《高中数学 1.2.1.2 等差数列的性质同步课件 北师大版必修5》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 1.2.1.2 等差数列的性质同步课件 北师大版必修5（49页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.1.掌握等差中项的概念及其应用掌握等差中项的概念及其应用. .（重点）（重点）2.2.掌握等差数列的性质及其应用掌握等差数列的性质及其应用. .（重点、难点）（重点、难点）等差数列与一次函数有什么关系？等差数列与一次函数有什么关系？提示：提示：把等差数列的通项公式把等差数列的通项公式a an n=a=a1 1+ +（n-1n-1）d d化为化为a an n= =ndnd+ +（a a1 1-d-d），并与），并与y=y=kx+bkx+b对照，知等差数列是对照，知等差数列是特殊的一次函数特殊的一次函数. . 等差数列等差数列一次函数一次函数解析式解析式a an n= =kn+bkn+b（nN
2、nN+ +） f f（x x）= =kx+bkx+b（k k00） 不同点不同点定义域为定义域为N N+ +，图像是一系列，图像是一系列孤立的点（在直线上）孤立的点（在直线上）定义域为定义域为R R，图像，图像是一条直线是一条直线相同点相同点其通项公式与函数的解析式都是关于自变量的其通项公式与函数的解析式都是关于自变量的一次整式，都是最简单的，也是最基本的（数一次整式，都是最简单的，也是最基本的（数列和函数）列和函数）等差数列的性质等差数列的性质（1 1）在等差数列）在等差数列aan n 中，中，m+nm+n= =p+qp+q=2k(m,n,p,q,kN=2k(m,n,p,q,kN+ +).)
3、.则则a am m+a+an n= =a ap p+a+aq q=2a=2ak k. . 数数 列列结结 论论 c+ac+an n 公差为公差为d d的等差数列（的等差数列（c c为任一常数）为任一常数） c ca an n 公差为公差为cdcd的等差数列（的等差数列（c c为任一常数）为任一常数） a an n+a+an+kn+k 公差为公差为2d2d的等差数列（的等差数列（k k为常数，为常数，kNkN+ +) ) papan n+qb+qbn n 公差为公差为pd+qdpd+qd的等差数列的等差数列( (p,qp,q为常数）为常数）(2)(2)若若aan n 、 b bn n 分别是公差
4、为分别是公差为d d、dd的等差数列，则有的等差数列，则有 对等差中项的进一步认识对等差中项的进一步认识. .（1 1）任何两个数都有等差中项，）任何两个数都有等差中项，a a与与b b的等差中项是这两个数的等差中项是这两个数的算术平均数；的算术平均数；（2 2）在等差数列中，从第二项起，每一项都是它的前一项和）在等差数列中，从第二项起，每一项都是它的前一项和后一项的等差中项，即后一项的等差中项，即（3 3）结论：）结论：a,b,ca,b,c成等差数列成等差数列a+ca+c=2b. =2b. 等差数列的性质及应用等差数列的性质及应用 等差数列性质的应用技巧等差数列性质的应用技巧已知等差数列的两
5、项和，求其余几项和或者求其中某项，已知等差数列的两项和，求其余几项和或者求其中某项，对于这样的问题，在解题过程中通常就要注意考虑利用等对于这样的问题，在解题过程中通常就要注意考虑利用等差数列的性质，尤其要注意利用差数列的性质，尤其要注意利用“若若m m、n n、p p、kNkN+ +，且，且m+nm+n= =p+kp+k, ,则有则有a am m+a+an n= =a ap p+a+ak k, ,其中其中a am m、a an n、a ap p、a ak k是数列中的项是数列中的项. .特别地，当特别地，当m+nm+n=2p=2p时，有时，有a am m+a+an n=2a=2ap p”这条性
6、质，从而将问这条性质，从而将问题解决题解决. . 在利用等差数列性质时，需要特别注意数列在利用等差数列性质时，需要特别注意数列项的下标，这将有助于快速解题，发现规律项的下标，这将有助于快速解题，发现规律. .【例例1 1】数列数列aan n 为等差数列，已知为等差数列，已知a a2 2+a+a5 5+a+a8 8=9,a=9,a3 3a a5 5a a7 7=-21,=-21,求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式. .【审题指导审题指导】已知数列中某些项与项之间的关系，求其通项，已知数列中某些项与项之间的关系，求其通项，可利用可利用a a1 1,d,d建立方程组来求解建立方程组来求解.
7、 .但是，注意到但是，注意到a a2 2,a,a5 5,a,a8 8及及a a3 3,a,a5 5,a,a7 7的各项下标之间的关系，也可考虑利用等差数列的的各项下标之间的关系，也可考虑利用等差数列的性质来求解，此法运算量较小性质来求解，此法运算量较小. .【规范解答规范解答】由题及等差数列性质可知由题及等差数列性质可知a a2 2+a+a8 8=2a=2a5 5, ,所以所以3a3a5 5=9=9得得a a5 5=3,=3,又由又由a a3 3a a5 5a a7 7=3a=3a3 3a a7 7=-21.=-21.可得可得a a3 3a a7 7=-7 =-7 又又a a2 2+a+a8
8、8=a=a3 3+a+a7 7=6 =6 由由得得 或或得得 或或可以得到数列可以得到数列aan n 的通项公式为的通项公式为a an n=2n-7=2n-7或或a an n=-2n+13.=-2n+13. 等差数列的判断（等差中项法）等差数列的判断（等差中项法） 判断数列为等差数列的方法判断数列为等差数列的方法定义法定义法 即证明即证明a an+1n+1a an n=d(=d(常数常数) ) 通项法通项法 即证通项公式为即证通项公式为a an n= =kn+bkn+b, ,再证得再证得a an+1n+1-a-an n=k=k即可即可. . 中项法中项法 有限项为三项者，即证前后两项和等于中间
9、项有限项为三项者，即证前后两项和等于中间项的的2 2倍；无限项者，则证明倍；无限项者，则证明a am+2m+2+a+am m2a2am+1m+1即可即可. . 【例例2 2】已知已知a a、b b、c c成等差数列，那么成等差数列，那么a a2 2(b+c)(b+c)、b b2 2(c+a)(c+a)、c c2 2(a+b)(a+b)是否构成等差数列？是否构成等差数列？【审题指导审题指导】本题考查等差数列定义、等差中项等本题考查等差数列定义、等差中项等. .由由a a、b b、c c成等差数列可知成等差数列可知2b=2b=a+ca+c, ,再证是否有再证是否有2b2b2 2（c+ac+a）=a
10、=a2 2（b+cb+c）+ +c c2 2（a+ba+b）即可）即可. .【规范解答规范解答】aa、b b、c c成等差数列，成等差数列，a+ca+c=2b.=2b.又又a a2 2（b+cb+c）+c+c2 2（a+ba+b）-2b-2b2 2（c+ac+a）=a=a2 2c+cc+c2 2a+aba+ab（a-a-2b2b）+ +bcbc（c-2bc-2b）=a=a2 2c+cc+c2 2a-2abc=aca-2abc=ac（a+c-2ba+c-2b）=0,a=0,a2 2（b+cb+c）+c+c2 2（a+ba+b）=2b=2b2 2（c+ac+a）,a,a2 2（b+cb+c）、）、
11、b b2 2（c+ac+a）、）、c c2 2（a+ba+b）可以构成等差数列）可以构成等差数列. . 等差数列性质的综合应用等差数列性质的综合应用 等差数列的设项方法与技巧等差数列的设项方法与技巧（1 1）当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接）当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为设首项为a a1 1, ,公差为公差为d,d,利用已知条件建立方程求出利用已知条件建立方程求出a a1 1和和d,d,即可即可确定数列确定数列. .（2 2）当已知数列有）当已知数列有2n2n项时，可设为项时，可设为a-(2n-1)d,a-(2n-1)d,a-3d,a-,a-3d,a-
12、d,a+d,a+3d,d,a+d,a+3d,a+(2n-1)d,a+(2n-1)d,此时公差为此时公差为2d.2d.（3 3）当已知数列有）当已知数列有2n+12n+1项时，可设为项时，可设为a-nd,a-(n-1)d,a-nd,a-(n-1)d,a-,a-d,a,a+dd,a,a+d, ,a+(n-1)d,a+nd,a+(n-1)d,a+nd,此时公差为此时公差为d.d.【例例3 3】（1 1）三个数成等差数列，和为）三个数成等差数列，和为6 6，积为，积为-24-24，求这三，求这三个数；个数；（2 2）四个数成递增等差数列，中间两数的和为）四个数成递增等差数列，中间两数的和为2 2，首末
13、两项，首末两项的积为的积为-8-8，求这四个数，求这四个数. .【审题指导审题指导】解决本题的关键是用最少的参数，表示出已知解决本题的关键是用最少的参数，表示出已知条件，列出方程组进行求解，注意设参数的技巧条件，列出方程组进行求解，注意设参数的技巧. .【规范解答规范解答】（1 1）方法一：设这三个数分别为）方法一：设这三个数分别为a-a-d,a,a+dd,a,a+d，依题意，依题意，3a=63a=6且且a(a-d)(a+da(a-d)(a+d)=-24,)=-24,所以所以a=2,a=2,代入代入a(a-d)(a+da(a-d)(a+d)=-24,)=-24,化简得化简得d d2 2=16,
14、=16,于是于是d=d=4 4，故三个数为故三个数为-2-2，2 2，6 6或或6 6，2 2，-2.-2.方法二：设首项为方法二：设首项为a,a,公差为公差为d d，这三个数分别为，这三个数分别为a,a+d,a+2da,a+d,a+2d，依题意，依题意，3a+3d=63a+3d=6且且a(a+d)(a+2d)=-24,a(a+d)(a+2d)=-24,所以所以a=2-da=2-d，代入，代入a(a+d)(a+2d)=-24,a(a+d)(a+2d)=-24,得得2(2-d)(2+d)=-24,4-d2(2-d)(2+d)=-24,4-d2 2=-12,=-12,即即d d2 2=16,=16
15、,于是于是d=d=4 4，三个数为，三个数为-2,2,6-2,2,6或或6,2,-2.6,2,-2.（2 2）方法一：设这四个数为）方法一：设这四个数为a-3da-3d，a-d,a+d,a+3d(a-d,a+d,a+3d(公差为公差为2d),2d),依题意依题意,2a=2,2a=2,且且(a-3d)(a+3d)=-8,(a-3d)(a+3d)=-8,即即a=1,aa=1,a2 2-9d-9d2 2=-8,=-8,dd2 2=1,d=1=1,d=1或或d=-1.d=-1.又四个数成递增等差数列，所以又四个数成递增等差数列，所以d0,d0,d=1d=1，故所求的四个数为，故所求的四个数为-2,0,
16、2,4.-2,0,2,4.方法二：若设这四个数为方法二：若设这四个数为a,a+d,a+2d,a+3d(a,a+d,a+2d,a+3d(公差为公差为d)d)，依题意，依题意，2a+3d=2,2a+3d=2,且且a(a+3d)=-8,a(a+3d)=-8,把把 代入代入a(a+3d)=-8,a(a+3d)=-8,得得=-8,=-8,即即化简得化简得d d2 2=4,=4,所以所以d=2d=2或或-2.-2.又四个数成递增等差数列，所以又四个数成递增等差数列，所以d0,d0,即即d=2,a=-2.d=2,a=-2.故所求的四个数为故所求的四个数为-2,0,2,4.-2,0,2,4.【例例】在数列在数
17、列aan n 中，相邻两项中，相邻两项a an n和和a an+1n+1是相应的二次方程是相应的二次方程x x2 2+3nx+b+3nx+bn n=0=0（nNnN+ +）的两根）的两根. .若若a a1 1=2,=2,试求试求b b100100的值的值. .【审题指导审题指导】依题意依题意, ,有有a an n+a+an+1n+1=-3n,=-3n,且且a an na an+1n+1= =b bn n, ,欲求欲求b b100100, ,需求需求a a100100和和a a101101的值，可由递推关系的值，可由递推关系a an n+a+an+1n+1=-3n,=-3n,找到找到a an n
18、的通项公式，进而求出的通项公式，进而求出a a100100和和a a101101. .【规范解答规范解答】依题意，得依题意，得a an n+a+an+1n+1=-3n, =-3n, a an na an+1n+1= =b bn n（nNnN+ +），）， 由由, ,得得b b100100=a=a100100a a101101. .由由，得，得a an+1n+1+a+an+2n+2=-3=-3（n+1n+1）, , -，得，得a an+2n+2-a-an n=-3.=-3.aa1 1,a,a3 3,a,a5 5, ,a,a9999,a,a101101构成公差为构成公差为-3-3的等差数列的等差数
19、列. .aa101101=a=a2 251-151-1=a=a1 1+ +（51-151-1）d=2+50d=2+50（-3-3）=-148,=-148,代入代入a a100100+a+a101101=-3=-3100,100,得得a a100100=-152.=-152.bb100100=a=a100100a a101101= =（-152-152）（-148-148）=22 496.=22 496.【典例典例】（1212分）（分）（20112011厦门高二检测）两个等差数列厦门高二检测）两个等差数列5 5，8 8，1111，和和3 3，7 7，1111，都有都有100100项，那么它们共有
20、多少相项，那么它们共有多少相同的项？同的项？【审题指导审题指导】本题考查对等差数列基本性质的理解，本题所本题考查对等差数列基本性质的理解，本题所说的共同的项，它们所在的项数不一定相同，即本题只要求说的共同的项，它们所在的项数不一定相同，即本题只要求某个数都在这两个数列中出现过，而不要求具体是数列的第某个数都在这两个数列中出现过，而不要求具体是数列的第几项几项. .【规范解答规范解答】方法一：设已知的两数列的所有相同的项将构方法一：设已知的两数列的所有相同的项将构成的新数列为成的新数列为 c cn n ，c c1 1=11,=11,又等差数列又等差数列5 5，8 8，1111，的通项公式为的通项
21、公式为a an n=3n+2,=3n+2,等差数列等差数列3 3，7 7，1111，的通项公式为的通项公式为b bn n=4n-1.=4n-1.数列数列 c cn n 为等差数列，且公差为等差数列，且公差d=12.d=12.ccn n=11+=11+（n-1n-1）12=12n-112=12n-18 8分分又又a a100100=302=302，b b100100=399,c=399,cn n=12n-1302.=12n-1302.得得 可见已知两数列共有可见已知两数列共有2525个相同的项个相同的项. . 1212分分方法二：方法二：a an n=3n+2,b=3n+2,bm m=4m-1,
22、=4m-1,设设a an n= =b bm m则有则有3n+2=4m-1,3n+2=4m-1,（n,mNn,mN+ +）, ,即即要使要使n n为正整数，为正整数，m m必须是必须是3 3的倍数的倍数. .设设m=3km=3k（kNkN+ +）, ,代入前代入前式得式得n=4k-1n=4k-18 8分分又又13k100,13k100,且且14k-1100,14k-1100,解得解得1k251k25共有共有2525个相同的项个相同的项. . 1212分分【误区警示误区警示】对解答本题时易犯的错误分析如下：对解答本题时易犯的错误分析如下：常见错误常见错误错误原因错误原因公共项只有公共项只有一项一项
23、11 11 错误原因在于求得数列错误原因在于求得数列a an n=3n+2,b=3n+2,bn n=4n-1,=4n-1,即即令令3n+2=4n-1,3n+2=4n-1,解得解得n=3.n=3.所以错误地认为公共所以错误地认为公共项为第项为第3 3项的值项的值11.11.实际上上述解法混淆了两实际上上述解法混淆了两个个n n的取值，导致错误的取值，导致错误 解得解得n33.3n33.3，故公共项为故公共项为3333项项 错误原因在于让错误原因在于让c cn n=12n-1399=12n-1399，导，导致了错误答案，两个数列的公共项应致了错误答案，两个数列的公共项应以较小的为基准求解以较小的为
24、基准求解. . 1 1等差数列等差数列aan n 中，中，a a3 35050，a a5 53030，则，则a a7 7( )( )（A A）40 40 （B B）10 10 （C C）20 20 （D D）2424【解析解析】选选B.B.由题意由题意a a3 3，a a5 5，a a7 7仍成等差数列则仍成等差数列则2a2a5 5a a3 3a a7 7. .aa7 72a2a5 5-a-a3 32 230-5030-5010.10.2 2在在ABCABC中，三个内角中，三个内角A A、B B、C C成等差数列，则成等差数列，则B B为为( )( )（A A）3030 （B B）6060 （
25、C C）9090 （D D）4545【解析解析】选选B.AB.A、B B、C C成等差数列，成等差数列，B B为为A A、C C的等差中项，的等差中项，即即2B2BA AC C，又，又A AB BC C180180，3B3B180180，B B6060，故选，故选B.B.3 3已知等差数列已知等差数列aan n 中，中，a a7 7a a9 91616，a a4 41 1，则，则a a1212的值是的值是( )( )（A A）15 15 （B B）30 30 （C C）31 31 （D D）6464【解析解析】选选A.A.依题意有依题意有a a1212a a4 4a a7 7a a9 9161
26、6，a a121216-a16-a4 415.15.4 4已知等差数列已知等差数列aan n 中，中，a a2 2与与a a6 6的等差中项为的等差中项为5 5，a a3 3与与a a7 7的的等差中项为等差中项为7 7，则，则a an n_._.【解析解析】由已知可得由已知可得公差公差d d7-57-52.2.又又a a4 4a a1 13d3da a1 13 32 25 5，a a1 1-1-1，a an n-1-1(n-1)(n-1)2 22n-3.2n-3.答案：答案：2n-32n-35 5已知已知5 5个数成等差数列，它们的和为个数成等差数列，它们的和为5 5，平方和为，平方和为 求这求这5 5个数个数【解析解析】设第三个数为设第三个数为a a，公差为，公差为d d，则这，则这5 5个数分别为个数分别为a-a-2d2d，a-da-d，a a，a ad d，a a2d.2d.由已知有：由已知有： 时，这时，这5 5个数分别是个数分别是 时，这时，这5 5个数分别是个数分别是
