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1、2.2.3独立重复试验独立重复试验与二项分布（二）与二项分布（二）高二数学高二数学 选修选修2-3复习引入复习引入独立重复试验的特点：独立重复试验的特点：1）每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发生；）每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发生；2）任何一次试验中，）任何一次试验中，A事件发生的概率相同，即相事件发生的概率相同，即相互独立，互不影响试验的结果。互独立，互不影响试验的结果。2、二项分布：、二项分布： 一般地，在一般地，在n次独立重复试验中，设事件次独立重复试验中，设事件A发生的发生的次数为次数为X，在每次试验中事件，在每次试验中事件A发生的概率为发生的概率为p，那么，那么在在n
2、次独立重复试验中，事件次独立重复试验中，事件A恰好发生恰好发生k次的概率为次的概率为 此时称随机变量此时称随机变量X服从服从二项分布二项分布，记作，记作XB(n,p),并称并称p为成功为成功概率概率,分布列如下。分布列如下。01knp其中其中n，p为参数为参数,并记并记2.2.两点分布与二项分布的区别和联系两点分布与二项分布的区别和联系两点分布两点分布二项分布二项分布区区别别只有两个结只有两个结果果, ,这两个结这两个结果是对立的果是对立的, ,即要么发生即要么发生, ,要么不发生要么不发生在每次试验中只有两个结在每次试验中只有两个结果果, ,这两个结果是对立的这两个结果是对立的, ,即要么发
3、生即要么发生, ,要么不发生要么不发生. .但在但在n n次独立重复试验中次独立重复试验中共有共有n+1n+1个结果个结果联联系系两点分布是特殊的二项分布两点分布是特殊的二项分布类型一类型一 求求n n次独立重复试验的概率次独立重复试验的概率 【典型例题典型例题】1.(20131.(2013温州高二检测温州高二检测) )一枚硬币连掷一枚硬币连掷3 3次，只有一次出现正次，只有一次出现正面的概率为面的概率为( )( )2.2.某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为且每次射击的结果互不影响，已知射手射击了且每次射击的结果互不影响，已知射手射
4、击了5 5次，求：次，求：(1)(1)其中只在第一、三、五次击中目标的概率其中只在第一、三、五次击中目标的概率. .(2)(2)其中恰有其中恰有3 3次击中目标的概率次击中目标的概率. .2.(1)该射手射击了该射手射击了5次，其中只在第一、三、五次击中目标是次，其中只在第一、三、五次击中目标是在确定的情况下击中目标在确定的情况下击中目标3次，也就是在第二、四次没有击中次，也就是在第二、四次没有击中目标，所以只有一种情况，又因为各次射击的结果目标，所以只有一种情况，又因为各次射击的结果互不影响，故所求概率为互不影响，故所求概率为(2)该射手射击了该射手射击了5次，其中恰有次，其中恰有3次击中目
5、标根据排列组合次击中目标根据排列组合知识，知识，5次当中选次当中选3次，共有次，共有 种情况，因为各次射击的结果互种情况，因为各次射击的结果互不影响，所以符合不影响，所以符合n次独立重复试验概率模型故所求概率为次独立重复试验概率模型故所求概率为类型二类型二 二项分布问题二项分布问题 【典型例题典型例题】1.1.某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为 某班某班3 3名同名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心，且每人只拨打学商定明天分别就同一问题询问该服务中心，且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数一次，求他们中成功咨询的人数X X的分布列的分布列【解析
6、解析】1.31.3个人各做一次试验，看成三次独立重复试验，个人各做一次试验，看成三次独立重复试验，拨通这一电话的人数即为事件发生的次数拨通这一电话的人数即为事件发生的次数X X，故符合二项分，故符合二项分布由题意：布由题意：所以所以分布列为分布列为X X0 01 12 23 3P P【变式训练变式训练】袋子中有袋子中有8 8个白球，个白球，2 2个黑球，从中随机地连续个黑球，从中随机地连续抽取三次，每次抽取一个球，求有放回时，取到黑球个数的抽取三次，每次抽取一个球，求有放回时，取到黑球个数的分布列分布列. .解解 取到黑球数取到黑球数X X的可能取值为的可能取值为0 0，1 1，2 2，3.3
7、.又由于每次又由于每次取到黑球的概率均为取到黑球的概率均为 那么那么X X0 01 12 23 3P P故故X的分布列为的分布列为 例 (2013泰兴高二检测)甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为 乙队中3人答对的概率分别为 且各人回答正确与否相互之间没有影响.用表示甲队的总得分.(1)求随机变量的分布列.(2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB).2.(1)2.(1)由题意知，由题意知，的可能取值为的可能取值为0 0，1 1，2 2，3,3,
8、且且所以所以的分布列为的分布列为 0 01 12 23 3P P(2)(2)用用C C表示表示“甲得甲得2 2分乙得分乙得1 1分分”这一事件，用这一事件，用D D表示表示“甲得甲得3 3分乙得分乙得0 0分分”这一事件，所以这一事件，所以AB=CD,AB=CD,且且C C，D D互斥，互斥，又又由互斥事件的概率公式得由互斥事件的概率公式得例例4 某会议室用某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同。假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该号相同。假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡的寿命为型号的灯泡的寿命为1年以上的概率为
9、年以上的概率为 ，寿命为，寿命为2年以上年以上的概率为的概率为 。从使用之日起每满年进行一次灯泡更换工作，。从使用之日起每满年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换。只更换已坏的灯泡，平时不换。（1）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换更换2只灯泡的概率；只灯泡的概率；（2）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；求该盏灯需要更换灯泡的概率；（3）当）当 时，求在第二次灯泡更换工作时，求在第二次灯泡更换工作中，至少需要更换中，至少需要更换4只
10、灯泡的概率。（结果保留两个有效数只灯泡的概率。（结果保留两个有效数字）字）运用运用n次独立重复试验模型解题次独立重复试验模型解题【拓展提升拓展提升】解决二项分布实际应用问题的关键点解决二项分布实际应用问题的关键点二项分布在生产实际中的应用十分广泛，如产品检验，医学二项分布在生产实际中的应用十分广泛，如产品检验，医学检验等检验等. .求解此类问题的关键是把实际问题概率知识化，在此求解此类问题的关键是把实际问题概率知识化，在此基础上，借助相关的概率知识求解，需特别注意，由于此类基础上，借助相关的概率知识求解，需特别注意，由于此类问题与实际问题结合密切问题与实际问题结合密切, ,处理时应结合实际问题
11、求解处理时应结合实际问题求解. .例例3某射手每次射击击中目标的概率是某射手每次射击击中目标的概率是0.8,现在连续射击现在连续射击4次，次， 求击中目标的次数求击中目标的次数X的概率分布。的概率分布。【规范解答规范解答】独立重复试验在实际问题中的应用独立重复试验在实际问题中的应用【典例典例】【条件分析条件分析】【规范解答规范解答】(1)(1)设设“这名学生在上学路上到第三个路口时首这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯次遇到红灯”为事件为事件A A，因为事件，因为事件A A等于事件等于事件“这名学生在第这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯一和第二个路口没有遇到红
12、灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件所以事件A A的概率为的概率为 4 4分分(2)(2)设设“这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min4 min”为事件为事件B B，“这名学生在上学路上遇到这名学生在上学路上遇到k k次红灯次红灯”的事的事件为件为B Bk k(k=0,1,2).(k=0,1,2).则由题意，得则由题意，得 6 6分分 1010分分由于事件由于事件B B等价于等价于“这名学生在上学路上至多遇到两次红这名学生在上学路上至多遇到两次红灯灯”，所以事件所以事件B B的概率为的概率为 1212分分【失分警示失分警示】【防范
13、措施防范措施】1.1.解概率问题要全面考虑解概率问题要全面考虑在确定随机变量在确定随机变量X X的所有可能取值时，要全面考虑，不可漏解的所有可能取值时，要全面考虑，不可漏解. .如本例容易忽略没有遇到红灯的情况，造成漏解如本例容易忽略没有遇到红灯的情况，造成漏解. .在求分布列在求分布列时，一定要将时，一定要将X X的取值考虑全面，特别是的取值考虑全面，特别是X=0X=0的情形的情形. .2.2.解决问题要抓住问题本质解决问题要抓住问题本质对于相互独立事件与对于相互独立事件与n n次独立重复试验问题一定要抓住其事件次独立重复试验问题一定要抓住其事件的本质特征进行区别以免发生失误如本例第的本质特
14、征进行区别以免发生失误如本例第(1)(1)问，若对事问，若对事件的本质把握不清，则容易造成求解失误件的本质把握不清，则容易造成求解失误. . 9粒种子分种在粒种子分种在3个坑内，每坑放个坑内，每坑放3粒，每粒种子粒，每粒种子发发芽的芽的概率概率为为0.5，若一个坑内至少有，若一个坑内至少有1粒种子粒种子发发芽，芽，则这则这个坑不个坑不需要需要补补种，若一个坑内的种子都没种，若一个坑内的种子都没发发芽，芽，则这则这个坑需要个坑需要补补种假定每个坑至多种假定每个坑至多补补种一次，求需要种一次，求需要补补种坑数的分布列种坑数的分布列误区警示误区警示审题不清致误审题不清致误【示示例例】X0123P 错
15、把每粒种子发芽的概率当成每坑不需要补错把每粒种子发芽的概率当成每坑不需要补种的概率种的概率X0123P 有些问题表面看不是有些问题表面看不是n次独立重复试验问题，次独立重复试验问题，但经过转化后可看作独立重复试验，从而将问题简化但经过转化后可看作独立重复试验，从而将问题简化由此可看到转化思想在数学问题的处理中所发挥的重要由此可看到转化思想在数学问题的处理中所发挥的重要作用作用 (1)独立重复独立重复试验试验概率求解的关注点：概率求解的关注点： 运用独立重复运用独立重复试验试验的概率公式求概率的概率公式求概率时时，要判断，要判断问问题题中涉及的中涉及的试验试验是否是否为为n次独立重复次独立重复试
16、验试验，判断，判断时时可依据可依据n次独立重复次独立重复试验试验的特征的特征 解此解此类题类题常用到互斥事件概率加法公式、相互独立常用到互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式及事件概率乘法公式及对对立事件的概率公式立事件的概率公式例例5十层电梯从低层到顶层停不少于十层电梯从低层到顶层停不少于3 3次的概率是多次的概率是多 少？停几次概率最大？少？停几次概率最大？例例6将一枚骰子，任意地抛掷将一枚骰子，任意地抛掷500次，问次，问1点出现（指点出现（指 1点的面向上）多少次的概率最大？点的面向上）多少次的概率最大？例例7 某人抛掷一枚硬币，出现正面和反面的概率都是某人抛掷一枚硬币，出现正
17、面和反面的概率都是0.5，构，构 造数列造数列 ，使，使 记记 （1）求）求 时的概率；时的概率；（2）求）求 时的概率。时的概率。1，当第，当第n次出现正面次出现正面-1，当第，当第n次出现反面次出现反面例例8（07，江苏）某气象站天气预报的准确率为，江苏）某气象站天气预报的准确率为80%， 计算计算:（结果保留到小数点后面第（结果保留到小数点后面第2位）位）（1）5次预报中恰有次预报中恰有2次准确的概率；次准确的概率；（2） 5次预报中至少有次预报中至少有2次准确的概率；次准确的概率；（3） 5次预报中恰有次预报中恰有2次准确，且其中第次准确，且其中第3次预报准次预报准 确的概率。确的概率。例9从学校到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概例都是0.4，设X为遇到红灯的次数，求随机变量X的分布列。
