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1、一、对弧长的曲线积分的概念一、对弧长的曲线积分的概念(ginin)与性质与性质假设曲线形细长构件(gujin)在空间所占弧段为AB , 其线密度(md)为“大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 可得为计算此构件的质量,1.1.引例引例: 曲线形构件的质量采用机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共24页第一页，共25页。设 是空间中一条有限(yuxin)长的光滑曲线,义在 上的一个(y )有界函数, 都存在(cnzi),上对弧长的曲线积分,记作若通过对 的任意分割局部的任意取点, 2. .定义定义下列“乘积和式极限”则称此极限为函数在曲线或第一类曲线积分.称为被积函数， 称为积分弧段
2、.曲线形构件的质量和对机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共24页第二页，共25页。如果如果L是是xoy面上面上(minshn)的曲线弧的曲线弧,如果(rgu) L 是闭曲线 , 则记为则定义(dngy)对弧长的曲线积分为机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考:(1) 若在 L 上 f (x, y)1, (2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否! 对弧长的曲线积分要求 ds 0 ,但定积分中dx 可能为负.第3页/共24页第三页，共25页。3.性质性质(xngzh)（k 为常数(chngsh)( 由 组成) ( l 为曲线(qxin)弧 的长度)机动 目录 上页 下页
3、 返回 结束 第4页/共24页第四页，共25页。二、对弧长的曲线二、对弧长的曲线(qxin)积积分的计算法分的计算法基本思路基本思路:计算(j sun)定积分转 化定理定理(dngl):且上的连续函数,证证:是定义在光滑曲线弧则曲线积分求曲线积分根据定义 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共24页第五页，共25页。点设各分点对应(duyng)参数为对应(duyng)参数为 则机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第6页/共24页第六页，共25页。说明说明(shumng):因此积分(jfn)限必须满足(2) 注意(zh y)到 因此上述计算公式相当于“换元法”. 因此机动 目
4、录 上页 下页 返回 结束 第7页/共24页第七页，共25页。如果如果(rgu)曲线曲线L的方程为的方程为则有如果方程(fngchng)为极坐标形式:则推广推广: 设空间曲线弧的参数设空间曲线弧的参数(cnsh)方程为方程为则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共24页第八页，共25页。例例1.计算计算(jsun)其中(qzhng) L 是抛物线与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解解:上点 O (0,0)机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共24页第九页，共25页。例例2.计算计算(jsun)半径半径为为R,中心角为中心角为的圆弧 L 对于(duy)它的对称轴
5、的转动惯量I (设线密度(md) = 1). 解解: 建立坐标系如图, 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共24页第十页，共25页。例例3.计算计算(jsun)其中(qzhng)L为双纽线解解: 在极坐标系下它在第一象限(xingxin)部分为利用对称性 , 得机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共24页第十一页，共25页。例例4.计算计算(jsun)曲曲线积分线积分其中(qzhng)为螺旋的一段弧.解解: 线机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第12页/共24页第十二页，共25页。例例5.计算计算(jsun)其中(qzhng)为球面 被平面 所截的圆周.
6、 解解: 由对称性可知由对称性可知(k zh)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共24页第十三页，共25页。思考思考(sko):例例5中中 改为改为计算(j sun)解解: 令, 则圆的形心在原点, 故, 如何(rh)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共24页第十四页，共25页。例例6.计算计算(jsun)其中(qzhng)为球面解解: 化为参数(cnsh)方程 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共24页第十五页，共25页。例例7.有一半有一半(ybn)圆弧圆弧其线密度(md) 解解:故所求引力(ynl)为求它对原点处单位质量质点的引力. 机动 目录 上页
7、 下页 返回 结束 第16页/共24页第十六页，共25页。内容内容(nirng(nirng) )小结小结1. 定义定义(dngy)2. 性质性质(xngzh)( l 曲线弧 的长度)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共24页第十七页，共25页。3.计算计算(jsun) 对光滑(gung hu)曲线弧 对光滑(gung hu)曲线弧 对光滑曲线弧机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共24页第十八页，共25页。思考思考(sko)与与练习练习1. 已知椭圆(tuyun)周长(zhu chn)为a , 求提示提示:原式 =利用对称性分析分析:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第
8、19页/共24页第十九页，共25页。2.设均匀设均匀(jnyn)螺旋形弹簧螺旋形弹簧L的方程为的方程为(1) 求它关于(guny) z 轴的转动惯量(2) 求它的质心(zh xn) .解解: 设其密度为 (常数).(2) L的质量而(1)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共24页第二十页，共25页。故重心坐标为作业(zuy)P131 3 (3) , (4) , (6) , (7)5 第二节 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第21页/共24页第二十一页，共25页。备用备用(biyng)题题1. 设设 C 是由极坐标系下曲线是由极坐标系下曲线(qxin)及所围区域(qy)的边界,
9、 求提示提示: 分段积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共24页第二十二页，共25页。2.L为球面为球面(qimin)面的交线 , 求其形心 . 在第一(dy)卦限与三个坐标解解: 如图所示如图所示 , 交线长度交线长度(chngd)为为由对称性 , 形心坐标为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页/共24页第二十三页，共25页。感谢您的欣赏(xnshng)！第24页/共24页第二十四页，共25页。内容(nirng)总结一、对弧长的曲线积分的概念(ginin)与性质。第1页/共24页。设 是空间中一条有限长的光滑曲线,。若通过对 的任意分割。第3页/共24页。如果曲线 L 的方程为。上点 O (0,0)。解: 建立坐标系如图,。解: 由对称性可知。思考: 例5中 改为。例7. 有一半圆弧。周长为a , 求。(2) 求它的质心 .。由对称性 , 形心坐标为。第23页/共24页。感谢您的欣赏第二十五页，共25页。
