《高考数学 5.1 数列的概念与简单表示法课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学 5.1 数列的概念与简单表示法课件（70页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第五章数列第一节数列的概念与简单表示法【知识梳理】【知识梳理】1.1.必会知识必会知识 教材回扣填一填教材回扣填一填(1)(1)数列的有关概念数列的有关概念: :概念概念含义含义数列数列按照按照_排列的一列数排列的一列数数列的项数列的项数列中的数列中的_数列的通项数列的通项数列数列aan n 的第的第n n项项a an n通项公式通项公式数列数列aan n 的第的第n n项项a an n与与n n之间的关系能用公式之间的关系能用公式_表示表示, ,这个公式叫做数列的这个公式叫做数列的通项公式通项公式前前n n项和项和数列数列aan n 中中,S,Sn n=_=_叫做数列的前叫做数列的前n n项
2、和项和一定顺序一定顺序每一个数每一个数a an n=f(n)=f(n)a a1 1+a+a2 2+ +a+an n(2)(2)数列的表示方法数列的表示方法: :列表法列表法列表格表示列表格表示n n与与a an n的对应关系的对应关系图象法图象法把点把点_画在平面直角坐标系中画在平面直角坐标系中公式公式法法通项通项公式公式把数列的通项使用把数列的通项使用_表示的方法表示的方法递推递推公式公式使用初始值使用初始值a a1 1和和a an+1n+1=f(a=f(an n) )或或a a1 1,a,a2 2和和a an+1n+1=f(a=f(an n,a,an-1n-1) )等表示数列的方法等表示数
3、列的方法(n,a(n,an n) )公式公式(3)a(3)an n与与S Sn n的关系的关系: :若数列若数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n, , _,n=1, _,n=1, _,n2. _,n2.则则a an n= =S S1 1S Sn n-S-Sn-1n-1(4)(4)数列的分类数列的分类: :单单调调性性递增数列递增数列nNnN* *,_,_递减数列递减数列nNnN* *,_,_常数列常数列nNnN* *,a,an+1n+1=a=an n摆动数列摆动数列从第从第2 2项起项起, ,有些项大于它的前一项有些项大于它的前一项, ,有些项小于它的前一项的数列有些项小于它
4、的前一项的数列周期性周期性周期数列周期数列nNnN* *, ,存在正整数常数存在正整数常数k,ak,an+kn+k=a=an na an+1n+1aan na an+1n+1a0,0,所以所以(n+1)a(n+1)an+1n+1-na-nan n=0, =0, 即即所以所以所以所以答案：答案：【规律方法】【规律方法】典型的递推数列及处理方法典型的递推数列及处理方法递推式递推式方法方法示例示例a an+1n+1=a=an n+f(n)+f(n)叠加法叠加法a a1 1=1,a=1,an+1n+1=a=an n+2n+2n=f(n)=f(n)叠乘法叠乘法a a1 1=1, =2=1, =2n na
5、 an+1n+1=pa=pan n+q+q(p0,1,q0)(p0,1,q0)化为等化为等比数列比数列a a1 1=1,a=1,an+1n+1=2a=2an n+1+1a an+1n+1=pa=pan n+q+qp pn+1n+1(p0,1,q0)(p0,1,q0)化为等化为等差数列差数列a a1 1=1,a=1,an+1n+1=3a=3an n+3+3n+1n+1其中其中(1)a(1)an+1n+1=pa=pan n+q(p0,1,q0)+q(p0,1,q0)的求解方法是：设的求解方法是：设a an+1n+1+=p(a+=p(an n+ +)，即，即a an+1n+1=pa=pan n+p-
6、+p-，与，与a an+1n+1=pa=pan n+q+q比较即可知只要比较即可知只要(2)a(2)an+1n+1=pa=pan n+q+qp pn+1n+1(p0,1,q0)(p0,1,q0)的求解方法是两端同时除以的求解方法是两端同时除以p pn+1n+1，即得即得 数列数列 为等差数列为等差数列提醒：提醒：对于有些递推公式要注意参数的限制条件对于有些递推公式要注意参数的限制条件. .【变式训练】【变式训练】根据下列条件根据下列条件, ,确定数列确定数列aan n 的通项公式的通项公式: :(1)a(1)a1 1=1,a=1,an+1n+1=3a=3an n+2.+2.(2)a(2)a1
7、1=2,a=2,an+1n+1=a=an n+3n+2.+3n+2.【解析】【解析】(1)(1)因为因为a an+1n+1=3a=3an n+2,+2,所以所以a an+1n+1+1=3(a+1=3(an n+1),+1),所以所以所以数列所以数列aan n+1+1为等比数列为等比数列, ,公比公比q=3,q=3,又又a a1 1+1=2,+1=2,所以所以a an n+1=2+1=23 3n-1n-1, ,所以所以a an n=2=23 3n-1n-1-1.-1.(2)(2)因为因为a an+1n+1-a-an n=3n+2,=3n+2,所以所以a an n-a-an-1n-1=3n-1(n
8、2),=3n-1(n2),所以所以a an n=(a=(an n-a-an-1n-1)+(a)+(an-1n-1-a-an-2n-2)+)+(a+(a2 2-a-a1 1)+a)+a1 1= =当当n=1n=1时，时，a a1 1=2=2符合上式，所以符合上式，所以【加固训练】【加固训练】1.1.设数列设数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n, ,已知已知2a2an n-2-2n n=S=Sn n, ,则数列则数列aan n 的通项公式的通项公式a an n= =. .【解析】【解析】令令n=1n=1得得a a1 1=2.=2.由由2a2an n-2-2n n=S=Sn n得得
9、2a2an+1n+1-2-2n+1n+1=S=Sn+1n+1,-,-整理得整理得a an+1n+1=2a=2an n+2+2n n, ,即即 即数列即数列 是首项为是首项为1 1，公差为，公差为 的等差的等差数列，故数列，故 故故a an n=(n+1)=(n+1)2 2n-1n-1答案：答案：(n+1)(n+1)2 2n-1n-12.2.已知数列已知数列aan n 中，中，a a1 1=1, =1, 则数列则数列bbn n 的通项的通项公式公式b bn n=_=_【解析】【解析】由于由于a an+1n+1-2=-2=即即b bn+1n+1=4b=4bn n+2+2， 又又a a1 1=1=1
10、，故，故 所以所以 是首项为是首项为 公比为公比为4 4的等比数列的等比数列答案：答案：考点考点4 4 数列的性质数列的性质知知考情考情因为数列可以看作是一类特殊的函数因为数列可以看作是一类特殊的函数, ,所以数列也具备函数应具所以数列也具备函数应具备的性质备的性质, ,因此因此, ,高考命题往往以数列作载体高考命题往往以数列作载体, ,用选择题、填空题的形用选择题、填空题的形式考查单调性、周期性等问题式考查单调性、周期性等问题. .明明角度角度命题角度命题角度1 1：数列的单调性问题数列的单调性问题【典例【典例4 4】已知已知 那么数列那么数列aan n 是是( )( )A.A.递减数列递减
11、数列 B.B.递增数列递增数列C.C.常数列常数列 D.D.摆动数列摆动数列【解题提示】【解题提示】利用比较法判断利用比较法判断. .【规范解答】【规范解答】选选B.B.因为因为 所以所以所以所以所以所以a an+1n+1aan n, ,所以数列所以数列aan n 是递增数列是递增数列. .【一题多解】【一题多解】解答本题，你知道几种解法？解答本题，还有以下解法解答本题，你知道几种解法？解答本题，还有以下解法. .因为因为 根据函数根据函数 为减函数为减函数. .知知(x(x0)0)为增函数为增函数. .即即 为增函数，则为增函数，则a an n为递增数列为递增数列. .命题角度命题角度2 2
12、：数列的周期性问题数列的周期性问题【典例【典例5 5】(2015(2015哈尔滨模拟哈尔滨模拟) )数列数列aan n 满足满足 则数列的第则数列的第2 0152 015项为项为_._.【解题提示】【解题提示】先根据已知推理得出数列的周期，再利用周期性求解先根据已知推理得出数列的周期，再利用周期性求解. .【规范解答】【规范解答】因为因为 所以所以a a2 2=2a=2a1 1-1=-1=所以所以a a3 3=2a=2a2 2= = 所以所以a a4 4=2a=2a3 3= =a a5 5=2a=2a4 4-1= a-1= a6 6=2a=2a5 5-1= -1= , ,所以该数列的周期所以该
13、数列的周期T=4.T=4.而而2 015=42 015=4503+3,503+3,所以所以a a2 0152 015=a=a3 3= =答案：答案：悟悟技法技法1.1.解决数列的单调性问题可用以下三种方法解决数列的单调性问题可用以下三种方法(1)(1)用作差比较法用作差比较法, ,根据根据a an+1n+1-a-an n的符号判断数列的符号判断数列aan n 是递增数列、递减是递增数列、递减数列或是常数列数列或是常数列. .(2)(2)用作商比较法，根据用作商比较法，根据 (a(an n00或或a an n0)0)与与1 1的大小关系进行判断的大小关系进行判断. .(3)(3)结合相应函数的图
14、象直观判断结合相应函数的图象直观判断. .2.2.解决数列周期性问题的方法解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值求值. .通通一类一类1.(20151.(2015武汉模拟武汉模拟) )已知数列已知数列xxn n 满足满足x xn+3n+3=x=xn n,x,xn+2n+2=|x=|xn+1n+1-x-xn n|(nN|(nN* *),),若若x x1 1=1,x=1,x2 2=a(a1=a(a1且且a0),a0),则数列则数列xxn n 的前的前20152015项的和项的和S S201
15、52015为为( () )A.671 B.670 C.1342 D.1344A.671 B.670 C.1342 D.1344【解题提示】【解题提示】推算出推算出xxn n 的周期的周期, ,利用周期性简化计算利用周期性简化计算. .【解析】【解析】选选D.D.由题意由题意x x1 1=1,x=1,x2 2=a,x=a,x3 3=|x=|x2 2-x-x1 1|=|a-1|=1-a,x|=|a-1|=1-a,x4 4=|1-a-a|=|1-2a|,=|1-a-a|=|1-2a|,又又x x4 4=x=x1 1, ,所以所以|1-2a|=1,|1-2a|=1,又因为又因为a a0,0,所以所以a
16、=1.a=1.所以此数列为所以此数列为:1,1,0,1,1,0,:1,1,0,1,1,0, ,其周期为其周期为3.3.所以所以S S20152015=S=S6716713+23+2=671=6712+2=1344.2+2=1344.2.(20152.(2015西安模拟西安模拟) )已知数列已知数列aan n 满足满足a a1 1=33,a=33,an+1n+1-a-an n=2n,=2n,则则的最小值为的最小值为( )( )【解析】【解析】选选B.B.因为因为a an+1n+1-a-an n=2n,=2n,所以所以a an n-a-an-1n-1=2(n-1),=2(n-1),所以所以a an
17、 n=(a=(an n-a-an-1n-1)+(a)+(an-1n-1-a-an-2n-2)+)+(a+(a2 2-a-a1 1)+a)+a1 1=(2n-2)+(2n-4)+=(2n-2)+(2n-4)+ +2+33=n2+33=n2 2-n+33(n2),-n+33(n2),又又a a1 1=33=33适合上式适合上式, ,所以所以a an n=n=n2 2-n+33,-n+33,所以所以令令f(x)= f(x)= 则则f(x)=f(x)=令令f(x)=0f(x)=0得得所以当所以当0x 0x 时，时，f(x)0,f(x)0,f(x)0,即即f(x)f(x)在区间在区间 上递减；在区间上递
18、减；在区间 上递增，上递增，又又 且且所以所以f(5)f(6),f(5)f(6),所以当所以当n=6n=6时时, , 有最小值有最小值创新体验创新体验5 5 数列的新定义问题数列的新定义问题【创新点拨】【创新点拨】1.1.高考考情高考考情: :以数列为背景的新定义问题是高考命题创新型试题的一以数列为背景的新定义问题是高考命题创新型试题的一个热点个热点, ,考查频次较高考查频次较高. .2.2.命题形式命题形式: :常见的有新定义、新规则等常见的有新定义、新规则等. .【新题快递】【新题快递】1.(20151.(2015石家庄模拟石家庄模拟) )将石子摆成如图所示的梯形形状将石子摆成如图所示的梯
19、形形状, ,称数列称数列5,9,14,20,5,9,14,20,为为“梯形数梯形数”. .根据图形的构成根据图形的构成, ,此数列的第此数列的第20142014项与项与5 5的差的差, ,即即a a20142014-5=(-5=() )A.2018A.20182012 B.20202012 B.202020132013C.1009C.10092012 D.10102012 D.101020132013【解析】【解析】选选D.D.因为因为a an n-a-an-1n-1=n+2(n=n+2(n2),a2),a1 1=5,=5,所以所以a a20142014=(a=(a20142014-a-a20
20、132013)+(a)+(a20132013-a-a20122012)+)+(a+(a2 2-a-a1 1)+a)+a1 1=2016+2015+=2016+2015+4+5= =1010+4+5= =10102013+5,2013+5,所以所以a a20142014-5=1010-5=10102013,2013,故选故选D.D.2.(20152.(2015武汉模拟武汉模拟) )在一个数列中在一个数列中, ,如果如果nNnN* *, ,都有都有a an na an+1n+1a an+2n+2=k(k=k(k为为常数常数),),那么这个数列叫做等积数列那么这个数列叫做等积数列,k,k叫做这个数列
21、的公积叫做这个数列的公积. .已知数列已知数列aan n 是等积数列是等积数列, ,且且a a1 1=1,a=1,a2 2=2,=2,公积为公积为8,8,则则a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+ +a+a1212= =. .【解析】【解析】依题意得数列依题意得数列aan n 是周期为是周期为3 3的数列的数列, ,且且a a1 1=1,a=1,a2 2=2,a=2,a3 3=4,=4,因此因此a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+ +a+a1212=4(a=4(a1 1+a+a2 2+a+a3 3)=4)=4(1+2+4)=28.(1+2+4)=28.答案答案: :28283.(20
22、153.(2015烟台模拟烟台模拟) )对于对于E=aE=a1 1，a a2 2, ,，a a100100 的子集的子集X=X=定义定义X X的的“特征数列特征数列”为为x x1 1,x,x2 2, ,x,x100100, ,其中其中 其余其余项均为项均为0 0，例如例如: :子集子集aa2 2,a,a3 3 的的“特征数列特征数列”为为0,1,1,0,0,0,1,1,0,0,0.,0.(1)(1)子集子集aa1 1,a,a3 3,a,a5 5 的的“特征数列特征数列”的前的前3 3项和等于项和等于. .(2)(2)若若E E的子集的子集P P的的“特征数列特征数列”为为p p1 1,p,p2
23、 2, ,p,p100100满足满足p p1 1=1,p=1,pi i+p+pi+1i+1=1,=1,1i99.1i99.E E的子集的子集Q Q的的“特征数列特征数列”为为q q1 1,q,q2 2, ,q,q100100满足满足q q1 1=1,q=1,qj j+q+qj+1j+1+q+qj+2j+2=1,=1,1j98,1j98,则则PQPQ的元素个数为的元素个数为. .【解析】【解析】(1)(1)子集子集aa1 1,a,a3 3,a,a5 5 的的“特征数列特征数列”的前三项是的前三项是1,0,1,1,0,1,故和为故和为2.2.(2)(2)根据题设条件根据题设条件, ,子集子集P P
24、的的“特征数列特征数列”是是1,0,1,0,1,0,1,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,子集子集Q Q的的“特征数列特征数列”是是1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,发现发现p p1 1=q=q1 1=1,p=1,p7 7=q=q7 7=1,=1,p,p6i-56i-5=q=q6i-56i-5=1,=1,于是令于是令6n-5=97,6n-5=97,得得n=17,n=17,所以所以PQPQ的元素个数为的元素个数为17.17.答案答案: :(1)2(1)2(2)17(2)17【备考指导】【备考指导】1.1.准确转化准确转化: :解决数列新定义问题时解决数列新定义问题时, ,一定要读懂新定义的本质含义一定要读懂新定义的本质含义, ,将题目所给定义转化成题目要求的形式将题目所给定义转化成题目要求的形式, ,切忌同已有概念或定义相切忌同已有概念或定义相混淆混淆. .2.2.方法选取方法选取: :对于数列新定义问题对于数列新定义问题, ,搞清定义是关键搞清定义是关键, ,仔细认真地从仔细认真地从前几项前几项( (特殊处、简单处特殊处、简单处) )体会题意体会题意, ,从而找到恰当的解决方法从而找到恰当的解决方法. .
