界条件，也称为第二类 边界条件。边界条件。 （3）若弦的一端束缚在与若弦的一端束缚在与Ox轴垂直的弹簧上，弹轴垂直的弹簧上，弹簧的弹性系数为簧的弹性系数为k。 u在在 x=l的值表示该弹性支承在该的值表示该弹性支承在该点的伸长。点的伸长。弦在支承拉力的垂直方向的分为弦在支承拉力的垂直方向的分为 。由由Hooke定律，有定律，有 因此在弹性支承的情况下
22、，边界条件归结为因此在弹性支承的情况下，边界条件归结为 其中其中 为已知函数。为已知函数。 在数学中还可以考虑更普遍的边界条件在数学中还可以考虑更普遍的边界条件 其中其中h(t)为已知函数。为已知函数。(6)(7)(6)(7)称为第三类边界条件，称为第三类边界条件，也称洛平也称洛平( (Robin) ) 边界条件。边界条件。 边界条件和初始条件统称为定解条件，其中边界条件和初始条件统称为定解条件，其中(2)(2)(5)(7)(5)(7)称为非齐次边界条件，称为非齐次边界条件，(3)(4)(6)(3)(4)(6)称为齐次边称为齐次边界条件。一个偏微分方程及其附加的定解条件构成界条件。一个偏微分方
23、程及其附加的定解条件构成一个定解问题。在以后的讨论中，我们把定解问题一个定解问题。在以后的讨论中，我们把定解问题中的方程有时也称为泛定方程。中的方程有时也称为泛定方程。二、热传导方程的定解条件二、热传导方程的定解条件 显然与弦振动问题类似，单靠一个微分方程还不足显然与弦振动问题类似，单靠一个微分方程还不足以完全确定一个特定的物理过程。我们知道，对于一以完全确定一个特定的物理过程。我们知道，对于一个物体，在一个确定的传热过程中，它的温度分布依个物体，在一个确定的传热过程中，它的温度分布依赖于开始时刻的温度和物体表面上的温度，因此还须赖于开始时刻的温度和物体表面上的温度，因此还须对方程附加相应的初
24、值条件和边值条件。对方程附加相应的初值条件和边值条件。 初始条件初始条件下可以写成：下可以写成： 其中其中 为已知函数，它描述物体在为已知函数，它描述物体在 t=0 =0 时刻时刻的温度分布。的温度分布。 关于关于边界条件边界条件，从物理现象发生的过程来看有三种，从物理现象发生的过程来看有三种情况：情况： 情形情形1 1：若物体若物体 的表面的表面 的温度分布已知，这时的温度分布已知，这时可归结为第一类边界条件：可归结为第一类边界条件： 其中其中 是给定在是给定在 上的已知函数。上的已知函数。 情形情形2：若已知物体若已知物体 表面上每一点的热流密度表面上每一点的热流密度q，也，也就是通过边界
25、曲面就是通过边界曲面 上的单位面积单位时间内的热量上的单位面积单位时间内的热量已知，这实际上表示温度已知，这实际上表示温度 u 沿边界曲面沿边界曲面 的法向导数的法向导数是已知的，这时可以归结为第二类边界条件：是已知的，这时可以归结为第二类边界条件： 其中其中 是给定在是给定在 上的已知函数。上的已知函数。 特别，如物体特别，如物体 的边界是绝热的，即物体与周围介的边界是绝热的，即物体与周围介质无热交换，于是质无热交换，于是 ，这时归结为第二类齐次，这时归结为第二类齐次边界条件：边界条件：情形情形3：若已知通过若已知通过 与周围介质发生热量交换。与周围介质发生热量交换。不妨设周围介质在物体表面
26、的温度为不妨设周围介质在物体表面的温度为 ，则，则物体物体 和外部介质的温度差为：和外部介质的温度差为： 此时会产生热量流动。根据牛顿热交换定律：在无穷此时会产生热量流动。根据牛顿热交换定律：在无穷小时段内，经过物体小时段内，经过物体 表面的无穷小面积表面的无穷小面积 dS的流出的流出（入）到周围介质中的热量和物体与介质在接触面上（入）到周围介质中的热量和物体与介质在接触面上的温度差成正比。即的温度差成正比。即 这里这里 为热交换系数。为热交换系数。由傅里叶定律，应有由傅里叶定律，应有 。根据热量守恒定律，得根据热量守恒定律，得 即即 其中其中 。 对于拉普拉斯方程和泊松方程，因为是描述稳恒状
27、态的，与时间无关，所以不提初始条件，只提边界条件，其边界条件与前面两类方程类似。三、三、Laplace方程的定解条件方程的定解条件四、定解问题四、定解问题 把某种物理现象满足的偏微分方程和其相应的定把某种物理现象满足的偏微分方程和其相应的定解条件结合在一起，就构成了一个解条件结合在一起，就构成了一个定解问题定解问题。(1)初始问题：只有初始条件，没有边界条件的定解(2) 问题；(2) 边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解 问题； (3) 混合问题：既有初始条件，也有边界条件的定解 问题。例：无限长弦振动的定解问题热传导方程的定解问题拉普拉斯方程和泊松方程拉普拉斯方程和泊松方程定解问题只提
28、边值问题定解问题只提边值问题 4 定解问题的适定性 任何一个定解问题，特别是从一些物理过程引起的任何一个定解问题，特别是从一些物理过程引起的定解问题，应该具有一定的现实性、确定性以及逼近定解问题，应该具有一定的现实性、确定性以及逼近性。所谓现实性，指这个问题有解存在；所谓确定性性。所谓现实性，指这个问题有解存在；所谓确定性，指这个问题不至于有无穷多解，通常只要求唯一的，指这个问题不至于有无穷多解，通常只要求唯一的解；所谓可逼近性，指这个问题可借助于较可行的方解；所谓可逼近性，指这个问题可借助于较可行的方法近似的求解，因为附加条件的数据一般只能近似的法近似的求解，因为附加条件的数据一般只能近似的
29、给出。从数学上看，判断一个定解问题是否合理，既给出。从数学上看，判断一个定解问题是否合理，既是否能够描述给定的物理状态，一般来说有以下三个是否能够描述给定的物理状态，一般来说有以下三个标准：标准： (1)(1)解的存在性解的存在性(existence)：所给定的定解问题至少存：所给定的定解问题至少存 在一个解；在一个解； (2)(2)解的唯一性解的唯一性(uniqueness)：所给定的定解问题至：所给定的定解问题至 多存在一个解多存在一个解 ； 定解问题的存在性、唯一性和稳定性统称为定解定解问题的存在性、唯一性和稳定性统称为定解问题的问题的适定性适定性。一个定解问题若存在唯一、稳定的。一个定
30、解问题若存在唯一、稳定的解，则称该问题是适定的；否则是不适定的。解，则称该问题是适定的；否则是不适定的。(3)(3)解的稳定性解的稳定性(stability)：当给定条件以及方程中的：当给定条件以及方程中的系数有微小变动时，相应的解也只有微小的变动。系数有微小变动时，相应的解也只有微小的变动。 解的稳定性也称为解关于参数的连续依赖性。解的稳定性也称为解关于参数的连续依赖性。 Hadamard例例(1930年代年代)这个初始问题有解这个初始问题有解此此定定解解问问题题是是适适定定的的不不适适定定问问题题的的求求解解是是目目前前一一个个研研究究课课题题，有有很很重重要要的的应应用用。 5 线性叠加
31、原理 物理上，几种不同的原因的综合所产生的效果等于这些不同物理上，几种不同的原因的综合所产生的效果等于这些不同原因单独产生的效果的累加。例如几个外力作用在一个物体上原因单独产生的效果的累加。例如几个外力作用在一个物体上所产生的加速度可以用单个外力各自单独作用在该物体上所产所产生的加速度可以用单个外力各自单独作用在该物体上所产生的加速度相加而得到。此原理称为生的加速度相加而得到。此原理称为叠加原理（叠加原理（Superposition Superposition PrinciplePrinciple）。叠加原理对于用线性方程和线性定解条件描述的。叠加原理对于用线性方程和线性定解条件描述的物理现象
32、来说，都是成立的。物理现象来说，都是成立的。 对于线性算子对于线性算子L，如下的叠加原理成立。，如下的叠加原理成立。定理定理1.1. 若若 满足线性方程满足线性方程 则它们的线性组合则它们的线性组合 满足方程满足方程 定理定理1.2.1.2. 若若 满足线性方程满足线性方程 且且 收敛。且算子收敛。且算子L中出现的偏导数与求和可以交换次序中出现的偏导数与求和可以交换次序( (如如 的这些偏导的这些偏导数连续，数连续， 且相应的无穷级数一致收敛，则求导与求无穷和可交换次序且相应的无穷级数一致收敛，则求导与求无穷和可交换次序) )，那么，那么u 满足方程满足方程 特别地，若特别地，若 满足齐次方程
33、（满足齐次方程（ ）或齐次定解条）或齐次定解条件（件（ ） ，则，则 也满足该齐次方程或齐次定也满足该齐次方程或齐次定解条件。解条件。 以上两个叠加原理的证明是任意的，只需把微分算子与求以上两个叠加原理的证明是任意的，只需把微分算子与求和运算交换次序即可。和运算交换次序即可。练习练习1、偏微分方程与、偏微分方程与 结合在一起，称为初值问题；结合在一起，称为初值问题；2、定解问题称为适定的，若它、定解问题称为适定的，若它 ； 3、设弦一端在、设弦一端在x=0处固定，另一端在处固定，另一端在x=l处做自由运处做自由运动。则弦振动问题的边界条件为动。则弦振动问题的边界条件为 。答案答案1、初始条件；、初始条件；2、存在唯一且稳定的解；、存在唯一且稳定的解；3、 。
